I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
o0o
NGUYN CH T
M
TNH COHEN-MACAULAY DY CÕA I SÈ REES
LUN VN THC S TON HÅC
THI NGUYN, NM 2018
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
o0o
NGUYN CH T
M
TNH COHEN-MACAULAY DY CÕA I SÈ REES
Ng nh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè
M¢ sè: 8 46 01 04
LUN VN THC S TON HÅC
C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc:
1. PGS.TS. Naoki Taniguchi
2. TS. Tr¦n Nguy¶n An
THI NGUYN, NM 2018
i
LÍI CAM OAN
Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l
trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi xin cam oan måi sü
gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch
d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc.
Th¡i Nguy¶n, ng y 16 th¡ng 08 n«m 2018
T¡c gi£
Nguy¹n Ch½ T¥m
X¡c nhªn
X¡c nhªn
cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn
cõa tªp thº h÷îng d¨n khoa håc
ii
LÍI CM ÌN
Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS. Naoki
Taniguchi, tr÷íng ¤i håc Waseda, Tokyo, Nhªt B£n v TS. Tr¦n Nguy¶n
An, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n. Tæi xin ÷ñc b y tä láng k½nh
trång v bi¸t ìn s¥u sc ¸n hai th¦y, nhúng b i håc quþ gi¡ tø trang gi§y v
c£ nhúng b i håc trong cuëc sèng th¦y d¤y gióp tæi tü tin hìn v tr÷ðng th nh
hìn.
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ ð ¤i håc Th¡i Nguy¶n,
c¡c th¦y ð Vi»n To¡n v c¡c th¦y cæ ¸n tø Nhªt B£n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi
tham gia c¡c buêi xemina v c¡c lîp håc ngo i ch÷ìng tr¼nh º tæi câ th¶m
nhi·u ki¸n thùc quþ b¡u.
Tæi xin ÷ñc gûi c£m ìn tîi t§t c£ th nh vi¶n trong gia ¼nh ¢ t¤o i·u
ki»n cho tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n.
iii
Möc löc
Líi cam oan
ii
LÍI CM ÌN
iii
MÐ U
1
Ch÷ìng 1 V nh låc v t½nh Noether cõa v nh låc
3
1.1 V nh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2 T½nh Noether cõa v nh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Ch÷ìng 2 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees
18
2.1 Låc chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2 Mæun Cohen-Macaulay v Mæun Cohen-Macaulay d¢y . . . . .
22
2.3 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees . . . . . . . . . . . . .
33
KT LUN
T i li»u tham kh£o
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
42
MÐ U
Cho R l mët v nh giao ho¡n Noether v cho F = {Fn }n l mët hå c¡c
i¶an trong R. Khi â ta nâi F l mët låc cõa R n¸u
(i) F0 = R; Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z;
(ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z.
V½ dö v· c¡c lo¤i låc m chóng ta th÷íng nghi¶n cùu â l låc I -adic
Fn = I n , n ∈ N vîi I l i¶an cõa R; låc Fn = p(n) , n ∈ N l låc lôy thøa h¼nh
thùc cõa i¶an nguy¶n tè p trong R; låc Fn = I n , n ∈ N l låc c¡c bao âng
P
P
nguy¶n cõa I n ; låc Fn = i≥n Ri trong â R = i≥0 Ri l mët v nh ph¥n
bªc.
Vîi t l mët bi¸n tr¶n R v vîi méi låc F cõa R ta câ ba ¤i sè ph¥n
bªc li¶n k¸t l
R(F) =
X
Fn tn ⊆ R[t],
n≥0
R0 (F) =
X
Fn tn = R(F)[t−1 ] ⊆ R[t, t−1 ] v
n∈Z
G(F) = R(F)/t−1 R(F)
v ta gåi t÷ìng ùng l ¤i sè Rees, ¤i sè Rees mð rëng v v nh ph¥n bªc li¶n
k¸t cõa låc F . Khi F l I -adic ta th÷íng k½ hi»u c¡c ¤i sè bði R(I), R0 (I) v
G(I) t÷ìng ùng. K¸t qu£ ¦u ti¶n v· x²t t½nh Cohen-Macaulay cõa v nh Rees
ùng vîi låc m-adic l cõa S. Goto-Y. Shimoda [13] hå ¢ x²t trong tr÷íng hñp
R l v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i duy nh§t m. Ð â hå
¢ kh¯ng ành n¸u dim R ≥ 1 th¼ v nh Rees R(m) vîi m i¶an tèi ¤i cõa R l
v nh Cohen-Macaulay khi v ch¿ khi G(m) l Cohen-Macaulay v a(G(m)) < 0
trong â a(G(m)) l a-b§t bi¸n cõa v nh ph¥n bªc (theo [14]). S. Ikeda [18] mð
rëng k¸t qu£ tr¶n cho v nh àa ph÷ìng b§t ký câ chi·u dim R ≥ 1. Sau â N. V.
Trung v S. Ikeda [28] t¼m hiºu cho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn. Cö thº cho I l
i¶an cõa v nh Nother àa ph÷ìng R, M l i¶an tèi ¤i ph¥n bªc duy nh§t cõa
R(I). Khi â n¸u dim R(I) = dim R + 1 th¼ R(I) l v nh Cohen-Macaulay
1
khi v ch¿ khi [Hmi (G(I))]n = (0) vîi måi i, n ∈ Z, i 6= dim R, n 6= −1 v
a(G(I)) < 0. T½nh Cohen-Macaulay cõa c¡c ¤i sè ùng vîi c¡c låc kh¡c công
÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu.
