Tài liệu Tính toán cấu trúc vùng cấm quang của các tinh thể quang tử hai chiều 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN CÔNG NGHỆ NANO Đề tài: TÍNH TOÁN CẤU TRÚC VÙNG CẤM QUANG CỦA CÁC TINH THỂ QUANG TỬ HAI CHIỀU Giảng viên hướng dẫn TS. Nguyễn Việt Hưng ThS. Nguyễn Bích Huyền Nhóm sinh viên thực hiện Nhóm 2 Hà Nội, 12-2019 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................................... 1 PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC TRONG NHÓM........................................................................... 2 CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CẤU TRÚC ĐIỆN MÔI HAI CHIỀU ......................................................................................................................... 3 CHƯƠNG II: TÍNH CHẤT CỦA CÁC MODE TE VÀ TM .................................................... 9 2.1 Mode TM ......................................................................................................................................... 10 2.2 Mode TE .......................................................................................................................................... 12 CHƯƠNG III: TRÌNH BÀY CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN SÓNG PHẲNG (PLANE WAVE EXPANSION METHOD) ................................................. 14 3.1 Giới thiệu về tinh thể quang tử ...................................................................................................... 14 3.2 Tinh thể photonic band gap (PBG)................................................................................................ 15 3.3 Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử ................................. 16 3.4 Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)....................................... 17 CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG BẰNG PHẦN MỀM OPTIFDTD ............................................ 21 4.1 Thiết kế ............................................................................................................................................ 21 4.2 Phân tích vùng cấm quang ............................................................................................................. 23 CHƯƠNG V: KẾT LUẬN ......................................................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................................... 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LỜI NÓI ĐẦU Khoa học công nghệ trên thế giới đang phát triển một cách nhanh chóng nhất là các nước đang phát triển như Mỹ, Nhật Bản... Sự phát triển của khoa học công nghệ đã đem lại những diện mạo mới cho cuộc sống con người và công nghệ điện tử viễn thông. Hiện nay trên thế giới đang hình thành một ngành khoa học và công nghệ mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học công nghệ, kĩ thuật cũng như đời sống kinh tế xã hội của thế kỉ XXI - đó chính là công nghệ nano. Với công nghệ nano cho phép chúng ta có thêm những ý tưởng mới trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội. Trong công nghệ nano việc nghiên cứu về tinh thể quang tử và vùng cấn quang của tính thể quang tử là việc vô cùng quan trọng. Chính vì lí do đó trong bản báo cáo này chúng em xin trình bày nội dung nghiên cứu về đề tài: "Tính toán cấu trúc vùng cấm quang của các tinh thể quang tử hai chiều". Đề tài gồm những nội dung sau: Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều. Chương II: Tính chất của các mode TE và TM. Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính toán vùng cấm quang tử. Chương IV: Mô phỏng lí thuyết trên phần mềm optiFDTD. Chương V: Kết luận. Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 1 https://fb.com/tailieudientucntt PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC TRONG NHÓM Họ tên Lớp MSSV Công việc Nguyễn Văn Trọng Điện tử 06- K60 20153946 Mô phỏng và làm báo cáo Đàm Văn Cường Điện tử 10- K60 20150477 Mô phỏng và làm báo cáo Nguyễn Đức Quang Điện tử 01- K60 20152960 Chương II Bùi Đăng Quang Điện tử 09- K60 20152936 Chương III Nguyễn Văn Quyết Điện tử 01- K60 20153074 Chương I Chrat Sambath Điên tử 01- K60 20154462 Chương I Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 2 https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CẤU TRÚC ĐIỆN MÔI HAI CHIỀU Hệ phương trình Maxwell là một tập các phương trình vi phân cơ sở cho điện động lực học cổ điển, quang học cổ điển và lý thuyết mạch điện - những lĩnh vực đặt nền móng cho các công nghệ hiện đại. Hệ phương trình Maxwell mô tả mối quan hệ tác động qua lại lẫn nhau giữa điện trường và từ trường. Hệ phương trình Maxwell được tổng hợp từ định luật Gauss cho điện trường và từ trường, định luật Ampere và định luật Faraday: 𝛻 ∙ 𝐵 = 0 (1.1) 𝛻∙𝐷 =𝜌 𝛻×𝐸+ 𝜕𝐵 𝛻×𝐻− (1.2) 𝜕𝑡 =0 𝜕𝐷 𝜕𝑡 (1.3) = 𝐽 (1.4) Các đại lượng được bôi đậm đều là những đại lượng vector, các đại lượng in nghiêng là các đại lượng vô hướng. Bảng 1.1 Bảng khái niệm các đại lượng trong các phương trình: Kí hiệu Ý nghĩa Đơn vị trong hệ SI E Cường độ điện trường Volt / mét H Cường độ từ trường Ampere / mét D Độ điện dịch coulomb / mét vuông B Vector cảm ứng từ tesla,weber / mét vuông 𝜌 Mật độ điện tích coulomb / mét khối J Mật độ dòng điện Ampere / mét vuông 𝛻. Toán tử 𝑑𝑖𝑣, tính suất tiêu tán Trên mét Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 3 https://fb.com/tailieudientucntt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , tính độ xoáy cuộn của Toán tử 𝑟𝑜𝑡 𝛻× Trên mét trường vector Trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều, các toán tử trên có thể được biểu diễn như sau: Nếu gọi A là một trường vector, trong không gian 3 chiều trường vector này có thể được biểu diễn dưới dạng 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑥̂ + 𝐴𝑦 𝑦̂ + 𝐴𝑧 𝑧̂ với 𝑥̂, 𝑦̂, 𝑧̂ lần lượt là các vector đơn vị của hệ trục tọa độ tham chiếu 𝛻∙𝐴= 𝛻×𝐴 =( 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑥 + ) 𝑥̂ + ( 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑧 − + 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝑥 ) 𝑦̂ + ( (1.5) 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝑦 ) 𝑧̂ (1.6) Giả sử trong một môi trường chỉ bao gồm các tấm điện môi đồng nhất thay đổi theo vị trí phụ thuộc vào vector vị trí r (r là vector nối vị trí trục tọa độ tham chiếu với điểm đang xét). Vì trong môi trường này không có nguồn nên ta có thể thay 𝜌 = 0, 𝐽 = 0 vào hệ phương trình Maxwell. Hình 1.1 Vùng chứa các điện môi đồng nhất hỗn hợp, không có dòng và hạt mang điện Ở đây ta giả sử 3 điều sau: Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 4 https://fb.com/tailieudientucntt • Vật liệu trên là vĩ mô và đồng nhất, vì vậy 𝐸 (𝑟, 𝜔) và 