Tài liệu Tính đơn điệu của hàm số

Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là      f  x   f x  .  Đồng biến trên K nếu với mọi x 1, x 2  K , x 1  x 2  f x 1  f x 2 ;  Nghịch biến trên K nếu với mọi x 1, x 2  K , x 1  x 2 1 2 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I   I thì f '  x   0 với mọi x  I .  Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x  0 với mọi x  I ;  Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm trên khoảng a;b thì tồn tại ít nhất một điểm c  a;b          sao cho f b  f a  f ' c b  a . Định lý 2 : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :  Nếu f ' x  0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ;     Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì hàm số f Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; không đổi trên khoảng I . Chú ý :  Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm f ' x  0 trên khoảng a;b thì hàm số f đồng biến trên a;b  .          Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm f ' x  0 trên khoảng a;b thì hàm số f nghịch biến trên a;b  . 5 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh BÀI TOÁN GIÁO KHOA Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 1 3 x  3x 2  8x  2 3 x 2  2x b) f x  x 1   c) f x  x 3  3x 2  3x  2  a) f x    d) f x    1 3 1 2 x  x  2x  2 3 2 Giải : 1 3 x  3x 2  8x  2 3 Hàm số đã cho xác định trên  . Ta có f ' x  x 2  6x  8  a) f x      f ' x  0  x  2, x  4 Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : x f' x 2 4 0  0    f x             Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;2 và 4;  , nghịch biến trên khoảng 2; 4 x 2  2x b) f x  x 1 Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ 1 .      Ta có f ' x  2 x  1  1  0, x  1  x  1 x  1 x 2  2x  2 2 2 Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : x f' x     1       f x   Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;     6  Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số c) f x  x 3  3x 2  3x  2 Nguyễn Phú Khánh   Hàm số đã cho xác định trên  .    Ta có f ' x  3x 2  6x  3  3 x  1   2    f ' x  0  x  1 và f ' x  0 với mọi x  1   Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 và  1;  nên hàm số đồng biến trên  . Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : x f' x 1 0    f x      1    Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 và  1;  nên hàm số đồng biến trên  . 1 1 d ) f x  x 3  x 2  2x  2 Tương tự bài a ) 3 2   Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số :  f x   x 4 2 c) f x   x 3  6x 2  9x  3 3 a ) f x  2x 3  3x 2  1 b) 4 2  2x  5 d)  f x   2x  x 2 Giải :  a ) f x  2x 3  3x 2  1 Hàm số đã cho xác định trên  . Ta có f ' x  6x 2  6x          f '  x   0, x   1; 0   f x  nghịch biến trên khoảng  1; 0  .     f ' x  0, x  ; 1 , 0;   f x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 và 0;  .   Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' x  0 , tìm ra hai nghiệm x  1, x  0 , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận.   b) f x  x 4  2x 2  5 Hàm số đã cho xác định trên  . 7 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Ta có f ' x  4x 3  4x Nguyễn Phú Khánh          f '  x   0, x   ; 1 ,  0;1  f x  nghịch     biến trên mỗi khoảng  ; 1 và  0;1 . f ' x  0, x  1; 0 , 1;   f x đồng biến trên mỗi khoảng 1; 0 và 1;  .   Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' x  0 , tìm ra hai nghiệm x  1, x  0, x  1 , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 4 2 c) f x   x 3  6x 2  9x  3 3 Hàm số đã cho xác định trên  .     Ta có f ' x  4x 2  12x  9   2x  3  2 3 3 và f ' x  0 với mọi x  2 2  3 Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  ;  và 2    f' x 0x    3   ;   nên hàm số nghịch biến trên  . 