Tài liệu Tính toán tham số tmd theo phương pháp biến đổi laplace

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC PHAN THỊ TRÀ MY TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC PHAN THỊ TRÀ MY TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC PHAN THỊ TRÀ MY TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC PHAN THỊ TRÀ MY TÍNH TOÁN THAM SỐ TMD THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh Hà Nội - 2011 MỤC LỤC Mở đầu.................................................................................................................. 1 Chương 1: Giới thiệu thiết bị tiêu tán năng lượng khối lượng dạng TMD ......... 3 1.1. Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng ............................... 3 1.2. Ứng dụng của thiết bị TMD ................................................................ 5 1.2.1. TMD dạng chuyển động theo 2 hướng trực giao ................... 5 1.2.2. TMD dạng con lắc đơn ........................................................... 6 1.2.3. TMD dạng con lắc nhiều tầng ................................................ 7 1.2.4. TMD dạng con lắc cho các kết cấu mảnh ............................... 8 1.2.5. TMD giảm dao động của cầu .................................................. 8 1.2.6. Một số nghiên cứu về thiết bị TTNL TMD tại Việt Nam ...... 9 1.3. Giới thiệu phương pháp Laplace ........................................................ 11 1.4. Kết luận chương 1 ............................................................................. 14 Chương 2: Tính toán tham số tối ưu của TMD theo phương pháp biến đổi Laplace ......................................................................................................... 15 2.1. Chuyển động của hệ chính khi chưa có TMD .................................. 15 2.2. Tính toán tham số tối ưu của TMD bằng phương pháp biến đổi Laplace ............................................................................................... 17 2.2.1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ .. 17 2.2.2. Tính toán tham số tối ưu của TMD ....................................... 19 2.2.3. Giải tìm nghiệm của hệ phương trình .................................... 27 2.3. Kết luận chương 2 ............................................................................. 31 Chương 3: Mô phỏng dao động của hệ có gắn TMD ....................................... 33 3.1. Mô phỏng dao động của hệ ................................................................ 33 3.1.1. Chuyển động của hệ khi chưa lắp TMD ................................ 34 3.1.2. Chuyển động của hệ khi lắp thêm TMD ............................... 35 3.2. So sánh với một số phương pháp khác ............................................. 37 3.3. Kết luận chương 3 ............................................................................. 41 Kết luận .............................................................................................................. 43 Tài liệu tham khảo ............................................................................................. 45 Phụ lục ............................................................................................................... 