Tài liệu Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM .. Moukvilay Soukaloun TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ VỚI NÓN DI ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Moukvilay Soukaloun TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ VỚI NÓN DI ĐỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI THẾ HÙNG Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Moukvilay Soukaloun Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của người hướng dẫn TS. Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Moukvilay Soukaloun ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1. Bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt R tập các số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập các véctơ không âm của Rn Rn− tập các véctơ không dương của Rn 2X tập tất cả các tập con của X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F A := B A được định nghĩa bằng B ∅ tập rỗng A⊆B A là tập con của B A 6⊆ B A không là tập con của B A∪B hợp của hai tập hợp A và B A∩B giao của hai tập hợp A và B A\B hiệu của hai tập hợp A và B iv A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B cl A bao đóng tôpô của tập hợp A int A phần trong tôpô của tập hợp A conv A bao lồi của tập hợp A (QEP ) bài toán tựa cân bằng véctơ (QEP )λ bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số usc nửa liên tục trên lsc nửa liên tục dưới H − usc nửa liên tục trên Hausdorff H − lsc nửa liên tục dưới Hausdorff 2 kết thúc chứng minh v Mở đầu Bài toán tựa cân bằng véctơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, kinh tế, tối ưu, vận tải, ... Bài toán này bao hàm một số lớp bài toán khác nhau như bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán bù, ... Khi nghiên cứu bài toán tựa cân bằng người ta thường quan tâm đến các vấn đề sau: 1. Sự tồn tại nghiệm. 2. Tính ổn định nghiệm. 3. Cấu trúc tập nghiệm. 4. Thuật toán tìm nghiệm. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ đã được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu (xem [9], [10] và các tài liệu liên quan). Ngoài việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ người ta còn quan tâm nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán này thông qua nghiên cứu tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm. Năm 2010, Chen, Li và Fang [6] đưa ra một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng dưới giả thiết (Hg ). Năm 2012, Zhong và Huang [12] đã nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ thông qua tính nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục và liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm với giả thiết (Hg )0 . Gần đây, Anh và Hung [3] đã thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục Hausdorff đối với ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh chứa tham số. Năm 2019, Anh, Duy và Hien [4] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa 1 liên tục trên, nửa liên tục dưới Hausdorff cho ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động dưới giả thiết (Hϕ ). Ngoài ra các tác giả còn đưa ra điều kiện cần và đủ để giả thiết (Hϕ ) xảy ra. Mục đích của luận văn nhằm trình bày một cách hệ thống các kết quả trong công trình [4] về tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động thông qua tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức về tập lồi, ánh xạ đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trị. Ngoài ra, chương này chúng tôi còn trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động. Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động thông qua tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm. Một số ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết cũng được trình bày. 2 Chương 1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động Trong chương này, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động. Một số kiến thức cơ sở và kết quả chính của chương này được chúng tôi trích ra từ các tài liệu [1], [2], [4], [8] và [9]. 1.1. Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tuyến tính. Tập A ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A ta luôn có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1]. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I , với I là tập chỉ số bất kì. Khi đó tập A = ∩ Aα lồi. α∈I Chứng minh. Lấy x, y ∈ A. Khi đó x, y ∈ Aα , với mọi α ∈ I . Do Aα là lồi với mọi α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với mọi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do đó λx + (1 − λ)y ∈ A. Vậy A là tập lồi. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử Ai ⊆ X là tập lồi và λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m). Khi đó λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am là tập lồi. 3 Chứng minh. Đặt A = λ1 A1 +λ2 A2 +· · ·+λm Am . Lấy x, y ∈ A, khi đó tồn tại xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm , y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym . Ta có λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym ) = λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ]. Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với mọi i ∈ {1, 2, . . . , m} và λ ∈ [0, 1]. Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1]. Vậy A là tập lồi. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính, A là một tập con của X . Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu là conv A. Định lý 1.1.5. Giả sử A là tập con của không gian tuyến tính X . Khi đó conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là ( n ) n X X conv A = αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0, αi = 1 . i=1 i=1 Chứng minh. Ta có conv A là tập lồi. Vì A ⊂ conv A nên conv A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A. Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và chứa A, do đó nó chứa conv A (vì conv A là tập lồi nhỏ nhất chứa A). Vậy conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A. Định nghĩa 1.1.6. Cho X là không gian véctơ trên trường K. (i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục. (ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X . Định nghĩa 1.1.7. Không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập 4 lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi địa phương X đồng thời là không gian Hausdorff thì X được gọi là không gian lồi địa phương Hausdorff. Ví dụ 1.1.8. Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không gian lồi địa phương Hausdorff. 1.2. Nón và ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là một tập con không rỗng trong Y . Ta nói rằng C là nón trong Y nếu tc ∈ C , với mọi c ∈ C và t ≥ 0. Định nghĩa 1.2.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Ta nói rằng (i) C là nón lồi nếu C là tập lồi. (ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C). (iii) C là nón đóng nếu C là tập đóng trong Y . (iv) C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn. Giả sử X và Y là hai tập hợp. Kí hiệu 2X là tập tất cả các tập con của X. Định nghĩa 1.2.3. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của Y , được ký hiệu F : X → 2Y . Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tập con của X × Y , kí hiệu là gph F và được xác định bởi  gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) . Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F . Miền định nghĩa của F , kí hiệu dom F , xác định bởi  dom F := x ∈ X : F (x) 6= ∅ . 5 Ví dụ 1.2.4. Xét phương trình đa thức với hệ số thực xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0, Quy tắc cho ứng mỗi véctơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm của phương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn → 2C từ không gian Euclide Rn vào không gian phức C. Định nghĩa 1.2.5. Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đa trị F : X → 2Y . Ta nói rằng (i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y , với mọi x ∈ X . (ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y. Định nghĩa 1.2.6. Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. Ta nói rằng (i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y , với mọi x ∈ X . (ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y. (ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y. (iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y. Mệnh đề 1.2.7. Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó (i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng. (ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở. (iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi. (iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi (1 − t)F (x) + tF (x0 ) ⊆ F ((1 − t)x + tx0 ) với mọi x, x0 ∈ X và t ∈ [0, 1]. Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc là ánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng. 6 Ví dụ 1.2.8. Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau   conv 1, 2, ..., n − 1 , nếu n ≥ 2, F (n) = {0}, nếu n=1. Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Tuy nhiên F không là ánh xạ lồi. Ví dụ 1.2.9. Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi  [0, 1], nếu x = 0, F (x) = R, trong trường hợp còn lại. Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng. Mặt khác ta có  gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R) là tập không đóng trong R2 và như vậy F không là ánh xạ đóng. Định nghĩa 1.2.10. Cho X, Y là các không gian tôpô. Ánh xạ bao đóng của F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của đồ thị của ánh xạ F , tức là gph(cl F ) = cl(gph F ). Định nghĩa 1.2.11. Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta gọi ánh xạ ngược của F , ký hiệu là F −1 : Y → 2X , được xác định bởi  F −1 (y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , với y ∈ Y. Ta nói F −1 (y) là ảnh ngược của y . 1.3. Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X là không gian tôpô và hàm g : X → R. Ta nói rằng: (a) g nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x̄ ∈ X nếu mỗi ε > 0, tồn tại một lân cận U của x̄ sao cho g(x) ≤ g(x̄) + ε với mọi x ∈ U. 7 (b) g nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x̄ ∈ X nếu mỗi ε > 0, tồn tại một lân cận U của x̄ sao cho g(x) > g(x̄) − ε với mọi x ∈ U. (c) g liên tục tại x̄ ∈ X nếu nó là usc và lsc tại x̄. Nhận xét. Nếu X là không gian metric thì g là usc (tương ứng, lsc) tại x̄ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {xn } hội tụ tới x̄, ta luôn có lim sup g(xn ) ≤ g(x̄)(tương ứng, lim inf g(xn ) ≥ g(x̄)). n→∞ n→∞ Điều này cũng tương đương: với mỗi α ∈ R, tập {x ∈ X : g(x) ≤ α} (tương ứng, {x ∈ X : g(x) ≥ α}) là đóng trong X . Định nghĩa 1.3.2. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô với gốc θY và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn, có phần trong. Ánh xạ g : X × Z → Y được gọi là (a) C - nửa liên tục dưới (viết tắt là C - lsc) tại (x̄, z̄) nếu với mỗi lân cận V của θY trong Y , tồn tại một lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + V + C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. (b) C - nửa liên tục trên (viết tắt là C - usc) tại (x̄, z̄) nếu −g là C - lsc tại (x̄, z̄). (c) C - liên tục tại (x̄, z̄) nếu nó là C - usc và C - lsc tại (x̄, z̄). (d) C - lsc, C - usc, C - liên tục nếu nó là C - lsc, C - usc, C - liên tục tại mọi điểm trong X × Z , tương ứng. Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ cho tính C - lsc của ánh xạ véctơ. Mệnh đề 1.3.3. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô, g : X × Z → Y là ánh xạ và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn, có phần trong. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương: 8 (i) g là C - lsc. (ii) Với mỗi (x̄, z̄) ∈ X × Z và c ∈ int C(x̄), tồn tại lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. (iii) Với mỗi x̄ ∈ X và a ∈ Y , tập g −1 (a + int C(x̄)) là mở. Chứng minh. [(i) =⇒ (ii)] Lấy (x̄, z̄) ∈ X × Z và c ∈ int C(x̄). Đặt V = −c + int C(x̄). Khi đó V là lân cận của θY trong Y . Bởi vì g là C lsc, tồn tại một lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + V + C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. (1.1) Bởi tính lồi của C(x̄), nên ta có int C(x̄) + C(x̄) = int C(x̄). Điều này và (1.1) kéo theo g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. [(ii) =⇒ (iii)] Với a ∈ Y , ta chọn (x̄, z̄) ∈ g −1 (a + int C(x̄)) và c = g(x̄, z̄) − a. Khi đó c ∈ int C(x̄). Bởi giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Điều này chứng tỏ U ⊂ g −1 (g(x̄, z̄) − c + int C(x̄)) = g −1 (a + int C(x̄)). Từ đó suy ra g −1 (a + int C(x̄)) là mở. [(iii) =⇒ (i)] Lấy (x̄, z̄) ∈ X × Z và V là một lân cận tùy ý của θY ∈ Y . Bởi C(x̄) là nón nhọn có phần trong, tồn tại c ∈ int C(x̄) sao cho −c ∈ V . Vì (x̄, z̄) ∈ g −1 (g(x̄, z̄) − c + int C(x̄)) và g −1 (g(x̄, z̄) − c + int C(x̄)) là mở nên tồn tại lân cận U của (x̄, z̄) sao cho U ⊂ g −1 (g(x̄, z̄) − c + int C(x̄)). 9 Do đó g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Từ đó suy ra g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + V + C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Vậy g là C - lsc. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự ta cũng thiết lập được điều kiện cần và đủ cho ánh xạ véctơ là C - usc. Mệnh đề 1.3.4. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô, g : X × Z → Y là ánh xạ và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn, có phần trong. Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương: (i) g là C - usc. (ii) Với mỗi (x̄, z̄) ∈ X × Z và c ∈ int C(x̄), tồn tại lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + c − int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. (iii) Với mỗi x̄ ∈ X và a ∈ Y , tập g −1 (a − int C(x̄)) là mở. Chứng minh. [(i) =⇒ (ii)] Lấy (x̄, z̄) ∈ X × Z và c ∈ int C(x̄). Đặt V = c − int C(x̄). Khi đó V là lân cận của θY trong Y . Bởi vì g là C - usc, tồn tại một lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + V − C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Bởi tính lồi của C(x̄), nên ta có int C(x̄) + C(x̄) = int C(x̄). Điều này và (1.2) kéo theo g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + c − int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. 