2    d ) f x  2x  x 2 Hàm số đã cho xác định trên  0;2  . 1x Ta có f ' x  , x  0;2 2x  x 2 f ' x  0, x  0;1  f x đồng biến trên khoảng          f '  x   0, x  1;2   f  x  nghịch  0;1 ; biến trên khoảng 1;2  . Hoặc có thể trình bày : f ' x  0, x  0;1  f x đồng biến trên đoạn  0;1 ;      f '  x   0, x  1;2   f  x  nghịch biến trên đoạn 1;2  . Ví dụ 3:   Chứng minh rằng hàm số f x  4  x 2 nghịch biến trên đoạn  0;2  Giải :   Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn  0;2  và có đạo hàm f ' x    x  0;2 . Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn  0;2  . Ví dụ 4: 8 x 4  x2  0 với mọi Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số 1. Chứng minh rằng hàm số f x  x 3  x  cos x  4 đồng biến trên  . Nguyễn Phú Khánh   2 . Chứng minh rằng hàm số f  x   cos 2x  2x  3 nghịch biến trên  . Giải : 1. Hàm số đã cho xác định trên  . Ta có f ' x  3x 2  1  sin x     Vì 3x 2  0, x   1  sin x  0, x   nên f ' x  0, x   . Do đó hàm số đồng biến trên  . 2 . Hàm số đã cho xác định trên  .       Ta có f ' x  2 sin 2x  1  0, x   và f ' x  0  sin 2x  1  x     k , k   4     Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn    k  ;   k  1   , k   . Do đó hàm số nghịch biến trên 4  4  .   Ví dụ 5: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f x  sin x trên khoảng 0;2 .     Giải :       Hàm số đã cho xác định trên khoảng 0;2 và có đạo hàm f ' x  cos x , x  0;2 .  3 ,x  2 2 Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau :     f ' x  0, x  0;2  x  x 0   f x  f' x   2 0 3 2  0  0 1 0 2 1    3    3  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  0;  và  ;2  , nghịch biến trên khoảng  ; .  2  2  2 2  Ví dụ 6: 9 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh   Chứng minh rằng : sin x  t a n x  2x , x   0;  .  2 Giải :   Xét hàm số f x  sin x  t a n x  2x liên tục trên nửa khoảng  0;  .Ta có :  2   1 1 2 f ' x  cos x   2  cos x   2  0,  x   0;   f x là hàm số đồng biến trên cos2 x cos2 x  2              0;  và f x  f 0 , x   0;  hay sin x  t a n x  2x , x   0;  (đpcm).  2  2  2    Ví dụ 7: Chứng minh rằng   1. sin x  x , x  0;   2 x3 2. sin x  x  3! 3. cos x  1  x2 x 4   , x  (0; ) 2 24 2 3  sin x   4.    cos x , x  (0; ) 2  x   ,x  (0; ) 2 Giải :   1. sin x  x , x  0;   2   Xét hàm số f (x )  sin x  x liên tục trên đoạn x   0;   2     Ta có: f '(x )  cos x  1  0 ,x   0;   f (x ) là hàm nghịch biến trên đoạn  0;  .  2  2   Suy ra f (x )  f (0)  0  sin x  x x  0;  (đpcm).  2 2. sin x  x  x3 3!  ,x  (0; ) 2 Xét hàm số f (x )  sin x  x    x3 liên tục trên nửa khoảng x  0;  . 6  2   x2  f "(x )   sin x  x  0 x  0;  (theo câu 1) 2  2      f '(x )  f '(0)  0 x   0;   f (x )  f (0)  0 x   0;   2  2 Ta có: f '(x )  cos x  1   sin x  x    x3 , x   0;  (đpcm). 3!  2 10 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số 3. cos x  1  Nguyễn Phú Khánh x2 x 4   , x  (0; ) 2 24 2   x2 x 4  liên tục trên nửa khoảng x  0;  2 24  2 Xét hàm số g(x )  cos x  1      x3 Ta có: g '(x )   sin x  x   0 x  0;  (theo câu 2)  g(x )  g (0)  0 x   0;  6  2  2  cos x  1    x2 x4  , x   0;  (Đpcm). 2 24  2 3  sin x   4.    cos x , x  (0; ) 2  x  Theo kết quả câu 2, ta có: sin x  x  x3 6   , x   0;   2 3 3   sin x  sin x x2 x2  x2 x4 x6    1  1     1  x 6 6  2 12 216  x    3  sin x  x2 x4 x4 x2   1    (1  )  x 2 24 24 9   3    sin x  x2 x2 x4 Vì x   0;   1  0  1    9 2 24  2  x  Mặt khác, theo câu 3: 1    x2 x4   cos x ,x   0;  2 24  2 3  sin x    Suy ra    cos x ,x   0;  (đpcm).  x   2 Ví dụ 8: Chứng minh rằng   1 1 4  1 , x   0;   2 sin2 x x 2 2 Giải : Xét hàm số f (x )  Ta có: f '(x )   1 sin2 x 2 cos x 3 sin x   1 x2 2 x 3    liênt ục trên nửa khoảng x   0;  .  