Tài liệu Tính ổn định nghiệm cho bài toán cân bằng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHAN THANH KIỀU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60460112 TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 7 NĂM 2020 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN ĐẠI Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. NGUYỄN BÁ THI Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. HỒ ĐẮC NGHĨA Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM ngày 21 tháng 7 năm 2020. Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1. Chủ tịch: PGS. TS Nguyễn Đình Huy 2. Thư ký: TS. Nguyễn Tiến Dũng 3. Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi 4. Phản biện 2: TS. Hồ Đắc Nghĩa 5. Ủy viên: TS. Phan Tất Hiển Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có). CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Đại Học Quốc Gia TP.HCM Trường Đại Học Bách Khoa Độc lập - Tự do - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: Phan Thanh Kiều MSHV: 1770490 Ngày, tháng, năm sinh: 30/6/1985 Nơi sinh: Tiền Giang Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60460112 I. TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ỨNG DỤNG . NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức chuẩn bị. - Tính ổn định của ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ phụ thuộc tham số. - Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân. II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/8/2019 III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 08/12/2019 IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. Lê Xuân Đại Tp. Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 12 năm 2019 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TRƯỞNG KHOA LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa học TS. Lê Xuân Đại, Trường Đại học Bách khoa, Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh. Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, cung cấp đề tài và nguồn tài liệu quí báu cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Đồng thời định hướng và truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ những khó khăn trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu khi thực hiện luận văn. Luận văn sẽ không thực hiện được nếu không có sự hướng dẫn của Thầy. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa đã dành nhiều thời gian để đọc kỹ luận văn này và cho tôi những lời khuyên, những nhận xét, đánh giá và bình luận bổ ích để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến quý Thầy cô bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Khoa học ứng dụng, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Tp. HCM, đã tổ chức lớp học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đã luôn ủng hộ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 12 năm 2019 Phan Thanh Kiều TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Tóm tắt. Mục tiêu của luận văn này là để thiết lập tính ổn định nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu hàm đánh giá và tính liên tục của nó cho bài toán này. Sau đó, chúng tôi thiết lập tính ổn định nghiệm như tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục trên Hausdorff, nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới Hausdorff, tính liên tục và tính liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm của bài toán này. Cuối cùng, chúng tôi ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Từ khóa. Bài toán tựa cân bằng cân bằng