46 CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT BĐL: HMD: MATLAB: TBTTNL: Biến đổi Laplace Hybrid mass damper Matrix laboratory Thiết bị tiêu tán năng lượng TTNL: Tiêu tán năng lượng TMD: Tuned mass damper 1 MỞ ĐẦU Trong quá trình làm việc dưới tác động của ngoại lực, trong máy móc thiết bị, kết cấu sẽ phát sinh những dao động không mong muốn. Những dao động này ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc và làm giảm độ bền của các chi tiết cũng như bộ phận của máy, kết cấu. Thông thường để giảm dao động có hại, người ta có thể tăng độ cứng vững của kết cấu hoặc khử nguyên nhân gây ra dao động. Tuy nhiên không phải khi nào người ta cũng sử dụng được các phương pháp trên vì, hoặc phải chi phí tốn kém để tăng độ cứng vững của kết cấu, hoặc không thể khử hết được nguyên nhân gây ra dao động. Trong vài thập kỷ trở lại đây, trên thế giới đã phát triển công nghệ sử dụng các thiết bị tiêu tán năng lượng (TBTTNL) để giảm dao động. TBTTNL là thiết bị được lắp vào hệ kỹ thuật với mục đích hấp thụ và chuyển một phần năng lượng dao động của hệ thành dạng năng lượng khác, từ đó làm giảm dao động và va chạm có hại của hệ kỹ thuật. Phương pháp này trong một chừng mực nhất định có thể bổ xung cho hai phương án trên. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu và ứng dụng các TBTTNL vào các công trình đòi hỏi có rất nhiều giai đoạn. Trong đó có thể phân thành hai giai đoạn chính: - Nghiên cứu dao động của công trình - Nghiên cứu dao động của TBTTNL Từ đó đối với từng công trình, ta có thể áp dụng từng dạng TBTTNL một cách phù hợp. Vì kiến trúc của các kết cấu rất đa dạng nên hình dáng cấu trúc của thiết bị cũng không kém phần phong phú. Trong luận văn này ta sẽ xét đến sự dao động của cơ hệ một bậc tự do có gắn thiết bị TTNL dạng TMD. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phép biến đổi Laplace xây dựng phương trình chuyển động, từ đó tìm ra 2 tham số tối ưu là tỷ số cản và tỷ số tần số tối ưu. 2 Sử dụng phần mềm Matlab tính toán số cho cơ hệ. So sánh với 2 phương pháp điểm cố định và phương pháp cực tiểu moment bậc 2 để đánh giá độ tin cậy của phương pháp trong luận văn. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn là xây dựng 1 phương pháp tính toán mới, xác định các tham số đặc trưng của cơ hệ. Chứng minh tính đúng đắn của phương pháp giải tìm nghiệm. Bố cục của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận. - Chương 1: Giới thiệu thiết bị tiêu tán năng lượng khối lượng TMD và phương pháp biến đổi Laplace. - Chương 2: Tính toán tham số tối ưu của TMD theo phương pháp biến đổi Laplace. - Chương 3: Mô phỏng dao động của hệ có gắn TMD. 3 CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU THIẾT BỊ TIÊU TÁN NĂNG LƯỢNG DẠNG KHỐI LƯỢNG TMD VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.1. Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng Dao động là một hiện tượng rất phổ biến trong tự nhiên cũng như trong kỹ thuật. Các phương tiện giao thông vận tải, nhà cao tầng, cầu giao thông… là các hệ dao động trong kỹ thuật. Dao động có thể có ích hoặc có hại tuỳ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Đối với các hệ kỹ thuật, rất nhiều dạng dao động là có hại, không mong muốn xảy ra: phương tiện giao thông chịu kích động mặt đường, tàu thuỷ và các công trình ngoài khơi chịu tác động sóng gió, các tháp vô tuyến, các cao ốc chịu tác động của gió và động đất, các cầu giao thông nhịp lớn chịu tác động của phương tiện vận tải, cầu treo chịu tải trọng