𝐷 (𝑟, 𝜔) liên hệ với nhau qua 𝜀0 nhân với một hàm điện môi vô hướng 𝜀(𝑟, 𝜔) (còn được gọi là hằng số điện môi tương đối). • Bỏ qua phụ thuộc của hằng số điện môi tương đối vào tần số (bỏ qua tán sắc vật liệu) , vì vậy 𝜀(𝑟, 𝜔) = 𝜀(𝑟). • Ta chỉ tập trung vào các vật liệu trong suốt, vì vậy 𝜀 (𝑟) luôn là số dương thực. Vậy ta có mối quan hệ giữa B và H, D và E như sau: 𝐷 (𝑟) = 𝜀0 𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟) (1.7) 𝐵(𝑟) = 𝜇0 𝜇 (𝑟)𝐻 (𝑟) (1.8) (với 𝜇0 = 4𝜋. 10−7 Henry/met) Tuy nhiên, trong các vật liệu điện môi đề cập sắp tới, 𝜇(𝑟) có thể được coi như xấp xỉ bằng 1. Khi đó chiết suất 𝑛 = √𝜀𝜇 (Định luật Snell). Với các giả thiết trên, hệ phương trình Maxwell trở thành: 𝛻 ∙ 𝐻 (𝑟, 𝑡 ) = 0 (1.9) 𝛻 ∙ [𝜀(𝑟)𝐸 (𝑟, 𝑡 )] = 0 (1.10) 𝛻 × 𝐸 (𝑟, 𝑡 ) + 𝜇0 𝜕𝐻(𝑟,𝑡) 𝜕𝑡 𝛻 × 𝐻 (𝑟, 𝑡 ) − 𝜀0 𝜀 (𝑟) = 0 (1.11) 𝜕𝐸(𝑟,𝑡) 𝜕𝑡 = 0 (1.12) Nhìn chung, cả E và H đều là các hàm phức tạp của cả không gian và thời gian. Tuy nhiên, vì hệ phương trình Maxwell có tính chất tuyến tính do bản thân các toán tử ∇ ∙ , 𝛻 × cũng có tính chất tuyến tính: 𝛻 ∙ (𝐵1 + 𝐵2 ) = 𝛻 ∙ 𝐵1 + 𝛻 ∙ 𝐵2 (1.13) 𝛻 × (𝐵1 + 𝐵2 ) = 𝛻 × 𝐵1 + 𝛻 × 𝐵2 (1.14) Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 5 https://fb.com/tailieudientucntt Nghĩa là nếu 𝐵1 và 𝐵2 thỏa mãn hệ phương trình Maxwell thì tổng của chúng cũng vậy, và ta có thể dựa vào nguyên lý xếp chồng để xây dựng nên trường phức tạp bằng cách xây dựng các trường đơn giản. Dựa trên tính chất này ta có thể biểu diễn E và H bằng cách khai triển trường thành một tập các mode điều hòa (harmonic modes – thường được gọi đơn giản là các mode). Các nghiệm của phương trình, hay nói cách khác là các mode có thể được viết dưới dạng sau, với H(r) là một cấu trúc không gian (còn được gọi là "mode profile"). Phần thực của mode chính là trường vật lý tương ứng: 𝐻 (𝑟, 𝑡 ) = 𝐻 (𝑟). 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 (1.15) 𝐸 (𝑟, 𝑡 ) = 𝐸 (𝑟). 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 (1.16) Thay giả thiết này vào 2 công thức 𝛻 ∙ của hệ phương trình Maxwell ta có: 𝛻 ∙ 𝐻 (𝑟 ) = 0 (1.17) 𝛻 ∙ [𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟)] = 0 (1.18) Để có được hai đẳng thức trên, ta cần có điều kiện là trường phải được tạo nên từ các sóng ngang. Nếu chúng ta có một sóng phẳng (sóng có mặt đồng pha là các mặt phẳng) 𝐻 (𝑟) = 𝑎. 𝑒 −𝑖𝑘.𝑟 với k là một vector sóng (vector mô tả sóng) nào đó thì: 𝛻 ∙ 𝐻 (𝑟) = 𝛻 ∙ [𝑎. 𝑒 −𝑖𝑘.𝑟 ] = −𝑖. 𝑘. 𝑎 = 0 (1.19) tức là 𝑘. 𝑎 = 0. 2 công thức liên quan đến 𝛻 × trong hệ phương trình Maxwell với các điều kiện điều hòa đã nêu ở trên sẽ dẫn đến: 𝛻 × 𝐸 (𝑟) − 𝑖𝜔𝜇0 𝐻(𝑟) = 0 𝛻 × 𝐻 (𝑟) + 𝑖𝜔𝜀0 𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟) = 0 Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com (1.20) Page 6 https://fb.com/tailieudientucntt Thế phương trình trên vào phương trình dưới, thay vận tốc ánh sáng trong chân không là 𝑐 = 1/√𝜀0 𝜇0 ta có: 𝛻×( 1 𝜀(𝑟) 𝜔 2 𝛻 × 𝐻 (𝑟 ) ) = ( ) 𝐻 (𝑟 ) (1.21) 𝑐 Phương trình trên được gọi là phương trình Master, cùng với phương trình (1.20), nó cho ta biết mọi thứ cần thiết về H(r). Với mỗi cấu trúc 𝜀 (𝑟) biết trước, chúng ta sẽ giải phương trình Master, tìm ra các mode 𝐻 (𝑟) thỏa mãn điều kiện sóng ngang và các tần số tương ứng của chúng. Sau đó sử dụng công thức thứ 2 của (1.20) để suy ra E(r): 𝐸 (𝑟 ) = 𝑖 𝛻 × 𝐻 (𝑟 ) 𝜔𝜀0 𝜀 (𝑟) (1.22) Cách làm này cũng đảm bảo tính ngang