2 2(x 3 cos x  sin 3 x ) 3 3 x sin x 3 .  sin x    Theo kết quả câu d của ví dụ7 , ta có:    cos x ,x   0;   x   2 11 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số      x 3 cos x  sin 3 x  0 ,x   0;   f '(x )  0 ,x   0;   2  2     4  f (x )  f    1  , x   0;  2  2 2 1 Do vậy:  sin2 x 1 x2 1 4 Nguyễn Phú Khánh   , x   0;  (đpcm).  2 2 Ví dụ 9: 3 x 1  Với 0  x  . Chứng minh rằng 22. sin x  2t a n x  2 2 . 2 Giải : 2. sin x Ta có: 2 2 ta n x 2 sin x  2. 2 1 sin x  t a n x 2 Ta chứng minh: 2 .2 3x 22 ta n x 1 sin x  t a n x 2  2.2 1 3  t a n x  x x  [0; ) . 2 2 2 1 3x  Xét hàm số f x  sin x  t a n x  liên tục trên nửa khoảng 0  x  . 2 2 2   sin x    Ta có: f , x  cos x    1 2. cos2 x  3 2 cos3 x  3 cos2 x  1  2 2 cos2 x (cos x  1)2 (2 cos x  1) 2   0 , x  [0; ) . 2 2 cos x  1 3  f (x ) đồng biến trên [0; )  f (x )  f (0)  0  sin x  tan x  x 2 2 2 Ví dụ 10: Chứng minh rằng x4  x  1  0 ,  x . Giải : Xét hàm số f (x )  x 4  x  1 liên tục trên  . Ta có f '(x )  4x 3  1 và f '(x )  0  x  1 3 4 Vì f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua min f (x )  f ( 1 3 ) 1 4 43 4 Vậy f (x )  0 , x .  1 3 4 . 1 3 4 , do đó 1  0 Ví dụ 11: Chứng minh rằng 12  x  [0; ) (đpcm). 2 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 1. ex  1  x , x x2 2. e x  1  x  , x  0 2 Giải : 1. ex  1  x , x Xét hàm số f (x )  e x  x  1 liên tục trên  . Ta có: f '(x )  e x  1  f '(x )  0  x  0 Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x )  f (0)  0 x . x2 2. e x  1  x  , x  0 2 Xét hàm số f (x )  e x  1  x  x2 liên tục trên nửa khoảng  0;  2  Ta có: f '(x )  e x  1  x  0 x (theo kết quả câu 1)  f (x )  f (0)  0 x  0 đpcm. Ví dụ 11: Tìm tất cả các giá trị của a để : a x  1  x x  0 (1). Giải : (1)  f (x )  a x  x  1  0 với x  0 (2). Ta có: f (x ) là hàm liên tục trên [0; ) và có f '(x )  a x ln a  1 .  Nếu 0  a  1  ln a  0  f '(x )  0 x  0  f(x) nghịch biến.  f (x )  f (0)  0 x  0  mâu thuẫn với (2).  a  1 không thỏa yêu cầu bài toán.  Nếu a  e  a x ln a  1  ex  1  0 x  0  f (x ) là hàm đồng biến trên [0; )  f (x )  f (0)  0 x  0  a  e thỏa yêu cầu bài toán.  1  a  e , khi đó f '(x )  0  x  x 0   loga (ln a )  0 và f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 , dẫn đến min f (x )  f (x 0 ) x 0  f (x )  0 x  0  f (x 0 )  0  1  loga (ln a )  1  0 ln a ln(ln a ) 1   1  0  1  ln(ln a )  ln a  0 ln a ln a e ln a  ln  0  e ln a  a  e ln a  a  0 (3). a Xét hàm số g(a )  e ln a  a với 1  a  e , ta có:  e  1  0 a  (1; e)  g(a )  g (e)  0 a  (1; e) mâu thuẫn với (3)  1  a  e không thỏa a yêu cầu bài toán. Vậy a  e . g '(a )  13 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh Ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn về dạng toán này ở chuyên đề “ Mũ – Logarit” Ví dụ 12: 1. Chứng minh rằng ln(1  x )  x  1 2 x x  0 (4). 2 2. Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với x  0 ln(1  x )  x  ax 2 (5). Giải : 1. Chứng minh rằng ln(1  x )  x  Xét hàm số f (x )  ln(1  x )  x  1 2 x x  0 (4). 2 1 2 x liên tục trên nửa khoảng  0;  . 2  1 x2 Ta có f '(x )  1 x   0, x  0 1x x 1  f (x )  f (0)  0 x  0  (4) đúng. 2. Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với x  0 ln(1  x )  x  ax 2 Giả sử (5) đúng với x  0  (5) đúng với x  0  ln(1  x )  x x 2  a x  0 (6). Cho x  0 , ta có: Khi đó: x  ln(1  x )  x x2  1 1 1    a  a  . 2 2 2 1 2 x  x  ax 2 x  0 , 2 Mà theo chứng minh ở câu 1 thì: ln(1  x )  x  Vậy a  (5). 1 2 x x  0 , dẫn đến ln(1  x )  x  ax 2 x  0 . 2 1 là giá trị cần tìm. 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN   1. Chứng minh rằng hàm số f x  1  x 2 nghịch biến trên đoạn  0;1 . 4 2. Chứng minh rằng hàm số f x  x 3  2x 2  x  3 đồng biến trên  . 