của gió bão, các thiết bị tuốc bin hoạt động với tốc độ cao… Các loại dao động có hại này ngày càng nguy hiểm và có ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc, làm giảm độ bền của các máy móc, thiết bị, công trình. Đồng thời, cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, do sự tăng lên về quy mô kết cấu, về tốc độ máy móc và cường độ kích động ngoài; sự cấp thiết về việc giảm giá thành các công trình lớn; yêu cầu cao về an toàn cho các công trình quan trọng mà công nghệ giảm dao động đã và đang là một trong những quan tâm hàng đầu của rất nhiều cơ quan nghiên cứu và ứng dụng. Trước đây, phương pháp phổ biến giảm dao động là tăng độ cứng vững của công trình hoặc khử nguyên nhân gây ra dao động. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, chi phí để tăng độ cứng vững của kết cấu sẽ rất tốn kém hoặc các kết cấu của công trình được thiết kế, xây dựng theo quan điểm cổ điển dựa vào sự vững chắc của bản thân, của tải tĩnh đặt trong kết cấu, không có khả năng thích ứng với sự thay đổi luôn luôn của các lực tác dụng từ ngoài môi trường. Vì vậy vấn đề đặt ra là phải thiết kế các bộ phận như thế nào để có thể lắp vào kết cấu, làm giảm những dao động có hại một cách tốt nhất và làm tăng độ an toàn, hiệu quả cũng như tuổi thọ của các công trình. Vì thế trong vài thập kỷ trở lại đây, trên thế giới đã phát triển công nghệ sử dụng các thiết bị tiêu tán năng lượng (TBTTNL) để giảm dao động. Các phương pháp giảm dao động và va chạm thường dựa trên cơ sở làm giảm hoặc cách ly lực kích động, thay đổi tần số riêng để tránh cộng hưởng, tăng cản cho 4 cơ hệ. Về cơ bản chúng ta có thể coi các kích động tác động vào cơ hệ như là sự truyền một năng lượng vào cơ hệ, sự điều tiết năng lượng từ hệ chính tới hệ phụ được gắn vào cơ hệ được coi như sự hấp thụ hoặc tiêu tán năng lượng. Sử dụng TBTTNL trong một chừng mực nhất định có thể bổ sung cho hai phương án trên với những ưu điểm: kinh tế, hiệu quả, tăng tuổi thọ công trình, cài đặt, bảo dưỡng và thay thế đơn giản. Đi theo hướng giảm dao động bằng các bộ hấp thụ và tiêu tán năng lượng (TTNL) ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp: - hấp thụ dao động thụ động - hấp thụ dao động tích cực - hấp thụ dao động nửa tích cực (kết hợp cả hai phương pháp đầu) Trong phương pháp hấp thụ thụ động, bộ hấp thụ dao động thụ động được gắn thêm vào hệ máy hay kết cấu. Mục đích của việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động là để hấp thụ một phần năng lượng của hệ chính. Sự hấp thụ được thực hiện bằng cách truyền một phần năng lượng dao động có hại từ hệ chính tới bộ hấp thụ dao động thụ động. Bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối lượng gọi tắt là TMD (Tuned Mass Damper) có thể mô tả như là một khối lượng được gắn với hệ chính thông qua lò xo và giảm chấn dạng cản nhớt. Thiết bị TMD sử dụng khối lượng của bản thân để tạo ra chuyển động tương đối nên ưu điểm của nó là không cần thay đổi hay bổ sung những yếu tố bên trong hệ chính. f (t ) k kd m Hình 1.1. md Mô hình bộ hấp thụ động lực của Frahm (1909) Hình 1.1 là mô hình cho thấy sự lắp đặt của bộ hấp thụ động lực khối lượng md nhằm làm giảm dao động cho hệ chính khối lượng m. Mô hình này đã được Frahm (1909) đưa ra lần đầu tiên. Bằng cách điều chỉnh độ cứng kd và khối lượng md sao cho tần số riêng của bộ hấp thụ bằng đúng tần số kích động