của 𝐸 (𝑟), hay nói cách khác là đảm bảo 𝛻 ∙ 𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟) = 0 vì 𝛻 ∙ (𝛻 ×) = 0, ngoài ra chúng ta cũng có thể tìm H từ E thông qua công thức thứ nhất của (1.20) 𝐻(𝑟) = −𝑖 𝛻 × 𝐸 (𝑟 ) 𝜔𝜇0 (1.23) Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 7 https://fb.com/tailieudientucntt Hình 1.2 Mô hình tinh thể hai chiều mạng hình vuông Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 8 https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG II: TÍNH CHẤT CỦA CÁC MODE TE VÀ TM Ta có phương trình cách một sóng đi vào ống dẫn sóng (chất điện môi): E(x,y,z) = 𝐸 0 (x,y)𝑒 −𝛾𝑧 H(x,y,z) = 𝐻 0 (x,y)𝑒 −𝛾𝑧 Theo định luật của Ampere và Faraday cho vùng sóng tự do: ∇ x H = j𝜔𝜀E ∇ x E = -j𝜔𝜇H Biến đổi theo 3 chiều x,y,z ta có các phương trình: 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑥 + 𝛾𝐸𝑦 = -j𝜔𝜇𝐻𝑥 (2.1) + 𝛾𝐸𝑥 = j𝜔𝜇𝐻𝑦 (2.2) - 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑦 = -j𝜔𝜇𝐻𝑧 (2.3) + 𝛾𝐻𝑦 = j𝜔𝜀𝐸𝑥 (2.4) + 𝛾𝐻𝑥 = -j𝜔𝜀𝐸𝑦 (2.5) - 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝑦 = j𝜔𝜀𝐸𝑧 (2.6) Chúng ta có thể kết hợp (2.1) với (2.5) và (2.2) với (2.4) để ra được phương trình cho 𝐻𝑥 và 𝐸𝑥 để được như phương trình (2.7) và (2.9). Chúng ta cũng có thể biến đổi phương trình (2.3) và (2.6) để có phương trình của 𝐻𝑦 và 𝐸𝑦 như phương trình (2.8) và (2.10). 𝐻𝑥 = −𝛾 𝜕𝐻𝑧 ℎ 2 𝜕𝑥 + 𝑗𝜔𝜀 𝜕𝐸𝑧 ℎ 2 𝜕𝑦 (2.7) Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 9 https://fb.com/tailieudientucntt −𝛾 𝜕𝐻𝑧 𝐻𝑦 = 𝐸𝑥 = 𝐸𝑦 = −𝛾 𝜕𝐸𝑧 ℎ 2 𝜕𝑥 −𝛾 𝜕𝐸𝑧 ℎ 2 𝜕𝑦 𝑗𝜔𝜀 𝜕𝐸𝑧 - ℎ 2 𝜕𝑥 + (2.8) ℎ 2 𝜕𝑥 𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧 (2.9) ℎ 2 𝜕𝑦 𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧 (2.10) ℎ 2 𝜕𝑥 Trong đó ℎ2 = 𝛾 2 + 𝛽2 khi 𝛽= 𝜔√𝜇𝜀. Các thành phần ngang 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 , được mô tả trong các điều kiện của thành phần dọc 𝐸𝑧 và 𝐻𝑧 . Và từ đó chúng ta có 3 trường hợp sau: • Mode điện ngang TE(Transverse Electric): khi 𝐸𝑧 = 0 và 𝐻𝑧 ≠ 0. • Mode từ ngang TM (Transverse Magnetic): khi 𝐸𝑧 ≠ 0 và 𝐻𝑧 = 0. • Mode điện từ ngang TEM(Transverse Electromagnetic): khi 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0 2.1 Mode TM Điện trường theo chiều dọc của các chế độ TM trong hình chữ nhật ống dẫn sóng phải thỏa mãn phương trình sóng: ∇2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 + 𝑘 2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 = 0 (2.11) trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là: 𝜕2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 𝜕𝑥 2 + 𝜕2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 𝜕𝑦 2 + 𝜕2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 𝜕𝑧 2 + 𝑘 2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 = 0 (2.12) Các chức năng điện trường có thể được xác định bằng cách sử dụng kỹ thuật phân tách các biến bằng cách giả sử một giải pháp của các hình thức: 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 = X(x) Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.13) Chèn các giải pháp giả định vào các phương trình vi phân cho Y(y) 𝑑2 𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + X(x) 𝑑2 𝑌(𝑦) 𝑑𝑦 2 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + (𝑘 2 − 𝛽2 )X(x)Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 0 Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 10 https://fb.com/tailieudientucntt Y(y) 1 