Tài liệu Tính toán dao động xoắn của trục khuỷu động cơ đốt trong và hệ rôto móng máy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC TRẦN THỊ TRÂM TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG XOẮN CỦA TRỤC KHUỶU ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG VÀ HỆ RÔTO – MÓNG MÁY. LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI - 2005 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC TRẦN THỊ TRÂM TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG XOẮN CỦA TRỤC KHUỶU ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG VÀ HỆ RÔTO – MÓNG MÁY. Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60.44.21 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN ĐÌNH SƠN HÀ NỘI - 2005 2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………. 4 1.Tính cấp thiết của đề tài……………………...........………………….. 4 2. Mục đích của đề tài …………………………………………………. 4 3. Nội dung của đề tài, các vấn đề cần giải quyết .....………………….. 4 4. Phƣơng pháp nghiên cứu……………………….....………………… 5 5. Phạm vi nghiên cứu……………………………….…………………. 5 6. Bố cục của luận văn…………………………………………………. 5 Chương1 - TỔNG QUAN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT THAM SỐ BÉ………... 7 1.1.Tổng quan……………………………………………………………. 7 1.2. Cơ sở lý thuyết tham số bé………………………………………… 8 Chương 2 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ RÔTO-MÓNG MÁY ………………….. 2.1. Phƣơng trình dao động của hệ Rôto-móng máy.……………………. 14 14 2.1.1. Đặt vấn đề………………………………….………………. 14 2.1.2. Phƣơng trình vi phân dao động của hệ Rôto-móng máy…… 14 2.2. Dao động và ổn định của hệ Rôto-móng máy ….…………………… 20 2.2.1. Phƣơng trình biên độ- tần số trong các trƣờng hợp cộng hƣởng…………………………….………………………. 20 2.2.1.1. Trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ nhất………… 20 2.2.1.2. Trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ hai….……… 2.2.2. Khảo sát sự ổn định của nghiệm trong trƣờng hợp cộng 26 hƣởng…………………………………………………. 28 2.2.2.1. Sự ổn định của nghiệm trong trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ nhất……………………. 28 2.2.2.2. Khảo sát sự ổn định của nghiệm trong trƣờng hợp cộng hƣởng đơn thứ hai………….. 36 3 2.3. Tính toán với số liệu cụ thể…………………………………………. 38 Chương 3 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ KHỐI LƢỢNG THU GỌN BIẾN ĐỔI ... 45 3.1. Phƣơng trình dao động của hệ có khối lƣợng thu gọn biến đổi………………………………………………………………. 45 3.1.1. Đặt vấn đề………………………………………………….. 45 3.1.2. Thiết lập phƣơng trình dao động của hệ có khối lƣợng thu gọn biến đổi………………………………………... 45 3.2. Dao động và ổn định của hệ có khối lƣợ ng thu gọn biến đổi…………………………………………………………….. 52 3.2.1. Phƣơng trình biên độ – Tần số trong trƣờng hợp cộng hƣởng…………………………………………………. 52 3.2.2. Khảo sát sự ổn định của nghiệm trong trƣờng hợp cộng hƣởng…………………………………………….. 3.3. Tính toán với số liệu cụ thể…………………….…………………… 59 66 Chương 4 - DAO ĐỘNG XOẮN TRỤC KHUỶU CỦA ĐỘNG CƠ ĐỐT TRONG 74 4.1. Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động xoắn của trục khuỷu động cơ đốt trong……………………………………. 