Mët c¥u häi tü nhi¶n °t ra l t¼m hiºu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa
c¡c ¤i sè tr¶n. Chó þ r¬ng t½nh Cohen-Macaulay d¢y l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi
thi»u bði R. P. Stanley [25] cho c¡c mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Sau â
N. T. C÷íng, L. T. Nh n [8] v P. Schelzel [24] ¢ nghi¶n cùu lîp mæun n y
tr¶n v nh àa ph÷ìng. T½nh Cohen-Macaulay d¢y ÷ñc ành ngh¾a cho mæun
húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether b§t ký bði S. Goto, Y. Horiuchi v H. Sakurai
[11]. Lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y l mð rëng tü nhi¶n cõa lîp mæun
Cohen-Macaulay. Vi»c nghi¶n cùu lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y âng vai
trá r§t quan trång trong ¤i sè giao ho¡n, H¼nh håc ¤i sè, ¤i sè tê hñp, °c
bi»t trong vi»c nghi¶n cùu v nh Stanley-Reiner. C§u tróc cõa mæun CohenMacaulay d¢y ÷ñc nghi¶n cùu kh¡ rã thæng qua ¦y õ m-adic, àa ph÷ìng
ho¡, °c tr÷ng çng i·u [25, 8, 24, 16] v h» tham sè tèt, h» tham sè dd-d¢y
[6]. T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees ùng vîi låc I -adic tr¶n v nh
àa ph÷ìng (R, m) ÷ñc nghi¶n cùu trong [7], trong â I l i¶an m-nguy¶n
sì. Trong [26] c¡c t¡c gi£ mð rëng nghi¶n cùu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa
c¡c ¤i sè Rees ùng vîi låc têng qu¡t hìn.
Möc ½ch cõa luªn v«n l t¼m hiºu v nh låc, c¡c ¤i sè Rees v t½nh
Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè Rees. Vi»c t¼m hiºu chi ti¸t mët sè t½nh
ch§t cõa mæun Cohen-Macaulay d¢y công l mët möc ½ch kh¡c cõa luªn
v«n. Luªn v«n tham kh£o ch½nh theo c¡c t i li»u [26], [27], [11], [5], [8], [19].
Luªn v«n ÷ñc bè cöc l m hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v· v nh låc
v t½nh Noether cõa v nh låc. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· låc chi·u, mæun CohenMacaulay v mæun Cohen-Macaulay d¢y, t½nh Cohen- Macaulay d¢y cõa ¤i
sè Rees.
2
Ch֓ng 1
V nh låc v t½nh Noether cõa v nh
låc
Ð ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l v nh giao ho¡n câ ìn và v M l Rmæun. Mët sè ki¸n thùc c¦n thi¸t ch÷a ÷ñc n¶u trong luªn v«n câ thº tham
kh£o trong [16],[20], [21]. Ch÷ìng n y tham kh£o theo [2], [17], [19].
1.1 V nh låc
Trong möc n y ta s³ giîi thi»u v· v nh Rees, v nh Rees mð rëng v v nh
ph¥n bªc li¶n k¸t cõa mët v nh låc.
ành ngh¾a 1.1.1. Cho R l mët v nh v {Fn}n∈Z l mët hå c¡c i¶an cõa
R. D¢y {Fn }n∈Z ÷ñc gåi l mët låc c¡c i¶an cõa R n¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u
ki»n sau:
(i) F0 = R, Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z;
(ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z.
Mët v nh låc l c°p (R, F) trong â R l v nh v F l mët låc tr¶n R.
V½ dö 1.1.2. Cho I l mët i¶an cõa v nh R v °t Fn = I n. Khi â ta câ
låc
R = I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ . . . ⊇ In ⊇ . . .
Låc n y ÷ñc gåi l låc lôy thøa hay låc I -adic.
P
P
Cho R =
Ri l v nh Z-ph¥n bªc. °t Fn =
Ri th¼ {Fn }n∈Z
V½ dö 1.1.3.
l låc c¡c i¶an cõa R.
i≥n
i∈Z
3
ành ngh¾a 1.1.4. Cho R l mët v nh v p l mët i¶an nguy¶n tè cõa R.
Khi â lôy thøa h¼nh thùc bªc n cõa p, kþ hi»u l p(n) ÷ñc ành ngh¾a l
pn Rp ∩ R, n ∈ N.
V½ dö 1.1.5. Cho p l mët i¶an nguy¶n tè cõa v nh R. Khi â vîi måi
m, n ∈ N, pn .pm ⊆ pm+n . Tø â suy ra pn Rp .pm Rp ⊆ pm+n Rp . Do â
(pn Rp ∩ R).(pm Rp ∩ R) ⊆ pm+n Rp ∩ R hay p(n) .p(m) ⊆ p(n+m) v nh÷ vªy
{p(n) }n l mët låc.
Ti¸p theo ta x²t mët v½ dö v· låc c¡c i¶an cõa v nh a thùc k[x] vîi k
l mët tr÷íng.
V½ dö 1.1.6.√Cho Fn
√
= (xd n e ), n ∈ N l mët hå c¡c i¶an trong k[x]
√
vîi kþ hi»u d n e l sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng n . Ta
chùng minh {Fn } l mët låc c¡c i¶an cõa k[x]. Tr÷îc h¸t, ta chùng minh
√
√
√
√
√
√
d m + n e ≤ d m e + d n e. Rã r ng ta câ d m + n e ≤ d m + n e.
Khi â
√
√
√
√
√
m + n ≤ m + n ≤ d m e+d n e.
√
√
√
√
√
√
V¼ d m e + d n e ∈ N n¶n d d m e + d n e e = d m e + d n e. Do
√
√
√
â d m + n e ≤ d m e + d n e. Ta câ i·u ki»n (ii) trong ành ngh¾a låc
l thäa m¢n. Hiºn nhi¶n i·u ki»n (i) cõa ành ngh¾a luæn thäa m¢n. Do vªy
{Fn } l låc c¡c i¶an cõa R.
ành ngh¾a 1.1.7. Cho v nh låc (R, F), vîi låc F = {Fn}n∈Z v M l R-
mæun. Mët låc c¡c mæun con cõa M l hå {Mn }n∈Z c¡c mæun con cõa M
thäa m¢n M0 = M v Mn+1 ⊆ Mn . Låc {Mn }n∈Z ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch vîi
låc F hay F -låc n¸u Fm Mn ⊆ Mm+n , vîi måi m, n ∈ Z.