𝑑2 𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑋(𝑥) 𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + 1 𝑑2 𝑌(𝑦) 𝑌(𝑦) 𝑑𝑦 2 X(x) 𝑑2 𝑌(𝑦) 𝑑𝑦 2 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + ℎ2 X(x)Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 0 + ℎ2 = 0 (2.14) Kết quả là điện trường theo chiều dọc cho một ống dẫn sóng hình chữ nhật TM mode 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,y,z) = (Asin𝑘𝑥 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝑥)(Csin𝑘𝑦 𝑦 + 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.15) Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là: 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (0,y,z) = 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (a,y,z) = 0 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,0,z) = 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,b,z) = 0 (2.16) Áp dụng các điều kiện trên có 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (0,y,z) = 0 → B = 0 𝑚𝜋 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (a,y,z) = 0 → 𝑘𝑥 a = m𝜋 (m= 1,2,3..) → 𝑘𝑥 = 𝑎 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,0,z) = 0 → D = 0 𝑛𝜋 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,b,z) = 0 → 𝑘𝑦 b = n𝜋 (n =1,2,3..) → 𝑘𝑦 = 𝑏 (2.17) Với A và C được coi như là hằng số. Các TM mode rời rạc là vô hạn phụ thuộc vào các giá trị của m và n. Một TM mode được kí hiệu là TM mn mode. 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 −𝑗𝛽𝑧 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,y,z) = 𝐸0 sin sin 𝑒 𝑎 𝑏 (2.18) (m= 1,2,3,...) (n= 1,2,3,...) Các thành phần trường ngang của TM mn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình : Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 11 https://fb.com/tailieudientucntt ̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛 −𝑗𝛽 𝜕𝐸 𝑇𝑀 𝐸̃𝑥 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 𝑧 ℎ 𝜕𝑥 = ̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛 −𝑗𝛽 𝜕𝐸 𝑇𝑀 𝐸̃𝑦 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 𝑧 ℎ 𝜕𝑦 ̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛 𝜕𝐸𝑧 ̃𝑥𝑇𝑀𝑚𝑛 (x,y,z) = 𝑗𝜔𝜀 𝐻 2 ℎ 𝜕𝑦 = ℎ2 ̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛 𝜕𝑥 ( 𝑎 𝑚𝜋𝑥 )𝐸0 cos −𝑗𝛽 𝑛𝜋 ℎ2 ℎ2 = 𝑏 𝑎 𝑚𝜋𝑥 ( )𝐸0 sin 𝑏 −𝑗𝜔𝜀 𝑚𝜋 ℎ2 ( 𝑎 𝑚𝜋𝑥 ( )𝐸0 sin 𝑗𝜔𝜀 𝑛𝜋 = 𝜕𝐸𝑧 ̃𝑦𝑇𝑀𝑚𝑛 (x,y,z) = −𝑗𝜔𝜀 𝐻 2 ℎ −𝑗𝛽 𝑚𝜋 𝑎 𝑎 )𝐸0 cos sin cos cos 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 sin 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.19) Với 2 − 𝑘 2 = √(𝑘 2 + 𝑘 2 ) − 𝑘 2 𝛾𝑚𝑛 = √ℎ𝑚𝑛 𝑥 𝑦 ℎ𝑚𝑛 = √𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 = √( 𝛾𝑚𝑛 = √( 𝑚𝜋 2 ) 𝑎 𝑚𝜋 2 ) 𝑎 𝑛𝜋 + ( )2 𝑏 𝑛𝜋 + ( )2 − 𝑘 2 = √( 𝑏 𝑚𝜋 2 ) 𝑎 𝑛𝜋 + ( )2 − 𝜔 2 𝜇𝜀 𝑏 2.2 Mode TE Từ trường theo chiều dọc của TE mode trong ống dẫn sóng hình chữ nhật phải thỏa mãn phương trình sóng giống như điện trường theo chiều dọc của các TM mode : ∇2 𝐻𝑧𝑇𝐸 + 𝑘 2 𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0 (2.20) trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là 𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸 𝜕𝑥 2 + 𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸 𝜕𝑦 2 + 𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸 𝜕𝑧 2 + 𝑘 2 𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0 (2.21) Biến đổi tương tự các thành như TM mode ta có phương trình các thành phần 𝐸̃𝑥𝑇𝐸 (x,0,z) = 0 → C = 0 𝑛𝜋 𝐸̃𝑥𝑇𝐸 (x,b,z) = 0 → 𝑘𝑦 b = n𝜋 (m= 0,1,2,..) → 𝑘𝑦 = 𝑏 𝐸̃𝑦𝑇𝐸 (0,y,z) = 0 → A = 0 𝑚𝜋 𝐸̃𝑦𝑇𝐸 (a,y,z) = 0 → 𝑘𝑥 a = m𝜋 (n = 0,1,2,..) → 𝑘𝑥 = 𝑎 (2.22) Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 12 https://fb.com/tailieudientucntt Kết hợp các hằng số B và D vào H 0 , có kết quả từ trường theo chiều dọc của mode ̃𝑧𝑇𝐸𝑚𝑛 (x,y,z) = 𝐻0 cos𝑚𝜋𝑥cos𝑛𝜋𝑦 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝐻 𝑎 (m= 0,1,2,...) 