Tài liệu Tính catenary trong các đại số hữu hạn sinh như môđun

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN CHUYỀN TÍNH CATENARY TRONG CÁC ĐẠI SỐ HỮU HẠN SINH NHƯ MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2015 Lêi cam ®oan i T«i xin cam ®oan r»ng c¸c kÕt qu¶ tr×nh bµy trong luËn v¨n nµy lµ kh«ng bÞ trïng lÆp víi c¸c luËn v¨n tr­íc ®©y. Nguån tµi liÖu sö dông cho viÖc hoµn thµnh luËn v¨n lµ c¸c nguån tµi liÖu më. C¸c th«ng tin, tµi liÖu trong luËn v¨n nµy ®· ®­îc ghi râ nguån gèc. Häc viªn Ph¹m V¨n ChuyÒn Lêi c¶m ¬n ii T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi PGS. TS. NguyÔn ThÞ Dung, ng­êi ®· tËn t×nh h­íng dÉn t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« trong ViÖn To¸n häc ViÖt Nam, trong khoa To¸n vµ bé phËn ®µo t¹o Sau ®¹i häc - Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m Th¸i Nguyªn, ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y, t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. Xin c¶m ¬n nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh, c¸c b¹n trong líp Cao häc To¸n K21, ®· ®éng viªn gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp. B¶n luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, rÊt mong nhËn ®­îc sù chØ b¶o tËn t×nh cña c¸c thÇy c« vµ b¹n bÌ ®ång nghiÖp. Th¸i Nguyªn, th¸ng 5 n¨m 2015 T¸c gi¶ luËn v¨n Ph¹m V¨n ChuyÒn iii Môc lôc Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ch­¬ng 1. §¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un 1 ..... 3 1.1. Phô thuéc nguyªn trªn vµnh con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. §¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét Ch­¬ng 2. R-m«®un .......................... 13 TÝnh catenary trong R-m«®un h÷u h¹n sinh 21 2.1. TÝnh catenary vµ catenary phæ dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. TÝnh catenary cña R-m«®un h÷u h¹n sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 Më ®Çu Cho R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ p ⊂ q lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña R. Mét d·y t¨ng chÆt c¸c i®ªan nguyªn tè p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q ®­îc gäi lµ mét xÝch i®ªan nguyªn tè b·o hßa gi÷a tån t¹i mét i®ªan nguyªn tè p vµ q nÕu víi mäi i, kh«ng p0 sao cho pi ⊂ p0 ⊂ pi+1 . Khi ®ã n ®­îc gäi lµ ®é dµi cña xÝch i®ªan nguyªn tè b·o hßa trªn. Vµnh R ®­îc gäi lµ vµnh catenary nÕu víi mäi cÆp i®ªan nguyªn tè p R lu«n tån t¹i xÝch i®ªan nguyªn tè b·o hßa ⊂ q cña p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q n»m gi÷a p vµ q vµ mäi xÝch nguyªn tè b·o hoµ gi÷a gäi lµ catenary phæ dông nÕu mäi p vµ q ®Òu cã chung ®é dµi. Vµnh R ®­îc R-®¹i sè h÷u h¹n sinh ®Òu lµ catenary. TÝnh catenary