Tài liệu Tính hyperbolic gromov và metric kobayashi trên miền giả lồi chặt

.. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP - ĐHTN HÀ VĂN KHẨN TÍNH HYPERBOLIC GROMOV VÀ METRIC KOBAYASHI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI CHẶT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 8460102 Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUỆ MINH THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hưỡng dẫn của TS. Trần Huệ Minh. Em không sao chép từ bất kì công trình nào khác. Các tài liệu trong luận văn là trung thực, em kế thừa và phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Người viết luận văn Hà Văn Khẩn Xác nhận của Khoa chuyên môn Xác nhận của Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Nguyên An TS. Trần Huệ Minh i LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Huệ Minh, người đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên bài luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Người viết luận văn Hà Văn Khẩn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi chặt . . . . . . . . 1.2 Metric Carnot-Carathéodory . . 1.3 Metric Finsler . . . . . . . . . . 1.4 Metric Kobayashi . . . . . . . . 1.5 Không gian hyperbolic Gromov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 2: Tính hyperbolic Gromov và metric Kobayashi trên miền giả lồi chặt 2.1 Một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi trên một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C2 . . 2.2 Tính hyperbolic Gromov của miền giả lồi chặt . . . . . . . . 3 3 4 5 5 6 10 10 28 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm không gian hyperbolic Gromov được giới thiệu bởi M. Gromov từ những năm 1980 và đã được nghiên cứu, phát triển bởi nhiều tác giả ([6],[7],[8],[9],. . . ). Việc tìm kiếm các ví dụ về không gian hyperbolic Gromov, mô tả các không gian hyperbolic Gromov hay tìm mối quan hệ giữa các không gian hyperbolic nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học, chẳng hạn Z. Balogh & M.Bonk [1] đã chỉ ra sự liên hệ giữa metric Kobayashi và tính hyperbolic Gromov trên một iền giả lồi chặt, M.Bonk, J.Heinonen & P.Koskela [10] đã nghiên cứu tính hyperbolic Gromov của metric tựa hyperbolic, Z.Balogh & S.Buckley [2] đã chỉ ra điều kiện để một không gian tựa hyperbolic là hyperbolic Gromov, F.Bertrand & H.Gaussier [5] đã nghiên cứu tính hyperbolic Gromov của miền giả lồi mạnh trong một đa tạp hầu phức, . . . Đề tài luận văn “Tính hyperbolic Gromov và metric Kobayashi trên các miền giả lồi chặt” là một đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số kết quả về không gian hyperbolic Gromov, sử dụng nguyên lý của lý thuyết các không gian hyperbolic Gromov để ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi trên một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C 2 và nghiên cứu tính hyperbolic Gromov của miền này. 1 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả về tính hyperbolic Gromov và metric Kobayashi trên miền giả lồi chặt. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp nhiều phương pháp như: Thu thập dữ liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp và trình bày đề tài. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [1], gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Cụ thể là: • Mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu. • Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài kiến thức về miền giả lồi chặt, metric Carnot-Carathéodory, metric Finsler, metric Kobayashi, không gian hyperbolic Gromov và một số ví dụ cụ thể về không gian này. • Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày về tính hyperbolic Gromov và metric Kobayashi trên miền giả lồi chặt. Phần đầu của chương trình bày một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayashi trên một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C 2 . Phần thứ hai của chương trình bày về tính hyperbolic Gromov của một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C 2 . • Kết luận: Trình bày tóm tắt kết quả đạt được và tài liệu tham khảo. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên dưới sư hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huệ Minh. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn và trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học này. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền giả lồi chặt Cho Ω ⊆ Cn , n ≥ 2 là một miền bị chặn trong Cn , đặt δ(x) = dist(x, ∂Ω) là khoảng cách Euclid của môt điểm tới biên của Ω. Ta xét hàm khoảng cách ρ : Cn → R xác định bởi  −δ(x) nếu x ∈ Ω, ρ(x) = δ(x) nếu x ∈ Cn \ Ω. Miền Ω được gọi là miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C 2 nếu hàm ρ là trơn lớp C 2 trong lân cận mở Nε (∂Ω) = {x ∈ Cn | δ(x) < ε} của Ω và ta có Ω = {x ∈ Cn | ρ(x) < 0}, hơn nữa với p ∈ ∂Ω và z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn thì X ∂ 2 ρ(p) zν z µ > 0, với z 6= 0. ∂ζν∂ζ µ Ta cũng có thể định nghĩa miền giả lồi chặt theo cách khác như sau: Với mỗi p ∈ ∂Ω, ta gọi không gian tiếp xúc Tp ∂Ω tại p là tập Tp ∂Ω = {z ∈ Cn : Re < ∂ρ(p), z >= 0}, trong đó  ∂ρ(p) =  ∂ρ ∂ρ (p), . . . , (p) , ∂ζ1 ∂ζn và < z, ω >:= n X ν=1 3 zν ω ν , là tích Hermite chính tắc của hai véc tơ z = (z1 , . . . , zn ) và ω = (ω1 , . . . , ωn ) trong Cn . Xét không gian con Hp ∂Ω = {z ∈ Cn |< ∂ρ(p), z >= 0}, Ta định nghĩa dạng Levi Lρ (p; ·) như sau: n X ∂ 2ρ Lρ (p; z) = (p)zν z µ , ∂z ∂z ν µ ν,µ=1 với z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn . Ta nói Ω là miền giả lồi chặt nếu dạng Levi Lρ (p; ·) là xác định dương trên Hp ∂Ω với p ∈ ∂Ω. 1.2 Metric Carnot-Carathéodory Cho Ω là một miền giả lồi chặt. Ta gọi đường cong trơn lớp C 1 từng · khúc α : [0; 1] → ∂Ω là ngang nếu với mỗi t ∈ [0; 1] mà α(t) tồn tại thì . α(t) ∈ Hα(t) ∂Ω. Ta định nghĩa độ dài Levi của đường cong α bởi Z 1