P
P
Cho R =
Rn l v nh Z-ph¥n bªc v M =
Gn l Rn∈Z P
n∈Z
mæun ph¥n bªc. °t Mn =
Gi , khi â {Mn }n∈Z l mët F -låc cõa M ,vîi
V½ dö 1.1.8.
i≥n
F = {Fn } nh÷ trong V½ dö 1.1.3.
V½ dö 1.1.9. Cho (R, F) l v nh låc vîi låc F = {Fn}n∈Z v M l R-mæun.
°t Mn = Fn M . Khi â {Mn }n∈Z l F -låc.
Cho R l mët v nh låc vîi låc F = {Fn }n∈Z . Ta ành ngh¾a ¤i sè Rees
cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði
M
F n tn .
R = R(F) =
n≥0
4
Khi â R(F) ÷ñc xem nh÷ mët v nh con cõa v nh R[t]. Ta công ành ngh¾a
¤i sè Rees mð rëng cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði
M
R0 = R0 (F) =
Fn tn .
n∈Z
Khi â R(F) ÷ñc xem nh÷ mët v nh con cõa v nh R[t, t−1 ]. Ngo i ra, ta
ành ngh¾a v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði
G = G(F) =
∞
M
Fn /Fn+1 .
n=0
Nâ l mët v nh ph¥n bªc vîi ph²p nh¥n c£m sinh bði ph²p nh¥n ¡nh x¤
Fm × Fn −→ Fm+n .
°t
Cho M l R-mæun, M = {Mn }n∈Z l F -låc c¡c mæun con cõa M .
R(M ) =
X
tn ⊗ Mn ⊆ R[t] ⊗R M
n≥0
R0 (M ) =
X
tn ⊗ Mn ⊆ R[t, t−1 ] ⊗R M
n∈Z
G(M ) = R0 (M )/t−1 R(M )
÷ñc gåi l mæun Rees, mæun Rees mð rëng v mæun ph¥n bªc li¶n
P
k¸t cõa M . Chó þ, æi khi º ìn gi£n ta công vi¸t R(M ) =
Mn tn v
n≥0
P
0
n
R (M ) =
Mn t .
n∈Z
Ta x²t tr÷íng hñp °c bi»t, gi£ sû v nh R l v nh giao ho¡n, I ⊆ R l
i¶an v M l R-mæun. Khi â ta kþ hi»u v nh Rees, v nh Rees mð rëng v
v nh ph¥n bªc li¶n k¸t ùng vîi låc {I n M }n∈Z bði
M
(I n M )tn
R(I, M ) =
n∈N
v
M
R (I, M ) =
(I n M )tn
0
n∈Z
G(I, M ) =
M
I n M/I n+1 M.
n∈N
Ta sû döng quy ÷îc I n = R n¸u n ≤ 0 v x²t R(I, M ) v R0 (I, M ) l nhâm
con cõa
M [t, t−1 ] = M ⊗R R[t, t−1 ]
5
Hìn núa, vîi måi mæun con N cõa M ta °t
M
(I n M ∩ N )tn ,
R(I, N ⊆ M ) =
n∈N
R0 (I, N ⊆ M ) =
M
(I n M ∩ N )tn
n∈Z
v
G(I, N ⊆ M ) =
M
((I n M ∩ N ) + I n+1 M/I n+1 M ).
n∈N
Nhªn x²t 1.1.10. Cho R l v nh giao ho¡n, F = {Fn} l mët låc c¡c i¶an
cõa R, M l R-mæun v I l mët i¶an cõa R. Khi â, ta câ
(i) R, R0 , G l c¡c v nh ph¥n bªc. R(M ) l R-mæun ph¥n bªc, R0 (M )
l R0 -mæun ph¥n bªc v G(M ) l c¡c G -mæun ph¥n bªc.
°c bi»t, R(I, R), R0 (I, R) v G(I, R) l c¡c v nh ph¥n bªc, G(I, M )
l mët G(I, R)-mæun ph¥n bªc v t÷ìng tü èi vîi R(I, M ) v R0 (I, M ).
Ta công câ G(I, N ⊂ M ) (t÷ìng ùng R(I, N ⊂ M ), R0 (I, N ⊂ M )) l mët
mæun con cõa G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) v khi â ta câ c¡c
¯ng c§u tü nhi¶n.
R(I, M )/R(I, N ⊂ M ) ∼
= R(I, M/N ) tr¶n R(I, R),
R0 (I, M )/R0 (R, N ⊂ M ) ∼
= R0 (I, M/N ) tr¶n R0 (I, R)
G(I, M )/G(I, N ⊂ M ) ∼
= G(I, M/N ) tr¶n G(I, R).
Hìn núa, n¸u ta coi G(I, M ) l mët R-mæun, ta câ mët ¯ng c§u tü nhi¶n
R(I, M )/IR(I, M ) ∼
= G(I, M ).
N¸u M1 , M2 l c¡c R-mæun khi â
R(I, M1 ⊕ M2 ) ∼
= R(I, M1 ) ⊕ R(I, M2 ),
R0 (I, M1 ⊕ M2 ) ∼
= R0 (I, M1 ) ⊕ R0 (I, M2 )
v
G(I, M1 ⊕ M2 ) ∼
= G(I, M1 ) ⊕ G(I, M2 ).
(ii) R0 (F)/t−1 R0 (F) ∼
= G(F).
(iii) Ph¦n tû t−1 ∈ R[t, t−1 ] thuëc v o R(F) v l R(F)- ch½nh quy.
(iv) R(F)t−1 ∼
= R[t, t−1 ].
6
Chùng minh. Ta chùng minh mët sè t½nh ch§t ð tr¶n.
P
(ii) Cho r ∈ R0 vîi r = n rn tn trong â rn ∈ Fn n¸u n ≥ 0 v rn ∈ R
n¸u n < 0. Ta x¥y düng mët çng c§u ϕ : R0 −→ G x¡c ành nh÷ sau: vîi
P
méi r ∈ R0 ta °t ϕ(r) = n rn , trong â rn ∈ Fn /Fn+1 vîi måi n ≥ 0 v
rn ∈ R n¸u n < 0. Ta th§y ϕ l mët to n c§u v nh (v¼ vîi måi v ∈ G , ta
P
P n
câ v =
rn t vîi
n≥0 an trong â an = Fn /Fn+1 , an ∈ Fn . Ta °t u =
n
n ≥ 0 th¼ rn = an v n < 0 th¼ rn = 0. Theo c¡ch °t n y ta th§y u ∈ R0 v
P
ϕ(u) = v ). Khi â n¸u ϕ(r) = 0 th¼ r = n rn+1 tn trong â rn+1 ∈ Fn+1 , i·u
n y suy ra ker(ϕ) = t−1 R0 . Vªy G ∼
= R0 /t−1 R0 .