𝑏 (2.23) (m≠ 𝑛 ≠ 0) (n= 0,1,2,...) Các thành phần của TE mode ̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛 −𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧 𝑇𝐸 𝐸̃𝑥 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 ℎ 𝜕𝑦 ̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛 𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻 𝑇𝐸 𝐸̃𝑦 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 𝑧 ℎ 𝜕𝑥 ̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛 ̃𝑥𝑇𝐸𝑚𝑛 (x,y,z) = −𝑗𝛽2 𝜕𝐻𝑧 𝐻 𝑘𝑐 𝜕𝑥 ̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛 ̃𝑦𝑇𝐸𝑚𝑛 (x,y,z) = −𝑗𝛽2 𝜕𝐻𝑧 𝐻 𝑘𝑐 𝜕𝑦 = = = 𝑗𝜔𝜇 𝑛𝜋 = ( )𝐻0 cos ℎ2 −𝑗𝜔𝜇 𝑚𝜋 ( ℎ2 𝑎 𝑗𝛽 𝑚𝜋 ( 𝑘𝑐 2 𝑎 𝑗𝛽 𝑛𝜋 𝑘𝑐 2 𝑚𝜋𝑥 𝑏 𝑚𝜋𝑥 )𝐻0 sin 𝑎 𝑚𝜋𝑥 )𝐻0 sin 𝑎 𝑚𝜋𝑥 ( )𝐻0 cos 𝑏 𝑎 𝑎 𝑛𝜋𝑦 sin cos cos sin 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.24) Như ta thấy khi m=n=0 thì tất cả các thành phần từ trường trừ 𝐻𝑧 đều bằng 0. Do đó m và n có thể lấy giá trị bất kì 0,1,2,3 nhưng không được đồng thời bằng 0. Như vậy trong ống dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện ngang khác nhau. Phân bố trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng, đồng thời m xác định số nửa sóng trong khoảng (0,a) còn n là số nửa sóng trong khoảng (0,b). Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 13 https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG III: TRÌNH BÀY CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN SÓNG PHẲNG (PLANE WAVE EXPANSION METHOD) 3.1 Giới thiệu về tinh thể quang tử Thế giới ngày nay có nhu cầu ngày càng tăng về các máy tính và thông tin liên lạc, nên chúng ta ngày càng chú ý hơn tới các linh kiện quang mà độ rộng phổ và tốc độ làm việc của nó có thể đóng góp cho rất nhiều ứng dụng to lớn khác nhau. Ta biết rằng sự thay đổi cấu trúc sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất. Đây chính là quan điểm đã dẫn Yablomovitch tới giả thiết rằng chúng ta có thể thực hiện với photon những gì mà ta đã làm với điện tử. Các tinh thể quang tử cũng được biết đến như là các cấu trúc micro hoặc là các cấu trúc có vùng cấm quang, là các vật liệu với cấu trúc tuần hoàn về các hằng số điện môi khác nhau. Các tinh thể quang tử là 1D, 2D, 3D tùy theo sự tuần hoàn về hằng số điện môi, theo không gian 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều. Các tinh thể quang tử 3D thì tương tự với các tinh thể chất rắn. Ý tưởng tổng quát là các tinh thể photonic có thể làm những việc với photon như là các tinh thể bán dẫn có thể làm với các điện tử, có nghĩa là chúng có thể tạo ra tình trạng mà ở đó các photon ở một dãy năng lượng nào đó thì không thể đi qua tinh thể được và chúng bị phản xạ khi chạm vào tinh thể hoặc là không được phép truyền qua tất cả các hướng ở bên trong nó. Điều sau này rất quan trọng, vì ví dụ ánh sáng có thể được phát ra từ một nguồn sáng, được phát xạ lại bởi tinh thể, hiển nhiên là được tái hấp thụ, rồi lại tái phát xạ. Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 14 https://fb.com/tailieudientucntt Hình 3.1. Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D 3.2 Tinh thể photonic band gap (PBG) Một tinh thể PBG là một cấu trúc có thể điều khiển chùm ánh sáng giống như điều khiển dòng điện trong các chất bán dẫn. Một chất bán dẫn không thể hỗ trợ các điện tử có năng lượng nằm trong vùng cấm điện tử. Tương tự như vậy, một tinh thể quang tử không thể hỗ trợ các photon nằm trong khe hở lượng tử ánh sáng. Bằng cách ngăn chặn hoặc cho phép ánh sáng truyền qua một tinh thể, xử lí ánh sáng có thể được thực hiện. Điều này sẽ tạo ra cuộc cách mạng hóa lượng tử ánh sáng, cách mạng hóa các bóng bán dẫn điện tử. Tinh thể quang tử thường bao gồm vật liệu điện môi, đó là một vật liệu đóng vai trò là vật liệu cách điện hoặc trong đó có một trường điện từ có thể được lan truyền với tổn hao thấp. Các lỗ trong thứ tự của các bước sóng liên quan được khoan vào điện môi trong một cấu trúc mạng tinh thể tương tự nhau và được lặp đi lặp lại. Nếu được xây dựng đủ chính xác kết quả các tinh thể sẽ như một PBG, một loạt các tần số mà trong đó một bước sóng riêng của ánh sáng sẽ bị chặn. Sự hình thành PBG có thể được coi là sự tương tác hiệp lực giữa hai cơ chế cộng hưởng tán xạ khác nhau. Đầu tiên là cộng hưởng Bragg vĩ mô từ một mảng tuần hoàn của tán xạ. Điều này dẫn đến khoảng cách dừng điện tử khi sóng lan truyền theo hướng điều chế định kì theo một số nguyên lần nửa bước sóng. Thứ hai là một tán xạ cộng hưởng vi mô từ một tế bào đơn vị duy nhất của vật liệu. Sự hình thành PBG được tăng cường bằng Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 15 https://fb.com/tailieudientucntt cách chọn những vật liệu có các thông số sao cho cả hai cộng hưởng vĩ mô và vi mô xảy ra tại cùng một tần số. 3.3 Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử Sợi tinh thể quang tử (PCFs) là sợi có cấu trúc tuần hoàn được làm bằng các ống nhỏ. Những lỗ trống được chứa đầy không khí và nó có hình dạng giống mạng lục giác.Ánh sáng có thể truyền dọc theo sợi bên trong những lỗ khuyết của cấu trúc tinh thể. Một lỗ khuyết được tạo ra là do có sự dịch chuyển của một hay nhiều tâm của ống nhỏ. Sợi tinh thể quang tử là một loại mới của sợi quang học. Nếu lỗ khuyết của cấu trúc thực sự do dịch chuyển tâm của các ống nhỏ thì sự truyền dẫn sóng điện từ trong sợi tinh thể quang tử có thể được chú ý tới như sự biến đổi của tổng những phản xạ nội. Sự biến đổi là do hệ thống của những ống nhỏ chứa không khí làm dò rỉ những mode cao hơn vì vậy chỉ có một mode cơ bản được truyền đi. Đây là mode có đường kính nhỏ nhất gần kích thước của lỗ khuyết, hằng số mạng của cấu trúc tuần hoàn. Trong mạng của những sợi nhỏ chứa không khí, tâm của nó được thay bằng một thanh. Nếu tâm của lỗ khuyết được chèn bằng tâm của sợi nhỏ chứa không khí, mà có đường kính khác so với những sợi nhỏ khác. Khi đó chúng ta có được dải vùng cấm quang tử (PBG). Sự định hướng ánh sáng được xem như cách dẫn electron trong vật lí chất rắn với cấu trúc giải năng lượng. Những lõi không khí phân bố không tuần hoàn có thể có cấu trúc như một tinh thể quang tử hai chiều có hằng số mạng tương đương với bước sóng ánh sáng. Trong cấu trúc tinh thể quang tử hai chiều tồn tại dải vùng cấm có thể ngăn cản ánh sáng truyền trong một dải tần số xác định nào đó. Nếu cấu trúc tuần hoàn bị lỗi với một lỗ khuyết một vung đặc biệt với những đặc điểm quang học khác nhau được tạo ra từ tinh thể quang tử. Vùng lỗ khuyết có thể tạo ta nhưng mode với tần số nằm trong dải vùng cấm quang tử nó có thể ngăn cản những sóng này xuyên sâu vào trong tinh thể quang tử. Khi dải vùng cấm được Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 16 https://fb.com/tailieudientucntt sử dụng để giam hãm ánh sáng trong lõi, đòi hỏi miền lỗ khuyết phải có chiết suất lớn hơn miền xung quanh. 