1/2 . Lρ − length(α) := Lρ α(t); α(t) dt. 0 Với mọi p, q ∈ ∂Ω, đặt dH (p, q) = inf{Lρ − length(α)}, trong đó α : [0; 1] → ∂Ω là môt đường cong ngang mà α(0) = p, α(1) = q. dH được gọi là metric Carnot-Carathéodory trên ∂Ω. Tại mỗi điểm p ∈ ∂Ω, ta tách Cn = Hp ∂Ω ⊕ Np ∂Ω, trong đó Np ∂Ω là không gian con phức một chiều của Cn trực giao với Hp ∂Ω. Như vậy, một véc tơ z ∈ Cn có thể viết được duy nhất dưới dạng z = zH + zN , với zH ∈ Hp ∂Ω và zN ∈ Np ∂Ω. . Cho một đường cong ngang α : [0; 1] → ∂Ω, ta có αN ≡ 0 và do vậy Z 1 . length(α) = |αH (t)|dt. 0 Do Ω là miền giả lồi chặt nên tồn tại một hằng số c ≥ 1 sao cho 1 |z| ≤ Lρ (p; z)1/2 ≤ c|z|, c với p ∈ ∂Ω, z ∈ Hp ∂Ω. 4 (1.1) Với mỗi x ∈ Ω, chọn một điểm π(x) ∈ ∂Ω mà |x − π(x)| = δ(x). Khi đó ta có ánh xạ π : Ω → ∂Ω. Vì Ω có biên trơn lớp C 2 , điểm π(x) ∈ ∂Ω mà |x − π(x)| = δ(x) là xác định duy nhất nếu x đủ gần biên. Ta định nghĩa hàm g : Ω × Ω → R bởi " # dH (π(x), π(y)) + h(x) ∨ h(y) p g(x, y) = 2log , (1.2) h(x)h(y) trong đó h(x) := δ(x)1/2 với x ∈ Ω, a ∨ b := max{a, b} và dH là metric Carnot-Carathéodory trên ∂Ω. 1.3 Metric Finsler Cho Ω là một miền trong Cn . Ánh xạ liên tục F : Ω × Cn → R+ xác định bởi F (x, tz) = |t|F (x, z), với x ∈ Ω, t ∈ C, z ∈ Cn được gọi là một metric Finsler trên Ω. Hàm khoảng cách dF liên kết với F được xác định bởi dF (x, y) = inf{F − length(γ)}, trong đó γ : [0; 1] → Ω là một đường cong trơn từng khúc lớp C 1 sao cho γ(0) = x, γ(1) = y và Z 1 . F − length(γ) = F (γ(t), γ (t))dt. 0 1.4 Metric Kobayashi Cho D là một đĩa đơn vị trong C, Ω là một miền trong Cn . Nếu f : D → Ω là ánh xạ chỉnh hình thì ta kí hiệu Df (z) là ánh xạ vi phân của nó tại điểm z ∈ D. Metric Kobayashi K trên Ω là metric vi phân xác định bởi: Với mọi x ∈ Ω, z ∈ Cn thì K(x, z) = inf{|v| : f ∈ Hol(D, Ω), f (0) = x, Df (0)(v) = z}, trong đó Hol(D, Ω) là kí hiệu tập các ánh xạ chỉnh hình từ D vào Ω. 5 Theo một kết quả của Royden, metric Kobayashi là một hàm nửa liên tục trên trên Ω × Cn . Khoảng cách Kobayashi dK là hàm khoảng cách liên kết với metric Kobayashi K . Tức là dK = inf{K − length(γ)}, trong đó γ : [0; 1] → Ω là đường cong trơn từng khúc lớp C 1 sao cho γ(0) = x, γ(1) = y và Z 1 . K − length(γ) = K(γ(t), γ (t))dt. 0 1.5 Không gian hyperbolic Gromov Một không gian metric X được gọi là trắc địa nếu bất kì hai điểm x, y thuộc X có thể được nối bởi một đoạn trắc địa, kí hiệu là [x, y]. Không gian trắc địa được gọi là δ − hyperbolic nếu với bất kì tam giác trắc địa [x, y] ∪ [y, z] ∪ [x, z] trong X và bất kì điểm p ∈ [x, y], ta có: dist(p, [y, z] ∪ [x, z]) ≤ δ. Định nghĩa 1.5.1. Cho (M, | · |) là một không gian metric, với x, y, p ∈ M . Ta định nghĩa tích Gromov của hai điểm x và y trong X ứng với p, kí hiệu là (x | y)p bởi 2(x | y)p = |x − p| + |y − p| − |x − y|. Tích Gromov có các tính chất sau: • (x | y)p = (y | x)p , (x | y)y = (x | y)x = 0. • |x − y| = (x | z)y + (y | z)x . • 0 ≤ (x | y)p ≤ |x − p| ∧ |y − p|. • |(x | y)p − (x | y)q | ≤ |p − q|. • |(x | y)p − (x, z)p | ≤ y − z. Ta có định nghĩa sau về không gian hyperbolic Gromov. Định nghĩa 1.5.2. Cho M, | · |) là một không gian metric, ta nói M là hyperbolic Gromov (hay δ − hyperbolic) nếu tồn tại một hằng số δ ≥ 0 sao cho (x | z)p ≥ (x | y)p ∧ (y | z)p − δ, với mọi x, y, z, p ∈ M , trong đó a ∧ b = min{a, b}. 6 (1.3) Ta cũng có thể định nghĩa theo cách tương đương như sau: Không gian metric (M, | · |) gọi là không gian hyperbolic Gromov nếu tồn tại một hằng số δ > 0 sao cho | x − z | + | y − z |≤ (| x − y | + | z − p |) ∨ (| x − p | + | y − z |) + 2δ, với mọi x, y, z ∈ M và a ∨ b = max{a, b}. Ta có một số ví dụ sau về không gian hyperbolic Gromov. Ví dụ 1. Không gian Euclid Rn với n ≥ 2 không là hyperbolic Gromov nhưng đường thẳng thực R1 là δ−hyperbolic với δ = 0. Ví dụ 2. Cho (X, | · |) là một không gian metric tùy ý. Ta định nghĩa một metric mới trên X bởi | x − y |0 = log(1+ | x − y |). Từ bất đẳng thức tam giác | x − y |≤| x − z | + | y − z | ta có | x − y |0 ≤ max(| x − z |0 , | y − z |0 ) + log2, do vậy − | x − y |0 − | z − t |0 + max(| x − z |0 + | y − t |0 , | x − t |0 + | y − z |0 ) ≥ −2log2. Từ đó suy ra (X, | · |0 ) là δ−hyperbolic với δ = log2. Ví dụ 3. Cho A(−1; 0), B(0; 1), D(0, −1) ∈ R2 và M = {A, B, D} ∪ {C | C(x; 0), x ≥ 0}. 2 Giả sử d là khoảng cách Euclid " trên√R . Khi√đó#không gian metric (M, d) 3− 2 4− 2 là hyperbolic Gromov với δ ∈ ; . 2 2 Thật vậy, ta sẽ chứng tỏ tồn tại hằng số δ > 0 sao cho d(X, Z) + d(Y, W ) ≤ [d(Z, W ) + d(Y, Z)] ∨ [d(X, Y ) + d(Z, W )] + 2δ, với mọi X, Y, W, Z ∈ M. Ta có d(B, D) = 2, d(A, C) = x + 1, √ d(A, B) = d(A, D) = 2, 7 và d(C, D) = d(C, B) = √ x2 + 1. Theo trên ta sẽ chỉ ra hằng số δ > 0 thỏa mãn d(A, C) + d(B, D) ≤ [d(A, B) + d(C, D)] ∨ [d(A, D) + d(B, C)] + 2δ. Do d(A, B) + d(C, D) = d(A, D) + d(C, B) nên ta tìm được δ thỏa mãn √ 2) − 2δ ≤ x2 + 1, x ≥ 0 √ ⇔ x + b ≤ x2 + 1, x ≥ 0. √ √ 3− 2 4− 2 Do vậy δ ≥ khi b ≤ 0 và δ ≤ khi b ≥ −1. 