74 4.2. Mô phỏng số của Trục khuỷu động cơ đốt trong………………… 86 KẾT LUẬN…………………………………………………….……………. 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………….……………… 95 4 MỞ ĐẦU 1. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Ngày nay sự phát triển của khoa học cộng nghệ ngày càng tiên tiến, sự phát triển của ngành chế tạo máy, yêu cầu không ngừng nâng cao chất lượng của máy, trong đó một vấn đề quan trọng là nâng cao tốc độ và giảm trọng lượng của máy. Để bảo quản máy trong khi làm việc, chúng ta phải nghiên cứu chế độ hoạt động của máy để tìm cách khắc phục những sự cố mà do máy gây ra. Mô hình dao động xoắn của hệ truyền động là một trong những mô hình dao động gặp phổ biến trong cơ kỹ thuật. Hiện tượng dao động xoắn đã làm hư hại nhiều máy móc như tàu thuỷ, máy bay và các động cơ đốt trong c ủa các chi tiết may… điều này đã thúc đẩy các nhà khoa học phải nghiên cứu dao động của trục động cơ. Hiện tượng cộng hưởng là hiện tượng thường xẩy ra và có vai trò quan trọng trong các bài toán dao động máy. Do đó việc xác định các khả năng cộng hưởng là rất cần thiết để tìm cách khắc phục. Trong bản luận văn này đã xét các hiện tượng cộng hưởng xẩy ra trong mô hình Rôto-móng máy và dao động của hệ có khối lượng thu gọn biến đổi. Dựa vào các phương pháp tính toán dao động phi tuyến để nghiên cứu phương trình vi phân dao động của máy. Các kết quả đạt được có thể vận dụng vào thiết kế và vận hành máy. 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Mục đích của đề tài là thành lập phương trình vi phân dao động cho mô hình máy mà đề tài nghiên cứu, từ đó tính toán nghiệm, xét các trường hợp cộng hưởng và xét sự ổn định của nghiệm của phương trình vi phân dao động. 3. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI, CÁC VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT : - Xây dựng mô hình dao động như: +Phân tích mô hình máy +Lập hệ phương trình vi phân chuyển động - Tính toán nghiệm 5 - Xét các trường hợp cộng hưởng. - Xét điều kiện ổn định cho nghiệm của hệ dao động. - Mô phỏng số cho một số trường hợp. Các kết quả tính toán của nghiệm ta đưa giải quyết các vấn đề dao động trong máy như tăng tuổi thọ cho máy, hạn chế sự cộng hưở ng của máy. 4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Áp dụng phương pháp tham số bé , kết hợp với phương pháp số để khảo sát sự ổn định của nghiệm trong trường hợp cộng hưởng. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu dao động của hệ Rôto-Móng máy, thiết lập phương trình, xét các trường hợp cộng hưởng và sự ổn định của nghiệm trong trường hợp cộng hưởng. - Nghiên cứu dao động của hệ có khối lượng thu gọn biến đổi, thiết lập phương trình, xét các trường hợp cộng hưởng và sự ổn định của nghiệm trong trường hợp cộng hưởng. - Nghiên cứu dao động xoắn trục khuỷu của động cơ đốt trong, dùng chương trình máy tính để mô phỏng số. 6. B Ố CỤC CỦA LUẬN VĂN - Phần mở đầu - Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương - Tài liệu tham khảo -Phục lục Phần mở đầu: Nêu lên tính cấp thiết, mục đích, đối tượng , phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu của bài luận văn. Chương 1. Tổng quan và cơ sở lý thuyết tham số bé. Chương 2. Dao động của hệ Rôto-Móng máy Chương 3. Dao động của hệ có khối lượng thu gọn biến đổi Chương 4. Dao động xoắn trục khuỷu của động cơ đốt trong 6 Phần kết luận: Nêu lên các kết quả đã đạt được của luận văn và những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Trần Đình Sơn, người thầy đã tận tình hướng dẫn và gi úp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Viên Cơ học và Trung tâm hợp tác đào tạo và bồi dưỡng Cơ học Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Bộ môn Cơ lý thuyết trường đại học Mỏ Địa Chất Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong học tập và công tác để có điều kiện hoàn thành tốt luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và làm luận văn. 7 Chƣơng 1 TỔNG QUAN VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT THAM SỐ BÉ. 1.1.TỔNG QUAN Dao động xoắn của các máy động cơ là những bài toán đầu tiên được nghiên cứu trong lĩnh vực động lực học máy. Trong khi nghiên cứu dao động xoắn của hệ truyền động, nhiều tác giả đã sử dụng giả thiết đơn giản hoá một cách lý tưởng, xem mô men quán tính của các khối lượng thu gọn là các hằng số, các đại lượng cản tỷ lệ bấc nhất với vận tốc, còn lực đàn hồi là tuyến tính. Từ đó dẫn đến bài toán dao động xoắn tuyến tính, mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:     M0q B0q C0q f t (1.1) Việc tính toán dao động xoắn tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân (1.1) được trình bày chi tiết trong các sách giáo khoa và sách chuyên khảo về động lực học máy [2, 3, 8, 11]. Trong các bài toán thực tế, các mô men quán tính thu gọn là các hàm tuyến tính củ a góc quay. ở trạng thái chuyển động bình ổn của máy, các hàm này là các hàm tuần hoàn. Khi đó, trong phạm vi lý thuyết tuyến tính, dao động xoắn của các hệ truyền động mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn: (1.2) 8 Việc sử dụng phương pháp số tính toán dao động của các hệ truyền động mô tả bởi phương trình (1.2) đã được đề cập đến trong các công trình của NguyễnVăn Khang, Trần Đình Sơn và Vũ Văn Khiêm [4,9,10]. Các mô hình dao động xoắn phi tuyến của các hệ truyền động là bài toán khá phức tạp . Trong một số tài liệu, người ta xét đến bài toán dao động xoắn phi tuyến yếu:         (1.3) M0q B0q C0q h t f t , q, q , q với các hệ một, hai bậc tự do [1,11,13]. Trong luận văn này, sẽ đi sâu nghiên cứu bài toán dao động xoắn phi tuyến của các hệ truyền động, nhằm góp phần xác định các hiệu ứng động lực học của cơ cấu và máy. 1.2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT THAM SỐ B É Xác định dao động và ổn định của hệ có số hạng quán tính bằng phƣơng pháp tham số bé Trong quá trình nghiên cứu, ta hay gặp phương trình vi phân dạng: qi q i i Fi t, qk , qk , qk hi t trong đó hi t là hàm tuần hoàn theo tuần hoàn theo chu kỳ 2 , còn i 1, N (1.4) chu kỳ 2 , Fi là hàm giải tích của qk , qk , qk và là tham số dương nhỏ. Theo [6] ta gọi các phương