cña c¸c vµnh ®­îc nghiªn cøu ®Çu tiªn bëi W. Krull [Kr] n¨m 1937. Sau ®ã hµng lo¹t c«ng tr×nh cña c¸c nhµ to¸n häc nh­ M. Nagata [N1], [N2], I. S. Cohen [C1], [C2], L. J. Ratliff [R1], [R2], ... cho thÊy r»ng tÝnh chÊt nµy ®ãng mét vai trß quan träng trong viÖc nghiªn cøu cÊu tróc cña vµnh vµ m«®un. Nh¾c l¹i r»ng W. Krull [Kr] (1937) ®· chøng tá r»ng mäi ®¹i sè h÷u h¹n sinh trªn mét tr­êng lµ catenary. TiÕp theo, I. S. Cohen [C1] (1946) chøng minh mäi vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ ®Òu lµ catenary. KÕt qu¶ tiÕp theo thuéc vÒ M. Nagata [N1] (1956) nãi r»ng mäi miÒn nguyªn ®Þa ph­¬ng tùa kh«ng trén lÉn lµ catenary. Ngoµi ra, b»ng nh÷ng lËp luËn ®¬n gi¶n, ta cã thÓ chøng minh c¸c líp vµnh nÕu vµ chØ nÕu R/I R sao cho dim R 6 2 lµ vµnh catenary, lµ catenary víi mäi i®ªan I cña R lµ catenary R, ¶nh ®ång cÊu vµ ®Þa ph­¬ng hãa cña vµnh catenary còng lµ c¸c vµnh catenary. Nh­ vËy hÇu hÕt c¸c vµnh ®­îc biÕt ®Õn trong thùc tÕ vµ trong nh÷ng øng dông cña H×nh häc ®¹i sè ®Òu lµ catenary. V× vËy, mét c©u hái ®Æt ra lµ liÖu r»ng tÝnh catenary cã ®­îc b¶o toµn qua c¸c më réng vµnh? VÝ dô nÕu cho h÷u h¹n sinh th× liÖu r»ng tÝnh catenary cña Λ lµ mét R-m«®un R vµ Λ liªn hÖ víi nhau nh­ thÕ 2 nµo? N¨m 1999, S. Goto vµ K. Nishida [GN] trong bµi b¸o "CATENARITY IN MODULE-FINITE ALGEBRAS" ®¨ng trªn t¹p chÝ Proceedings of the American Mathematical Society ®· tr¶ lêi cho c©u hái trªn. KÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o lµ ®Þnh lý sau. §Þnh lý. Gi¶ sö R lµ vµnh giao ho¸n, Noether, Λ lµ R-®¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un (kh«ng nhÊt thiÕt lµ giao ho¸n). Khi ®ã Λ lµ catenary nÕu R lµ catenary phæ dông. Theo Ratliff [R2, §Þnh lý 3.6], nÕu R lµ miÒn ®Þa ph­¬ng th× tÝnh catenary phæ dông t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh tùa kh«ng trén lÉn, v× thÕ chiÒu ng­îc l¹i cña ®Þnh lý trªn còng ®óng nÕu R lµ miÒn ®Þa ph­¬ng (HÖ qu¶ 2.2.9). V× vµnh Cohen-Macaulay lµ catenary phæ dông nªn tõ ®Þnh lý trªn ta cã ngay mét hÖ qu¶ lµ nÕu vµnh R lµ Cohen-Macaulay th× vµnh 2.2.7). H¬n n÷a, trong tr­êng hîp lµ Λ lµ catenary (HÖ qu¶ (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, Noether vµ Λ R-m«®un Cohen-Macaulay th× Λ lµ catenary (HÖ qu¶ 2.2.8). Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i vµ chøng minh chi tiÕt mét sè kÕt qu¶ vÒ R-m«®un h÷u h¹n sinh, tÝnh chÊt catenary, catenary phæ dông cña vµnh vµ kÕt qu¶ cña S. Goto vµ K. Nishida [GN] vÒ tÝnh catenary cña R-m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh giao ho¸n Noether. Néi dung chÝnh cña luËn v¨n bao gåm 2 ch­¬ng. Ch­¬ng 1 dµnh ®Ó tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm, tÝnh chÊt liªn quan ®Õn më