Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Tính cohen macaulay dãy của đại số rees...

Tài liệu Tính cohen macaulay dãy của đại số rees

.PDF
49
137
101

Mô tả:

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M o0o NGUY™N CH T…M TNH COHEN-MACAULAY D‚Y CÕA „I SÈ REES LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, N‹M 2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M o0o NGUY™N CH T…M TNH COHEN-MACAULAY D‚Y CÕA „I SÈ REES Ng nh: ¤i sè v  lþ thuy¸t sè M¢ sè: 8 46 01 04 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc: 1. PGS.TS. Naoki Taniguchi 2. TS. Tr¦n Nguy¶n An THI NGUY–N, N‹M 2018 i LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l  trung thüc v  khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi xin cam oan måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v  c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ng y 16 th¡ng 08 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Ch½ T¥m X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa tªp thº h÷îng d¨n khoa håc ii LÍI CƒM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS. Naoki Taniguchi, tr÷íng ¤i håc Waseda, Tokyo, Nhªt B£n v  TS. Tr¦n Nguy¶n An, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n. Tæi xin ÷ñc b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c ¸n hai th¦y, nhúng b i håc quþ gi¡ tø trang gi§y v  c£ nhúng b i håc trong cuëc sèng th¦y d¤y gióp tæi tü tin hìn v  tr÷ðng th nh hìn. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ ð ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c th¦y ð Vi»n To¡n v  c¡c th¦y cæ ¸n tø Nhªt B£n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi tham gia c¡c buêi xemina v  c¡c lîp håc ngo i ch÷ìng tr¼nh º tæi câ th¶m nhi·u ki¸n thùc quþ b¡u. Tæi xin ÷ñc gûi c£m ìn tîi t§t c£ th nh vi¶n trong gia ¼nh ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n. iii Möc löc Líi cam oan ii LÍI CƒM ÌN iii MÐ †U 1 Ch÷ìng 1 V nh låc v  t½nh Noether cõa v nh låc 3 1.1 V nh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 T½nh Noether cõa v nh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ch÷ìng 2 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees 18 2.1 Låc chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Mæun Cohen-Macaulay v  Mæun Cohen-Macaulay d¢y . . . . . 22 2.3 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees . . . . . . . . . . . . . 33 K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 42 MÐ †U Cho R l  mët v nh giao ho¡n Noether v  cho F = {Fn }n l  mët hå c¡c i¶an trong R. Khi â ta nâi F l  mët låc cõa R n¸u (i) F0 = R; Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z; (ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z. V½ dö v· c¡c lo¤i låc m  chóng ta th÷íng nghi¶n cùu â l  låc I -adic Fn = I n , n ∈ N vîi I l  i¶an cõa R; låc Fn = p(n) , n ∈ N l  låc lôy thøa h¼nh thùc cõa i¶an nguy¶n tè p trong R; låc Fn = I n , n ∈ N l  låc c¡c bao âng P P nguy¶n cõa I n ; låc Fn = i≥n Ri trong â R = i≥0 Ri l  mët v nh ph¥n bªc. Vîi t l  mët bi¸n tr¶n R v  vîi méi låc F cõa R ta câ ba ¤i sè ph¥n bªc li¶n k¸t l  R(F) = X Fn tn ⊆ R[t], n≥0 R0 (F) = X Fn tn = R(F)[t−1 ] ⊆ R[t, t−1 ] v  n∈Z G(F) = R(F)/t−1 R(F) v  ta gåi t÷ìng ùng l  ¤i sè Rees, ¤i sè Rees mð rëng v  v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa låc F . Khi F l  I -adic ta th÷íng k½ hi»u c¡c ¤i sè bði R(I), R0 (I) v  G(I) t÷ìng ùng. K¸t qu£ ¦u ti¶n v· x²t t½nh Cohen-Macaulay cõa v nh Rees ùng vîi låc m-adic l  cõa S. Goto-Y. Shimoda [13] hå ¢ x²t trong tr÷íng hñp R l  v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i duy nh§t m. Ð â hå ¢ kh¯ng ành n¸u dim R ≥ 1 th¼ v nh Rees R(m) vîi m i¶an tèi ¤i cõa R l  v nh