trình vi phân (1.4) là phương trình vi phân có số hạng quán tính phi t uyến. Sau đây ta áp dụng phương pháp tham số bé để tìm nghiệm tuần hoàn của phương trình (1.4) trong trường hợp cộng hưởng đơn và khảo sát sự ổn định của chúng. Ta xét trường hợp cộng hưởng đơn, tức là chỉ có một tham số i xấp xỉ bằng bình phương của một số tự nhiên nào đó: r n2 , i l2 i r; n, l 1,2,3,... Để xét các tần số ở lân cận tần số cộng hưởng ta đưa vào các tham số bé r r r n2 1 (1.5) [6]. (1.6) (1.7) 9 Ngoài ra ta đặt i i r i (1.8) Khi đó phương trình (1.1) trở thành: qi q hi t i i r i Fi i r i t, qk , qk , qk (1.9) (1.10) qr Giả sử khai triển Fourier của hàm hi t như sau: hi t (i=1,2,…,N) hij cos jt Hij sin jt (1.11) j 0 Trong trường hợp không cộng hưởng, dễ dàng tính được nghiệm xấp xỉ bậc không có dạng: hij cos jt Hij sin jt qi 0 j 0 (1.12) j2 i Trong trường hợp cộng hưởng đơn, nghiệm xấp xỉ bậc không có dạng: r i qi 0 R cos n rn ij S sin n j 0 hij cos jt Hij sin jt j2 i (1.13) Trong đó rn ij 1 0 i r, j n i r, j n (1.14) Các tham số R, S trong (1.13) được xác định từ các phương trình sau [6]: 2 2 r cos(nt )dt 0 r sin(nt )dt 0 (1.15) 0 Để nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tuần hoàn trong trường hợp cộng hưởng đơn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau đây: Zi N i Zi j 1 uij t Z j vij t Zij wij t Zj (i=1,2,…,N) (1.16) 10 trong đó i là hằng số thực, uij t , vij t , wij t là các hàm thực liên tục, tuần hoàn theo t với chu kỳ 2 . Khai triển Fourier của các hàm uij t , vij t , wij t có dạng : uij uij 0 2 uij cos t Uij sin t 1 vij vij 0 2 (1.17) vij cos t Vij sin t 1 wij wij 0 2 wij cos t Wij sin t 1 Theo định lý Floquet [14], hệ phương trình (1.16) có nghiệm dạng: e t qi t Zi t i 1,2,..., N (1.18) trong đó qi t là các hàm tuần hoàn chu kỳ 2 , còn là số mũ đặc trưng. Thế (1.18) vào (1.16) , ta được hệ phương trình sau: qi t q t i i i i 1,2,..., N (1.19) trong đó : N uij t i vij t 2 i j wij t 2 qi j 1 N vij t 2 wij t i j 2 qi j 1 N (1.20) wij t qi j 1 Để xác định nghiệm của hệ phương trình (1.19) ta sử dụng phương pháp tham số bé. Trong trường hợp không cộng hưởng i n2 các nghiệm gần đúng bậc không của hệ (1.19) đều triệt tiêu. Trong trường hợp cộng hưởng đơn r n2 , i l 2 i r, l 1,2,3,... (1.21) Ta tìm nghiệm xấp xỉ bậc không của hệ (1.19) dưới dạng: qi r i R cos nt S sin nt chú ý đến (1.15) ta nhận được phương trình biên độ: (1.22) 11 urr 0 vrr 0 ( urr 2n 2 n2 )wrr 0 vrr 2n ( 2 R S n2 )wrr 2n nVrr 2n 2n Wrr 2n S n vrr 0 2 wrr 0 2 Urr 2n R S 2 R 2 Vrr 2n ( S R n2 )Wrr 2n nvrr 2n 2n wrr 2n 0 Từ điều kiện để cho R, S không đồng thời triệt tiêu, ta có: urr 0 vrr 0 ( urr 2n 2 n2 )wrr 0 vrr 2n ( 2 (1.23) 2 n vrr 0 2 wrr 0 2 Vrr 2n ( 2 n2 )wrr 2n nVrr 2n 2n Wrr 2n 2 Urr 2n 2 2 2 n2 )Wrr 2n nvrr 2n 2n wrr 2n Ta giả thiết các hệ số Fourier trong (1.17) và số mũ đặc trưng 2 0 là các hằng số nhỏ. Do đó từ (1.23) bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao ta nhận được phương trình: 2n nvrr 0 urr 2n nVrr 2n n2 wrr 2n 2 Urr 2n nvrr 2n n2Wrr 2n 2 urr 0 n2 wrr 0 