véctơ; Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân véctơ; Tính nửa liên tục trên(dưới); Tính nửa liên tục trên(dưới) Hausdorff, Tính liên tục (Hausdorff). ABSTRACT Stability of Solutions for Equilibrium Problems and Applications Abstract. The objective of the thesis is to establish the stability of solutions for parametric strong vector quasi-equilibrium problems. Firstly, we consider the gap function and its continuity for parametric strong vector quasi-equilibrium problems. Then, we establish the stability of solutions such as the upper semicontinuity, upper semicontinuity Hausdorff, lower semicontinuity, lower semicontinuity Hausdorff, continuity and continuity Hausdorff of solutions for these problems. Finally, we apply to the parametric vector quasi-variational inequality problems. Keywords. Vector quasi-equilibrium problems; Vector quasi-variational inequality problems; Upper (lower) semicontinuity; Upper (lower) semicontinuity Hausdorff; continuity(Hausdorff). ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên là Phan Thanh Kiều, mã số học viên: 1770490, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TP. HCM, khóa 2017 - 2019. Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các nội dung được trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Xuân Đại và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 08 tháng 12 năm 2019 Học viên thực hiện Phan Thanh Kiều iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN ii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU vi Mở đầu 1 1 2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 Cơ sở và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . Phạm vi và đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 4 Khái niệm ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số khái niệm nửa liên tục cổ điển . . . . . . . . . . . . 4 5 2 Tính chất ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ phụ thuộc tham số 8 2.1 2.2 Bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm đánh giá cho bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . 8 9 2.3 2.4 Tính nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 16 2.5 Tính nửa liên tục dưới thỏa mãn hàm đánh giá . . . . . . 17 iv 3 Ứng dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân 3.1 Tính nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 23 3.2 3.3 25 26 Tính nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính nửa liên tục dưới thỏa mãn hàm đánh giá . . . . . . Kết luận chung và kiến nghị 28 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận văn 30 Tài liệu tham khảo 31 Lý lịch trích ngang 33 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa R Tập các số thực Rn R̄ Không gian thực n-chiều Tập các số thực và −∞, +∞ x∈M x thuộc M x 6∈ M ∀x ∈ M x không thuộc M Với mọi x thuộc M ∃x ∈ M domF Tồn tại x thuộc M Miền hiệu quả của F graphF (SQEP) Đồ thị của F Bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh (SQVI) (MQVIP) Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân véctơ mạnh Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân loại Minty lsc usc Tính nửa liên tục dưới Tính nửa liên tục trên MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của đề tài Lý thuyết tối ưu có nhiều ứng dụng đa dạng trong nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau của đời sống kinh tế, xã hội và đã làm tiết kiệm về kinh tế nhờ xây dựng các mô hình để tìm điều kiện tối ưu và tính ổn định giải pháp cho nhiều bài toán thực tế phức tạp, chẳng hạn như: bài toán tựa cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán mạng giao thông, lý thuyết trò chơi và nhiều bài toán khác nữa. Chúng ta biết rằng có nhiều công cụ để nghiên cứu tính ổn định của ánh xạ cho một bài toán, trong đó phương pháp hàm đánh giá đã được sử dụng rất hiệu quả cho các bài toán liên quan đến tối ưu. Năm 1997, Zhao [17] đã giới thiệu một giả thiết căn bản (H1 ) cho bài toán tối ưu và chứng tỏ rằng (H1 ) là điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm của bài toán tối ưu phi tuyến phụ thuộc tham số. Sau đó, sử dụng sự mô tả của giả thiết (H1 ), Kien [12] cũng đã chứng tỏ (H1 ) là điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán tối ưu phi tuyến phụ thuộc tham số tương tự như Zhao [17] nhưng với giả thiết yếu hơn. Gần đây, Chen và Li [15], Lalitha và Bhatia [13] đã giới thiệu giả thiết (Hg ) cái mà tương tự như Zhao [12, 17] và đưa ra điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach. Rất gần đây, Zhong và Huang [18] đã chứng tỏ giả thiết (Hg ) là điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff và liên tục Hausdorff cho bài toán cân bằng yếu trong không gian Banach. 1 Xuất phát từ động cơ nghiên cứu như đã đề cập ở trên, chúng tôi chọn chủ đề về “Tính ổn định nghiệm cho bài toán cân bằng và ứng dụng” để làm luận văn thạc sĩ. Chúng tôi nghiên cứu tính chất ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng. Sau đó, chúng tôi áp dụng các kết này để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân. Một số kết quả đạt được của chúng tôi là mới, một số là trình bày lại trong bài báo được nghiên cứu bởi Anh và Hung [1]. 2 Tổng quan tình hình nghiên cứu Một trong những lớp bài toán liên quan đến tối ưu được nhiều nhà toán trong nước cũng như trên thế giới quan tâm trong những năm gần đây đó là bài toán cân bằng. Bài toán toán này được giới thiệu bởi Blum và Oettli [5] như là một sự tổng quát của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Mô hình bài toán này cũng được chứng minh chứa nhiều bài toán quan trọng liên quan đến tối ưu đó là bài toán bù, cân bằng Nash, bài toán điểm bất động, bài toán mạng giao thông và nhiều bài toán khác. Trong suốt hai thập kỷ trước, đã có rất nhiều bài báo nghiên cứu đến bài toán cân bằng và các bài toán liên quan. Chủ đề đầu tiên và quan trọng nhất là điều kiện tồn tại cho lớp bài toán này, (xem [8, 10], và các tài liệu tham khảo ở trong đó). Một chủ đề quan trọng khác là ổn định và giải tích nhạy bao gồm tính nửa liên tục và liên tục Hölder/Lipschitz của các ánh xạ nghiệm đến bài toán cân bằng và bài toán liên quan (xem [2]). Tất nhiên nghiệm ổn định theo nghĩa liên tục Lipschitz thì mạnh hơn và tốt hơn là nghiệm ổn định theo nghĩa nửa liên tục. Tuy vậy, để có được ổn định nghiệm của nửa liên tục nào thì dữ liệu bài toán cũng thường phải giả thiết theo tính nửa liên tục đó. Trong nhiều bài toán thực tế các giả thiết chặt quá về dữ liệu không được thỏa mãn. Vì vậy, ổn định theo nghĩa nửa liên tục của tập nghiệm rất được quan tâm nghiên cứu, (xem [1, 11, 18]). 2 3 Cơ sở và phương pháp nghiên cứu - Đọc sách và tham khảo các tài liệu có liên quan. - Phân loại và hệ thống kiến thức có liên quan. - Phân tích, xử lý tài liệu, báo cáo seminar, trao đổi với thầy hướng dẫn và các đồng nghiệp cùng hướng nghiên cứu. 4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tựa cân bằng mạnh, bất đẳng thức tựa biến phân mạnh. - Phạm vi nghiên cứu: Toán giải tích và Toán ứng dụng. 5 Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu của đề tài bao gồm: Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm ánh xạ đa trị 1.2. Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển Chương 2. Tính chất ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ phụ thuộc tham số 2.1. Bài toán tựa cân bằng 2.2. Hàm đánh giá cho bài toán tựa cân bằng 2.3. Tính nửa liên tục trên 2.4. Tính nửa liên tục dưới 2.5. Tính nửa liên tục dưới thỏa mãn hàm đánh giá Chương 3. Ứng dụng cho bất đẳng thức tựa biến phân 3.1. Tính nửa liên tục trên 3.2. Tính nửa liên tục dưới 3.3 Tính nửa liên tục dưới thỏa mãn hàm đánh giá 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị 1.1.1 Định nghĩa. ([3]) Ánh xạ đa trị F từ tập X vào tập Y , kí hiệu F : X ⇒ Y là một quy luật cho tương ứng mỗi điểm x ∈ X với một tập F (x) ⊂ Y . Ánh xạ đa trị còn có tên gọi khác nữa là: Hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập. Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm một phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Trước khi nghiên cứu sâu hơn, ta làm quen với các định nghĩa cơ bản liên quan đến ánh xạ đa trị. 1.1.2 Định nghĩa. ([3]) Miền hiệu quả domF và đồ thị graphF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bởi các công thức: domF := {x ∈ X | F (x) 6= ∅},  graphF := (x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) . Ánh xạ đa trị F được gọi là tầm thường nếu domF = ∅ và được gọi là chặt nếu domF = X. Ánh xạ đa trị F hoàn toàn được đặc trưng bởi graphF . Mỗi tập bất kì trong X × Y đều là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Y . Vì vậy, đôi khi ta không cần phân biệt giữa F với đồ thị của nó. Đồng thời mối quan 4 hệ hai ngôi giữa các phần tử của X và Y cũng là một ánh xạ đa trị từ X vào Y và ngược lại. Ta nói ánh xạ đa trị F có tính chất nào đó nếu đồ thị của nó có tính chất đó. Ví dụ ánh xạ đa trị F là đóng nếu graphF là tập đóng; ánh xạ đa trị F là compắc nếu graphF là tập compắc,... ở đây ta cần phân biệt các thuật ngữ: F đóng và F có ảnh đóng (tương ứng compắc,...) tức là F (x) đóng (tương ứng compắc,...) với mọi x ∈ domF . 1.2 Một số khái niệm nửa liên tục cổ điển Thông thường khi phát biểu về khái niệm liên tục của một hàm đơn trị người ta có thể phát biểu ở hai dạng tương đương nhau đó là liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô và liên tục theo dãy. - Liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô: ánh xạ f : X → Y liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi lân cận bất kỳ U của f (x0 ), tồn tại một lân cận V của x0 sao cho ảnh của mọi phần tử x ∈ V thuộc U (nghĩa là f (V ) ⊂ U ). Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục trên. - Liên tục theo dãy: ánh xạ f : X → Y liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi dãy xn → x0 thì f (xn ) hội tụ về f (x0 ). Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục dưới. Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge. 1.2.1 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. (i) Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới (gọi tắt là lsc) tại x0 nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x0 ) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF . 5 (ii) Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên (gọi tắt là usc) tại x0 nếu với mọi lân cận V của F (x0 ), tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U . (iii) Ánh xạ đa trị F được gọi là liên tục tại x0 , nếu F là usc và F là lsc tại x0 . (iv) F được gọi là đóng tại x0 nếu với mỗi lưới {(xα , zα )} ⊂ graphF := {(x, z) | z ∈ F (x)}, (xα , zα ) → (x0 , z0 ), thì z0 ∈ F (x0 ). Tiếp theo, ta tiếp tục nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục theo Hausdorff. 