10 (1.2) [(ii) =⇒ (iii)] Với a ∈ Y , ta chọn (x̄, z̄) ∈ g −1 (a − int C(x̄)) và c = g(x̄, z̄) − a. Khi đó −c ∈ int C(x̄). Bởi giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của (x̄, z̄) sao cho g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) − c − int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Điều này chứng tỏ U ⊂ g −1 (g(x̄, z̄) − c − int C(x̄)) = g −1 (a − int C(x̄)). Từ đó suy ra g −1 (a − int C(x̄)) là mở. [(iii) =⇒ (i)] Lấy (x̄, z̄) ∈ X × Z và V là một lân cận tùy ý của θY ∈ Y . Bởi C(x̄) là nón nhọn có phần trong, tồn tại c ∈ − int C(x̄) sao cho c ∈ V . Vì (x̄, z̄) ∈ g −1 (g(x̄, z̄) + c − int C(x̄)) và g −1 (g(x̄, z̄) + c − int C(x̄)) là mở nên tồn tại lân cận U của (x̄, z̄) sao cho U ⊂ g −1 (g(x̄, z̄) + c − int C(x̄)). Do đó g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + c − int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Từ đó suy ra g(x, z) ∈ g(x̄, z̄) + V − C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Vậy g là C - usc. Mệnh đề 1.3.5. Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô với gốc θY , C : X → 2Y là ánh xạ nón với giá trị lồi, nhọn, có phần trong và f và g là hai ánh xạ từ X × Z vào Y . Khi đó (i) Nếu f là C - lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục) thì tf là C - lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục) với mọi t > 0. (ii) Nếu f, g là C - lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục) thì f + g là C lsc (tương ứng, C - usc, C - liên tục). 11 Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho tính C - lsc. Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. (i) Giả sử f là C - lsc. Với mỗi t > 0, (x̄, z̄) ∈ X × Z và c ∈ int C(x̄), tồn tại lân cận mở U của (x̄, z̄) sao cho f (x, z) ∈ f (x̄, z̄) − c 1 + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. t t Từ đó suy ra tf (x, z) ∈ tf (x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Vậy tf là C - lsc. (ii) Giả sử f và g là C - lsc. Với mỗi (x̄, z̄) ∈ X × Z và c ∈ int C(x̄), tồn tại hai lân cận mở U1 và U2 của (x̄, z̄) sao cho 1 f (x, z) ∈ f (x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U1 2 và 1 g(x0 , z 0 ) ∈ g(x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x0 , z 0 ) ∈ U2 . 2 Đặt U := U1 ∩ U2 . Khi đó U là lân cận mở của (x̄, z̄). Hơn nữa, ta có (f + g)(x, z) = f (x, z) + g(x, z) ∈ f (x̄, z̄) + g(x̄, z̄) − c + int C(x̄) = (f + g)(x̄, z̄) − c + int C(x̄) với mọi (x, z) ∈ U. Vì vậy, f + g là C - lsc. Định nghĩa 1.3.6. Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ F : X → 2Y được gọi là (a) nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x̄ nếu với mỗi tập mở U chứa F (x̄), tồn tại lân cận N của x̄ sao cho F (N ) ⊂ U . (b) nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x̄ nếu với mỗi tập mở U trong Y thỏa mãn F (x̄) ∩ U 6= ∅, tồn tại lân cận N của x̄ sao cho F (x) ∩ U 6= ∅ với mọi x ∈ N . 12 (c) liên tục tại x̄ nếu nó là usc và lsc tại x̄. (d) nửa liên tục trên Hausdorff (viết tắt là H - usc) tại x̄ nếu với mỗi r > 0, tồn tại một lân cận N của x̄ sao cho F (x) ⊂ F (x̄) + B(θY , r) với mọi x ∈ N , trong đó B(θY , r) là hình cầu mở tâm θY với bán kính r. (e) nửa liên tục dưới Hausdorff (viết tắt là H - lsc) tại x̄ nếu với mỗi r > 0, tồn tại một lân cận N của x̄ sao cho F (x̄) ⊂ F (x) + B(θY , r) với mọi x ∈ N . (f) liên tục Hausdorff (viết tắt H - liên tục) tại x̄ nếu nó là H - usc và H - lsc tại x̄. Mệnh đề 1.3.7. ([8]) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó (i) Nếu F (x̄) compact thì F là usc tại x̄ khi và chỉ khi với mỗi dãy {xn } ⊂ X hội tụ đến x̄ và yn ∈ F (xn ), tồn tại dãy con {ynk } hội tụ đến ȳ ∈ F (x̄). (ii) F là lsc tại x̄ khi và chỉ khi với mỗi dãy {xn } ⊂ X hội tụ đến x̄ và ȳ ∈ F (x̄), tồn tại dãy {yn } , yn ∈ F (xn ) sao cho yn −→ ȳ . (iii) Nếu F là usc (tương ứng, lsc, H - usc, H - lsc) tại x̄ thì αF là usc (tương ứng, lsc, H - usc, H - lsc) tại x̄ với mọi α ∈ R. (iv) Nếu F là usc thì F là H - usc. (v) Nếu F là usc và nhận giá trị đóng thì F là đóng, tức là đồ thị gphF := {(x, y) : y ∈ F (x)} là tập đóng. 1.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ Giả sử Y, M là các không gian véctơ tôpô thực, X là không gian véctơ tôpô Hausdorff thực và A, P là các tập con không rỗng, đóng của X, M , tương ứng. Xét các ánh xạ đa trị K : A → 2A , T : A → 2P và C : A → 2Y với giá trị nón không tầm thường, nhọn, lồi và đóng. Với ánh xạ mục tiêu 13