Tài liệu Tính đặt chỉnh levitin polyak của bài toán cân bằng hai mức và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THỊ KIẾN TRÚC TÍNH ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THỊ KIẾN TRÚC TÍNH ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2021 CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HƯNG Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. NGUYỄN BÁ THI Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS. TS. NGUYỄN HUY TUẤN Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM ngày 22 tháng 06 năm 2021 (trực tuyến). Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1. Chủ tịch: PGS. TS. Nguyễn Đình Huy 2. Thư ký: TS. Nguyễn Tiến Dũng 3. Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi 4. Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn 5. Ủy viên: TS. Hồ Đắc Nghĩa Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có). CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Đại học Quốc Gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Độc lập - Tự do - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: Nguyễn Thị Kiến Trúc MSHV: 1770492 Ngày, tháng, năm sinh: 16/02/1991 Nơi sinh: Long An Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60460112 TÍNH ĐẶT CHỈNH LEVITIN-POLYAK CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG. I. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức chuẩn bị. - Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức. - Ứng dụng. II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 22/02/2021 III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 13/06/2021 IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN VĂN HƯNG Tp. Hồ Chí Minh, ngày ... tháng ... năm 2021 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TRƯỞNG KHOA LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy, TS. Nguyễn Văn Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, cung cấp đề tài và nguồn tài liệu quý báu cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Đồng thời, thầy đã định hướng và truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ những khó khăn trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu khi thực hiện luận văn. Luận văn sẽ không thực hiện được nếu không có sự hướng dẫn của thầy. Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa đã dành nhiều thời gian để đọc kỹ luận văn này và cho tôi những lời khuyên, những nhận xét, đánh giá và bình luận bổ ích để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh đã hết lòng giảng dạy và truyền thụ kiến thức giúp tôi có một nền tảng kiến thức khoa học để thực hiện luận văn. Sau cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả những ai có quan tâm đến luận văn này, để tôi có thêm kiến thức nhằm bổ sung và hoàn thiện tốt hơn cho những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quá trình thực hiện luận văn. Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, Ngày 4 tháng 8 năm 2021 Người thực hiện luận văn Nguyễn Thị Kiến Trúc TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Tóm tắt. Mục tiêu của luận văn này là thiết lập tính đặt chỉnh LevitinPolyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu bài toán cân bằng hai mức vectơ loại yếu. Sau đó, chúng tôi chứng tỏ sự tương đương giữa tính đặt chỉnh và điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán này với một số điều kiện phù hợp. Ngoài ra, các kết quả về đặc trưng mêtric của đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán này cũng được thiết lập. Cuối cùng, chúng tôi ứng dụng các kết quả này cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. Từ khóa. Bài toán cân bằng hai mức; bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng; đặt chỉnh Levitin-Polyak. ABSTRACT Levitin-Polyak Well-Posedness for Bilevel Equilibrium Problems and Applications Abstract. The objective of the thesis is to establish the Levitin-Polyak well-posedness for bilevel