réng nguyªn trªn mét vµnh, c¸c ®Þnh lý kh«ng so s¸nh ®­îc, ®Þnh lý n»m trªn, ®Þnh lý going-up, ... C¸c kh¸i niÖm, vÝ dô vµ mét sè tÝnh chÊt cña R-m«®un h÷u h¹n sinh còng ®­îc tr×nh bµy trong ch­¬ng nµy. Ch­¬ng 2 chøng minh mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ tÝnh catenary, catenary phæ dông vµ hai kÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o cña S. Goto vµ K. Nishida [GN]. PhÇn kÕt luËn cña luËn v¨n tæng kÕt c¸c kÕt qu¶ ®· ®¹t ®­îc. 3 Ch­¬ng 1 §¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét R -m«®un Néi dung cña ch­¬ng nµy gåm hai phÇn, phÇn mét ®­a ra kh¸i niÖm vÒ më réng nguyªn vµ hÖ thèng l¹i mét sè kÕt qu¶ c¬ së cña më réng nguyªn nh­: §Þnh lý kh«ng so s¸nh ®­îc (Incomparability), §Þnh lý n»m trªn (Lying- over), §Þnh lý ®i lªn (Going-up)... PhÇn hai ®­a ra kh¸i niÖm, vÝ dô vµ hÖ thèng l¹i mét sè kÕt qu¶ chÝnh vÒ lu«n kÝ hiÖu R, S R-m«®un h÷u h¹n sinh. Trong ch­¬ng nµy lµ c¸c vµnh giao ho¸n, M lµ mét R-m«®un vµ Λ lµ mét R-®¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un. C¸c kÕt qu¶, thuËt ng÷ ®­îc tham kh¶o trong cuèn s¸ch cña R. Y. Sharp [Sh], M. F. Atiyah and I. G. MacDonald [AM] vµ bµi b¸o cña S. Goto vµ K. Nishida [GN]. 1.1. Phô thuéc nguyªn trªn vµnh con §Þnh nghÜa 1.1.1. ho¸n S, phÇn tö r0 , . . . , rh−1 ∈ R khi vµ chØ khi Vµnh trªn S ([Sh, §Þnh nghÜa 13.16]) Cho s ∈ S R lµ vµnh con cña vµnh giao ®­îc gäi lµ nguyªn trªn sao cho sh R nÕu tån t¹i h ∈ N vµ + rh−1 sh−1 + . . . + r0 = 0, hay nãi c¸ch kh¸c s lµ nghiÖm cña mét ®a thøc monic trong vµnh R[X]. ®­îc gäi lµ nguyªn trªn R nÕu mäi phÇn tö s ∈ S ®Òu lµ nguyªn R. Mét ®ång cÊu f : R → R0 gi÷a c¸c vµnh giao ho¸n ®­îc gäi lµ nguyªn 4 khi vµ chØ khi R0 lµ nguyªn trªn vµnh con Nh¾c l¹i r»ng mét R-m«®un M Im(f ) cña nã. ®­îc gäi lµ faithful nÕu (0 :R M ) = 0. Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.1.2. ho¸n (i) ([Sh, MÖnh ®Ò 13.20]) Cho R lµ mét vµnh con cña vµnh giao S vµ s ∈ S . Nh÷ng kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t­¬ng ®­¬ng: s lµ nguyªn trªn R; (ii) Vµnh con R[s] cña S lµ h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un; (iii) Tån t¹i vµnh con T cña S chøa R[s] vµ T lµ h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un; (iv) Tån t¹i mét R[s]-m«®un faithful M , mµ nÕu coi M nh­ R-m«®un bëi phÐp thu hÑp v« h­íng th× M lµ h÷u h¹n sinh. Chøng minh. Ta sÏ chøng minh nh­ (i) ⇒ (ii). R-m«®un. ThËt vËy, v× s R[s] lµ nguyªn trªn R sinh bëi {si : i ∈ N0 } nªn tån t¹i h ∈ N vµ r0 , . . . , rh−1 ∈ R tháa m·n sh + rh−1 sh−1 + . . . + r0 = 0. Do ®ã víi mäi n ∈ N0 ta cã sh+n = −rh−1 sh+n−1 − . . . − r0 sn . B»ng quy n¹p theo n ta cã thÓ dÔ dµng chøng minh ®­îc sh+n ∈ R1 + Rs + . . . + Rsh−1 ®iÒu nµy cã nghÜa lµ mäi phÇn tö cña R[s] ®Òu cã thÓ biÓu diÔn qua 1, s, ..., sh−1 , chøng tá R[s] lµ h÷u h¹n sinh nh­ R-m«®un. (ii) ⇒ (iii). Ta chØ cÇn chän T = R[s]. 