(iv) Ta câ R[t−1 ] ⊆ R(F) ⊆ R[t, t−1 ]. àa ph÷ìng hâa t¤i t−1 c¡c bao
h m thùc tr¶n ta câ
R[t−1 ]t−1 ⊆ R(F)t−1 ⊆ R[t, t−1 ]t−1 .
V¼ R[t−1 ]t−1 = R[t, t−1 ] v R[t, t−1 ]t−1 = R[t, t−1 ] n¶n R(F)t−1 = R[t, t−1 ].
Nhªn x²t ti¸p theo cho t½nh Noether cõa v nh Rees ùng vîi låc I -adic.
Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i ti¶u chu©n Noether cõa v nh ph¥n bªc.
M»nh · 1.1.11. Cho R l mët R0-¤i sè N-ph¥n bªc v x1, . . . , xn l c¡c
ph¦n tû thu¦n nh§t vîi bªc d÷ìng. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng:
(i) x1 , . . . , xn sinh ra i¶an m = ⊕∞
i=1 Ri ;
(ii) x1 , . . . , xn sinh ra R nh÷ mët R0 -¤i sè.
°c bi»t, R l Noether khi v ch¿ khi R0 l Noether v R l R0 -¤i sè
húu h¤n sinh.
Chùng minh. (ii) ⇒ (i). Theo gi£ thi¸t, vîi méi r ∈ R tòy þ tçn t¤i
f (T1 , . . . , Tn ) ∈ R0 [T1 , . . . , Tn ] sao cho f (x1 , . . . , xn ) = r. Cho r ∈ m l mët
ph¦n tû thu¦n nh§t. Ta chùng minh
X
r = f (x1 , . . . , xn ) =
(rλ xi11 . . . xinn ) ∈ (x1 , . . . , xn ).
λ=(i1 ,...,in )
V¼ r l thu¦n nh§t n¶n f công l thu¦n nh§t còng bªc. L¤i câ r ∈ m n¶n
deg r ≥ 1 v nh÷ vªy méi sè h¤ng cõa f chùa xi vîi i ∈ {1, . . . , n} n o
P 0
â. Do â r =
ri xi ∈ (x1 , . . . , xn ). Hiºn nhi¶n (x1 , . . . , xn ) ⊆ m n¶n
m = (x1 , . . . , xn ).
(i) ⇒ (ii). Cho y ∈ R l thu¦n nh§t bªc d. Ta s³ chùng minh quy n¤p theo d
r¬ng y = y1 x1 + . . . + yn xn vîi yi ∈ Rd−deg xi . N¸u deg(y) = 0 th¼ ta câ ngay
7
i·u ph£i chùng minh, v¼ y ∈ R0 .
B¥y gií gi£ sû c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t cõa R câ bªc nhä hìn d sinh
ra R thuëc R0 [x1 , . . . , xn ]. Theo gi£ thi¸t, ta bi¸t r¬ng y ∈ ⊕i≥1 Ri = m =
(x1 , . . . , xn ) n¶n y = y1 x1 + . . . + yn xn vîi yi ∈ Ri . Ta câ y v xi l c¡c
ph¦n tû thu¦n nh§t nh÷ng yi câ thº khæng thu¦n nh§t. Biºu di¹n yi th nh
têng c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t, sau â nh¥n ra v nhâm c¡c sè h¤ng l¤i ta câ
y = y10 x1 + . . . + yn0 xn trong â yi0 l ph¦n tû thu¦n nh§t bªc deg y − deg xi
·u nhä d. Tø â, theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i fi ∈ R0 [T1 , . . . , Tn ] vîi
yi0 = fi (x1 , . . . , xn ) ta câ i·u ph£i chùng minh.
Vîi m»nh · cuèi, n¸u R l Noether th¼ R0 ∼
= R/ ⊕i≥1 Ri = R/m, tø â
suy ra R0 l Noether. Hìn núa, n¸u R l Noether th¼ m l húu h¤n sinh bði
(x1 , . . . , xn ) v theo ành lþ n y, R l R0 -¤i sè húu h¤n sinh bði (x1 , . . . , xn ).
Ng÷ñc l¤i, n¸u R0 l Noether th¼ v¼
R = R0 [x1 , . . . , xm ] = R0 [T1 , . . . , Th ]/I
n¶n suy ra R l Noether.
M»nh · 1.1.12. Cho R l mët Z-ph¥n bªc. Khi â c¡c m»nh · sau ¥y l
t֓ng ֓ng:
(i) Méi i¶an ph¥n bªc cõa R l húu h¤n sinh;
(ii) R l v nh Noether;
(iii) R0 l Noether v R l mët R0 -¤i sè húu h¤n sinh;
∞
(iv) R0 l Noether v S1 = ⊕∞
i=0 Ri v S2 = ⊕i=0 R−i l R0 -¤i sè húu
h¤n sinh.
Chùng minh. Hiºn nhi¶n ta luæn câ (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Ta s³ chùng
minh (i) ⇒ (iv).
Tr÷îc h¸t ta chó þ r¬ng R0 l h¤ng tû trüc ti¸p cõa R nh÷ R0 -mæun
cõa R v chùng minh IR ∩ R0 = I vîi méi i¶an I tòy þ cõa R0 . Thªt vªy,
d¹ th§y f : R0 → R l ìn c§u n¶n suy ra f −1 (f (I)) ⊆ I v hiºn nhi¶n ta
câ I ⊆ f −1 (f (I)). Do vªy f −1 (f (I)) = I . Tø â v¼ f −1 (IR) ⊇ f −1 (f (I)) = I
n¶n I ⊆ IR ∩ R0 . Ng÷ñc l¤i, l§y a ∈ IR ∩ R0 suy ra a = f (a) ∈ IR. Khi â a
÷ñc biºu di¹n th nh têng húu h¤n nh÷ sau
X
a=
ai αi , ∀ai ∈ R, ∀αi ∈ I.