3.4 Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) Bằng 2 phương trình Maxwell mô tả sự lan truyền của sóng điện từ, biến đổi thành tập các phương trình có thể được lấy xấp xỉ bằng phường phương pháp triển khai sóng phẳng 𝛻 × 𝐸⃗ = − => ⃗ 𝜕𝐵 ⃗ = 𝜇0 𝜀(𝑟) 𝛻×𝐵 (3a) 𝜕𝑡 ⃗ −𝜕𝐵 −𝜕 ⃗) 𝛻 × (𝛻 × 𝐸⃗ ) = 𝛻 × ( ) = (𝛻 × 𝐵 𝜕𝑡 𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 (3b) (4) 𝜕𝑡 Xét các mode TE và TM ta có: 𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝑒𝑧 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) (5a) ⃗ 𝑇𝐸 = 𝑒𝑧 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) 𝐵 (5b) Đặt 𝜇0 𝜀 (𝑟) = 𝑐 (𝑟)−2 , Từ (3a), (3b), (4) ta có: 𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝛻 × 𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝜔2 𝐸⃗𝑇𝑀 (6a) ⃗ 𝑇𝐸 ) = 𝜔2 𝐵 ⃗ 𝑇𝐸 𝛻 × (𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝐵 (6b) Biến đổi (6a): Ta có: 𝛻𝑥 𝛻 × 𝐸⃗ = 𝛻(𝛻𝐸⃗ ) − 𝛻 2 𝐸⃗ 2𝐸 𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸 𝜕𝐸 𝜕 𝛻(𝛻𝐸⃗ ) = 𝛻 ( 𝑥 + + 𝑧)= 𝑖 ( 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 + 𝑘⃗ ( 𝛻 2 𝐸⃗ = 𝛻𝛻𝐸⃗ = ( 𝜕2 𝜕𝑥 2 + 𝜕2 𝜕𝑦 2 + 𝜕2 𝜕𝑧 2 𝜕2 𝐸𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑧 + + 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑧 + + 𝜕2 𝐸𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑧 𝜕2 𝐸𝑧 𝜕𝑧 2 ) + 𝑗( 𝜕2 𝐸𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕𝑦 2 + 𝜕𝑦𝜕𝑧 ) ) ) (𝑖𝐸𝑥 + 𝑗𝐸𝑦 + 𝑘⃗ 𝐸𝑧 ) Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com 𝜕2 𝐸𝑧 Page 17 https://fb.com/tailieudientucntt Mà ta có chỉ những thành phần ứng với z khác 0 vậy suy ra (6a) trở thành: 𝑐 (𝑟)2 [− 𝜕2 𝜕2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 − 2 ] 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) = 𝜔2 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) (7a) Tương tự ta có (6b) trở thành: [− 𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 − 𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕2 𝜕2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2 − 𝑐 (𝑟 )2 [ − 2 ]] 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) ⃗ = 𝜔2 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⋅𝑟−𝑤𝑡) (7b) b. Khai triển Fourier Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng 2 chiều vô cùng lớn => áp dụng khai triển chuỗi Fourier ta có: 𝑐 (𝑟)2 = ∑ 𝑐𝐺2 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟) (8a) 𝐸 (𝑟) = ∑𝐺 𝐸𝐺 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟) (8b) 𝐵(𝑟) = ∑𝐺 𝐵𝐺 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟) (8c) 𝐺 Với 𝐺 là vector mạng đảo được xác định bởi hai thành phần m và n 𝐺 = 𝐺𝑚𝑛 = 𝑚𝑏⃗1 + 𝑛𝑏⃗2 == 𝐺𝑥𝑚𝑛 𝑒𝑥 + 𝐺𝑦𝑚𝑛 𝑒𝑦 (9) 2 Biến đổi Fourier 𝑐 (𝑟)2 với các hệ số l và m (𝑐𝐺2 = 𝑐𝑙𝑚 ) Biến đổi Fourier 𝐸 (𝑟), 𝐵(𝑟) với các hệ số n và o Từ đó ta có (7a) và (7b) trở thành: Báo cáo bài tập lớn nhóm 2 CuuDuongThanCong.com Page 18 https://fb.com/tailieudientucntt