5 (iii) ⇒ (iv). LÊy M = T . Khi ®ã T gi¶ thiÕt theo (iii). lµ mét MÆt kh¸c, lÊy bÊt k× phÇn tö a1R = 0 suy ra a = 0. V× thÕ, M = T (iv) ⇒ (i). Cho M m«®un sinh bëi tån t¹i R-m«®un h÷u h¹n sinh theo a ∈ (0 :R[s] T ), lµ tõ aT = 0 kÐo R[s]-faithful. lµ mét R[s]-m«®un faithful vµ M h÷u h¹n sinh nh­ R- u1 , u2 , . . . , un . Khi ®ã v× sui ∈ M nªn víi mçi i = 1, . . . , n, aij ∈ R tháa m·n suj = n X (1) aij ui . 1 §Æt ma trËn cña A, A = (aij ), ta sÏ chøng minh s lµ nghiÖm cña ®a thøc ®Æc tr­ng tøc lµ s lµ nghiÖm cña f (t) = det(tIn − A). ThËt vËy, tõ ®¼ng thøc (1) ta cã thÓ viÕt d­íi d¹ng (u1 , . . . , un )sIn = (u1 , . . . , un )A hay (2) (u1 , . . . , un )(sIn − A) = (0, . . . , 0) KÝ hiÖu (sIn − A)ad lµ ma trËn liªn hîp cña ma trËn (sIn − A). Theo [Sh, HÖ qu¶ 13.12], ta cã tÝnh chÊt (sIn − A)(sIn − A)ad = det(sIn − A)In . Nh©n c¶ hai vÕ cña (2) víi (sIn − A)ad råi ¸p dông tÝnh chÊt trªn ta ®­îc (u1 , . . . , un )(sIn − A)(sIn − A)ad = (0, . . . , 0)(sIn − A)ad . Suy ra (u1 , . . . , un ) det(sIn − A)In = (0, . . . , 0) hay (u1 , . . . , un )f (s)In = (f (s)u1 , . . . , f (s)un )In = (0, . . . , 0). 6 Tõ ®ã suy ra f (s)ui hay = 0 víi mäi phÇn tö sinh ui cña M , kÐo theo f (s)M = 0 f (s) = 0 do M lµ mét R[s]-m«®un faithful. VËy s lµ nghiÖm cña f (t). MÆt kh¸c b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi ®Þnh thøc ta cã thÓ chØ ra ®­îc cã d¹ng f (t) = tn + an−1 tn−1 + . . . + a0 trong ®ã c¸c ai ∈ R , f (t) suy ra sn + an−1 sn−1 + . . . + a0 = 0, chøng tá s lµ nguyªn trªn R. §Þnh lý trªn cã thÓ më réng cho n phÇn tö nguyªn cña S ([Sh, MÖnh ®Ò 13.21]) Cho HÖ qu¶ 1.1.3. trªn R. R lµ vµnh con cña vµnh giao ho¸n S vµ s1 , . . . , sn ∈ S lµ nguyªn trªn R. Khi ®ã vµnh con R[s1 , . . . , sn ] cña S lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh. Chøng minh. Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo ®Ò 1.1.2 ta cã n. Víi n = 1, theo MÖnh R[s1 ] lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. Gi¶ sö n > 1 vµ kÕt qu¶ ®óng víi c¸c gi¸ trÞ nhá h¬n V× sn lµ nguyªn trªn ®Ò 1.1.2 ta ®­îc n nghÜa lµ R[s1 , . . . , sn−1 ] lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. R nªn sn lµ nguyªn trªn R[s1 , . . . , sn−1 ], l¹i theo MÖnh R[s1 , . . . , sn ] = R[s1 , . . . , sn−1 ][sn ] m«®un h÷u h¹n sinh. Tõ ®ã dÔ dµng suy ra ®­îc lµ R[s1 , . . . , sn−1 ]- R[s1 , . . . , sn ] lµ mét R- cho lµ m«®un h÷u h¹n sinh. Cho R lµ vµnh con cña vµnh mét i®ªan cña S vµ kÝ hiÖu J c = Ker(g) víi g S vµ gi¶ sö Jc = J ∩ R S lµ nguyªn trªn R, lµ i®ªan thu hÑp trªn R. J Khi ®ã lµ ®ång