2 2 Trong các trường hợp khác, bất đẳng thức đạt được δ ≥ 0. √ # " khi √ 3− 2 4− 2 ; . Vậy (M, d) là không gian hyperbolic Gromov với δ ∈ 2 2 x + (3 − √ Ví dụ 4. Cho (Z, d) là một không gian metric bị chặn. Kí hiệu diam(Z) = sup{d(x, y) | x, y ∈ Z}, và đặt  D(Z) = diam(Z) nếu diam(Z) > 0 1 nếu diam(Z) = 0. Con(Z) = Z × (0, D(Z)]. Ta định nghĩa ρ : Con(Z) × Con(Z) → [0, ∞) bởi   d(z, z 0 ) + h ∨ h0 0 0 √ ρ ((z, h), (z , h )) = 2log hh0 Thế thì ρ là một metric trên Con(Z). Thật vậy, bất đẳng thức tam giác ρ((z, h), (z 00 , h00 )) ≤ ρ((z, h), (z 0 , h0 )) + ρ((z 0 , h0 ), (z 00 , h00 )), dẫn đến d(z, z 00 ) + h ∨ h00 d(z, z 0 ) + h ∨ h0 d(z 0 , z 00 ) + h0 ∨ h00 √ √ √ ≤ · hh00 hh0 h0 h00 8 ⇔ h0 (d(z, z 00 ) + h ∨ h00 ) ≤ (d(z, z 0 ) + h ∨ h0 ) · (d(z 0 , z 00 ) + h0 ∨ h00 ) Vì d(z, z 00 ) ≤ d(z, z 0 ) + d(z 0 z 00 ), nên bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy ρ là một metric trên Con(Z). Giả sử có các số rij ≥ 0 sao cho rij = rji và rij ≤ rik + rkj với i, j, k ∈ {1, 2, 3, 4}. Giả sử r13 là số nhỏ nhất trong các số rij thỏa mãn giả thiết trên, do  r12 ≤ r13 + r32 ≤ 2r23 r34 ≤ r31 + r14 ≤ 2r14 , nên ta có r12 r34 ≤ 4((r13 r24 ) ∨ (r14 r23 )). Đặt xi = (zi , hi ), i ∈ {1, 2, 3, 4} là bốn điểm của Con(Z). Đặt dij = d(zi , zj ) và rij = dij + hi ∨ hj . Các số rij thỏa mãn yêu cầu ở trên. Vì vậy (d12 + h1 ∨ h2 )(d34 + h3 ∨ h4 ) ≤ 4((d13 + h1 ∨ h3 )(d24 + h2 ∨ h4 )) ∨ ((d14 + h1 ∨ h4 )(d23 + h2 ∨ h3 )) ⇒ ρ(x1 , x2 )+ρ(x3 , x4 ) ≤ (ρ(x1 , x3 )+ρ(x2 , x4 ))∨(ρ(x1 , x4 )+ρ(x2 , x3 ))+C. Do vậy Con(Z) là hyperbolic Gromov. 9 Chương 2 Tính hyperbolic Gromov và metric Kobayashi trên miền giả lồi chặt 2.1 Một ước lượng cho hàm khoảng cách tương ứng với metric Kobayshi trên một miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C2 Kết quả chính của phần này là chỉ ra từ một ước lượng địa phương đã biết cho một metric Finsler trên một miền giả lồi chặt bị chặn với biên trơn lớp C 2 dẫn đến ước lượng toàn cục cho hàm khoảng cách liên kết. Đó chính là nội dung của định lý sau: Định lý 2.1.1. [1] Cho Ω ⊆ Cn , n ≥ 2, là một miền giả lồi chặt, bị chặn với biên trơn lớp C 2 . Giả sử F là một metric Finsler trên Ω với tính chất sau: Tồn tại các hằng số ε0 > 0, s > 0, C1 > 0, C2 ≥ 1 sao cho với mọi T x ∈ Nε0 (∂Ω) Ω và mọi z ∈ Cn , ta có 1/2 Lρ (π(x); zH ) |zN |2 + (1/C2 ) ≤ F (x; z) (1 − C1 δ (x)) 4δ 2 (x) δ(x)  1/2 2 |z | L (π(x); z ) ρ H N ≤ (1 + C1 δ s (x)) + C2 , 4δ 2 (x) δ(x) s  (2.1) trong đó Nε0 (∂Ω) = {x ∈ Cn : δ(x) < ε0 } là một lân cận mở của ∂Ω, zH ∈ Hp ∂Ω và zN ∈ Np ∂Ω. Nếu dF là hàm khoảng cách liên kết với F và g được xác định như (1.2) thì tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi x, y ∈ Ω ta có g(x, y) − C 6 dF (x, y) 6 g(x, y) + C. Để chứng minh định lý này ta cần sử dụng một số kết quả sau: 10 Bổ đề 2.1.2. [1] Giả sử Ω ⊆ Rn , n ≥ 2 là miền bị chặn với biên trơn lớp C 2 . Đặt δ(x) = dist(x, ∂Ω), với x ∈ Rn . Khi đó tồn tại ε0 > 0 sao cho a) Với