3 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 10 7 1 a ) f x  2x 5  5x 4  x 3  h) f x   2x 3 3 x 1 b) f x  x 3  2x 2  x  1 i ) f x  3x  1      j) 14     f x   4x  x 2 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số 4 c) f x  x  x 9 d) f x  x  x 1 e) f x  x 3  2x 2  4x  5 3 x 2  8x  9 f) f x  x 5 Nguyễn Phú Khánh   f x   x  k) f x  x  x  l)     m) f x    g)   f x   x 2x x 9 2 x 2  2x  3 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau : 1 1 a) y   x x 2 x 1 b) y  3 x 3x c) y  2 x 1 d ) y  x 2  2x  3 1 4 x  x3  x  5 2 3 3 f ) y  x 4  2x 3  x 2  6x  11 4 2 4 5 g) y   x  x 3  8 5 7 h ) y  9x 7  7x 6  x 5  12 5 e) y  5. Chứng minh rằng : x 2 a ) Hàm số y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . x 2 x 2  2x  3 b) Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . x 1 6. Chứng minh rằng : 3x a ) Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 1  2x 2x 2  3x b) Hàm số y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 2x  1 c) Hàm số y  x  x 2  8 nghịch biến trên  . d ) Hàm số y  x  cos2 x đồng biến trên  . 7. Chứng minh rằng : a ) Hàm số y  2x  x 2 nghịch biến trên đoạn 1;2   b) Hàm số y  x 2  9 đồng biến trên nửa khoảng  3;  4 c) Hàm số y  x  nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  2; 0 và 0;2  x x d ) Hàm số y  2 đồng biến trên khoảng 1;1 , nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 và x 1 1;  .       8. Cho hàm số y  2x 2 x  2 15   Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;  Nguyễn Phú Khánh  b) Chứng minh rằng phương trình 2x 2 x  2  11 có nghiệm duy nhất . Hướng dẫn : x 5x  8 a) y '   0, x  2;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;  x 2 b) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng 2;  , do đó cũng liên tục trên đoạn 2; 3  ,           y 2  11  y 3 nên theo định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực c  2; 3 sao    khoảng 2;   nên c   2; 3  là nghiệm duy nhất của phương trình . cho y c  11 . Số thực c  2; 3 là 1 nghiệm của phương trình đã cho và vì hàm số đồng biến trên nửa 9. Cho hàm số y  sin2 x  cos x .     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   . Hướng dẫn :     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3  Hàm số liên tục trên đoạn  0;   và y '  sin x 2 cos x  1 , x  0;            Vì x  0;   sin x  0 nên trong khoảng 0;  : f ' x  0  cos x     y '  0, x   0;  nên hàm số đồng biến trên đoạn  3 1  x  2 3    0;   3      y '  0, x   ;   nên hàm số nghịch biến trên đoạn  ;   3  3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .     5  x  0;  ta có y 0  y  y    1  y  nên phương trình cho không có nghiệm m  1;1 4  3 3     5  x   ;   ta có y   y  y    1  y  . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số 4 3  3        5 liên tục với m  1;1   1;  , tồn tại một số thực c   ;   sao cho y c  0 . Số c là nghiệm 4  3     16  Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh   của phương trình sin2 x  cos x  m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn  ;   nên trên đoạn này , 3  phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  0;   . 10. Cho hàm số f x  2 sin x  tan x  3x     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;  .  2 Hướng dẫn :   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng  0;   2   Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2    2   1  cos x 2 cos x  1   1 2 cos3 x  1  3 cos2 x f ' x  2 cos x   3    0,  x   0;  cos2 x cos2 x cos2 x  2   Do đó hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;   2       b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2   Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và  2     f x  f 0  0, x   0;  ; do đó 2 sin x  tan x  3x  0 mọi x   0;  hay  2  2        2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2 11.   