1.2.2 Định nghĩa ([3]). Giả sử X là không gian tôpô, Y là không gian véc tơ tôpô và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. (i) Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới theo Hausdorff (gọi tắt là H-lsc) tại x0 nếu với mỗi lân cận B của gốc trong Y , tồn tại một lân cận U của x0 sao cho F (x0 ) ⊆ F (x) + B, ∀x ∈ U . (ii) Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên theo Hausdorff (gọi tắt là H-usc) tại x0 nếu với mỗi lân cận B của gốc trong Y , tồn tại một lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊆ F (x0 ) + B, ∀x ∈ U . (iii) Ánh xạ đa trị F được gọi là liên tục Hausdorff tại x0 , nếu F là H-usc và F là H-lsc tại x0 . 1.2.3 Nhận xét. Nếu một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó tại mọi điểm của tập A ⊂ X, thì nó thỏa mãn tính chất này trên A. Nếu A = X, ta bỏ qua “trên X” trong phát biểu. Sau đây là một số mệnh đề quan trọng. 1.2.4 Bổ đề. ([3, 4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. 6 (i) Nếu F là usc tại x0 và F (x0 ) là đóng thì F là đóng tại x0 ; (ii) Nếu F là usc tại x0 thì F là H-usc tại x0 . Ngược lại, nếu F là H-usc tại x0 và nếu F (x0 ) compắc, thì F là usc tại x0 ; (iii) Nếu F là H-lsc tại x0 thì F là lsc. Ngược lại là đúng nếu F (x0 ) là compắc; (iv) F là lsc tại x0 khi và chỉ khi với mỗi lưới {xα } ⊂ X hội tụ đến x0 và với mỗi y0 ∈ F (x0 ), tồn tại yα ∈ F (xα ) sao cho yα → y0 . (v) Nếu F có giá trị compắc, thì F là nửa liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα } ⊂ X hội tụ về x và với mọi {yα } ⊂ F (xα ), tồn tại y ∈ F (x) và một lưới con {yβ } của {yα } sao cho yβ → y. 1.2.5 Bổ đề. ([7]) Với mọi e ∈ intC, với intC là phần trong của C, y ∈ Y và hàm vô hướng hóa phi tuyến ξe : Y → R được xác định bởi ξe (y) := min{r ∈ R : y ∈ re − C}, ta có (i) ξe là hàm lồi và liên tục trên Y ; (ii) ξe (y) ≤ r ⇔ y ∈ re − C; (iii) ξe (y) > r ⇔ y 6∈ re − C. 1.2.6 Bổ đề. ([3]) Cho X và Y là hai tập bất kỳ, F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và W : X × Y → R là một hàm giá trị thực. Nếu W là liên tục trên X ×Y và F là liên tục với giá trị compắc trên X thì V (x) := max W (x, y) y∈F (x) liên tục trên X. 1.2.7 Định nghĩa. ([3]) Một ánh xạ đơn trị f : X → [−∞, ∞] được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) nếu với mỗi r ∈ R tập mức {x ∈ X | f (x) ≤ r} (tương ứng {x ∈ X | f (x) ≥ r}) là đóng. f được gọi là liên tục nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục dưới và là nửa liên tục trên. 7 CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ PHỤ THUỘC THAM SỐ 2.1 Bài toán tựa cân bằng Cho X, Y, Z, P là các không gian véc tơ tôpô Hausdorff, A ⊆ X, B ⊆ Y và Γ ⊆ P là các tập con khác rỗng, và lấy C là một nón lồi đóng trong Z với intC 6= ∅, ở đây intC là phần trong của C. Lấy K : A × Γ ⇒ A, T : A × Γ ⇒ B là các hàm đa trị và f : A × B × A × Γ → Z là hàm cân bằng, nghĩa là f (x, t, x, γ) = 0 với mọi x ∈ A, t ∈ B, γ ∈ Γ. Với γ ∈ Γ, chúng tôi xét bài toán tựa cân bằng véc tơ mạnh phụ thuộc tham số sau (viết tắt là, (SQEP)): (SQEP) Tìm x ∈ K(x, γ) và t ∈ T (x, γ) sao cho f (x, t, y, γ) ∈ C, ∀y ∈ K(x, γ). Với mỗi γ ∈ Γ, chúng ta ký hiệu tập nghiệm của (SQEP) bởi S(γ). Vì sự tồn tại nghiệm cho bài toán tựa cân bằng đã được nghiên cứu nhiều, nên trong suốt chương này, chúng tôi luôn giả sử rằng S(γ) 6= ∅, với mỗi γ trong một lân cận của điểm đang xét. 8 2.2 Hàm đánh giá cho bài toán tựa cân bằng Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các hàm đánh