Cohen-Macaulay khi v  ch¿ khi G(m) l  Cohen-Macaulay v  a(G(m)) < 0 trong â a(G(m)) l  a-b§t bi¸n cõa v nh ph¥n bªc (theo [14]). S. Ikeda [18] mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho v nh àa ph÷ìng b§t ký câ chi·u dim R ≥ 1. Sau â N. V. Trung v  S. Ikeda [28] t¼m hiºu cho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn. Cö thº cho I l  i¶an cõa v nh Nother àa ph÷ìng R, M l  i¶an tèi ¤i ph¥n bªc duy nh§t cõa R(I). Khi â n¸u dim R(I) = dim R + 1 th¼ R(I) l  v nh Cohen-Macaulay 1 khi v  ch¿ khi [Hmi (G(I))]n = (0) vîi måi i, n ∈ Z, i 6= dim R, n 6= −1 v  a(G(I)) < 0. T½nh Cohen-Macaulay cõa c¡c ¤i sè ùng vîi c¡c låc kh¡c công ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët c¥u häi tü nhi¶n °t ra l  t¼m hiºu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè tr¶n. Chó þ r¬ng t½nh Cohen-Macaulay d¢y l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u bði R. P. Stanley [25] cho c¡c mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Sau â N. T. C÷íng, L. T. Nh n [8] v  P. Schelzel [24] ¢ nghi¶n cùu lîp mæun n y tr¶n v nh àa ph÷ìng. T½nh Cohen-Macaulay d¢y ÷ñc ành ngh¾a cho mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether b§t ký bði S. Goto, Y. Horiuchi v  H. Sakurai [11]. Lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y l  mð rëng tü nhi¶n cõa lîp mæun Cohen-Macaulay. Vi»c nghi¶n cùu lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y âng vai trá r§t quan trång trong ¤i sè giao ho¡n, H¼nh håc ¤i sè, ¤i sè tê hñp, °c bi»t trong vi»c nghi¶n cùu v nh Stanley-Reiner. C§u tróc cõa mæun CohenMacaulay d¢y ÷ñc nghi¶n cùu kh¡ rã thæng qua ¦y õ m-adic, àa ph÷ìng ho¡, °c tr÷ng çng i·u [25, 8, 24, 16] v  h» tham sè tèt, h» tham sè dd-d¢y [6]. T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees ùng vîi låc I -adic tr¶n v nh àa ph÷ìng (R, m) ÷ñc nghi¶n cùu trong [7], trong â I l  i¶an m-nguy¶n sì. Trong [26] c¡c t¡c gi£ mð rëng nghi¶n cùu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè Rees ùng vîi låc têng qu¡t hìn. Möc ½ch cõa luªn v«n l  t¼m hiºu v nh låc, c¡c ¤i sè Rees v  t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè Rees. Vi»c t¼m hiºu chi ti¸t mët sè t½nh ch§t cõa mæun Cohen-Macaulay d¢y công l  mët möc ½ch kh¡c cõa luªn v«n. Luªn v«n tham kh£o ch½nh theo c¡c t i li»u [26], [27], [11], [5], [8], [19]. Luªn v«n ÷ñc bè cöc l m hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v· v nh låc v  t½nh Noether cõa v nh låc. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· låc chi·u, mæun CohenMacaulay v  mæun Cohen-Macaulay d¢y, t½nh Cohen- Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees. 2 Ch÷ìng 1 V nh låc v  t½nh Noether cõa v nh låc Ð ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l  v nh giao ho¡n câ ìn và v  M l  Rmæun. Mët sè ki¸n thùc c¦n thi¸t ch÷a ÷ñc n¶u trong luªn v«n câ thº tham kh£o trong [16],[20], [21]. Ch÷ìng n y tham kh£o theo [2], [17], [19]. 1.1 V nh låc Trong möc n y ta s³ giîi thi»u v· v nh Rees, v nh Rees mð rëng v  v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa mët v nh låc. ành ngh¾a 1.1.1. Cho R l  mët v nh v  {Fn}n∈Z l  mët hå c¡c i¶an cõa R. D¢y {Fn }n∈Z ÷ñc gåi l  mët låc c¡c i¶an cõa R n¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) F0 = R, Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z; (ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z. Mët v nh låc l  c°p (R, F) trong â R l  v nh v  F l  mët låc tr¶n R. V½ dö 1.1.2. Cho I l  mët i¶an cõa v nh R v  °t Fn = I n. Khi â ta câ låc R = I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ . . . ⊇ In ⊇ . . . Låc n y ÷ñc gåi l  låc lôy thøa hay låc I -adic. P P Cho R = Ri l  v nh Z-ph¥n bªc. °t Fn = Ri th¼ {Fn }n∈Z V½ dö 1.1.3. l  låc c¡c i¶an cõa R. i≥n i∈Z 3 ành ngh¾a 1.1.4. Cho R l  mët v nh v  p l  mët i¶an nguy¶n tè cõa R. Khi â lôy thøa h¼nh thùc bªc n cõa p, kþ hi»u l  p(n) ÷ñc ành ngh¾a l  pn Rp ∩ R, n ∈ N. V½ dö 1.1.5. Cho p l  mët i¶an nguy¶n tè cõa v nh R. Khi â vîi måi m, n ∈ N, pn .pm ⊆ pm+n . Tø â suy ra pn Rp .pm Rp ⊆ pm+n Rp . Do â (pn Rp ∩ R).