2 Từ đó suy ra các điều kiện để hệ phương trình vi phân (1.16) ổn định tiệm cận là: vrr 0 0 n2v2rr 0 (1.24) urr 2n nVrr 2n n2 wrr 2n 2 urr 0 n wrr 0 2 2 Urr 2n nvrr 2n n2Wrr 2n 2 (1.25) Ngược lại, nếu một trong các điều kiện trên lấy dấu ngược lại thì hệ sẽ không ổn định. Để thiết lập hệ xấp xỉ thứ nhất của phương trình biến phân của phương trình dao động (1.9) ta làm như sau: Đặt: Zi qi qi 0 i 1,2,..., N (1.26) 12 Thế (1.26) vào (1.9), ta được: Zi vì i i Zi i t, qk , qk , qk t, qk 0 , qk 0 , qk 0 i (1.27) là các hàm giải tích của qk , qk , qk nên ta có thể khai triển thành chuỗi Taylor tại điểm ( qk 0 , qk 0 , qk 0 ) như sau: i t, qk , qk , qk i N t, qk 0 , qk 0 , qk 0 i N j 1 Ở đây kí hiệu 0 q j 0 N q j q j 0 i qj qj0 qj j 1 qj qj 0 i qj j 1 0 ... (1.28) 0 sau dấu đạo hàm là chỉ đạo hàm được lấy tại điểm ( qk 0 , qk 0 , qk 0 ). Những số hạng trong (1.28) không được viết ra là những số hạng chứa q j q j 0 , q j q j 0 , qj qj 0 từ bậc hai trở lên. Thay i từ (1.28) vào vế phải của (1.27) và chú ý đến (1.26), ta có: N Zi N i i Zi j 1 qj j 1 0 Z j i Zj q j N j 1 0 Zj i qj * i (1.29) 0 (i=1,2,…,N) trong đó * i là những hàm chứa số hạng bậc cao hơn một của Z j , Z j , Zj (i 1,2,..., N ) Vậy xấp xỉ bậc nhất của phương trình biến phân của phương trình dao động (1.9) là: Zi N N i i Zi j 1 hay Zi N i Zi j 1 qj 0 Z j i Zj j 1 q j 0 uij t Z j vij t Z j wij t Zj N Zj (1.30) (i=1,2,…,N) (1.31) i j 1 qj 0 13 So sánh (1.30) và (1.31), ta được: uij i qj , vij 0 i q j , wij 0 (i,j=1,2,…,N) (1.32) i qj 0 Xuất phát từ điều kiện ổn định và các hệ thức (1.32) ta nhận thấy rằng ở xấp xỉ bậc không, sự ổn định của hệ (1.9) chỉ phụ thuộc vào r . 14 Chƣơng 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ RÔTO-MÓNG MÁY 2.1. PHƢƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA HỆ RÔTO -MÓNG MÁY 2.1.1. Đặt vấn đề Hiện tượng cộng hưởng có một vai trò quan trọng trong tính toán và vận hành các máy. Khi tính đến các yếu tố phi tuyến, trong hệ sẽ xuất hiện nhiều khả năng cộng hưởng. Trong chương này, sẽ thết lập các phương trình vi phân phi tuyến của một mô hình Rôto- móng máy. áp dụng phương pháp tham số bé[6] để tìm ra các khả năng cộng hưởng của hệ , tính toán các dao động cộng hưởng và sự ổn định của chúng. Mặt khác tiến hành mô phỏng số nhờ hệ chương trình Maple9 . So sánh các kết quả giải tích với các kết quả mô phỏng số. 2.1.2. Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động của hệ Rôto- móng máy Ta xét hệ Rôto-móng máy được mô tả như hình vẽ 1 C C 1 1 m 1,J, j 1 3 e Mô tơ j b1 a m2 C C 2 1 2 3 m2 b2 C C 2 1 y b2 2 3 Hình 2.1 Hệ Rôto-móng máy Chọn hệ tọa độ suy rộng là: 15 q1 q2 q3 y Toạ độ trọng tâm của vật 1 là: x1 e cos y1 y a e sin (2.1) Tọa độ trọng tâm của vật 2 là: x2 0 y2 y (2.2) Mô tơ quay với góc quay là , mô tơ có mô men quán tính đối với trục quay là J 0 . Động năng của vật 1: T1 Trong đó v12 1 2 J 2 1 2 J 2 1 m v2 2 11 1 m y 2 e2  2 2e  y cos 2 1 x12 y12 y 2 e2  2 2e  y cos Động năng của vật 2: T2 1 m2v22 2 1 m2 y 2 2 Động năng của môtơ: T0 1 J 2 2 0 Vậy ta có