giá cho bài toán (SQEP). Sau đó chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của các hàm này khi chúng cần thiết cho công việc nghiên cứu tính liên tục cho ánh xạ nghiệm của các bài toán này. Trong phần còn lại của mục này, chúng tôi luôn giả thiết rằng f là liên tục trên A × B × A × Γ. 2.2.1 Định nghĩa. Hàm g : A × Γ → R được gọi là hàm đánh giá phụ thuộc tham số cho bài toán (SQEP), nếu: (a) g(x, γ) ≥ 0, với mọi x ∈ K(x, γ); (b) g(x, γ) = 0 khi và chỉ khi x ∈ S(γ). Bây giờ chúng tôi giả thiết rằng K và T có giá trị compắc trong một lân cận của điểm đang xét. Chúng tôi định nghĩa hàm h : A × Γ → R như sau h(x, γ) = min max ξe (−f (x, t, y, γ)). (2.1) t∈T (x,γ) y∈K(x,γ) Vì K(x, γ) và T (x, γ) là các tập compắc với mọi (x, γ) ∈ A × Γ, ξe và f là liên tục, nên h xác định. Sau đây chúng tôi chứng minh h(x, γ) được định nghĩa bởi (2.1) là hàm đánh giá. Định lý này chưa được chứng minh trong [1]. 2.2.2 Định lý. Hàm h(x, γ) được định nghĩa bởi (2.1) là một hàm đánh giá phụ thuộc tham số cho bài toán (SQEP). Chứng minh. Chúng ta định nghĩa hàm ψ : E(Γ) × B × Γ → R, trong đó E(Γ) = ∪γ∈Γ E(γ) = ∪γ∈Γ {x ∈ A : x ∈ K(x, γ)}, như sau ψ(x, t, γ) = max ξe (−f (x, t, y, γ)), x ∈ E(γ), t ∈ B, γ ∈ Γ. y∈K(x,γ) 9 (i) Chúng ta dễ dàng để thấy rằng ψ(x, z, γ) ≥ 0. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại (x0 , t0 , γ0 ) ∈ E(γ0 ) × B × Γ sao cho ψ(x0 , t0 , γ) < 0, khi đó 0 > ψ(x0 , t0 ) = max ξe (−f (x0 , t0 , y, γ)) y∈K(x0 ,γ) ≥ ξe (−f (x0 , t0 , y, γ)), ∀y ∈ K(x0 , γ). Khi y = x0 , ta có ξe (−f (x0 , t0 , x0 , γ)) = ξe (0) = min{r ∈ R : 0 ∈ re − C} = min{r ∈ R : −re ∈ −C} = min{r ∈ R : r ≥ 0} = 0, điều này mâu thuẫn. Vì vậy, ψ(x, z, γ) ≥ 0. Do đó, tồn tại t ∈ T (x, γ) sao cho h(x, γ) = min max ξe (−f (x, t, y, γ)) ≥ 0. t∈T (x,γ) y∈K(x,γ) (ii) Từ định nghĩa, h(x0 , γ0 ) = 0 khi và chỉ khi tồn tại t0 ∈ T (x0 , γ0 ) sao cho max y∈K(x0 ,γ0 ) ξe (−f (x0 , t0 , y, γ0 )) = 0, x0 ∈ K(x0 , γ0 ), khi và chỉ khi, với bất kỳ y ∈ K(x0 , γ0 ) ξe (−f (x0 , t0 , y, γ0 )) ≤ 0. Từ Bổ đề 1.2.5(ii), khi và chỉ khi, với mọi y ∈ K(x0 , γ0 ) −f (x0 , t0 , y, γ0 ) ∈ −C, hay f (x0 , t0 , y, γ0 ) ∈ C, nghĩa là, x0 ∈ S(γ0 ). Điều này ta có điều phải chứng minh. 10 Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ cho hàm đánh giá phụ thuộc tham số h là liên tục. Định lý này đã được nghiên cứu bởi Anh và Hưng [1]. 2.2.3 Định lý. Giả sử rằng bài toán (SQEP) thõa các điều kiện sau: (i) K liên tục với giá trị compact trên A × Γ; (ii) T liên tục với giá trị compact trên A × Γ; Khi đó, h là liên tục trên A × Γ. Chứng minh. Vì các kỹ thuật chứng minh là tương tự, nên chúng tôi chỉ chứng minh tính liên tục của h. Đầu tiên, chúng ta chứng minh h là nửa liên tục dưới trên A×Γ. Lấy a ∈ R, {(xα , γα )} ⊆ A×Γ, (xα , γα ) → (x0 , γ0 ) và h(xα , γα ) ≤ a với mọi α, ta cần chứng tỏ rằng h(x0 , γ0 ) ≤ a. Ta có, h(xα , γα ) = min max t∈T (xα ,γα ) y∈K(xα ,γα ) ξe (−f (xα , t, y, γα )) ≤ a, và do đó, h(xα , γα ) = min ψ(xα , t, γα ), t∈T (xα ,γα ) trong đó ψ là được định nghĩa trong Định lý 2.2.2. Vì ξe là liên tục và K là liên tục với giá trị compắc trên A × Γ, nên từ Bổ đề 1.2.6, suy ra rằng ψ là liên tục. Bởi tính compắc của T , tồn tại tα ∈ T (xα , γα ) sao cho h(xα , γα ) = min max {ξe (−f (xα , t, y, γα ))} t∈T (xα ,γα ) y∈K(xα ,γα ) = ψ(xα , tα , γα ) = max {ξe (−f (xα , tα , y, γα )} ≤ a. y∈K(xα ,γα ) Lấy y0 ∈ K(x0 , γ0 ) tùy ý. Vì K là nửa liên tục dưới trên A × Γ, tồn tại yα ∈ K(xα , γα ) sao cho yα → y0 . Từ yα ∈ K(xα , γα ), ta có ξe (−f (xα , tα , yα , γα )) ≤ a. 11 (2.2)