weak vector equilibrium problems. Then, we show that, under suitable conditions, the equivalence between Levitin-Polyak well-posedness and existence of solutions, the equivalence between LevitinPolyak well-posedness and upper semicontinuity of solutions for bilevel weak vector equilibrium problems. Further, results on metric characterization of the LP well- posedness for such problem in terms of the behavior of the approximate solution set are provided. Finally, we apply to variational inequality problems with equilibrium constraints. Keywords. Bilevel equilibrium problems; Variational inequality problems with equilibrium constraints; Levitin-Polyak well-posedness. ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên là Nguyễn Thị Kiến Trúc, mã số học viên: 1770492, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh, khóa 2017 - 2019. Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả được trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hưng và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này. Tp. Hồ Chí Minh, Ngày 4 tháng 8 năm 2021 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Kiến Trúc iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN ii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU vi Mở đầu 1 Tổng quan và tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 Cơ sở và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . Phạm vi và đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 1.2 Khái niệm ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển . . . . . . . . . 5 6 1.3 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức 10 2.1 2.2 Bài toán cân bằng hai mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức . . . . . . . 10 11 2.3 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng 21 21 3.2 3.3 22 24 Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho (WVIEC) . . . . . . . . Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Kết luận chung và kiến nghị 25 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận văn 26 Tài liệu tham khảo 31 Lý lịch trích ngang 34 v DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa R R+ x∈M x 6∈ M ∀x ∈ M ∃x ∈ M Tập các số thực Tập hợp các số thực không âm x thuộc M x không thuộc M Với mọi x thuộc M Tồn tại x thuộc M f :X→Z Ánh xạ đơn trị từ X vào Z H:X⇒Z domH graphH H(A, B) intC diamA Ánh xạ đa trị từ X vào Z Miền hiệu quả của H Đồ thị của H Khoảng cách Hausdorff giữa A và B Phần trong của tập C Đường kính của A được định nghĩa bởi diamA = sup{d(a, b) = ka − bk : a, b ∈ A}. Bài toán tựa cân bằng vectơ yếu phụ thuộc tham số Bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng (WQVEP) (WBVEP) (WVIEC) vi MỞ ĐẦU 1 Tổng quan và tính cấp thiết của đề tài Bài toán cân bằng là một trong những lớp bài toán liên quan đến tối ưu được nhiều nhà toán học trong nước cũng như trên thế giới quan tâm trong những thập niên gần đây. Năm 1955, Nikaido và Isoda [21] lần đầu tiên giới thiệu bất đẳng thức f (x∗ , y) ≥ 0 với mọi y thuộc tập lồi K với f : K × K → R để sử dụng nghiên cứu trò chơi lồi không hợp tác. Năm 1972, Fan [6] gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức minimax và nghiên cứu điều kiện tồn tại cho bất đẳng thức này. Sau đó, Muu [19] đã nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho bài toán này trong năm 1984. Tên gọi “cân bằng” cho bài toán này lần đầu tiên được dùng năm 1992 trong bài của Muu và Oettli [20]. Trong suốt nhiều thập kỷ qua, đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu bài toán cân bằng và bài toán liên quan với những chủ đề khác nhau. Chúng ta có thể xem trong các tài liệu [2, 7, 10, 11] và các tài liệu tham khảo ở trong đó. Mặt khác, bài toán cân bằng hai mức lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Mordukhovich trong năm 2004 [18], bài toán này đã được thiết lập bằng cách kết hợp một bài toán cân bằng được ràng buộc bởi một bài toán cân bằng khác, nghĩa là bài toán cân bằng thứ hai (mức trên) phụ thuộc vào dữ liệu của bài toán thứ nhất (mức dưới). Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng hai mức được nhiều người quan tâm nghiên cứu với các chủ đề khác nhau như ổn định nghiệm, tồn tại nghiệm, đặt chỉnh, chúng ta có thể xem trong các tài liệu [1, 3, 8, 9, 12] và các tài liệu tham khảo ở trong đó. Một trong những chủ đề đang được quan tâm hiện nay trong lý thuyết tối ưu và ứng dụng đó là tính đặt chỉnh. Năm 1966, khái niệm đặt chỉnh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Tikhonov [23] cho bài toán tối ưu vô hướng 1 không ràng buộc và được biết đến như là đặt chỉnh Tikhonov. Khái niệm này trên cơ sở sự tồn tại và duy nhất của nghiệm và hội tụ của mỗi dãy xấp xỉ cực tiểu đến nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, trong nhiều tình huống thực tế các dãy xấp xỉ được thiết lập bởi phương pháp số có thể bị hạn chế. Vì vậy, Levitin và Polyak [15] đã mở rộng khái niệm đặt chỉnh Tikhonov cho bài toán tối ưu ràng buộc và được biết đến như là khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak. Từ đó về sau, đã có nhiều người quan tâm nghiên cứu tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho các mô hình bài toán khác nhau liên quan đến tối ưu, (xem [13, 16] và các tài liệu liên quan). Gần đây, Anh và Hung [3] đã giới thiệu và nghiên cứu đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức loại mạnh và bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi đến thời điểm hiện tại chưa có bài báo nào nghiên cứu về mối quan hệ giữa tính đặt chỉnh Levitin-Polyak với tính nửa liên tục trên và tính đặt chỉnh Levitin-Polyak với sự tồn tại nghiệm và đặc trưng mêtric của hành vi của nghiệm xấp xỉ cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu và bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. Vì vậy, đây là một chủ đề mở và thú vị đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Xuất phát từ động cơ nghiên cứu như đã đề cập ở trên và xuất phát từ ý tưởng của các kết quả về tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức loại mạnh và bài toán mạng giao thông với ràng buộc cân bằng được nghiên cứu bởi Anh và Hung [3], chúng tôi chọn đề tài “Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak của bài toán cân bằng hai mức và ứng dụng” để làm luận văn thạc sĩ. Chúng tôi xét bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu và giới thiệu khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán này. Sau đó, chúng tôi chứng tỏ sự tương đương giữa tính đặt chỉnh Levitin-Polyak với tính nửa liên tục trên và tính đặt chỉnh Levitin-Polyak với sự tồn tại nghiệm cho bài toán này với một số điều kiện phù hợp. Ngoài ra, các kết quả về đặc trưng mêtric của đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu cũng được thiết lập. Cuối cùng, chúng tôi ứng dụng các kết quả này cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. 2 2 Cơ sở và phương pháp nghiên cứu - Đọc sách và tham khảo các tài liệu có liên quan. - Phân loại và hệ thống kiến thức có liên quan. - Phân tích, xử lý tài liệu, báo cáo seminar, trao đổi với thầy hướng dẫn và các đồng nghiệp cùng hướng nghiên cứu. 3 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán cân bằng vectơ hai mức yếu, bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng yếu. - Phạm vi nghiên cứu: Toán ứng dụng. 4 Nội dung nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi trình bày trong ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong giải tích đa trị. Trong Chương 2, chúng tôi sẽ thiết lập tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu. Trong Chương 3, chúng tôi ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với các ràng buộc cân bằng. Cụ thể là: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm ánh xạ đa trị. 1.2. Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển. 1.3. Kết luận Chương 1. Chương 2. Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức 2.1. Bài toán cân bằng hai mức. 2.2. Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức. 2.3. Kết luận Chương 2. Chương 3. Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. 3.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. 3 3.2. Tính đặt chỉnh cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. 3.3. Kết luận Chương 3. 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi hệ thống có chọn lọc một số khái niệm cơ bản về giải tích đa trị để phục vụ cho nội dung chính của Chương 2 và Chương 3. Các khái niệm này được chúng tôi trích ra từ các tài liệu chính [4, 5, 14, 16, 17, 22] và một số tài liệu liên quan. 1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các định nghĩa cơ bản liên quan đến ánh xạ đa trị. 1.1.1 Định nghĩa. ([4, p. 1]) Ánh xạ đa trị H từ tập X vào tập Z, ký hiệu H : X ⇒ Z là một quy luật cho tương ứng mỗi điểm x ∈ X với một tập H(x) ⊂ Z. Ánh xạ đa trị còn có tên gọi khác nữa là: Hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập. Nếu với mỗi x ∈ X tập H(x) chỉ gồm một phần tử của Z thì ta nói H là ánh xạ đơn trị từ X vào Z. 1.1.2 Định nghĩa. ([5, Definition 1.3.1]) Miền hiệu quả domH và đồ thị graphH của ánh xạ đa trị H : X ⇒ Z tương ứng được xác định bởi các công thức: domH := {x ∈ X | H(x) 6= ∅},  graphH := (x, y) ∈ X × Z | y ∈ H(x) . 5 Ánh xạ đa trị H được gọi là tầm thường nếu domH = ∅ và được gọi là chặt nếu domH = X. 1.1.3 Định nghĩa. ([17, Definition 1.1]) Một tập con khác rỗng C của không gian vectơ tôpô X được gọi là một nón lồi nếu C + C ⊂ C và λC ⊂ C, ∀λ > 0. Một nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩ (−C) = {0}. Ánh xạ đa trị H hoàn toàn được đặc trưng bởi graphH. Mỗi tập bất kì trong X × Z đều là đồ thị của một ánh xạ đa trị từ X vào Z. Vì vậy, đôi khi ta không cần phân biệt giữa H với đồ thị của nó. Đồng thời mối quan hệ hai ngôi giữa các phần tử của X và Z cũng là một ánh xạ đa trị từ X vào Z và ngược lại. Ta nói ánh xạ đa trị H có tính chất nào đó nếu đồ thị của nó có tính chất đó. Ví dụ ánh xạ đa trị H là đóng nếu graphH là tập đóng; ánh xạ đa trị H là compắc nếu graphH là tập compắc,... ở đây ta cần phân biệt các thuật ngữ: H đóng và H có ảnh đóng (tương ứng compắc,...) tức là H(x) đóng (tương ứng compắc,...) với mọi x ∈ domH. Thông thường khi phát biểu về khái niệm liên tục của một hàm đơn trị người ta có thể phát biểu ở hai dạng tương đương nhau đó là liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô và liên tục theo dãy. - Liên tục theo nghĩa lân cận hay liên tục tôpô: ánh xạ f : X → Z liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi lân cận bất kỳ U của f (x0 ), tồn tại một lân cận V của x0 sao cho ảnh của mọi phần tử trong U (nghĩa là f (V ) ⊂ U ). Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục trên. - Liên tục theo dãy: ánh xạ f : X → Z liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi dãy xn → x0 thì f (xn ) hội tụ về f (x0 ). Khi mở rộng khái niệm liên tục này cho hàm đa trị ta có khái niệm tương ứng là khái niệm nửa liên tục dưới. Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge. 1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển 1.2.1 Định nghĩa. ([4, Definitions 1-3]) Giả sử X, Z là hai không gian 6 tôpô Hausdorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị. (i) H được gọi là nửa liên tục trên (gọi tắt là usc) tại x0 ∈ domH nếu với mọi lân cận V của H(x0 ), tồn tại lân cận U của x0 sao cho H(x) ⊂ V , với mọi x ∈ U . (ii) H được gọi là nửa liên tục dưới (gọi tắt là lsc) tại x0 ∈ domH nếu với mọi tập mở V ⊂ Z thỏa mãn H(x0 ) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận U của x0 sao cho H(x) ∩ V 6= ∅, với mọi x ∈ U ∩ domH (iii) H được gọi là liên tục tại x0 ∈ domH, nếu H là usc và lsc tại x0 ∈ domH. (iv) H được gọi là đóng tại x0 ∈ domH nếu với mỗi lưới {(xα , zα )} ⊂ graphH sao cho (xα , zα ) → (x0 , z0 ), thì z0 ∈ H(x0 ). Nếu một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó tại mọi điểm của tập A ⊂ X, thì nó thỏa mãn tính chất này trong A. Nếu A = X, ta bỏ qua “trong X” trong phát biểu. Sau đây là một số tính chất quan trọng. 1.2.2 Bổ đề. ([4, 5]) Giả sử X, Z là hai không gian vectơ tôpô Hausdorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị. (i) Nếu H là usc tại x0 và H(x0 ) là đóng thì H là đóng tại x0 ; (ii) H là lsc tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα } ⊂ X hội tụ đến x0 và với mọi y0 ∈ H(x0 ), tồn tại yα ∈ H(xα ) sao cho yα → y0 . 1.2.3 Bổ đề. ([14, Lemma 2.1]) Giả sử X, Z là hai không gian tôpô Hausdorff và H : X ⇒ Z là ánh xạ đa trị. Nếu H có giá trị compắc, thì H là nửa liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα } ⊂ X hội tụ về x và với mọi {yα } ⊂ H(xα ), tồn tại y ∈ H(x) và một lưới con {yβ } của {yα } sao cho yβ → y. Để kết thúc chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về khoảng cách của tập đến tập và độ đo không compắc. Các khái niệm này sẽ được sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. 7 1.2.4 Định nghĩa. ([22]) Cho A là một tập con khác rỗng của X. Độ đo Kuratowski của A được định nghĩa bởi ζ(A) = inf{ϑ > 0 | A ⊆ n [ Li , diamLi < ϑ, i = 1, 2, ..., n với n ∈ N}. i=1 1.2.5 Định nghĩa. ([16]) Cho A, B là các tập con khác rỗng của X. Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được định nghĩa bởi H(A, B) = max{H ∗ (A, B), H ∗ (B, A)}, trong đó H ∗ (A, B) = supa∈A d(a, B). 1.2.6 Nhận xét. ([22]) Hàm ζ là độ đo chính quy, nghĩa là nó thỏa mãn các điều kiện sau: (a) ζ(D) = +∞ khi và chỉ khi tập D là không bị chặn. (b) ζ(D) = ζ(cl(D)). (c) Nếu ζ(D) = 0 thì D là tập hoàn toàn bị chặn. (d) Nếu P ⊂ Q thì ζ(P ) ≤ ζ(Q). (e) Nếu {Bn } là một dãy con đóng của X sao cho Bn+1 ⊂ Bn với mọi T n ∈ N và lim ζ(Bn ) = 0 thì M = Bn là một tập compắc và n→+∞ n∈N lim H(Bn , M ) = 0. n→+∞ 1.3 Kết luận Chương 1 Trong chương này, chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm cơ bản sau: - Khái niệm về ánh xạ đa trị. - Các khái niệm về một số loại nửa liên tục. - Mối quan hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính đóng của ánh xạ đa trị. - Khái niệm về khoảng cách của tập đến tập và độ đo không compắc. Tất cả các khái niệm này được chúng tôi thống kê lại mà không có bất kỳ đóng góp mới nào. Chúng tôi đã trích dẫn đầy đủ từ các tài liệu gốc. 8 Vì đây là các khái niệm cơ bản trong lý thuyết tối ưu nói riêng và trong toán học nói chung, do đó các khái niệm được trình bày trong chương này cũng có thể trùng lặp với các nguồn tài liệu khác. 9 CHƯƠNG 2 TÍNH ĐẶT CHỈNH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho các bài toán cân bằng hai mức loại yếu. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu bài toán cân bằng hai mức loại yếu. Sau đó, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu các khái niệm đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát cho bài toán này. Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ của tính đặt chỉnh với tính nửa liên tục trên của nghiệm xấp xỉ và tính đặt chỉnh với sự tồn tại nghiệm. Cuối cùng, chúng tôi mô tả mêtric các đặt chỉnh Levitin-Polyak và đặt chỉnh Levitin-Polyak tổng quát cho bài toán này. Một ví dụ đã được đưa ra để minh họa cho kết quả của chúng tôi. Các kết quả nhận được của chúng tôi trong chương này là mới và hoàn toàn khác với các kết quả của Anh và Hung trong [3]. 2.1 Bài toán cân bằng hai mức Cho X, W, Z, P là các không gian Banach, A và Λ là các tập con khác rỗng của X và W , tương ứng, C2 ⊂ P là một nón lồi, đóng, có đỉnh với phần trong khác rỗng intC2 6= ∅ và Y = A × Λ, h : Y × Y → P là một hàm vectơ. Chúng ta xét bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu sau đây: (WBVEP): Tìm x̄∗ ∈ graphQ−1 sao cho h(x̄∗ , y ∗ ) 6∈ −intC2 , ∀y ∗ ∈ graphQ−1 , trong đó Q(λ) là tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ yếu phụ 10