động năng của cả hệ là: T T0 T1 T2 1 m1 m2 y 2 2 J m1e2  2 2em1 cos  y J 0  2 (2.3) 16 Giả sử rằng, hệ có hai hệ số cản nhớt là b1 , b2 và hai lò xo giảm chấn phi tuyến có thế năng là: 1 2 1 1 2 c11 c 2 4 13 1 1 c21 y 2 c23 y 4 2 2 4 Vậy thế năng của cả hệ là: 1 c 2 11 1 c 4 13 2 4 1 1 c21 y2 c23 y4 m1g a e sin 2 2 (2.4) Hàm hao tán của hệ là: R 1 b 2 1 1 2 b y 2 2 2 (2.5) áp dụng phương trình Lagrange II như sau: d dt T qi T qi Qi qi R qi (2.6) trong đó Qi là lực suy rộng không có thế ứng với toạ độ suy rộng là qi . Từ (2.6), ta viết lại thành ba phương trình như sau: d dt T  T d dt T  T d dt T y T y R  Q1 (2.7) Q2 R  (2.8) Q3 R y (2.9) y Trong đó T  J0  d dt T  J 0 , T 0, Q1 M 0 17 c11 3 c13 T m1ey  sin T  J m1e2  em1 cos y d dt T  R  b1   J m1e2  em1 cos  y m1ey  sin c11 3 c13 R b    1 Q2 0 T m1 m2 y m1e cos y d T dt y T 0 y , m1ge cos  m1 m2  y m1e cos  m1e  2 sin c21 y c23 y3 y R b2 y y Q3 0 Thay các kết quả trên vào (2.7), (2.8), (2.9), ta được hệ phương trình sau: J 0  c11 c13 3 b1  J m1e2  m1e cos  y c11 m1 m2  y m1e cos  m1e sin  c13 M0 3 b1   m1g cos  2 c21 y c23 y3 b2 y 0 Vậy (2.10) là hệ phương trình vi phân dao động của hệ rôto- móng máy. Trong đó  ,  , y là đạo hàm của các hàm , , y theo (t). Dưới đây ta xét bài toán ứng với mô tơ quay đều t ( const ). 0 (2.10) 18 Ta đặt: q1 q2 t (2.11) y Thế (2.10) vào (2.11), ta được: c11q1 c13q13 b1q1 M 0 0 J m1e q1 c11q1 b1q1 m1e cos t q1 g q2 m1 m2 q2 c21q2 b2q2 m1e cos t q1 q1 m1e q1 2 c13q13 2 sin t q1 c23q23 (2.12) Ta thấy phương trình thứ nhất của (2.12) cho phép ta xác định momen M 0 cần tác dụng vào môtơ để cho môtơ quay đều. Ta khai triển sin sin cos t q1 t q1 sin cos t q1 , cos t q1 cos t q1 sin t t t q1 quanh vị trí 1 2 q sin t 2 1 1 2 q cos t 2 1 t như sau: 1 3 q cos 6 1 1 3 q sin 6 1 t  (2.13) t  Thay (2.13) vào (2.12), ta được: c11 q1 m1e2 J 1 m1egq12 cos t 2 m1e J 1 1 1 m1egq13 sin t ) (m1eq2 cos t m1eq2 q1 sin t m1eq2 q12 cos t m1eq2 q13 sin t ) 6 2 6 3 c13 q1 ] q1 1 2 [ b1q1 (m1eg cos t m1egq1 sin t (2.14) 19 q2 c21 q m1 m2 2 1 m1 m2 [ b2q2 (m1eq1 cos t m1eq1q1 sin t 1 m1e 2q13 cos t ) 6 1 2 (2m1e q1 sin t 2m1e q1q1 cos t m1e q1q1 sin t m1e q1q13 cos t ) 3 1 1 (m1eq12 sin t m1eq12q1 cos t m eq 2q2 sin t m e q 2q3 cos t ) c23q23 ] 2 1 1 1 6 1 1 1 (m1e 2 sin t m1e 2 1 me 2 1 1 1 m1eq1q12 cos t m1eq1q13 sin t ) 2 6 q1 cos t 2 2 1 q sin t (2.15) Ta bỏ qua số hạng phi tuyến bậc 3 trở lên và đặt: 2 1 c11 , m1e2 J c21 m1 m2 2 2 Khi đó (2.14) và (2.15) trở thành: q1 2 1 1 q m1eg cos t m1e2 J 1 m1e 2 J ( b1q1 m1egq1 sin t m1eq2 cos t 1 1 m1egq12 cos t m1eq2 q1 sin t m egq3 sin t 2 6 1 1 (2.16) 1 m eq q2 cos t c13 q13 ) 2 1 2 1 (2.17) Để khảo sát hệ phương trình vi phân chuyển động (2.16), (2.17) bằng phương pháp tham số bé, ta đưa vào biến thời gian không thứ nguyên t (m là số tự m nhiên nào đó). Như vậy việc tìm nghiệm tuần hoàn theo t chu kỳ tìm nghiệm của nó tuần hoàn theo 2 của (2.16), (2.17), ta đưa về việc chu kỳ 2 . Khi đó: qi dqi d d dt 2 m qi , Thay (2.18) vào (2.16) và (2.17), ta được: qi m2 qi (2.18)