(pm Rp ∩ R) ⊆ pm+n Rp ∩ R hay p(n) .p(m) ⊆ p(n+m) v  nh÷ vªy {p(n) }n l  mët låc. Ti¸p theo ta x²t mët v½ dö v· låc c¡c i¶an cõa v nh a thùc k[x] vîi k l  mët tr÷íng. V½ dö 1.1.6.√Cho Fn √ = (xd n e ), n ∈ N l  mët hå c¡c i¶an trong k[x] √ vîi kþ hi»u d n e l  sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng n . Ta chùng minh {Fn } l  mët låc c¡c i¶an cõa k[x]. Tr÷îc h¸t, ta chùng minh √ √ √ √ √ √ d m + n e ≤ d m e + d n e. Rã r ng ta câ d m + n e ≤ d m + n e. Khi â √ √ √ √ √ m + n ≤ m + n ≤ d m e+d n e. √ √ √ √ √ √ V¼ d m e + d n e ∈ N n¶n d d m e + d n e e = d m e + d n e. Do √ √ √ â d m + n e ≤ d m e + d n e. Ta câ i·u ki»n (ii) trong ành ngh¾a låc l  thäa m¢n. Hiºn nhi¶n i·u ki»n (i) cõa ành ngh¾a luæn thäa m¢n. Do vªy {Fn } l  låc c¡c i¶an cõa R. ành ngh¾a 1.1.7. Cho v nh låc (R, F), vîi låc F = {Fn}n∈Z v  M l  R- mæun. Mët låc c¡c mæun con cõa M l  hå {Mn }n∈Z c¡c mæun con cõa M thäa m¢n M0 = M v  Mn+1 ⊆ Mn . Låc {Mn }n∈Z ÷ñc gåi l  t÷ìng th½ch vîi låc F hay F -låc n¸u Fm Mn ⊆ Mm+n , vîi måi m, n ∈ Z. P P Cho R = Rn l  v nh Z-ph¥n bªc v  M = Gn l  Rn∈Z P n∈Z mæun ph¥n bªc. °t Mn = Gi , khi â {Mn }n∈Z l  mët F -låc cõa M ,vîi V½ dö 1.1.8. i≥n F = {Fn } nh÷ trong V½ dö 1.1.3. V½ dö 1.1.9. Cho (R, F) l  v nh låc vîi låc F = {Fn}n∈Z v  M l  R-mæun. °t Mn = Fn M . Khi â {Mn }n∈Z l  F -låc. Cho R l  mët v nh låc vîi låc F = {Fn }n∈Z . Ta ành ngh¾a ¤i sè Rees cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði M F n tn . R = R(F) = n≥0 4 Khi â R(F) ÷ñc xem nh÷ mët v nh con cõa v nh R[t]. Ta công ành ngh¾a ¤i sè Rees mð rëng cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði M R0 = R0 (F) = Fn tn . n∈Z Khi â R(F) ÷ñc xem nh÷ mët v nh con cõa v nh R[t, t−1 ]. Ngo i ra, ta ành ngh¾a v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði G = G(F) = ∞ M Fn /Fn+1 . n=0 Nâ l  mët v nh ph¥n bªc vîi ph²p nh¥n c£m sinh bði ph²p nh¥n ¡nh x¤ Fm × Fn −→ Fm+n . °t Cho M l  R-mæun, M = {Mn }n∈Z l  F -låc c¡c mæun con cõa M . R(M ) = X tn ⊗ Mn ⊆ R[t] ⊗R M n≥0 R0 (M ) = X tn ⊗ Mn ⊆ R[t, t−1 ] ⊗R M n∈Z G(M ) = R0 (M )/t−1 R(M ) ÷ñc gåi l  mæun Rees, mæun Rees mð rëng v  mæun ph¥n bªc li¶n P k¸t cõa M . Chó þ, æi khi º ìn gi£n ta công vi¸t R(M ) = Mn tn v  n≥0 P 0 n R (M ) = Mn t . n∈Z Ta x²t tr÷íng hñp °c bi»t, gi£ sû v nh R l  v nh giao ho¡n, I ⊆ R l  i¶an v  M l  R-mæun. Khi â ta kþ hi»u v nh Rees, v nh Rees mð rëng v  v nh ph¥n bªc li¶n k¸t ùng vîi låc {I n M }n∈Z bði M (I n M )tn R(I, M ) = n∈N v  M R (I, M ) = (I n M )tn 0 n∈Z G(I, M ) = M I n M/I n+1 M. n∈N Ta sû döng quy ÷îc I n = R n¸u n ≤ 0 v  x²t R(I, M ) v  R0 (I, M ) l  nhâm con cõa M [t, t−1 ] = M ⊗R R[t, t−1 ] 5 Hìn núa, vîi måi mæun con N cõa M ta °t M (I n M ∩ N )tn , R(I, N ⊆ M ) = n∈N R0 (I, N ⊆ M ) = M (I n M ∩ N )tn n∈Z v  G(I, N ⊆ M ) = M ((I n M ∩ N ) + I n+1 M/I n+1 M ). n∈N Nhªn x²t 1.1.10. Cho R l  v nh giao ho¡n, F = {Fn} l  mët låc c¡c i¶an cõa R, M l  R-mæun v  I l  mët i¶an cõa R. Khi â, ta câ (i) R, R0 , G l  c¡c v nh ph¥n bªc. R(M ) l  R-mæun ph¥n bªc, R0 (M ) l  R0 -mæun ph¥n bªc v  G(M ) l  c¡c G -mæun ph¥n bªc. °c bi»t, R(I, R), R0 (I, R) v  G(I, R) l  c¡c v nh ph¥n bªc, G(I, M ) l  mët G(I, R)-mæun ph¥n bªc v  t÷ìng tü èi vîi R(I, M ) v  R0 (I, M ). Ta công câ G(I, N ⊂ M ) (t÷ìng ùng R(I, N ⊂ M ), R0 (I, N ⊂ M )) l  mët mæun con cõa G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) v  