a ) Chứng minh rằng tan x  x với mọi x   0;  .  2   x3 b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2 Hướng dẫn :   a ) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2   17 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh   Hàm số f x  tan x  x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2   1 f' x   1  tan2 x  0, x   0;  . 2 cos x  2         Do đó hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và f x  f 0  0, x   0;   2  2 hay tan x  x .   x3 b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2      x3 trên nửa khoảng 3    0;  .  2   x3 Hàm số g x  tan x  x  liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm 3  2   1 g' x   1  x 2  tan2 x  x 2  tan x  x tan x  x  0, x   0;  câu a ) 2 cos x  2   Xét hàm số g x  tan x  x         x3 đồng biến trên nửa khoảng 3    0;  và  2     x3 với mọi x   0;  . g x  g 0  0, x   0;  hay tan x  x  3  2  2   4 12. Cho hàm số f x  x  tan x với mọi x   0;    4   a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4   4 b) Từ đó suy ra rằng x  tan x với mọi x   0;  .   4 Hướng dẫn :   a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4   4 Hàm số f x  x  tan x liên trục trên đoạn  0;  và có đạo hàm   4   Do đó hàm số g x  tan x  x         f' x    4 1 4     tan2 x , x   0;  2  cos x   4 Vì 0    4    1  tan nên tồn tại một số duy nhất c   0;  sao cho tanc   4  4        ,   f ' x  0  tan x   f ' x  0, x  0; c  hàm số f x đồng biến trên đoạn x  0; c  18 4   4  Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh      f ' x  0, x   c;   hàm số f x nghịch biến trên đoạn x  c;   4  4     4 4 b) Dễ thấy 0  f x  f c ; x   0;   x  tan x  0 hay x  tan x với mọi x   0;  .    4  4 13. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau : a ) sin x  x với mọi x  0 , sin x  x với mọi x  0       x2 với mọi x  0 2 x3 c) sin x  x  với mọi x  0 6 b) cos x  1  , sin x  x  x3 với mọi x  0 6   d ) sin x  tan x  2x với mọi x   0;   2 Hướng dẫn : a ) sin x  x với mọi x  0 .   Hàm số f x  x  sin x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2   x f ' x  1  cos x  2 sin2  0, x   0;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2  2      0;  và ta có  2       f x  f 0  0, x   0;  , tức là x  sin x  0, x   0;  hay x  sin x , x   0;  .  2  2  2 x2 b) cos x  1  với mọi x  0 2 x2 Hàm số f x  cos x  1  liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm f ' x  x  sin x  0 2 với mọi x  0 ( theo câu a ). Do đó hàm số f x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và ta có              f x  f 0  0, x  0 , tức là cos x  1  2   Với mọi x  0 , ta có cos x  x  1 2    x2  0, x  0 2 x2  0, x  0 hay cos x  1   0, x  0 2 2 x với mọi x  0 2 x3 c) Hàm số f x  x   sin x . Theo câu b thì f ' x  0, x  0 . Do đó hàm số nghịch biến trên  . 6  f x  f 0 khi x  0 Và   f x  f 0 khi x  0   d ) sin x  tan x  2x với mọi x   0;   2 Vậy cos x  1            19 Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh   Hàm số f x  sin x  tan x  2x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2   1 1 f ' x  cos x   2  cos2 x   2  0, x   0;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa 2 2 cos x cos x  2         khoảng  0;  và ta có f x  f 0  0, x   0;   2  2 14 Chứng minh rằng :   d ) 20082009  20092008 a ) 2sin x  2tan x  2x 1, x   0;  a b a b   2 e)  tan a  tan b  ,0  a  b  2 2 2 cos b cos a    2 b) 1  x cos2 x  , x   0;  4  4    c) 5 tan 60  6 tan 50 15 Chứng minh rằng : b a b b a a)  ln  ,0  a  b a a b 1  y x   lg lg 4 b) y  x  1  y 1x 0  x  1; 0  y  1, x  y   a b a b  , a  0, b  0, a  b ln a  ln b 2 d ) lgx (x  1)  lgx 1(x  2), x  1 c) ab  e) 20 x y x y  ,x  y  0 2 ln x  ln y