cÊu hîp thµnh p ⊆ g:R− →S→ − S/J vµ g mäi sÏ c¶m sinh ®¬n cÊu g : R/J c → S/J r ∈ R. V× thÕ ta cã thÓ coi R/J c Cho U −1 S U lµ mét tËp nh©n ®ãng cña cho bëi tháa m·n g(r + J c ) = r + J nh­ lµ mét vµnh con cña víi S/J. R, khi ®ã cã mét ®¬n cÊu h : U −1 R → h(r/u) = r/u, víi mäi r ∈ R, u ∈ U . Tõ ®ã cã thÓ coi U −1 R lµ vµnh con cña U −1 S. 7 KÕt qu¶ sau b¶o toµn tÝnh nguyªn cña mét vµnh qua vµnh th­¬ng vµ vµnh ®Þa ph­¬ng hãa. Bæ ®Ò 1.1.4. ([Sh, Bæ ®Ò 13.26]) Cho lµ nguyªn trªn R lµ vµnh con cña vµnh S vµ gi¶ sö S R, cho J lµ mét i®ªan cña S , U lµ mét tËp nh©n ®ãng cña R. Víi c¸c quy ­íc vµ kÝ hiÖu nh­ trªn ta cã S/J lµ nguyªn trªn R/J c ; (i) U −1 S lµ nguyªn trªn U −1 R. (ii) Chøng minh. LÊy bÊt k× s ∈ S, v× s nguyªn trªn R nªn tån t¹i n ∈ N vµ r0 , . . . , rn−1 ∈ R tháa m·n sn + rn−1 sn−1 + . . . + r0 = 0. (i) Tõ ®¼ng thøc (*) khi thay c¸c s=s+J ri bëi (*) ri = ri + J c ∈ R/J c ta cã còng tháa m·n (s)n + rn−1 (s)n−1 + . . . + r1 (s) + r0 = 0. s lµ nguyªn trªn R/J c suy ra S/J lµ nguyªn trªn R/J c . s (ii) LÊy t ∈ U khi ®ã ∈ U −1 S . V× s ∈ S lµ nguyªn trªn R t Do ®ã nªn s tháa m·n (*) suy ra a0 an−1 , . . . , tn t trªn U −1 R. Mµ MÖnh ®Ò 1.1.5. sö an−1 s n−1 a0 s ( ) + . . . + n = 0. ( )n + t t t t s ∈ U −1 R suy ra nguyªn trªn U −1 R, t ([Sh, Bæ ®Ò 13.31]) Cho hay U −1 S nguyªn R lµ vµnh con cña vµnh S vµ gi¶ S lµ nguyªn trªn R. Cho q ∈ Spec S vµ ®Æt p = q ∩ R = qc lµ thu hÑp cña q trªn R, do ®ã p ∈ Spec R. Khi ®ã ta cã q lµ i®ªan cùc ®¹i cña S khi vµ chØ khi p lµ i®ªan cùc ®¹i cña R. 8 Chøng minh. Gi¶ sö q lµ i®ªan cña lµ i®ªan cùc ®¹i cña minh S S khi vµ chØ khi vµ ®Æt p = q ∩ R. §Ó chøng minh q p lµ i®ªan cùc ®¹i cña R, ta cÇn chøng S/q lµ mét tr­êng khi vµ chØ khi R/p lµ mét tr­êng. ThËt vËy, gi¶ sö q lµ mét i®ªan cùc ®¹i cña vµnh con Khi ®ã theo Bæ ®Ò 1.1.4 th× S/q lµ nguyªn trªn R/p. LÊy x ∈ R/p sao cho x 6= 0. V× S/q lµ mét tr­êng nªn x cã phÇn tö nghÞch ®¶o vËy, v× S. (x)−1 (x)−1 trong lµ nguyªn trªn S/q. R/p (x)−1 ∈ R/p. Ta sÏ chøng minh nªn tån t¹i n∈N vµ ThËt a0 , . . . , an−1 ∈ R/p sao cho ((x)−1 )n + an−1 ((x)−1 )n−1 + . . . + a0 = 0 Nh©n hai vÕ víi (x)n−1 ta cã (x)−1 = −(an−1 + an−2 x + . . . + a0 (x)n−1 ) ∈ R/p, chøng tá R/p lµ mét tr­êng. Ng­îc l¹i, gi¶ sö R/p lµ mét tr­êng. Khi ®ã S/q lµ mét miÒn nguyªn vµ lµ nguyªn trªn tr­êng trªn lÊy R/p n R/p. LÊy y ∈ S/q sao cho nªn tån t¹i mét ®a thøc monic trong y 6= 0. V× nhËn R/p[X] lµ bËc nhá nhÊt cã thÓ cña ®a thøc trªn. Khi ®ã lµ nguyªn y lµ nghiÖm, y vµ tån t¹i n ∈ N r0 , . . . , rn−1 ∈ R tháa m·n (y)n + rn−1 (y)n−1 + . . . + r0 = 0, suy ra (y)(−(y)n−1 − rn−1 (y)n−2 − . . . − r1 ) = r0 . V× S/q lµ miÒn nguyªn, y 6= 0 vµ do c¸ch chän −1 mét tr­êng nªn r0 cã phÇn tö nghÞch ®¶o