mỗi điểm x ∈ Nε0 (∂Ω), tồn tại một điểm duy nhất π(x) ∈ ∂Ω mà |x − π(x)| = δ(x), b) Hàm khoảng cách đến biên ρ : Rn → R là trơn lớp C 2 trên Nε0 (∂Ω), c) Trên các thớ của ánh xạ π : Nε0 (∂Ω) → ∂Ω ta có π −1 (p) = Sp := (p − ε0 n(p), p + ε0 n(p)), trong đó n(p) là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂Ω tại p ∈ ∂Ω, d) Gradient của ρ thỏa mãn gradρ(x) = n(π(x)), với ∀x ∈ Nε0 (∂Ω), e) Phép chiếu π : Nε0 (∂Ω) → ∂Ω là trơn lớp C 1 . Chứng minh. a) Chứng minh của phần này được trình bày chi tiết trong [11]. b) Đã được trình bày trong [12], dựa trên ý a). c) Cho p ∈ ∂Ω, xét hình cầu B(x, |x − p|), trong đó x nằm trên đoạn Sp = (p − ε0 n(p), p + ε0 n(p)). Hình cầu này tiếp xúc với ∂Ω, dễ thấy rằng khi cho x ∈ Sp dần đến p, chúng ta có B(x, |x − p|) ∩ ∂Ω = {p} . Ta chỉ ra điều này là đúng cho mọi x ∈ Sp . Thật vậy, giả sử ngược lại, có một điểm đầu x0 ∈ Sp với B(x0 , |x0 − p|) ∩ ∂Ω 6= {p}. Khi đó tồn tại một điểm p0 ∈ ∂Ω, p0 6= p, sao cho {p, p0 } ⊆ B(x0 , |x0 − p|) ∩ ∂Ω ⊆ ∂B(x0 , |x0 − p|). Đặc biệt, |p − x0 | = |p0 − x0 | = δ(x0 ), điều này mâu thuẫn với a) nên ta có Sp ⊆ π −1 (p). Ngược lại, nếu x ∈ π −1 (p), x 6= p, thì [x, p] ⊆ π −1 (p) và dễ thấy x − p là trực giao với ∂Ω. 11 Từ |x − p| < ε0 , suy ra x ∈ Sp . Như vậy ta có [ [ Nε0 (∂Ω) = π −1 (∂Ω) = π −1 (p) = Sp . p∈∂Ω p∈∂Ω d) Vì |ρ(x) − ρ(y)| ≤ |x − y|, với x, y ∈ Nε0 (∂Ω), nên |gradρ(x)| ≤ 1 với x ∈ Nε0 (∂Ω). Chọn một điểm p ∈ ∂Ω và đặt x = p + t0 n(p), với t0 là điểm cố định thuộc (−ε0 , ε0 ). Xét điểm xt = p + (t0 + t)n(p), với t > 0 đủ nhỏ sao cho xt ∈ Nε0 (∂Ω). Khi đó theo ý c) ta có xt , x ∈ π −1 (p), vì vậy ρ(xt ) − ρ(x) = ||xt − p| − |x − p|| = t. Dùng khai triển Taylor, ta có t = ρ(xt ) − ρ(x) = (gradρ(x) · n(p))t + o(t). Vì |gradρ(x)| ≤ 1 suy ra gradρ(x) = n(p). e) Lấy x ∈ Nε0 (∂Ω) và p = π(x). Khi đó từ ý c) ta suy ra x = p + ρ(x)n(p). Mặt khác theo ý d) ta có n(p) = gradρ(x), vì vậy π(x) = p = x − ρ(x)gradρ(x). (2.2) Từ biểu thức trên cho π và theo ý b) suy ra π là ánh xạ trơn lớp C 1 . Tiếp theo, ta xét miền bị chặn Ω ⊆ Cn , n ≥ 2 với biên trơn lớp C 2 . Nếu ta đồng nhất Cn với R2n sao cho (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn ứng với (Re z1 , Im z1 , . . . , Re zn , Im zn ) ∈ R2n thì ta có thể sử dụng kết quả của Bổ đề 2.1.2 cho miền này. Ta đã biết, với p ∈ ∂Ω, mọi véc tơ z ∈ Cn đều có thể viết duy nhất dưới dạng z = zH + zN , 12 trong đó zH ∈ Hp ∂Ω, zN ∈ Np ∂Ω. Nếu γ : [0; 1] → Nε0 (∂Ω) ∩ Ω là đường cong trơn lớp C 1 và α = π ◦ γ là . . phép chiếu của γ lên biên thì các véc tơ tiếp xúc γ (t), α(t) của các đường cong này cũng sẽ được viết thành . . . . . γ (t) = γ H (t) + γ N (t) và . α(t) = αH (t) + αN (t). Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1.3. [1] Cho Ω ⊆ Cn , n ≥ 2 là một miền bị chặn với biên trơn lớp C 2 . Khi đó tồn tại hằng số ε0 > 0 và C > 0 có tính chất sau: Nếu γ : [0, 1] → Nε0 (∂Ω) ∩ Ω là đường cong trơn lớp C 1 và α = π ◦ γ là phép chiếu của γ lên biên thì các đánh giá sau đạt được với t ∈ [0, 1] : . . . |γ H (t) − αH (t)| ≤ Cδ(γ(t))| γ (t)|, . . . |γ H (t) − αH (t)| ≤ Cδ(γ(t))| α(t)|, . . . |αN (t)| ≤ |γ N (t)| + Cδ(γ(t))| γ (t)|, . . . |γ N (t)| ≤ |αN (t)| + Cδ0 | α(t)|, nếu δ(γ(t)) ≡ δ0 . (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) Chứng minh. Chọn ε0 > 0 đủ nhỏ sao cho chúng ta có thể áp dụng Bổ đề 2.1.2. Thêm đó, ta có thể giả sử mọi đạo hàm của hàm số ρ đến bậc 2 là bị chặn đều trên Nε0 (∂Ω). Theo Bổ đề 2.1.2 e), đường cong α là trơn lớp C 1 . . Do vậy α được xác định. Từ (2.2) ta có α(t) − γ(t) = −ρ(γ(t))n(γ(t)) = −ρ(γ(t))n(α(t)), (2.7) _ trong đó n(x) = 2 ∂ ρ(x). Chú ý rằng n(x) = n(π(x)) và n(x)H = 0 tại π(x) với x ∈ Nε0 (∂Ω) (Bổ đề 2.1.2 c và d). Lấy vi phân công thức (2.7) ta được h i . . . . . α(t) − γ (t) = ρ(γ(t)) M1 (t) γ (t) + M2 (t)γ (t) + Reha(t), γ (t)in(γ(t)) (2.8) và h i . . . . γ α(t) − (t) = ρ(γ(t)) M3 (t) α(t) + M4 (t)α(t) + Reha(t), γ (t)in(α(t)), . (2.9) 13 trong đó M1 , . . . , M4 : [0, 1] → Mn (C) là các ma trận phức cấp (n × n) các hàm số phức, và a : [0, 1] → Cn là hàm véc tơ phức. Thành phần của hàm này có thể được xác định bằng cách lấy đạo hàm bậc 1 hoặc bậc 2 của ρ tại các điểm thuộc Nε0 (∂Ω). Vì vậy, các thành phần này là bị chặn đều độc lập của γ . Lấy phép chiếu lên không gian con ngang (tại α(t)) trong (2.8), ta suy ra (2.3). Tương tự (2.4) được suy ra từ (2.9). Ta chứng minh (2.5), do α(t) ⊆ ∂Ω với t ∈ [0, 1], suy ra . Rehα(t), n(α(t))i = 0. Do đó . . |αN (t)| = |Imhα(t), n(α(t))i|. (2.10) Lấy tích Hermit hai vế với n(γ(t)) trong (2.8) và áp dụng (2.10) ta được (2.5). Để chứng minh (2.6), ta lấy vi phân (2.7) với điều kiện ρ(γ(t)) = −δ0 , ta suy ra h i . . . . α(t) − γ (t) = −δ0 M3 (t) α(t) + M4 (t)α(t) , Bằng cách lấy phép chiếu trực giao ta được (2.6). . Nếu δ(γ(t)) ≡ δ0 và α là đường cong ngang, αN (t) ≡ 0 thì (2.6) có dạng . . |γ N (t)| ≤ Cδ0 | α(t)|. (2.11) Bổ đề 2.1.4. [1] Cho Ω ⊆ Cn , n ≥ 2, là một miền giả lồi chặt bị chặn với biên trơn lớp C 2 . Khi đó tồn tại ε0 > 0 và C > 0 có tính chất sau: Nếu γ : [0, 1] → Nε0 (∂Ω)∩Ω là trơn lớp C 1 và α = π◦γ , thì với t ∈ [0, 1], ta có . .   . . |γ N (t)|2 Lρ (α(t); αH (t)) |αN (t)|2 Lρ (π(γ(t)); γ H (t)) + ≥C + . δ(γ(t)) 4δ(γ(t))2 δ(γ(t)) δ(γ(t))2 (2.12) Chứng minh. Trong quá trình chứng minh ta xem làm thế nào để chọn số ε0 > 0, nhưng ta có thể giả sử là nó đủ nhỏ sao cho ta có thể sử dụng được Bổ đề 2.1.2 và Bổ đề 2.1.3. 1 Từ |z|2 ≥ |w|2 − |z − w|2 , với z, w ∈ Cn và áp dụng các bất đẳng thức 2 (2.3) và (2.5), ta nhận được . . 