khi â ta câ c¡c ¯ng c§u tü nhi¶n. R(I, M )/R(I, N ⊂ M ) ∼ = R(I, M/N ) tr¶n R(I, R), R0 (I, M )/R0 (R, N ⊂ M ) ∼ = R0 (I, M/N ) tr¶n R0 (I, R) G(I, M )/G(I, N ⊂ M ) ∼ = G(I, M/N ) tr¶n G(I, R). Hìn núa, n¸u ta coi G(I, M ) l  mët R-mæun, ta câ mët ¯ng c§u tü nhi¶n R(I, M )/IR(I, M ) ∼ = G(I, M ). N¸u M1 , M2 l  c¡c R-mæun khi â R(I, M1 ⊕ M2 ) ∼ = R(I, M1 ) ⊕ R(I, M2 ), R0 (I, M1 ⊕ M2 ) ∼ = R0 (I, M1 ) ⊕ R0 (I, M2 ) v  G(I, M1 ⊕ M2 ) ∼ = G(I, M1 ) ⊕ G(I, M2 ). (ii) R0 (F)/t−1 R0 (F) ∼ = G(F). (iii) Ph¦n tû t−1 ∈ R[t, t−1 ] thuëc v o R(F) v  l  R(F)- ch½nh quy. (iv) R(F)t−1 ∼ = R[t, t−1 ]. 6 Chùng minh. Ta chùng minh mët sè t½nh ch§t ð tr¶n. P (ii) Cho r ∈ R0 vîi r = n rn tn trong â rn ∈ Fn n¸u n ≥ 0 v  rn ∈ R n¸u n < 0. Ta x¥y düng mët çng c§u ϕ : R0 −→ G x¡c ành nh÷ sau: vîi P méi r ∈ R0 ta °t ϕ(r) = n rn , trong â rn ∈ Fn /Fn+1 vîi måi n ≥ 0 v  rn ∈ R n¸u n < 0. Ta th§y ϕ l  mët to n c§u v nh (v¼ vîi måi v ∈ G , ta P P n câ v = rn t vîi n≥0 an trong â an = Fn /Fn+1 , an ∈ Fn . Ta °t u = n n ≥ 0 th¼ rn = an v  n < 0 th¼ rn = 0. Theo c¡ch °t n y ta th§y u ∈ R0 v  P ϕ(u) = v ). Khi â n¸u ϕ(r) = 0 th¼ r = n rn+1 tn trong â rn+1 ∈ Fn+1 , i·u n y suy ra ker(ϕ) = t−1 R0 . Vªy G ∼ = R0 /t−1 R0 . (iv) Ta câ R[t−1 ] ⊆ R(F) ⊆ R[t, t−1 ]. àa ph÷ìng hâa t¤i t−1 c¡c bao h m thùc tr¶n ta câ R[t−1 ]t−1 ⊆ R(F)t−1 ⊆ R[t, t−1 ]t−1 . V¼ R[t−1 ]t−1 = R[t, t−1 ] v  R[t, t−1 ]t−1 = R[t, t−1 ] n¶n R(F)t−1 = R[t, t−1 ]. Nhªn x²t ti¸p theo cho t½nh Noether cõa v nh Rees ùng vîi låc I -adic. Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i ti¶u chu©n Noether cõa v nh ph¥n bªc. M»nh · 1.1.11. Cho R l  mët R0-¤i sè N-ph¥n bªc v  x1, . . . , xn l  c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t vîi bªc d÷ìng. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: (i) x1 , . . . , xn sinh ra i¶an m = ⊕∞ i=1 Ri ; (ii) x1 , . . . , xn sinh ra R nh÷ mët R0 -¤i sè. °c bi»t, R l  Noether khi v  ch¿ khi R0 l  Noether v  R l  R0 -¤i sè húu h¤n sinh. Chùng minh. (ii) ⇒ (i). Theo gi£ thi¸t, vîi méi r ∈ R tòy þ tçn t¤i f (T1 , . . . , Tn ) ∈ R0 [T1 , . . . , Tn ] sao cho f (x1 , . . . , xn ) = r. Cho r ∈ m l  mët ph¦n tû thu¦n nh§t. Ta chùng minh X r = f (x1 , . . . , xn ) = (rλ xi11 . . . xinn ) ∈ (x1 , . . . , xn ). λ=(i1 ,...,in ) V¼ r l  thu¦n nh§t n¶n f công l  thu¦n nh§t còng bªc. L¤i câ r ∈ m n¶n deg r ≥ 1 v  nh÷ vªy méi sè h¤ng cõa f chùa xi vîi i ∈ {1, . . . , n} n o P 0 â. Do â r = ri xi ∈ (x1 , . . . , xn ). Hiºn nhi¶n (x1 , . . . , xn ) ⊆ m n¶n m = (x1 , . . . , xn ). (i) ⇒ (ii). Cho y ∈ R l  thu¦n nh§t bªc d. Ta s³ chùng minh quy n¤p theo d r¬ng y = y1 x1 + . . . + yn xn vîi yi ∈ Rd−deg xi . N¸u deg(y) = 0 th¼ ta câ ngay 7 i·u ph£i chùng minh, v¼ y ∈ R0 . B¥y gií gi£ sû c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t cõa R câ bªc nhä hìn d sinh ra R thuëc R0 [x1 , . . . , xn ]. Theo gi£ thi¸t, ta bi¸t r¬ng y ∈ ⊕i≥1 Ri = m = (x1 , . . . , xn ) n¶n y = y1 x1 + . . . + yn xn vîi yi ∈ Ri . Ta câ y v  xi l  c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t nh÷ng yi câ thº khæng thu¦n nh§t. Biºu di¹n yi th nh têng c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t, sau â nh¥n ra v  nhâm c¡c sè h¤ng l¤i ta câ y = y10 x1 + . . . + yn0 xn trong â yi0 l  ph¦n tû thu¦n nh§t bªc deg y − deg xi ·u nhä d. Tø â, theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i fi ∈ R0 [T1 , . . . , Tn ] vîi yi0 = fi (x1 , . . . , xn ) ta câ i·u ph£i chùng minh. Vîi m»nh · cuèi, n¸u R l  Noether th¼ R0 ∼ = R/ ⊕i≥1 Ri = R/m, tø â suy ra R0 l  Noether. Hìn núa, n¸u R l  Noether th¼ m l  húu h¤n sinh bði (x1 , . . . , xn ) v  theo ành lþ n y, R l  R0 -¤i sè húu h¤n sinh bði (x1 , . . . , xn ). Ng÷ñc l¤i, n¸u R0 l  Noether th¼ v¼ R = R0 [x1 , . . . , xm ] = R0 [T1 , . . . , Th ]/I n¶n suy ra R l  Noether. M»nh · 1.1.12. Cho R l  mët Z-ph¥n bªc. Khi â c¡c m»nh · sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng: (i) Méi i¶an ph¥n bªc cõa R l  húu h¤n sinh; (ii) R l  v nh Noether; (iii) R0 l  Noether v  R l  mët R0 -¤i sè húu h¤n sinh; ∞ (iv) R0 l  Noether v  S1 = ⊕∞ i=0 Ri v  S2 = ⊕i=0 R−i l  R0 -¤i sè húu h¤n sinh. Chùng minh. Hiºn nhi¶n ta luæn câ (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Ta s³ chùng minh (i) ⇒ (iv). Tr÷îc h¸t ta chó þ r¬ng R0 l  h¤ng tû trüc ti¸p cõa R nh÷ R0 -mæun cõa R v  chùng minh IR ∩ R0 = I vîi méi i¶an I tòy þ cõa R0 . Thªt vªy, d¹ th§y f : R0 → R l  ìn c§u n¶n suy ra f −1 (f (I)) ⊆ I v  hiºn nhi¶n ta câ I ⊆ f −1 (f (I)). Do vªy f −1 (f (I)) = I . Tø â v¼ f −1 (IR) ⊇ f −1 (f (I)) = I n¶n I ⊆ IR ∩ R0 . Ng÷ñc l¤i, l§y a ∈ IR ∩ R0 suy ra a = f (a) ∈ IR. Khi â a ÷ñc biºu di¹n th nh têng húu h¤n nh÷ sau X a= ai αi , ∀ai ∈ R, ∀αi ∈ I. P B¥y gií ta biºu di¹n l¤i a = bj αj vîi bj αj thu¦n nh§t. L¤i câ a ∈ R0 n¶n deg(a) = 0 k²o theo deg(bj αj ) = 0, ∀j . Do vªy deg(bj ) = 0, ∀j (v¼ P deg(αj ) = 0, ∀j ). Tø â ta câ a = bj αj ∈ I (trong R0 ). Vªy IR ∩ R0 ⊆ I . 8 B¥y gií ta chùng minh R0 l  Noether. X²t mët d¢y t«ng c¡c i¶an trong R0 l  I0 ⊆ I1 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ . . . (1.1) Mð rëng c¡c i¶an n y th nh c¡c i¶an cõa R ta câ RI0 ⊆ I1 R ⊆ . . . ⊆ In R ⊆ In+1 R ⊆ . . . (1.2) l  mët d¢y t«ng c¡c i¶an trong R. V¼ R l  Noether n¶n d¢y (1.2) l  d¢y døng, tùc l  tçn t¤i n ∈ N sao cho In R = In+k R vîi måi k ∈ N. B¥y gií l¤i thu hµp d¢y n y trong R0 ta câ I0 R ∩ R0 ⊆ I1 R ∩ R0 ⊆ . . . ⊆ In R ∩ R0 = In+1 R ∩ R0 = . . . (1.3) Do â d¢y n y døng v  v¼ IR ∩ R0 = I n¶n ta s³ thu ÷ñc d¢y (1.1) ban ¦u v  ta th§y d¢y (1.1) l  døng, do â R0 l  Noether. T÷ìng tü nh÷ vªy, ta chùng minh ÷ñc c¡c Ri l  R0 -mæun húu h¤n sinh vîi méi i ∈ Z. Ti¸p theo, °t m = ⊕∞ i=1 Ri . Ta chùng minh m l  mët i¶an húu h¤n sinh cõa S1 . Theo gi£ thi¸t, mR câ h» sinh húu h¤n l  x1 , . . . , xm v  gi£ sû méi ph¦n tû sinh xi l  thu¦n nh§t bªc di . °t d = max{d1 , . . . , dm }. Khi â y ∈ m vîi deg y ≥ d câ thº vi¸t th nh tê hñp tuy¸n t½nh cõa x1 , . . . , xm vîi h» tû tr¶n S1 . Do â x1 , . . . , xm còng vîi c¡c ph¦n tû sinh cõa bao tuy¸n t½nh cõa R1 , . . . , Rd−1 tr¶n R0 sinh ra m nh÷ mët i¶an cõa S1 . Theo ành lþ 1.1.11, S1 l  R0 -¤i sè húu h¤n sinh. T÷ìng tü ta chùng minh ÷ñc S2 l  R0 -¤i sè húu h¤n sinh. Nhªn x²t 1.1.13. (i) N¸u I sinh bði a1, . . . , an khi â G(I, M ), R(I, M ) v  R0 (I, M ) l  R-¤i sè húu h¤n sinh, v¼ khi â R(I, R) = R[a1 t, . . . , an t] v  R0 (I, R) = R[a1 t, . . . , an t, t−1 ] (ii) Tr÷íng hñp °c bi»t, n¸u M l  húu h¤n sinh tr¶n R khi â G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) l  húu h¤n sinh tr¶n G(I, R) (t÷ìng ùng tr¶n R(I, R), R0 (I, R)). Tø â ta câ, n¸u R v  M l  Noether th¼ G(I, R) , R(I, R), R0 (I, R) l  Noether v  G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) l  c¡c mæun Noether tr¶n G(I, R) (t÷ìng ùng tr¶n R(I, R), R0 (I, R)). 9 Sau ¥y ta ch¿ ra mët v½ dö v· ¤i sè Rees R khæng húu h¤n sinh. V½ dö 1.1.14. Quay trð l¤i V½ dö 1.1.6 vîi Fn = (xd √ ) ⊆ k[x]. Ta chùng minh R khæng húu h¤n sinh. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, R húu h¤n sinh v  nâ sinh bði c¡c ph¦n tû sinh l  {xd √ α1 e α1 t , xd Ta câ thº vi¸t √ α2 e α2 xd t , . . . , xd √ √ n e αn e αn t }. αm e αm t nh÷ mët a thùc tr¶n R bði c¡c ph¦n tû sinh ð tr¶n vîi måi αm ∈ N. Nh÷ vªy, ta c¦n t¼m a1 , a2 , . . . , an sao cho (1.4) a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn = αm . a1 d √ α1 e +a2 d √ α 2 e + . . . + an d √ αn e = d √ αm e . (1.5) Gi£ sû ta câ ai vîi i = 1, . . . , n sao cho ¯ng ¯ng thùc (1.4) óng. Khi â thay th¸ (1.4) v o (1.5) ta câ: a1 d √ √ √ α 2 e + . . . + an d √ α 1 e + . . . + an d √ αn e = d √ a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn e . √ √ √ Ta ¢ chùng minh ÷ñc trong V½ dö 1.1.6 r¬ng d a + b e ≤ d a e + d b e, n¶n: a1 d α1 e +a2 d √ √ α n e ≤ d a1 α 1 e + . . . + d an α n e √ √ √ √ ≤ d a1 e d α1 e + . . . + d an e d αn e . √ √ √ − d ai e) d αi e ≤ 0 k²o theo ai ≤ d ai e vîi måi √ √ i = 1, . . . , n. Nh÷ng v¼ n ≥ d n e vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n n¶n ai = d ai e vîi måi i. Do â t§t c£ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n s³ trð th nh ¯ng thùc v  nh÷ vªy: √ √ √ √ √ d a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn e = d a1 e d α1 e + . . . + d an e d αn e . √ V¼ n = d n e n¶n n = 0, n = 1 ho°c n = 2. i·u n y suy ra vîi måi i, ai ≤ 2. P P Do â maxi ai ≤ 2 n¶n αm = ai αi ≤ 2 αi . i·u n y væ lþ n¸u ta chån Do â, Pn i=1 (ai i i αm õ lîn n¶n ¤i sè Rees n y khæng húu h¤n sinh. 10 1.2 T½nh Noether cõa v nh låc Nh÷ ¢ t¼m hiºu trong möc tr÷îc låc cõa c¡c i¶an l  mët chõ · quan trång trong ¤i sè giao ho¡n ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m nghi¶n cùu. °c bi»t l  låc Noether ÷ñc ph¡t triºn bði c¡c nh  to¡n håc nh÷ W. Bishop [1], D. Rees [22],... Trong möc n y, chóng tæi s³ ành ngh¾a v  cho v½ dö v· låc Noether v  chùng minh chóng l  mët lîp låc vîi nhi·u t½nh ch§t thó và. Låc Noether câ i·u ki»n húu h¤n t÷ìng tü nh÷ låc lôy thøa. ành ngh¾a 1.2.1. Cho R l  mët v nh v  F = {Fn} l  mët låc cõa c¡c i¶an trong R. Ta nâi F l  låc Noether n¸u R(F) l  v nh Noether. V½ dö 1.2.2. (i) Cho R l  mët v nh Noether vîi låc lôy thøa F = {I n}, I l  i¶an cõa R. Khi â F l  Noether. (ii) N¸u R l  v nh Noether v  R(F) l  húu h¤n sinh tr¶n R th¼ F l  Noether. V½ dö 1.2.3. Theo [23] Robert ¢ ch¿ ra r¬ng cho R l  mët v nh a thùc C[x, y, z] àa ph÷ìng t¤i (x, y, z). Khi â tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè p sao L (n) cho khæng l  Noether, trong â p(n) = pn Rp ∩ R l  lôy thøa h¼nh n≥0 p thùc bªc n cõa p. Trong nhúng ph¦n tr÷îc, ta ¢ x²t t½nh Noether cõa ¤i sè Rees. Ti¸p theo ta s³ têng qu¡t låc lôy thøa th nh mët lîp låc lîn hìn v  tø â x²t t½nh Noether cõa ¤i sè Rees theo låc n y. ành ngh¾a 1.2.4. (i) Ta gåi mët låc F = {Fn}n∈Z cõa c¡c i¶an cõa v nh R l  låc lôy thøa cèt y¸u (hay e.p.f) n¸u tçn t¤i mët sè m > 0 sao cho m P Fn = Fn−i Fi vîi måi n ≥ 1. N¸u n − i < 0, ta °t Fn−i l  R. i=1 (ii) Vîi hai låc F = {Fn }n∈Z v  F 0 = {Fn0 }n∈Z , ta nâi F ≤ F 0 n¸u Ft ⊆ Ft0 vîi måi t. Cho F = {Fn }n∈Z l  mët låc tr¶n v nh R. Khi â ta câ thº chùng minh mët sè t½nh ch§t v· låc lôy thøa cèt y¸u. M»nh · 1.2.5. Cho F = {Fn}n∈Z l  mët låc tr¶n v nh R. Khi â c¡c m»nh · sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng: (i) F l  låc lôy thøa cèt y¸u; 11 PQ ei (ii) Fn = ( m j=1 Fj ), trong â m cho nh÷ trong ành ngh¾a cõa låc lôy thøa cèt y¸u v  têng l§y tr¶n t§t c£ c¡c ei > 0 sao cho e1 +2e2 +. . .+mem = n (iii) Tçn t¤i mët sè m ∈ N vîi t½nh ch§t F l  låc nhä nh§t tr¶n R m  F câ m + 1 sè h¤ng ¦u ti¶n l  R, F1 , F2 , . . . , Fm . Chùng minh. Tø ành ngh¾a 1.2.4 ta th§y låc nhä nh§t trong (iii) luæn tçn t¤i, v¼ ta ch¿ c¦n l§y giao cõa t§t c£ c¡c låc (chó þ vîi F = {Fn }n∈Z v  F 0 = {Fn0 }n∈Z th¼ F ∩ F 0 = {Fn ∩ Fn0 }n∈Z ) câ m + 1 sè h¤ng ¦u ti¶n l  R, F1 , F2 , . . . , Fm . B¥y gií ta chùng minh m»nh ·. m PQ P ei Fn−i Fi vîi måi n ≥ 1 v  Fn0 = ( m (i)⇔ (ii). Cho Fn = j=1 Fj ). Khi i=1 â aei i ∈ Fn0 câ thº vi¸t nh÷ ai . . . ai (ei sè h¤ng) trong Fiei . V¼ Fiei = m P Fiei −j Fj j=1 n¶n ìn thùc b§t k¼ trong Fn0 câ thº vi¸t nh÷ t½ch cõa ch¿ hai sè h¤ng câ têng bªc l  n v  do â nâ ph£i thuëc Fn hay Fn0 ⊆ Fn . Theo quy n¤p, ta công câ Fn ⊆ Fn0 n¶n Fn = Fn0 . (ii)⇔ (iii). Cho K = {Kn }n∈Z l  mët låc tòy þ tr¶n R sao cho Fi = Ki vîi måi i = 0, . . . m. Nh÷ vªy, theo ành ngh¾a cõa mët låc ta câ, m m XY XY ei ( Fi ) = ( Kiei ) ⊆ Kn i=1 °t Hn = i=1 m P Q ( Fiei ) vîi måi n ≥ m v  Hn = Fn vîi måi n < m. Khi â i=1 H = {Hn } l  mët låc tr¶n R. V¼ H l  låc nhä hìn K v  K l  låc tòy þ n¶n H l  låc nhä nh§t. Vªy H ≤ F , nh÷ng H = F v¼ theo (i)⇔(ii). Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh. Sau ¥y ta xem x²t i·u ki»n c¦n v  õ º ¤i sè Rees cõa mët låc b§t k¼ l  v nh Noether düa tr¶n t½nh ch§t cõa låc lôy thøa cèt y¸u. ành lþ 1.2.6. [19, ành lþ 3.9] Cho R l  mët v nh Noether vîi F = {Fn} l  mët låc tòy þ tr¶n R. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: (i) ¤i sè Rees mð rëng R0 ùng vîi låc F l  Noether; (ii) R l  Noether; (iii) R l  húu h¤n sinh tr¶n R; (iv) F l  låc lôy thøa cèt y¸u. Chùng minh. Tø M»nh · 1.1.11 v  M»nh · 1.1.12 ta câ c¡c m»nh · tø (i) 12 ¸n (iii) l  t÷ìng ÷ìng v¼ R l  ph¥n bªc v  R l  Noether. Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh m»nh · (iv) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c m»nh · cán l¤i. (iv)⇒ (iii). Thªt v¥y, v¼ F l  låc lôy thøa cèt y¸u n¶n tçn t¤i mët sè m ∈ n sao cho t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa F ·u câ thº biºu di¹n qua m sè h¤ng ¦u ti¶n cõa F . Do â R = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fm tm ] k²o theo R l  húu h¤n sinh. (iii)⇒ (iv). °t N = (F1 t, F2 t2 , . . .) l  mët i¶an cõa R. Gi£ sû f1 , . . . , fm l  mët h» sinh cõa N . V¼ N l  thu¦n nh§t n¶n ta câ thº gi£ sû fi công thu¦n nh§t (v¼ n¸u fi khæng thu¦n nh§t ta câ thº l§y c¡c th nh ph¦n thu¦n nh§t v  th¶m chóng v o h»). Do vªy, fi = ai tei vîi ei > 0. °t k = max{ei | i = 1, . . . m} th¼ N = (F1 t, F2 t2 , . . . , Fk tk ). Cho n > k v  a ∈ Fn P th¼ x = atn ∈ N . Nh÷ng méi ph¦n tû cõa N câ d¤ng gi fi vîi måi gi ∈ R. P n−ei Do â x = gi fi . Gi£ sû gi = bi t v  gi l  thu¦n nh§t. Do vªy, X X X x= bi tn−ei ai tei = gi f i = Suy ra a= X ai bi ∈ n X FeI Fn−ei ⊆ i=1 Do â, v¼ a ∈ Fn n¶n Fn = y¸u. ai bi tn = atn . m X Fj Fn−j . j=1 Pm j=1 Fj Fn−j vîi n > m. Vªy F l  låc lôy thøa cèt ành ngh¾a 1.2.7. Cho M = {Mn} l  mët låc tr¶n mët R-mæun M v  F = {Fn } l  mët låc tr¶n R. Khi â M ÷ñc gåi l  F -låc tèt n¸u M l  t÷ìng m P th½ch vîi F v  tçn t¤i mët sè m nguy¶n d÷ìng sao cho Mn = Fn−i Mi vîi i=1 måi n  0. °c bi»t suy ra, F l  F -låc tèt khi v  ch¿ khi F l  mët låc lôy thøa cèt y¸u. M»nh · 1.2.8. Cho R l  mët v nh Noether vîi F = {Fn} l  mët låc lôy thøa cèt y¸u v  cho M l  mët R-mæun húu h¤n sinh vîi M = {Mn } l  mët F -låc . Khi â M l  F -låc tèt khi v  ch¿ khi tçn t¤i mët sè k > 0 sao cho Mk+i = Fk Mi vîi måi i ≥ k . Chùng minh. Gi£ sû M l  F -låc tèt. Khi â theo ành ngh¾a, M l  t÷ìng th½ch m P vîi låc F v  tçn t¤i mët sè m sao cho Mn = Fn−i Mi vîi måi n  0 hay i=1 P n > n0 n o â trð i. Khi â ta s³ chùng minh E = i Mi ti l  húu h¤n sinh m P tr¶n S = R[F1 t, F2 t2 , . . .]. °t xn ∈ Mn vîi n > n0 . Khi â xn = Fn−i Mi i=0 13 n¶n xn tn ∈ m P i=1 nâ n¬m trong tn−i Fn−i Mi ti ⊆ SMi ti . Nh÷ vªy, n¸u x ∈ E th¼ x = m P m P xn tn n¶n i=0 S(Mi ti ). Theo ành lþ 1.2.6 F l  låc lôy thøa cèt y¸u khi v  i=1 ch¿ khi S = R[F1 t, F2 t2 , . . .] l  húu h¤n sinh tr¶n R. Nh÷ vªy, tçn t¤i mët sè h > 0 sao cho S = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fh th ] v¼ F l  mët låc lôy thøa cèt y¸u. °t j = lcm(2, 3, . . . , h). Cho mi l  mët sè nguy¶n d÷ìng sao cho imi = j vîi måi i = 1, . . . , h. Khi â (Fi ti )mi ⊆ Fj tj ⊆ A = R[Fj tj ]. Do â mët ph¦n tû b§t k¼ d¤ng xti vîi x ∈ Fi l  nguy¶n tr¶n A. V¼ S l  húu h¤n sinh tr¶n A bði c¡c ph¦n tû nguy¶n n¶n S