P
B¥y gií ta biºu di¹n l¤i a =
bj αj vîi bj αj thu¦n nh§t. L¤i câ a ∈ R0
n¶n deg(a) = 0 k²o theo deg(bj αj ) = 0, ∀j . Do vªy deg(bj ) = 0, ∀j (v¼
P
deg(αj ) = 0, ∀j ). Tø â ta câ a = bj αj ∈ I (trong R0 ). Vªy IR ∩ R0 ⊆ I .
8
B¥y gií ta chùng minh R0 l Noether. X²t mët d¢y t«ng c¡c i¶an trong
R0 l
I0 ⊆ I1 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ . . .
(1.1)
Mð rëng c¡c i¶an n y th nh c¡c i¶an cõa R ta câ
RI0 ⊆ I1 R ⊆ . . . ⊆ In R ⊆ In+1 R ⊆ . . .
(1.2)
l mët d¢y t«ng c¡c i¶an trong R. V¼ R l Noether n¶n d¢y (1.2) l d¢y døng,
tùc l tçn t¤i n ∈ N sao cho In R = In+k R vîi måi k ∈ N. B¥y gií l¤i thu hµp
d¢y n y trong R0 ta câ
I0 R ∩ R0 ⊆ I1 R ∩ R0 ⊆ . . . ⊆ In R ∩ R0 = In+1 R ∩ R0 = . . .
(1.3)
Do â d¢y n y døng v v¼ IR ∩ R0 = I n¶n ta s³ thu ÷ñc d¢y (1.1) ban ¦u
v ta th§y d¢y (1.1) l døng, do â R0 l Noether. T÷ìng tü nh÷ vªy, ta chùng
minh ÷ñc c¡c Ri l R0 -mæun húu h¤n sinh vîi méi i ∈ Z.
Ti¸p theo, °t m = ⊕∞
i=1 Ri . Ta chùng minh m l mët i¶an húu h¤n
sinh cõa S1 . Theo gi£ thi¸t, mR câ h» sinh húu h¤n l x1 , . . . , xm v gi£ sû
méi ph¦n tû sinh xi l thu¦n nh§t bªc di . °t d = max{d1 , . . . , dm }. Khi â
y ∈ m vîi deg y ≥ d câ thº vi¸t th nh tê hñp tuy¸n t½nh cõa x1 , . . . , xm vîi h»
tû tr¶n S1 . Do â x1 , . . . , xm còng vîi c¡c ph¦n tû sinh cõa bao tuy¸n t½nh cõa
R1 , . . . , Rd−1 tr¶n R0 sinh ra m nh÷ mët i¶an cõa S1 . Theo ành lþ 1.1.11, S1
l R0 -¤i sè húu h¤n sinh. T÷ìng tü ta chùng minh ÷ñc S2 l R0 -¤i sè húu
h¤n sinh.
Nhªn x²t 1.1.13. (i) N¸u I sinh bði a1, . . . , an khi â G(I, M ), R(I, M ) v
R0 (I, M ) l R-¤i sè húu h¤n sinh, v¼ khi â
R(I, R) = R[a1 t, . . . , an t]
v
R0 (I, R) = R[a1 t, . . . , an t, t−1 ]
(ii) Tr÷íng hñp °c bi»t, n¸u M l húu h¤n sinh tr¶n R khi â G(I, M )
(t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) l húu h¤n sinh tr¶n G(I, R) (t÷ìng ùng tr¶n
R(I, R), R0 (I, R)).
Tø â ta câ, n¸u R v M l Noether th¼ G(I, R) , R(I, R), R0 (I, R)
l Noether v G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) l c¡c mæun Noether
tr¶n G(I, R) (t÷ìng ùng tr¶n R(I, R), R0 (I, R)).
9
Sau ¥y ta ch¿ ra mët v½ dö v· ¤i sè Rees R khæng húu h¤n sinh.
V½ dö 1.1.14. Quay trð l¤i V½ dö 1.1.6 vîi Fn = (xd
√
) ⊆ k[x]. Ta chùng
minh R khæng húu h¤n sinh. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, R húu h¤n sinh v nâ sinh bði
c¡c ph¦n tû sinh l
{xd
√
α1 e α1
t , xd
Ta câ thº vi¸t
√
α2 e α2
xd
t , . . . , xd
√
√
n e
αn e αn
t }.
αm e αm
t
nh÷ mët a thùc tr¶n R bði c¡c ph¦n tû sinh ð tr¶n vîi måi αm ∈ N.
Nh÷ vªy, ta c¦n t¼m a1 , a2 , . . . , an sao cho
(1.4)
a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn = αm .
a1 d
√
α1 e +a2 d
√
α 2 e + . . . + an d
√
αn e = d
√
αm e .
(1.5)
Gi£ sû ta câ ai vîi i = 1, . . . , n sao cho ¯ng ¯ng thùc (1.4) óng. Khi â
thay th¸ (1.4) v o (1.5) ta câ:
a1 d
√
√
√
α 2 e + . . . + an d
√
α 1 e + . . . + an d
√
αn e = d
√
a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn e .
√
√
√
Ta ¢ chùng minh ÷ñc trong V½ dö 1.1.6 r¬ng d a + b e ≤ d a e + d b e,
n¶n:
a1 d
α1 e +a2 d
√
√
α n e ≤ d a1 α 1 e + . . . + d an α n e
√
√
√
√
≤ d a1 e d α1 e + . . . + d an e d αn e .
√
√
√
− d ai e) d αi e ≤ 0 k²o theo ai ≤ d ai e vîi måi
√
√
i = 1, . . . , n. Nh÷ng v¼ n ≥ d n e vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n n¶n ai = d ai e
vîi måi i. Do â t§t c£ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n s³ trð th nh ¯ng thùc v nh÷
vªy:
√
√
√
√
√
d a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn e = d a1 e d α1 e + . . . + d an e d αn e .
√
V¼ n = d n e n¶n n = 0, n = 1 ho°c n = 2. i·u n y suy ra vîi måi i, ai ≤ 2.
P
P
Do â maxi ai ≤ 2 n¶n αm =
ai αi ≤ 2 αi . i·u n y væ lþ n¸u ta chån
Do â,
Pn
i=1 (ai
i
i
αm õ lîn n¶n ¤i sè Rees n y khæng húu h¤n sinh.
10
1.2 T½nh Noether cõa v nh låc
Nh÷ ¢ t¼m hiºu trong möc tr÷îc låc cõa c¡c i¶an l mët chõ · quan
trång trong ¤i sè giao ho¡n ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m nghi¶n cùu. °c bi»t
l låc Noether ÷ñc ph¡t triºn bði c¡c nh to¡n håc nh÷ W. Bishop [1], D.
Rees [22],...
Trong möc n y, chóng tæi s³ ành ngh¾a v cho v½ dö v· låc Noether v
chùng minh chóng l mët lîp låc vîi nhi·u t½nh ch§t thó và. Låc Noether câ
i·u ki»n húu h¤n t÷ìng tü nh÷ låc lôy thøa.
ành ngh¾a 1.2.1. Cho R l mët v nh v F = {Fn} l mët låc cõa c¡c i¶an
trong R. Ta nâi F l låc Noether n¸u R(F) l v nh Noether.
V½ dö 1.2.2. (i) Cho R l mët v nh Noether vîi låc lôy thøa F = {I n}, I l
i¶an cõa R. Khi â F l Noether.
(ii) N¸u R l v nh Noether v R(F) l húu h¤n sinh tr¶n R th¼ F l
Noether.
V½ dö 1.2.3. Theo [23] Robert ¢ ch¿ ra r¬ng cho R l mët v nh a thùc
C[x, y, z] àa ph÷ìng t¤i (x, y, z). Khi â tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè p sao
L
(n)
cho
khæng l Noether, trong â p(n) = pn Rp ∩ R l lôy thøa h¼nh
n≥0 p
thùc bªc n cõa p.
Trong nhúng ph¦n tr÷îc, ta ¢ x²t t½nh Noether cõa ¤i sè Rees. Ti¸p
theo ta s³ têng qu¡t låc lôy thøa th nh mët lîp låc lîn hìn v tø â x²t t½nh
Noether cõa ¤i sè Rees theo låc n y.
ành ngh¾a 1.2.4. (i) Ta gåi mët låc F = {Fn}n∈Z cõa c¡c i¶an cõa v nh
R l låc lôy thøa cèt y¸u (hay e.p.f) n¸u tçn t¤i mët sè m > 0 sao cho
m
P
Fn =
Fn−i Fi vîi måi n ≥ 1. N¸u n − i < 0, ta °t Fn−i l R.
i=1
(ii) Vîi hai låc F = {Fn }n∈Z v F 0 = {Fn0 }n∈Z , ta nâi F ≤ F 0 n¸u
Ft ⊆ Ft0 vîi måi t.
Cho F = {Fn }n∈Z l mët låc tr¶n v nh R. Khi â ta câ thº chùng minh
mët sè t½nh ch§t v· låc lôy thøa cèt y¸u.
M»nh · 1.2.5. Cho F = {Fn}n∈Z l mët låc tr¶n v nh R. Khi â c¡c m»nh
· sau ¥y l t÷ìng ÷ìng:
(i) F l låc lôy thøa cèt y¸u;
11
PQ
ei
(ii) Fn = ( m
j=1 Fj ), trong â m cho nh÷ trong ành ngh¾a cõa låc lôy
thøa cèt y¸u v têng l§y tr¶n t§t c£ c¡c ei > 0 sao cho e1 +2e2 +. . .+mem = n
(iii) Tçn t¤i mët sè m ∈ N vîi t½nh ch§t F l låc nhä nh§t tr¶n R m F
câ m + 1 sè h¤ng ¦u ti¶n l R, F1 , F2 , . . . , Fm .
Chùng minh. Tø ành ngh¾a 1.2.4 ta th§y låc nhä nh§t trong (iii) luæn tçn
t¤i, v¼ ta ch¿ c¦n l§y giao cõa t§t c£ c¡c låc (chó þ vîi F = {Fn }n∈Z v
F 0 = {Fn0 }n∈Z th¼ F ∩ F 0 = {Fn ∩ Fn0 }n∈Z ) câ m + 1 sè h¤ng ¦u ti¶n l
R, F1 , F2 , . . . , Fm . B¥y gií ta chùng minh m»nh ·.
m
PQ
P
ei
Fn−i Fi vîi måi n ≥ 1 v Fn0 = ( m
(i)⇔ (ii). Cho Fn =
j=1 Fj ). Khi
i=1
â aei i ∈ Fn0 câ thº vi¸t nh÷ ai . . . ai (ei sè h¤ng) trong Fiei . V¼ Fiei =
m
P
Fiei −j Fj
j=1
n¶n ìn thùc b§t k¼ trong Fn0 câ thº vi¸t nh÷ t½ch cõa ch¿ hai sè h¤ng câ têng
bªc l n v do â nâ ph£i thuëc Fn hay Fn0 ⊆ Fn . Theo quy n¤p, ta công câ
Fn ⊆ Fn0 n¶n Fn = Fn0 .
(ii)⇔ (iii). Cho K = {Kn }n∈Z l mët låc tòy þ tr¶n R sao cho Fi = Ki
vîi måi i = 0, . . . m. Nh÷ vªy, theo ành ngh¾a cõa mët låc ta câ,
m
m
XY
XY
ei
( Fi ) =
( Kiei ) ⊆ Kn
i=1
°t Hn =
i=1
m
P Q
( Fiei ) vîi måi n ≥ m v Hn = Fn vîi måi n < m. Khi â
i=1
H = {Hn } l mët låc tr¶n R. V¼ H l låc nhä hìn K v K l låc tòy þ n¶n
H l låc nhä nh§t. Vªy H ≤ F , nh÷ng H = F v¼ theo (i)⇔(ii). Tø ¥y ta câ
i·u ph£i chùng minh.
Sau ¥y ta xem x²t i·u ki»n c¦n v õ º ¤i sè Rees cõa mët låc b§t
k¼ l v nh Noether düa tr¶n t½nh ch§t cõa låc lôy thøa cèt y¸u.
ành lþ 1.2.6. [19, ành lþ 3.9] Cho R l mët v nh Noether vîi F = {Fn}
l mët låc tòy þ tr¶n R. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng:
(i) ¤i sè Rees mð rëng R0 ùng vîi låc F l Noether;
(ii) R l Noether;
(iii) R l húu h¤n sinh tr¶n R;
(iv) F l låc lôy thøa cèt y¸u.
Chùng minh. Tø M»nh · 1.1.11 v M»nh · 1.1.12 ta câ c¡c m»nh · tø (i)
12
¸n (iii) l t÷ìng ÷ìng v¼ R l ph¥n bªc v R l Noether. Vªy ta ch¿ c¦n
chùng minh m»nh · (iv) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c m»nh · cán l¤i.
(iv)⇒ (iii). Thªt v¥y, v¼ F l låc lôy thøa cèt y¸u n¶n tçn t¤i mët sè
m ∈ n sao cho t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa F ·u câ thº biºu di¹n qua m sè h¤ng
¦u ti¶n cõa F . Do â R = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fm tm ] k²o theo R l húu h¤n
sinh.
(iii)⇒ (iv). °t N = (F1 t, F2 t2 , . . .) l mët i¶an cõa R. Gi£ sû
f1 , . . . , fm l mët h» sinh cõa N . V¼ N l thu¦n nh§t n¶n ta câ thº gi£ sû
fi công thu¦n nh§t (v¼ n¸u fi khæng thu¦n nh§t ta câ thº l§y c¡c th nh
ph¦n thu¦n nh§t v th¶m chóng v o h»). Do vªy, fi = ai tei vîi ei > 0. °t
k = max{ei | i = 1, . . . m} th¼ N = (F1 t, F2 t2 , . . . , Fk tk ). Cho n > k v a ∈ Fn
P
th¼ x = atn ∈ N . Nh÷ng méi ph¦n tû cõa N câ d¤ng
gi fi vîi måi gi ∈ R.
P
n−ei
Do â x =
gi fi . Gi£ sû gi = bi t
v gi l thu¦n nh§t. Do vªy,
X
X
X
x=
bi tn−ei ai tei =
gi f i =
Suy ra
a=
X
ai bi ∈
n
X
FeI Fn−ei ⊆
i=1
Do â, v¼ a ∈ Fn n¶n Fn =
y¸u.
ai bi tn = atn .
m
X
Fj Fn−j .
j=1
Pm
j=1 Fj Fn−j
vîi n > m. Vªy F l låc lôy thøa cèt
ành ngh¾a 1.2.7. Cho M = {Mn} l mët låc tr¶n mët R-mæun M
v
F = {Fn } l mët låc tr¶n R. Khi â M ÷ñc gåi l F -låc tèt n¸u M l t÷ìng
m
P
th½ch vîi F v tçn t¤i mët sè m nguy¶n d÷ìng sao cho Mn =
Fn−i Mi vîi
i=1
måi n 0. °c bi»t suy ra, F l F -låc tèt khi v ch¿ khi F l mët låc lôy
thøa cèt y¸u.
M»nh · 1.2.8. Cho R l mët v nh Noether vîi F = {Fn} l mët låc lôy
thøa cèt y¸u v cho M l mët R-mæun húu h¤n sinh vîi M = {Mn } l mët
F -låc . Khi â M l F -låc tèt khi v ch¿ khi tçn t¤i mët sè k > 0 sao cho
Mk+i = Fk Mi vîi måi i ≥ k .
Chùng minh. Gi£ sû M l F -låc tèt. Khi â theo ành ngh¾a, M l t÷ìng th½ch
m
P
vîi låc F v tçn t¤i mët sè m sao cho Mn =
Fn−i Mi vîi måi n 0 hay
i=1
P
n > n0 n o â trð i. Khi â ta s³ chùng minh E = i Mi ti l húu h¤n sinh
m
P
tr¶n S = R[F1 t, F2 t2 , . . .]. °t xn ∈ Mn vîi n > n0 . Khi â xn =
Fn−i Mi
i=0
13
n¶n xn tn ∈
m
P
i=1
nâ n¬m trong
tn−i Fn−i Mi ti ⊆ SMi ti . Nh÷ vªy, n¸u x ∈ E th¼ x =
m
P
m
P
xn tn n¶n
i=0
S(Mi ti ). Theo ành lþ 1.2.6 F l låc lôy thøa cèt y¸u khi v
i=1
ch¿ khi S = R[F1 t, F2 t2 , . . .] l húu h¤n sinh tr¶n R. Nh÷ vªy, tçn t¤i mët sè
h > 0 sao cho S = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fh th ] v¼ F l mët låc lôy thøa cèt y¸u.
°t j = lcm(2, 3, . . . , h). Cho mi l mët sè nguy¶n d÷ìng sao cho
imi = j vîi måi i = 1, . . . , h. Khi â (Fi ti )mi ⊆ Fj tj ⊆ A = R[Fj tj ]. Do
â mët ph¦n tû b§t k¼ d¤ng xti vîi x ∈ Fi l nguy¶n tr¶n A. V¼ S l húu h¤n
sinh tr¶n A bði c¡c ph¦n tû nguy¶n n¶n S l nguy¶n v húu h¤n sinh tr¶n
A = R[Fj tj ]. Do â E l mët A-mæun húu h¤n.
Cho Θ1 , . . . , Θm l mët h» c¡c ph¦n tû sinh thu¦n nh§t cõa E tr¶n A,
vîi deg Θi = di v °t d = max di vîi i = 1, . . . , m. Cho n > max{d, j} v
P
cho x l mët ph¦n tû cõa Mn . Nh÷ vªy ta câ thº vi¸t x =
xi Θi trong â xi
i
l ph¦n tû thu¦n nh§t cõa A. Cho n¶n xi ho°c b¬ng 0 ho°c câ bªc l n − di .
Gi£ sû xi 6= 0 vîi måi i = 1, . . . , m0 ≤ m. Khi â n − di ≥ 1 v v¼ t§t c£ c¡c
ph¦n tû cõa A câ bªc l mët bëi cõa j , cho n¶n vîi måi i = 1, . . . , m0 tçn t¤i
mët sè nguy¶n d÷ìng ki sao cho jki = n − di . Do â,
0
x=
m
X
i=1
0
xi Θi ⊆
m
X
Fjki Mdi
mi
X
⊆ Fj (
Fjki −1 Mdi ).
i=1
V v¼ Fjki −1 Mdi ⊆ Fj(ki −1) Mdi ⊆ Mj(ki −1)+di = Mn−j n¶n ta câ Mn ⊆ Fj Mn−j .
V¼ M l t÷ìng th½ch vîi F n¶n Mn = Fj Mn−j vîi måi n > max{d, j}. B¥y
gií °t k = jd v i ≥ k . Khi â theo ¯ng thùc ð tr¶n Mk+i = Mjd+1 =
Fj Mj(d−1)+1 . V¼ j(d − 1) + i ≥ max(d, j) + 1 n¶n ta câ thº ti¸p töc cho ¸n
Fj v ta câ Fjd Mi ⊆ Fk Mi . Do â Mi+k ⊆ Fk Mi .
Ng÷ñc l¤i, Cho sè d÷ìng k sao cho Mk+i = Fk Mi vîi måi i ≥ k .
P
Khi â ta chùng minh E =
Mi ti ÷ñc sinh nh÷ mët mæun tr¶n S bði
M1 t, . . . , M2k−1 t, v¼ sè i lîn nh§t khæng thäa m¢n gi£ thi¸t l i = k − 1. N¸u
E l húu h¤n sinh tr¶n S th¼ F l låc lôy thøa cèt y¸u n¶n ta ch¿ c¦n i chùng
minh E l húu h¤n sinh tr¶n S . Gåi Gi l tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû sinh cõa
Mi vîi i < 2k − 1. Khi â Gi l húu h¤n v¼ theo gi£ thi¸t méi Mi l húu h¤n
P
sinh tr¶n R. Nh÷ vªy vîi méi ph¦n tû m ∈ Mi , m =
ri xi trong â Λ húu
i∈Λ
h¤n, ri ∈ R v xi ∈ Mi . Tø â, º t¼m c¡c ph¦n tû sinh cõa E ta ch¿ c¦n chån
t§t c£ c¡c ph¦n tû sinh tø méi Gi v g¡n chóng vîi lôy thøa cõa t ngh¾a l c¡c
ph¦n tû sinh cõa E tr¶n S l t§t c£ c¡c sè h¤ng eti vîi e ∈ Gi .
14
H» qu£ 1.2.9. Cho F = {Fn} l mët låc tr¶n mët v nh Noether R. Khi â
F l mët låc lôy thøa cèt y¸u khi v ch¿ khi tçn t¤i mët sè k > 0 sao cho
Fk+i = Fi Fk vîi måi i ≥ k .
Chùng minh. Cho M = R v M = F nh÷ trong M»nh · 1.2.8 th¼ tçn t¤i mët
sè k sao cho Fk+i = Fi Fk .
Ng÷ñc l¤i, n¸u sè k l tçn t¤i th¼ ta s³ x²t c¡c tr÷íng hñp sau:
N¸u n ≥ 2k th¼ ta câ thº vi¸t
Fn = Fn−k Fk ⊆
2k
X
Fn−i Fi ⊆ Fn
i=1
nh÷ vªy F l e.p.f vîi m = 2k .
2k
P
N¸u n < 2k th¼ Fn ⊇
Fn−i Fi (v¼ theo ành ngh¾a cõa låc ). M°t kh¡c,
i=1
ta câ vîi i = n th¼ Fn = F0 Fn n¶n Fn ⊆
2k
P
i=1
Vªy F l mët låc lôy thøa cèt y¸u.
2k
P
Fn−i Fi . Do â Fn =
Fn−i Fi .
i=1
M»nh · 1.2.10. Cho R l mët v nh vîi låc F
= {Fn }n≥0 v cho M l
mët R-mæun vîi M = {Mn }n≥0 l mët F -låc thäa m¢n Mn l mët R∞
P
+
Mn /Mn+1
mæun húu h¤n sinh vîi måi n ≥ 1. Khi â G (M, M) =
l mët G -mæun con húu h¤n sinh cõa G(M, M) =
∞
P
n=1
Mn /Mn+1 khi v
n=1
ch¿ khi tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng k sao cho vîi måi j ≥ k th¼ Mj+1 =
Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 .
Chùng minh. Gi£ sû G + (M, M) =
h¤n sinh cõa G(M, M) =
∞
P
∞
P
Mn /Mn+1 l mët G -mæun con húu
n=1
Mn /Mn+1 . Ta x¥y düng mæun con nh÷ sau:
n=1
°t Aij = Fj M1 + Fj−1 M2 + . . . + Fj−i+1 Mi + Mj+2 v Ai =
∞
P
Aij /Mj+2 .
j=0
Khi â Ai l mët G -mæun con cõa G + (M, M). Hìn núa Ai ⊆ Ai+1 v
Sß
+
i=1 Ai = G (M, M). Do â theo gi£ thi¸t suy ra r¬ng tçn t¤i mët sè nguy¶n
d÷ìng k sao cho Ak = Ak+t vîi måi t ≥ 0 n¶n suy ra Akj /A(k+t)j = 0 vîi
måi j ≥ 0 v t ≥ 0. °c bi»t, n¸u j ≥ k v t ≥ 1 th¼ Fj−k−t+1 Mk+t ⊆
Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 vîi måi j ≥ k v chi·u ng÷ñc l¤i l hiºn
nhi¶n. Do â Fj−k−t+1 Mk+t = Fj E1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 . B¥y gií vîi
15
- Xem thêm -