1 . |γ H (t)|2 ≥ |αH (t)|2 − C1 δ(γ(t))2 | γ (t)|2 2 14 (2.13) và . . 1 . |γ N (t)|2 ≥ |αN (t)|2 − C2 δ(γ(t))2 | γ (t)|2 . 2 (2.14) Kí hiệu vế trái của (2.12) là A. Từ (1.1), (2.13), (2.14) ta được  .  . . |αH (t)|2 |αN (t)|2 γ (t)|2 . A/2 ≥ C3 + − C | 4 δ(γ(t)) δ(γ(t))2 Nếu ε0 > 0 đủ nhỏ, ta luôn có . A/2 ≥ C4 | γ (t)|2 , do công thức (1.1). Do đó  A ≥ C3 . . |αH (t)|2 |αN (t)|2 + δ(γ(t)) δ(γ(t))2   ≥ C5 . . Lρ (α(t); αH (t)) |αN (t)|2 + δ(γ(t)) δ(γ(t))2  . Ở đây các C1 , C2 , . . . là các hằng số dương độc lập của γ và t. Mệnh đề sau được trình bày trong rất nhiều tài liệu (xem [13], [14], [15],. . . ). Mệnh đề 2.1.5. [1] (Ước lượng Box-Ball) Giả sử Ω ⊆ C n , n ≥ 2 là miền giả lồi chặt bị chặn với biên trơn lớp C 2 . Khi đó tồn tại ε0 ≥ 0 và C ≥ 1 sao cho với mọi 0 < ε ≤ ε0 và p ∈ ∂Ω, ta có Box(p, ε/C) ⊆ BH (p, ε) ⊆ Box(p, Cε), trong đó BH (p, ε) = {q ∈ ∂Ω : dH (p, q) < ε} và Box(p, ε) = {p + z ∈ ∂Ω : |zH | < ε, |zN | < ε2 }. Khai triển z = zH + zN được lấy tại p. Từ mệnh đề này, tồn tại các hằng số C1 , C2 > 0 sao cho C1 | p − q |≤ dH (p, q) ≤ C2 | p − q |1/2 , với p, q ∈ ∂Ω. Đặc biệt, tôpô trên ∂Ω cảm sinh bởi metric Carnot-Carathéodory trùng với tôpô cảm sinh bởi metric Euclid. 15 Nội dung tất yếu được sử dụng trong chứng minh Định lý 2.1.1 là metric Carnot-Carathéodory có thể lấy xấp xỉ bởi lớp các metric Remann Gκ trên ∂Ω. Cụ thể, cố định κ > 0 và cho p ∈ ∂Ω, z ∈ Tp ∂Ω, ta có định nghĩa G2κ (p; z) = Lρ (p; zH ) + κ2 |zN |2 . Hàm khoảng cách dκ liên kết với metric Riemann xấp xỉ với metric Carnot-Carathéodory dH được trình bày trong bổ đề dưới đây. Bổ đề 2.1.6. [1] (Bổ đề xấp xỉ) Tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi κ > 0, nếu p, q ∈ ∂Ω thỏa mãn dH (p, q) > 1/κ, thì 1 dκ (p, q) ≤ dH (p, q) ≤ Cdκ (p, q). C Chứng minh. Giả sử κ > 0 và xét metric Riemann Gκ như định nghĩa trên. Lấy p, q ∈ ∂Ω. Với mỗi đường cong ngang α trơn lớp C 1 trong ∂Ω nối p và . q chúng ta có αN ≡ 0 và do đó . . Gκ (α(t); α(t))2 = Lρ (α(t); α(t)), với t bất kì. Từ đó suy ra Gκ − length(α) = Lρ − length(α), với các đường cong ngang α. Với mỗi giá trị của dκ (p, q) ta giảm thiểu Gκ − length trên tất cả không chỉ với các đường cong ngang nối p và q . Do đó dκ (p, q) ≤ dH (p, q). (2.15) Để chứng minh dκ (p, q) bị chặn dưới, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại hằng số κ0 > 0, C > 0 để ta có dH (a, b) ≥ 1/κ ⇒ dκ (a, b) ≥ C/κ, với mọi a, b ∈ ∂Ω, κ ≥ κ0 . (2.16) Giả sử ta có (2.16) và lấy p, q ∈ ∂Ω sao cho dH (p, q) ≥ 1/κ. - Nếu κ ≥ κ0 , xét α : [0, 1] → ∂Ω là đường cong trơn lớp C 1 với α(0) = p, α(1) = q . Khi đó tồn tại N ∈ N và 0 = t0 < t1 < . . . < tN = 1 sao cho với xj = α(tj ) ∈ ∂Ω, ta có 1/κ ≤ dH (xj−1 , xj ) ≤ 2/κ, 16 j = 1, . . . , N.