điều hoà f ( t ) , người ta có thể làm tắt dao động của khối lượng m. Sau đó Den 5 Hartog (1956) đã phát triển lý thuyết bộ hấp thụ động lực có cản trong trường hợp kích động điều hoà và hệ chính không cản. Áp dụng quy trình tính toán của Den Hartog, các tác giả khác đã đưa ra lời giải cho nhiều trường hợp khác nhau về mục tiêu điều khiển và dạng kích động [6], [8], [9]. Warburton (1982) là người đã tiến hành thống kê và lập bảng các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực cho nhiều trường hợp. Trong lĩnh vực điều khiển kết cấu, vì hệ kết cấu thường có nhiều bậc tự do và có cản nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do không cản chỉ là lời giải gần đúng ban đầu. Những nghiên cứu về TMD cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên đã được phát triển theo hướng sử dụng các phương pháp số [7], [10]. Ngoài ra một số nghiên cứu về TMD phi tuyến [11], TMD va chạm cũng đáng chú ý. Để tăng hiệu quả của TMD, những công nghệ hiện đại còn sử dụng các bộ điều khiển tích cực lắp đặt vào TMD. Kỹ thuật này được sử dụng tương đối phổ biến ở Nhật Bản với tên gọi thiết bị HMD (Hybrid Mass Damper). Việc tích hợp thiết bị TMD trong thực tế cũng mở ra nhiều nghiên cứu. Khi lắp đặt vào kết cấu, thường thiết bị TMD cũng có biên độ dao động lớn hơn nhiều lần dao động của kết cấu. Vấn đề nghiên cứu đặt ra là thiết kế hình dạng của thiết bị sao cho có thể sử dụng không gian một cách tối ưu. Vì kiến trúc của kết cấu rất đa dạng nên hình dạng cấu trúc của TMD cũng không kém phần phong phú. TMD được sử dụng phổ biến để giảm dao động do gió, sóng biển. Do yêu cầu kĩ thuật, khối lượng TMD không được ảnh hưởng nhiều đến hệ chính (thường không quá 3%-5% khối lượng hệ chính). Thông thường, kết cấu công trình là những hệ có khối lượng rất lớn nên đòi hỏi TMD cũng có khối lượng đáng kể, làm phát sinh một số yếu tố kỹ thuật cần tính đến trong thực tế. 1.2. Ứng dụng của thiết bị TMD Sau khi đã có những phân tích thích hợp, kết hợp với những thí nghiệm trên mô hình kết cấu thu nhỏ, thiết bị TMD đã chứng tỏ hiệu quả trong giảm dao động có các kích động gây ra. Vì thế, các thiết bị này cũng được sử dụng rộng rãi để giảm dao động. Chúng ta sẽ điểm qua một số ứng dụng của nó như sau. 1.2.1. TMD dạng chuyển động theo 2 hướng trực giao Những TMD đầu tiên được lắp đặt là TMD chuyển động tịnh tiến trên các rãnh chỉ có thể chuyển động theo 1 hướng nhất định. Chiba Port Tower là toà 6 nhà đầu tiên tại Nhật Bản lắp đặt thiết bị TMD. Thiết bị này có dạng chuyển động tịnh tiến nhưng được thiết kế để có thể chuyển động theo 2 hướng trực giao với nhau. Hình 1.1. Chiba Port Tower Kết quả trước khi điều khiển và sau khi điều khiển với những điều kiện gió tương tự nhau cho thấy có thể giảm được chuyển dịch khoảng 30% và 40% theo các phương. 1.2.2. TMD dạng con lắc đơn TMD dạng con lắc đơn nổi tiếng nhất cho đến thời điểm này là TMD lắp vào Taipei 101, Đài Loan - là toà nhà cao nhất thế giới năm 2004 với độ cao 508m được xây trên vùng có khả năng xảy ra động đất và gió lớn. Do chiều cao quá lớn nên theo tính toán gia tốc của tầng cao nhất có thể vượt 30%-40% so với gia tốc mong muốn. Hình 1.2. Taipei 101, Đài Loan và quả cầu nặng 660 tấn của TMD 7 Phương pháp giảm giao động là dùng một quả cầu nặng 660 tấn đặt tại tầng 88 được treo bởi hệ thống cáp thép với 16 dây cáp dài 42m từ tầng 92 đến tầng 