l  nguy¶n v  húu h¤n sinh tr¶n A = R[Fj tj ]. Do â E l  mët A-mæun húu h¤n. Cho Θ1 , . . . , Θm l  mët h» c¡c ph¦n tû sinh thu¦n nh§t cõa E tr¶n A, vîi deg Θi = di v  °t d = max di vîi i = 1, . . . , m. Cho n > max{d, j} v  P cho x l  mët ph¦n tû cõa Mn . Nh÷ vªy ta câ thº vi¸t x = xi Θi trong â xi i l  ph¦n tû thu¦n nh§t cõa A. Cho n¶n xi ho°c b¬ng 0 ho°c câ bªc l  n − di . Gi£ sû xi 6= 0 vîi måi i = 1, . . . , m0 ≤ m. Khi â n − di ≥ 1 v  v¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A câ bªc l  mët bëi cõa j , cho n¶n vîi måi i = 1, . . . , m0 tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng ki sao cho jki = n − di . Do â, 0 x= m X i=1 0 xi Θi ⊆ m X Fjki Mdi mi X ⊆ Fj ( Fjki −1 Mdi ). i=1 V  v¼ Fjki −1 Mdi ⊆ Fj(ki −1) Mdi ⊆ Mj(ki −1)+di = Mn−j n¶n ta câ Mn ⊆ Fj Mn−j . V¼ M l  t÷ìng th½ch vîi F n¶n Mn = Fj Mn−j vîi måi n > max{d, j}. B¥y gií °t k = jd v  i ≥ k . Khi â theo ¯ng thùc ð tr¶n Mk+i = Mjd+1 = Fj Mj(d−1)+1 . V¼ j(d − 1) + i ≥ max(d, j) + 1 n¶n ta câ thº ti¸p töc cho ¸n Fj v  ta câ Fjd Mi ⊆ Fk Mi . Do â Mi+k ⊆ Fk Mi . Ng÷ñc l¤i, Cho sè d÷ìng k sao cho Mk+i = Fk Mi vîi måi i ≥ k . P Khi â ta chùng minh E = Mi ti ÷ñc sinh nh÷ mët mæun tr¶n S bði M1 t, . . . , M2k−1 t, v¼ sè i lîn nh§t khæng thäa m¢n gi£ thi¸t l  i = k − 1. N¸u E l  húu h¤n sinh tr¶n S th¼ F l  låc lôy thøa cèt y¸u n¶n ta ch¿ c¦n i chùng minh E l  húu h¤n sinh tr¶n S . Gåi Gi l  tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû sinh cõa Mi vîi i < 2k − 1. Khi â Gi l  húu h¤n v¼ theo gi£ thi¸t méi Mi l  húu h¤n P sinh tr¶n R. Nh÷ vªy vîi méi ph¦n tû m ∈ Mi , m = ri xi trong â Λ húu i∈Λ h¤n, ri ∈ R v  xi ∈ Mi . Tø â, º t¼m c¡c ph¦n tû sinh cõa E ta ch¿ c¦n chån t§t c£ c¡c ph¦n tû sinh tø méi Gi v  g¡n chóng vîi lôy thøa cõa t ngh¾a l  c¡c ph¦n tû sinh cõa E tr¶n S l  t§t c£ c¡c sè h¤ng eti vîi e ∈ Gi . 14 H» qu£ 1.2.9. Cho F = {Fn} l  mët låc tr¶n mët v nh Noether R. Khi â F l  mët låc lôy thøa cèt y¸u khi v  ch¿ khi tçn t¤i mët sè k > 0 sao cho Fk+i = Fi Fk vîi måi i ≥ k . Chùng minh. Cho M = R v  M = F nh÷ trong M»nh · 1.2.8 th¼ tçn t¤i mët sè k sao cho Fk+i = Fi Fk . Ng÷ñc l¤i, n¸u sè k l  tçn t¤i th¼ ta s³ x²t c¡c tr÷íng hñp sau: N¸u n ≥ 2k th¼ ta câ thº vi¸t Fn = Fn−k Fk ⊆ 2k X Fn−i Fi ⊆ Fn i=1 nh÷ vªy F l  e.p.f vîi m = 2k . 2k P N¸u n < 2k th¼ Fn ⊇ Fn−i Fi (v¼ theo ành ngh¾a cõa låc ). M°t kh¡c, i=1 ta câ vîi i = n th¼ Fn = F0 Fn n¶n Fn ⊆ 2k P i=1 Vªy F l  mët låc lôy thøa cèt y¸u. 2k P Fn−i Fi . Do â Fn = Fn−i Fi . i=1 M»nh · 1.2.10. Cho R l  mët v nh vîi låc F = {Fn }n≥0 v  cho M l  mët R-mæun vîi M = {Mn }n≥0 l  mët F -låc thäa m¢n Mn l  mët R∞ P + Mn /Mn+1 mæun húu h¤n sinh vîi måi n ≥ 1. Khi â G (M, M) = l  mët G -mæun con húu h¤n sinh cõa G(M, M) = ∞ P n=1 Mn /Mn+1 khi v  n=1 ch¿ khi tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng k sao cho vîi måi j ≥ k th¼ Mj+1 = Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 . Chùng minh. Gi£ sû G + (M, M) = h¤n sinh cõa G(M, M) = ∞ P ∞ P Mn /Mn+1 l  mët G -mæun con húu n=1 Mn /Mn+1 . Ta x¥y düng mæun con nh÷ sau: n=1 °t Aij = Fj M1 + Fj−1 M2 + . . . + Fj−i+1 Mi + Mj+2 v  Ai = ∞ P Aij /Mj+2 . j=0 Khi â Ai l  mët G -mæun con cõa G + (M, M). Hìn núa Ai ⊆ Ai+1 v  Sß + i=1 Ai = G (M, M). Do â theo gi£ thi¸t suy ra r¬ng tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng k sao cho Ak = Ak+t vîi måi t ≥ 0 n¶n suy ra Akj /A(k+t)j = 0 vîi måi j ≥ 0 v  t ≥ 0. °c bi»t, n¸u j ≥ k v  t ≥ 1 th¼ Fj−k−t+1 Mk+t ⊆ Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 vîi måi j ≥ k v  chi·u ng÷ñc l¤i l  hiºn nhi¶n. Do â Fj−k−t+1 Mk+t = Fj E1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 . B¥y gií vîi 15
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan