Tài liệu Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số bmo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mẫn TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ BMO Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Nhân, luận văn chuyên ngành Toán Giải Tích với đề tài: “Tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với hệ số BMO” được thực hiện bởi sự nhìn nhận và tìm hiểu của chính bản thân tôi. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã thừa kế những kết quả trong các bài báo, luận văn của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan các nội dung và kết quả trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm2019 Học viên thực hiện Nguyễn Thị Tuyết Mẫn LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành được luận văn thạc sĩ này thì không chỉ nhờ vào sự nỗ lực, cố gắng hết mình của bản thân mà còn nhờ rất nhiều vào sự hướng dẫn nhiệt tình của các Thầy, Cô; cũng như sự ủng hộ, giúp đỡ, động viên từ gia đình và bạn bè. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Nguyễn Thành Nhân, người đã giới thiệu cho tôi đề tài này và trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn. Bên cạnh đó tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình đến toàn thể các quý Thầy, Cô của khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt khóa học. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học, cũng như Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành bài nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình đã luôn ở bên, động viên, ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 2 1.1. Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence ................................... 2 1.2. Một số khái niệm ..................................................................................... 2 1.2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong Lp ....... 2 1.2.2. Bổ đề phủ Vitali ................................................................................ 3 1.2.3. Định nghĩa không gian BMO ............................................................ 4 1.2.4. Một số định nghĩa và kết quả liên quan đến biên Lipschitz .............. 4 1.2.5. Bổ đề 1.6 ............................................................................................ 6 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC ............................................. 7 2.1. Bổ đề phủ Vitali....................................................................................... 7 2.2. Các định nghĩa và bổ đề .......................................................................... 8 2.3. Tính chính quy....................................................................................... 19 Chương 3. BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ ................................................................... 22 3.1. Bổ đề phủ Vitali..................................................................................... 22 3.2. Các định nghĩa và bổ đề ........................................................................ 24 3.3. Tính chính quy....................................................................................... 37 Chương 4. BÀI TOÁN NEUMANN VỚI HỆ SỐ BMO TRÊN MIỀN LIPSCHITZ ................................................................................. 42 4.1. Các định nghĩa và bổ đề ........................................................................ 42 4.2. Tính chính quy nghiệm.......................................................................... 53 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 57 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU x   x ', xn  Một điểm điển hình trong R n . Rn   x  R n : xn  0 Không gian R n với các điểm có xn  0 . Br   y  Rn : y  r Quả cầu mở trong R n với tâm O, bán kính r . Br  x   Br  x Quả cầu mở có thêm x . Br  Br   xn  0 Nửa quả cầu. Br  x   Br  x Nửa quả cầu có thêm x . Tr  Br  xn  0 Quả cầu mở Br với các điểm có xn  0 . c Br  Br  xn  0 Biên của Br mà các điểm trong đó có xn  0 . A  aij  Ma trận A cấp n  n . u:  R Hàm u với u  x   u  x1,..., xn   x  . f :   Rn Hàm f với f  x    f 1  x  ,..., f n  x    x  . f Br  1 Br  f  x dx Giá trị trung bình của f trên Br . Br   divf  x     f  x   u  u x1 ,..., u xn n i 1 C0    Gradient của u . i xi Divergence của f . Không gian hàm u  C     có giá compact. 1 MỞ ĐẦU Bài toán về tính chính quy nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu nhiều năm nay. Gần đây một số kết quả về bài toán này cho các phương trình với hệ số BMO được nghiên cứu bằng phương pháp sử dụng Bổ đề phủ Vitali và công cụ trong giải tích điều hòa. Luận văn này tập trung khảo sát một số đánh giá về tính chính quy nghiệm của một lớp phương trình đạo hàm riêng có dạng divergence với hệ số không liên tục. Cụ thể là khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình elliptic với ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO rất nhỏ. Tài liệu nghiên cứu chính đó là [1], [3], [5], [8]. Nội dung tập trung khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình dạng divergence. Từ đó ứng dụng vào các bài toán cụ thể với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên Neumann. Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Bước đầu giới thiệu về phương trình elliptic dạng divergence, các định nghĩa và bổ đề quan trọng để bổ trợ cho các chương sau. Chương 2: Bàn luận về tính chính quy cho gradient của nghiệm phương trình elliptic dạng divergence với hệ số không liên tục . Công cụ chính đó là Bổ đề phủ Vitali. Và phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệm của chương này là nền tảng cho phương pháp của hai chương sau. Chương 3: Mở rộng đánh giá của chương trước để nghiên cứu về tính trơn của nghiệm yếu lên biên của bài toán Dirichlet với hệ số BMO trên miền Lipschitz. Chương 4: Bài toán Neumann với hệ số BMO trên miền Lipschitz. Chương này mở rộng đánh giá trong chương trước. Kỹ thuật chính của chương này là từ Bổ đề 3.1 trong Chương 3. 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, bước đầu giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence, một số định nghĩa và bổ đề cần thiết để nghiên cứu các chương sau. Tài liệu tham khảo của chương này chủ yếu từ [1], [2], [3], [5] và [9]. 1.1. Giới thiệu phương trình elliptic dạng divergence Phương trình elliptic dạng divergence:  Lu   aij u x j  xi   div  Au   divf   f i  trong miền bị chặn   Rn . (1.1) x i Giả thiết chính đó là các hệ số của phương trình elliptic, A  aij  , thuộc không gian John-Nirenberg BMO (xem.[5]) với nửa chuẩn BMO nhỏ:  ABMO  supsup 2 r 0 x 1 Br A  y   ABr  x  dy 2  Br  x  1. (1.2) 1.2. Một số khái niệm 1.2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và một số kết quả trong Lp Định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood Cho f là một hàm khả tích địa phương. Khi đó, hàm cực đại Hardy-Littlewood của f là: f  x   sup r 0 1 Br f  y  dy.  Br  x  Định lý cơ bản của hàm cực đại Hardy-Littlewood   f  Lp  R n  . Hơn nữa, (i) Nếu f  Lp R n với p  1 , khi đó: f Lp C f Lp . (1.3)   (ii) Nếu f  L1 R n , khi đó: x  R n : f  x     C  p f dx. (1.4) 3 (1.3) được gọi là mạnh loại p  p và (1.4) được gọi là yếu loại 1  1. Bổ đề 1.1 Với 1  p   . Khi đó, ta có: (i) f  L1    nếu và chỉ nếu f  L1    , (ii) f  Lp    nếu và chỉ nếu f p  L1    . Bổ đề 1.2 Với   0 và f  Lp   1  p    . Khi đó, ta có: (i) (ii) x  : f  x     1  p    p f dx,    f dx  p   p 1 x  : f  x    d . p 0 Bổ đề 1.3 Cho p  2 . Giả sử rằng tồn tại p là một số thực với     p   0 nhỏ sao cho: A  In   . Khi đó, tất cả các nghiệm u  H 1 của phương trình div  Au   0 trong miền bị chặn   Rn thì thỏa mãn u  W1, p . 1.2.2. Bổ đề phủ Vitali Cho A là một tập đo được. Giả sử rằng một lớp các quả cầu B phủ A A  B . Bán kính của B bị chặn trên. Và tồn tại các quả cầu rời nhau B   i i 1  B  sao cho: A  5Bi , i với 5Bi là quả cầu với bán kính gấp năm lần bán kính của Bi . Khi đó, ta có: 4 A  5n  Bi . i 1.2.3. Định nghĩa không gian BMO Cho f là hàm khả tích địa phương trên R n . Khi đó, ta nói f thuộc không gian BMO nếu  f BMO  supsup 2 r 0 x 1 Br f  y   f Br  x  dy  . 2  Br  x  Với một hàm f  BMO và bất kì   0 , thì  2     supsup r x 1 Br f  y   f Br  x  dy. 2  Br  x  Ta nói hàm f thuộc không gian VMO nếu lim     0 và     được gọi là  0 mô đun VMO của hàm f . Thay quả cầu B ở trên bởi B   , ta nhận được định nghĩa của BMO    . Hơn nữa, ta có thể mở rộng trên toàn R n mà vẫn giữ được các tính chất của BMO    . 1.2.4. Một số định nghĩa và kết quả liên quan đến biên Lipschitz Định nghĩa hàm liên tục Lipschitz Hàm u : Rn  R là liên tục Lipschitz nếu: Lip u   sup x , yR n , x  y u  x  u  y x y  với hằng số C. Định nghĩa miền Lipschitz Với mỗi điểm x0   tồn tại r   0, R nhỏ và hàm liên tục Lipschitz  : R n 1  R sao cho:   Br  x0   x   x1,..., xn1, xn    x ', xn   Br  x0  : xn    x ' 5 và sup x ' y '   x '    y ' x ' y ' 1 trong hệ tọa độ. Định nghĩa  , r0  - Lipschitz  là  ,r0  -Lipschitz nếu với mọi x0   , tồn tại một hàm liên tục Lipschitz  : R n 1  R với Lip     sao cho   Br0  x0    x   x ', xn    Br0  x0  : xn    x ' trong hệ tọa độ. Ta sẽ giả sử r0  1 trong các chứng minh sau này do  bất biến tỉ lệ. Bổ đề 1.4 Nếu   Rn là miền với biên Lipschitz, thì  có miền mở rộng trong W1, p với 1  p   . Nghĩa là, có một toán tử tuyến tính bị chặn: E : W1, p     W1, p  Rn  sao cho với mỗi u  W1, p    : (i) Eu  u hầu khắp nơi trong  , (ii) Eu có giá compact, (iii) Eu   C u W1, p R n , W1, p    trong đó Eu được gọi là một mở rộng đến R n . Định lý 1.5 Cho   Rn là một miền có biên Lipschitz, u  W1, p    . Khi đó: (i) Nếu 1  p  n , thì u C u L   q 1, p W np . n p (1.5) n . p (1.6)   với mọi q    với mọi   1  (ii) Nếu p  n , thì u C  C u   1, p W 6 (iii) Các phép nhúng ở trên là compact nếu bất đẳng thức ngặt (1.5) và (1.6) được thỏa. 1.2.5. Bổ đề 1.6 Giả sử rằng f là một hàm đo được, không âm trên miền bị chặn  . Cho các hằng số   0 và N1  1 . Khi đó, với 0  p   : f  Lp    khi và chỉ khi S    N1k  k 1 p x  : f  x    N   . k 1 Và 1 S f C p Lp     C    S , trong đó C>0 là hằng số chỉ phụ thuộc vào  , p và N1 . Bổ đề trên cho ta biết cách xác định một hàm là hàm thuộc Lp    . Vậy ta đã nhắc lại một số kiến thức quan trọng cần thiết như là Bổ đề phủ Vitali, hàm cực đại Hardy-Little Wood, chuẩn BMO,… để việc tìm hiểu các chương sau được dễ dàng hơn. 7 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC DẠNG DIVERGENCE VỚI HỆ SỐ KHÔNG LIÊN TỤC Trong chương này, ta sẽ xét trên W1, p 1  p    đánh giá nghiệm u của phương trình elliptic dạng divergence sau: Lu  div  A  x  u   divf . (2.1) Giả thiết chính đó là ma trận hệ số có nửa chuẩn BMO nhỏ. Nội dung được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [4], [8]. 2.1. Bổ đề phủ Vitali Bổ đề 2.1 Cho 0    1 và C  D  B1 là hai tập đo được với C   B1 (2.2) và thỏa mãn tính chất sau: mỗi x  B1 với C  Br  x    Br , Br  x   B1  D. (2.3) C  10n  D . Khi đó: Chứng minh. Theo (2.2), với x  C hầu khắp nơi, tồn tại rx  0 nhỏ sao cho: C  Brx  x    Brx và C  Brx  x    Br với r   0,1. (2.4)   Chú ý rằng Brx  x  : x  C phủ C. Khi đó, theo Bổ đề phủ Vitali, có   các quả cầu rời nhau Bri  xi   Brx  x  : x  C  i  1 thỏa: C  5Bri  xi  và C  5n  Br . i i (2.5) i Do đó, theo (2.4), C  B5ri  xi    B5ri  xi   5n  Bri  xi   5n C  Bri  xi  . (2.6) Tiếp theo, ta sẽ chứng minh: Bri  2n Bri  xi   B1 . (2.7) 8   Với r  0 không đổi, inf Br  x   B1 : x  B1  Br  e1   B1 . Ta cũng có:  r   Br  e1   B1  B r  1   e1  , 2  2  và Br  x   B1  Br  e1   B1  Br  2 n Br  x  . 2 Từ đây, ta suy ra (2.7). Khi đó, theo (2.5), (2.6), (2.7) và (2.3), ta được: C  B  x    C  B  x  C  5 ri i i 5 ri i i  5n   Bri  xi  i  10   Bri  xi   B1 n i  10n  i B x   B  ri i 1  10n  D , hoàn thành chứng minh.  2.2. Các định nghĩa và bổ đề Ta giả sử rằng L là toán tử elliptic đều, tức là, Định nghĩa 2.2 L là một toán tử elliptic đều nếu tồn tại hằng số  dương sao cho: 1    T A x     , x  hầu khắp nơi,   R n . (2.8) 2 2 Ta nhận thấy từ điều kiện trên thì A  bị chặn đều. 9 Định nghĩa 2.3 u  H 1  BR  R  0  là một nghiệm yếu của phương trình (2.1) nếu:  BR Au. dx   f dx với bất kì   H 01  BR . BR Bổ đề 2.4 Giả sử rằng u là nghiệm yếu của (2.1) trong B2 . Khi đó:   2 u dx  C 2 B2   2 B2  f dx    u dx ,   C0  B2  . 2 2 2 B2 Chứng minh. Theo Định nghĩa 2.3, ta có:    B2 B2 B2 Au.  2u  dx    f  2u  dx B2 Au. 2u   2u  dx    f  2u   2u  dx B2  2 Au.udx     2uf   fu dx   2 B2 B2 2uAu.dx. Ta viết lại đẳng thức trên như sau: I1  I 2  I 3 , với I1    2 Au.udx, B2 I2   B2  2uf   fu dx, 2 I 3    2uAu.dx. B2 Đánh giá I1 . Theo điều kiện elliptic đều (2.8), ta có: I1    2 Au.udx   1   2 u dx. 2 B2 B2 Đánh giá I 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với  , ta có: 10  2uf .   f .u dx    2 f u   f u dx I2   2 B2 2 B2 1 2 2 2 2 2     2 f  u    2 u   2 f dx B2 4   1  2 2 2 2   1     2 f dx   u  dx     2 u dx. B2 B2  4  B2 Đánh giá I 3 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với  , ta có: I 3    2uAu.dx B2  2 A   u u dx B2  C   2 u dx  2 B2 C   B2 u  dx. 2 2 Ta kết hợp Ii  i  1,2,3 để có:  1   2 u dx  I1  I 2  I 3 2 B2 1  2 2 2 2   1     2 f dx   u  dx     2 u dx  B2 B2  4  B2 C 2 2 2  C   2 u dx   u  dx  B2 B2 1  2 2 2 2   C  C   2 u  1     2 f  1     u . B2  4  B2    B2 Cuối cùng, ta chọn    B2  2 u dx  C 2 1 để có kết luận: 2C    B2 2  f dx    u dx ,   C0  B2  .  2 2 B2 2 Bổ đề 2.5 Với bất kì   0 ,       0 sao cho với mỗi nghiệm yếu u của (2.1) trong B5 với 11 1 B5  B5 1 B5 u dx  1 và 2  f 2 B5  A  AB5 2  dx   , (2.9) 2 thì tồn tại nghiệm trơn v  C   B4  của    div A B4 v  0 trong B4 thỏa  u  v dx   2 . 2 B4 (2.10) Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, nghĩa là tồn tại  0  0 ,  Ak k 1 , uk k 1 và fk k 1 sao    cho uk là nghiệm yếu của div  Ak uk   divfk trong B5 (2.11) với 1 B5  B5 uk dx  1 và 2 1 B5  B5  Nhưng  B4 fk  Ak  Ak B5 2 2  dx  k1 . (2.12) 2 uk  vk dx   02 2 (2.13) với bất kì nghiệm vk  C   B4  của   div Ak B4 vk  0 trong B4 .  Theo Bổ đề 2.4 và (2.12), thì uk  uk     k 1 (2.14) là bị chặn trong H 1  B4  và   do đó, uk  uk có dãy con, mà ta vẫn kí hiệu là uk  uk , sao cho: uk  uk ⇀ u0 trong H 1  B4  và uk  uk  u0 trong L2  B4  . (2.15)     Vì Ak B4 bị chặn, nên có dãy con mà ta kí hiệu là Ak Ak B4  A0 khi k  .  k 1 , sao cho: (2.16) 12 Nhưng khi đó, theo (2.12), ta có: Ak  A0 trong L2  B4  . (2.17) Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng u0 là nghiệm của div  A0u0   0 trong B4 . (2.18) Để được như vậy, ta lấy   H 01  B4  . Khi đó, ta có:  B4 Ak uk . dx   Ak uk . dx   fk dx   fk dx; B5  hay B4 B5 B4 Ak uk . dx   fk  dx. (2.19) B4 Vì uk ⇀ u0 và Ak  A0 trong L2  B4  , nên Ak uk ⇀ A0u0 trong L2  B4  . Khi đó, cho k   trong (2.19), ta có:  B4 A0u0 . dx  0, do đó, ta được (2.18). Chú ý rằng:        div Ak B4 u0  div Ak B4  A0 u0  div  A0u0   div Ak B4  A0 u0  trong B4 . Lấy hk là nghiệm của       div Ak B4 hk  div Ak B4  A0 u0 trong B4   hk  0 trên B4 . (2.20) Khi đó, u0  hk  C   B4  là một nghiệm của    div Ak B4   u0  hk   0 trong B4 . Với bất kì   H 01  B4  , (2.21) 13  A   u  h . dx   A u . dx     A u . dx    A  A  u . dx    A  A  u .   A u .    A B4 B4 B4 k B4 0 k B4 k B4 k 0 k B4 B4 0 k B4 B4 0 B4 0 0 0 Ak B4 hk . dx B4 0 0 k B4 B4   A0 u0 .  0, trong đó, do (2.20) và (2.18), và ta có (2.21). Hơn nữa, theo (2.20): hk L2  B4   hk H 1  B4     C Ak B4  A0 u0  C Ak B4  A0 u0 L2  B4  L2  B4   C Ak B4  A0 , và vì thế, ta có: uk   u0  hk  L2  B4   uk  u0 L2  B4   hk  uk  u0 L2  B4   C Ak B4  A0 . L2  B4  Theo đánh giá này, (2.15) và (2.16) thì: uk   u0  hk  L2  B4   0 khi k   . Nhưng điều này mâu thuẫn với (2.13) bởi (2.21).  Hệ quả 2.6 Với bất kì   0 , có       0 nhỏ sao cho với mỗi nghiệm u của (2.1) trong B5 mà 2 1 1 2 2 f  A  A dx   2 , (2.22)  u dx  1 và B5   B5 B5 B5 B5  thì tồn tại nghiệm trơn v  C   B4  của    div A B4 v  0 trong B4 