88, xung quanh TMD có các hệ thống cản (Hình 1.2). Đây là TMD đầu tiên trên thế giới mà các du khách có thể được quan sát không hạn chế. Với các hình dáng điêu khắc đẹp trên quả cầu, TMD cũng mang lại lợi ích không nhỏ về du lịch. 1.2.3. TMD dạng con lắc nhiều tầng Một trong những ứng dụng đầu tiên của con lắc nhiều tầng là tại Yokohama Landmark Tower (Yamazaki vcs 1992) trên hình 1.3. Vị trí lắp đặt TMD Hình 1.3. Yokohama Landmark Tower và TMD dạng con lắc nhiều tầng Con lắc nhiều tầng do Mitsubishi Heavy Industries chế tạo có cấu tạo như hình 1.4 với nguyên tắc hoạt động như hình 1.5. Khung thép Dây cáp treo Khối lượng Hình 1.4. Sơ đồ cấu tạo con lắc nhiều tầng 8 Hình 1.5. Nguyên tắc hoạt động của con lắc đơn (bên trái) và con lắc 3 tầng (bên phải) Thiết bị TMD trong trường hợp này là con lắc 3 tầng nên chiều dài cần thiết chỉ còn là 3m thay vì 9m khi sử dụng con lắc đơn 1.2.4. TMD dạng con lắc cho các kết cấu mảnh Đối với các kết cấu mảnh, một trong những giải pháp cho dạng kết cấu này là lắp đặt các TMD dạng vòng đai. Ví dụ như TMD lắp vào ống khói thép tại Rayong, Thái Lan (Hình 1.6). Hình 1.6.Ống khói tại Rayong, Thái Lan và TMD con lắc dạng đai 1.2.5. TMD giảm dao động của cầu Các kết cấu cầu chịu tải trọng phương tiện và con người có thể bị dao động thẳng đứng. Các TMD thường được lắp đặt dưới đáy của gầm cầu để giảm dao động thẳng đứng này. Ta có thể thấy một số ví dụ về các TMD của hãng Gerb lắp đặt vào cầu như trên hình 1.7. 9 Hình 1.7. TMD lắp dưới gầm cầu để giảm dao động thẳng đứng Nói chung, những trường hợp như trên trên hình 1.7 là các TMD loại nhỏ (khối lượng khoảng 1 tấn) lắp vào các cầu loại nhỏ, tần số cao nên không gặp trở ngại lớn nào về mặt kỹ thuật. Hình 1.8. Cầu Trans-Tokyo Bay Crossing, Nhật Bản 1.2.6. Một số nghiên cứu về thiết bị TTNL TMD tại Việt Nam Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông-Hải Đảo của Nhà nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển (CTB) dạng DKI. Hình 1.9. Công trình biển dạng DKI 10 Các công trình này đã và đang góp phần vào sự phát triển, khai thác tiềm năng biển vô cùng phong phú. Về mặt khoa học công trình biển, ta đã có một bước tiến bộ vượt bậc cả về số liệu khoa học, kinh nghiệm cũng như sự lớn mạnh của đội ngũ cán bộ khoa học. Tuy nhiên, cùng với sự phát triển của khoa học và công nghệ thì sự phát triển và hoàn thiện các công trình biển là một nhu cầu tất yếu. Do việc giảm ma sát giữa các cọc trụ của công trình và nền san hô cũng như do sóng, gió, dòng chảy lớn mà các công trình biển phải chịu nhiều dao động có hại khiến cho chất lượng và tuổi thọ các công trình ngày càng giảm. Đặc biệt, sự dính bám giữa cọc và nền san hô (lực ma sát) bị suy giảm khi công trình dao động rung lắc nhiều (chiều sâu đóng cọc, số lượng cọc cho một công trình; trọng lực gia tải của công trình không tương xứng với sóng gió thực tế lớn hơn). Do liên kết yếu giữa công trình và nền san hô nên khi công trình bị rung lắc mạnh sẽ tạo ra các lực động tác dụng lên vùng san hô bao quanh chân công trình, làm cho khu vực này bị biến dạng dẫn đến ma sát giữa các cọc và nền giảm đi, khe hở tiếp xúc rộng ra. Sự phát triển của khe hở tiếp xúc này sẽ làm cho ma sát tiếp xúc giảm, dao động của công trình tăng lên kéo theo lực động tác dụng lên vùng san hô bao quanh chân cọc cũng tăng theo. Kết quả là khe hở tiếp xúc lại càng rộng ra. Quá trình này nếu không được ngăn cản sẽ tiếp tục cho đến khi lực liên kết không còn thắng được các ngoại lực, dẫn tới hiện tượng cọc bị nhổ. Hình 1.10. Mô hình kết cấu Các nhà khoa học đã nghiên cứu lắp thiết bị TTNL dạng con lắc lò xo vào công trình thông qua hệ thống khớp cầu và cáp treo nhằm giảm dao động theo nhiều phương phù hợp với dao động rung lắc không gian của công trình DKI. Ngoài ra việc lắp thêm thiết bị cũng góp phần tăng trọng lực nhằm giảm bớt lực nhổ cọc. 11 1.3. Giới thiệu phương pháp Laplace Khi nghiên cứu các vấn đề cơ học, thông thường người ta phải tiến hành lập mô hình, viết phương trình chuyển động, thiết lập điều kiện đầu và điều kiện biên… Các phương trình thu được này thường là các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân hay phương trình dạng hỗn hợp vi tích phân… Phép biến đổi Laplace thay việc lấy đạo hàm và tích phân phức tạp bằng các phép toán đại số, hay nói khác đi, đưa phương trình vi phân và tích phân về phương trình đại số dễ giải hơn. Phép biến đổi Laplace có thể được xếp vào lớp các phương pháp nhằm đưa bài toán n chiều về bài toán (n - 1) chiều. Định nghĩa: Cho f ( t ) là hàm của t ≥ 0 , phép biến đổi Laplace (BĐL) được định nghĩa: L : f (t ) → F ( s ) (1.1) ∞ F ( s ) = ∫ e − st f ( t ) dt 0 Trong đó f ( t ) là hàm gốc, F ( s ) là hàm ảnh hưởng. Tính F ( s ) biết f ( t ) được gọi là tìm BĐL thuận. Ngược lại, biết F ( s ) tính f ( t ) gọi là tìm BĐL ngược. Người ta còn dùng ký hiệu: F ( s ) = L { f ( t )}, f ( t ) = L−1 {F ( s )} (1.2) Điều kiện để tồn tại BĐL là tích phân (1.1) tồn tại: Nếu: e − st f ( t ) < Ce − ( s − a )t , Re {s} > a Thì: ∃L { f ( t )} Nhận xét về phép BĐL: - BĐL được xây dựng từ phép tích phân và hàm e x . Hàm này có tính chất là không đổi đối với phép đạo hàm và tích phân: d x e = ∫ e x dx = e x dx x (1.3) 12 - Phép tích phân xét đến mọi giá trị của hàm f ( t ) , ở đây đã được xử lý bằng cách nhân với e − st ( e0 = 1, e −∞ = 0 ) cho thấy vai trò của f ( t ) không như nhau với ∀t . Khi t càng lớn thì giá trị của f ( t ) càng có ít vai trò hơn. Để việc BĐL trở nên dễ dàng hơn, người ta sử dụng bảng một số hàm điển hình và tính chất quan trọng như sau. Những bảng này được lấy từ [2]. STT f (t ) F (s) 1 δ (t ) 1 2 us ( t ) ≡ 1 1 s 3 t 1 s2 4 tn n! s n+1 5 e − at 1 s+a 6 te − at 7 1 t n−1e − at ( n − 1)! 8 1 − e − at a s(s + a) 9 e − at − e − bt b−a ( s + a )( s + b ) 10 be − bt − ae − at (b − a ) s ( s + a )( s + b ) 1 (s + a) 2 1 (s + a) n 11 sin at a s + a2 12 cos at s s + a2 2 2 13 f (t ) STT 13 e 14 e − at sin bt 15 1− e − at − at F (s) s+a cos bt (s + a) 2 + b2 2 + b2 b (s + a) a2 + b2 a    cos bt + sin bt  b   s ( s + a ) + b 2    2 16 cosh at s s − a2 17 sinh at a s − a2 2 2 Bảng 1.1. Một số hàm điển hình của phép biến đổi Laplace STT Hàm theo biến thời gian Biến đổi Laplace Tính chất 1 αf1 ( t ) + βf 2 ( t ) αF1 ( s ) + β F2 ( s ) Chồng chất 2 f ( t − T ) us ( t − T ) F ( s ) e − sT ; T ≥0 Thời gian trễ 1 s F  ; a a a>0 Tỷ lệ thời gian 3 f ( at ) 4 e − at f ( t ) F (s + a) Tần số dịch chuyển 5 df ( t ) dt sF ( s ) − f ( 0− ) Vi phân cấp 1 6 d 2 f (t ) dt 2 s 2 F ( s ) − sf ( 0− ) − f ( ) ( 0− ) 7 d n f (t ) dt n t 8 ∫ f ( ς )d ς 0 9 − f ( 0+ ) 1 s n F ( s ) − s n −1 f ( 0− ) − s n −2 f ( ) ( 0 ) − ... − f ( 1 n −1) ( 0) Vi phân cấp 2 Vi phân cấp n 1 F (s) s Tích phân lim sF ( s ) Định lý giá trị s →∞