Tài liệu Tổ chức dạy học khái niệm hình học không gian ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học và năng lực vận dụng toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN THÂN THỊ YẾN TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán Hà Nội - 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN THÂN THỊ YẾN TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán Người hướng dẫn khoa học: ThS. NGUYỄN VĂN HÀ Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà-người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này. Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên Thân Thị Yến LỜI CAM ĐOAN Tên em là: Thân Thị Yến Sinh viên lớp: K39A-Sư phạm Toán Trường: ĐHSP Hà Nội 2 Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên Thân Thị Yến MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................ 1 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................3 1.1 Năng lực và năng lực Toán học................................................................. 3 1.1.1 Năng lực..................................................................................................3 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh.............................................................5 1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học...................6 1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh...............................6 1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học..................................................................6 1.2.3 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học trong dạy học khái niệm hình học................................................................... 8 1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông..................................... 9 1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm........................................................9 1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm.................................... 12 1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông...........................13 1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm........................................................ 14 1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm...................................................15 1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm...............................................................18 1.3.6 Dạy học phân chia khái niệm............................................................... 20 Tiểu kết chương 1:.........................................................................................21 Chương 2: THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VÂN DỤNG..........22 TOÁN HỌC..................................................................................................22 2.1 Phân tích nội dung quan hệ vuông góc trong không gian ở trường phổ thông.............................................................................................................. 22 2.1.1. Nội dung chương trình của quan hệ vuông góc lớp 11........................22 2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc lớp 11.......................22 2.2 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học không gian ở trường THPT..................................................................................................23 2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian........................................ 25 2.2.2 Hai đường thẳng vuông góc................................................................. 27 2.2.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng............................................... 29 2.2.4 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng....................................................34 2.2.5 Góc giữa hai mặt phẳng........................................................................37 2.2.6 Hai mặt phẳng vuông góc.....................................................................39 2.2.7 Khoảng cách.........................................................................................41 Tiểu kết chương 2:.......................................................................................45 KẾT LUẬN...................................................................................................46 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................49 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước với mục tiêu đến năm 2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp theo hướng hiện đại đặt ra cho giáo dục, đào tạo nước ta những yêu cầu, thách thức mới. Một trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh. Điều này đòi hỏi phải có định hướng phát triển, có tầm nhìn chiến lược, ổn định lâu dài cùng những phương pháp, hình thức, tổ chức, quản lí giáo dục và đào tạo cho phù hợp. Muốn làm tốt nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới, đặc biệt là về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng, bởi vì Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và liên quan đến mọi ngành khoa học khác có ứng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và được coi là chìa khóa của sự phát triển. Bên cạnh đó, thực tiễn Toán học cho thấy hình học không gian nói chung và khái niệm quan hệ vuông góc trong hình học không gian nói riêng là một khái niệm mới đối với học sinh phổ thông. Nó đòi hỏi sự tưởng tượng ra hình thật , nhận biết đúng quan hệ thật từ hình vẽ biểu diễn của hình không gian. Đây là một điều khó khăn với học sinh, rất nhiều học sinh còn bộc lộ yếu kém, hạn chế năng lực. Do vậy việc rèn luyện và phát triển năng lực cho học sinh nói chung và học sinh phổ thông nói riêng là vấn đề cấp bách. 1 Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là“Tổ chức dạy học khái niệm hình học không gian ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học” 2.Mục đích nghiên cứu Nhằm định hướng phát triển năng lực của học sinh đối với việc học tập khái niệm của chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng. Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về lí luận: + Năng lực và năng lực toán học của học sinh + Dạy học toán theo hướng tiếp cận năng lưc học sinh. + Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT. - Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán. Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh. 2 Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT. 6. Cấu trúc đề tài. Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học không gian theo hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học. 3 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực Toán học 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân mới đóng vai trò quan trọng, năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà có. Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn. + Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tưởng + Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học... Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn. Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình. 3 Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động. Trong điều kiện bên ngoài như nhau những người khác nhau có thể tiếp thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp độ khác nhau có người tiếp thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lực mới tiếp thu được, người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn người khác chỉ đạt được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng. Thực tế cuộc sống có một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao ... Những hình thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất định mới có thể đạt kết quả. Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau: - Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng lực. - Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào. - Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người, trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học, có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ... - Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm 4 vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn. 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau: Năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá. Năng lực toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng. - Năng lực toán học của học sinh: Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực toán học của học sinh: “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau” - Cấu trúc về năng lực toán học của học sinh: + Năng lực tính toán, giải toán + Năng lực tư duy toán học + Năng lực giao tiếp toán học + Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sáng tạo toán học 5 1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học 1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh -Tư duy là một qúa trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết - Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp con người sử dụng để liên lạc hay giao tiếpvới nhau cũng như chỉ chính năng lực của con người có khả năng sử dụng một hệ thống như vậy. - Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ: Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và cho bản thân chủ thể tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng. Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là phương tiện của tư duy. Như vậy, trong quá trình dạy học toán việc phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học gắn liền với phát triển tư duy Toán học. 1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học Hiện nay, các nhà giáo dục và các nhà sư phạm đều thống nhất về việc đánh giá theo cấp độ nhận thức tri thức từ thấp tới cao của học sinh trong học tập như sau: - Nhận biết: 6 Nhớ lại, tái hiện được nội dung tri thức, liệt kệ, thuật lại, nhận dạng tri thức. Yêu cầu của nhận biết là nhớ lại, tái hiện lại được khái niệm và nhận dạng được khái niệm. Đây là cấp độ thấp nhất của kết quả học tập trong lĩnh vực nhận thức - Thông hiểu: Nắm được ý nghĩa của thông tin, chuyển đổi được từ dạng này sang dạng khác, so sánh, sắp xếp, dự đoán, mở rộng,,, Yêu cầu của thông hiểu là biểu thị, minh họa, giải thích được ý nghĩa khái niệm và có thể vận dụng chúng khi chúng được thể hiện theo các cách tương tự như đã biết trên lớp học. - Vận dụng: Khả năng sử dụng kiến thức đã học vào hoàn cảnh cụ thể mới; vận dụng nhận biết, hiểu biết thông tin vấn đề đặt ra Yêu cầu vận dụng là sử dụng được các quy tắc, phương pháp, khái niệm, … để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống + Vận dụng cấp độ thấp: Tạo ra được sự liên kết logic giữa các khái niệm cơ bản và có thể sử dụng thông tin, vận dụng các phương pháp, khái niệm, lý thuyết đã học trong các tình huống khác + Vận dụng cấp độ cao (sáng tạo): Phân tích nhận ra các xu hướng, cấu trúc, những ẩn ý, những bộ phận cấu thành Yêu cầu là sử dụng khái niệm đã học để giải quyết các vấn đề mới, không giống với những điều đó được học hoặc trình bày trong sách giáo khoa nhưng phù hợp khi được giải quyết với kỹ năng và kiến thức được giảng dạy ở mức độ nhận thức này. 7 Như vậy, năng lực vận dụng là cấp độ tư duy cao nhất trong lĩnh vực nhận thức các tri thức của học sinh trong học tập 1.2.3 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học trong dạy học khái niệm hình học a) Định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực chủ trương giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra. Do đó, định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học kiến thức mới là “Tăng cường cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động tư duy trong quá trình hình thành, kiến tạo tri thức; đồng thời chú trọng các hoạt động vận dụng tri thức để giải quyết được vấn đề đặt ra trong các tình huống của thực tiễn” [3] b) Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học Phát triển ngôn ngữ trong dạy học toán bao gồm phát triển đồng thời cả ngôn ngữ nói và ngôn ngữ viết - Ngôn ngữ Toán học: (Ngôn ngữ viết) + Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học chủ yếu bằng kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó; + Nội dung kiến thức sẽ được lưu lại một cách ngắn gọn, xúc tích, thuận tiện cho việc ghi chép, lưu giữ chúng dưới dạng văn bản, nhưng khó khăn hơn trong việc lưu giữ trong trí não so với ngôn ngữ thông thường + Ngôn ngữ Toán học giúp học sinh nhanh chóng nhận rõ nhiệm vụ Toán học của vấn đề cần giải quyết và cấu trúc chứng minh Toán học. - Ngôn ngữ thông thường: (Ngôn ngữ nói) 8 + Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học chỉ bằng ngôn ngữ nói thông thường, không chứa các kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó; + Nội dung kiến thức sẽ mang tính khái quát cao vì trong đó không lệ thuộc vào các kí hiệu là tên gọi gán cho các đối tượng cụ thể + Ngôn ngữ thông thường giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ trong trí não, nhanh chóng tái hiện và sử dụng kiến thức để giải quyết các tình huống đặt ra trong thực tiễn Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học là hình thành cho học sinh kĩ năng thực hiện chuyển đổi các kiến thức Toán học, các tình huống Toán học từ ngôn ngữ Toán học sang ngôn ngữ thông thường và ngược lại c) Phát triển năng lực vận dụng Toán học Theo quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1], để phát triển năng lực vận dụng Toán học đòi hỏi tổ chức cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động củng cố trong dạy học: - Liên hệ, sử dụng các kiến thức vừa học vào thực tế đời sống xung quanh học sinh - Tăng cường áp dụng các kiến thức vừa học (Các quy tắc, phương pháp, khái niệm, …) để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống 1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông 1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm a) Khái niệm Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, đặc trưng bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng. Như vậy có hai loại khái niệm: - Khái niệm về lớp đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Hình chóp”, “Hình chóp đều”,… 9 + Hình chóp: “Trong mặt phẳng (P) cho đa giác A1A2A3…An và điểm S không thuộc mặt phẳng (P). Hình tạo bởi n miền tam giác SA 1A2A3…An gọi là hình chóp SA1A2A3…An”. + Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. - Khái niệm về quan hệ đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Phương trình tương đương”,… + Phương trình tương đương: Hai phương trình cùng ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. • Nội hàm và ngoại diên của khái niệm. Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng phản ánh trong định nghĩa khái niệm. Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối tượng tương đương hoặc quan hệ đối tượng. Ví dụ 1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau”. Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các hình vuông, nội hàm của khái niệm trên là “hai cạnh kề bằng nhau”. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Thật vậy nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bổ sung thêm đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành. • Định nghĩa khái niệm. Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó. 10 Các định nghĩa thường có cấu trúc sau: Từ mới (biểu thị khái niệm mới) (Những) từ chỉ miền đối Tân từ (diễn tả khác biệt tượng đã biết (loại) về chúng) Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”. Trong định nghĩa trên, từ mới là “hình vuông”, loại hay miền đối tượng là “hình chữ nhật”, sự khác biệt về chúng là “hai cạnh liên tiếp bằng nhau”. Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chúng tạo thành đặc trưng của khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa nêu trong ví dụ trên, còn có thể định nghĩa theo một cách khác như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”. Khi xét một đối tượng xem có thuộc một ngoại diên của một khái niệm nào đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: Những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của khái niệm đó thì được gọi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét. • Khái niệm không định nghĩa Định nghĩa khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã biết. Ví dụ về định nghĩa khái niệm hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật, để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành, để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác,… Tuy nhiên, quá trình này không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những hái niệm nguyên thủy trong Toán học. 11 Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học. Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác. 1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm a) Vị trí dạy học khái niệm. Trong vệc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cach vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệ. Việc hình thành một hệ thống khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học. b) Yêu cầu của dạy học khái niệm. Nắm vững các đặc trưng cho một khái niệm. Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm. Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm. Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn. Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm. 12 1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông a) Định nghĩa theo phương pháp loại- chủng. - Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loại và đặc tính của chúng. (Vạch rõ nội dung của khái niệm, nêu rõ dấu hiệu đặc trưng của đối tượng được phản ánh vào trong khái niệm). - Cấu trúc: Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu đặc trưng của chúng. - Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Trong đó: Hình vuông: Là khái niệm được định nghĩa. Hình chữ nhật: Là khái niệm loại. Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trưng của chúng. b) Định nghĩa bằng quy ước. - Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng nào đó đã biết. - Ví dụ: a0 = 1 (a 0) c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề. - Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề là hình thức định nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các tiên đề. - Ví dụ: ABC = A’B’C’ nếu: , , , AB= A’B’, AC= A’C’, BC= B’C’. d) Định nghĩa bằng mô tả: - Nội dung: Định nghĩa bằng mô tả là phương pháp định nghĩa nêu cách tạo ra đối tượng hoặc mô tả những đối tượng ít nhiều gần giống nó. - Ví dụ: Định nghĩa “điểm”: Một dấu chấm nhỏ trên trang giấy cho ta hình ảnh về điểm. 13