lµ r0 n nªn r0 ∈ R/p 6= 0, suy ra y mµ (y)−1 = −r0−1 ((y)n−1 + rn−1 (y)n−2 + . . . + r1 ) ∈ S/q, S/q lµ mét tr­êng. lµ cã phÇn tö nghÞch ®¶o lµ do ®ã R/p 9 TiÕp theo ta sÏ tr×nh bµy §Þnh lý kh«ng so s¸nh ®­îc. ThuËt ng÷ "kh«ng so s¸nh ®­îc" ë ®©y ®­îc hiÓu lµ nÕu nhau cña S cã cïng mét thu hÑp trªn q1 vµ q2 lµ hai i®ªan nguyªn tè kh¸c R th× q1 vµ q2 kh«ng thÓ so s¸nh ®­îc theo nghÜa chóng kh«ng thÓ chøa trong nhau. MÖnh ®Ò 1.1.6. (§Þnh lý kh«ng so s¸nh ®­îc [Sh, 13.33]) Cho R lµ mét vµnh con cña vµnh giao ho¸n S vµ gi¶ sö S lµ nguyªn trªn R. Gi¶ sö r»ng q vµ q0 lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña ®ã q S sao cho q ⊆ q0 vµ q0 ∩ R = q ∩ R := p. Khi = q0 . Chøng minh. §Æt U = R\p. ®¬n cÊu c¶m sinh r ∈ R, u ∈ U . t¾c. Khi ®ã V× Cho τ : R → S σ : U −1 R → U −1 S Cho θ : R → Rp vµ sao cho lµ ®ång cÊu nhóng, ta cã σ(r/u) = r/u, φ : S → U −1 S víi mäi lµ c¸c ®ång cÊu chÝnh φ ◦ τ = σ ◦ θ. q, q0 ∈ Spec S nªn theo §Þnh lý [Sh, 5.32] qU −1 S vµ q0 U −1 S còng lµ c¸c i®ªan cña U −1 S vµ qU −1 S ⊆ q0 U −1 S ®ång thêi τ −1 (φ−1 (qU −1 S)) = τ −1 (q) = q ∩ R = p = τ −1 (φ−1 (q0 U −1 S)). Suy ra (φ ◦ τ )−1 (qU −1 S) = (φ ◦ τ )−1 (q0 U −1 S) hay (σ ◦ θ)−1 (qU −1 S) = (σ ◦ θ)−1 (q0 U −1 S). Do ®ã σ −1 (qU −1 S) vµ σ −1 (q0 U −1 S) lµ i®ªan nguyªn tè cña Rp vµ θ−1 (σ −1 (qU −1 S)) = p = θ−1 (σ −1 (q0 U −1 S)). Suy ra σ −1 (qU −1 S) = pRp = σ −1 (q0 U −1 S). V× U −1 S theo Bæ ®Ò 1.1.4 nªn lµ nguyªn trªn U −1 R σ lµ mét ®ång cÊu nguyªn. Mµ pRp lµ i®ªan cùc ®¹i cña Rp , theo MÖnh ®Ò 1.1.5 ta cã qU −1 S vµ q0 U −1 S lµ i®ªan cùc ®¹i cña qU −1 S ⊆ q0 U −1 S cho nªn qU −1 S = q0 U −1 S. Do ®ã q = q0 . S , mµ 10 MÖnh ®Ò 1.1.7. cña vµnh (§Þnh lý Lying-over [Sh, 13.34]) Cho R lµ mét vµnh con S vµ gi¶ sö S lµ nguyªn trªn R. Cho p ∈ Spec R. Khi ®ã tån t¹i q ∈ Spec S tháa m·n q ∩ R = p, nghÜa lµ q "n»m trªn" p. Chøng minh. §Æt cÊu c¶m sinh Cho τ :R→S σ : U −1 R = Rp → U −1 S r ∈ R, u ∈ U . t¾c. Khi ®ã U = R\p. Cho θ : R → Rp φ ◦ τ = σ ◦ θ. vµ lµ ®ång cÊu nhóng, ta cã ®¬n cho bëi σ(r/u) = r/u, φ : S → U −1 S Ta thÊy r»ng U −1 S víi mäi lµ c¸c ®ång cÊu chÝnh lµ kh«ng tÇm th­êng, (v× p 6= R vµ σ lµ ®¬n cÊu). Do ®ã tån t¹i mét i®ªan cùc ®¹i n cña U −1 S . V× σ lµ mét ®ång cÊu nguyªn nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.5 ta cã σ −1 (n) = pRp . §Æt q = φ−1 (n) ∈ Spec S . Ta cã q ∩ R = τ −1 (φ−1 (n)) = θ−1 (σ −1 (n)) = θ−1 (pRp ) = p. Nh­ vËy tån t¹i q ∈ Spec S tháa m·n q ∩ R = p. MÖnh ®Ò 1.1.8. (§Þnh lý Going-up [Sh, 13.38]) Cho vµnh S vµ gi¶ sö S lµ nguyªn trªn R. Cho m R lµ mét vµnh con cña ∈ N0 vµ n ∈ N sao cho m < n. Cho p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn−1 ⊂ pn lµ mét xÝch c¸c i®ªan nguyªn tè cña R vµ gi¶ sö r»ng q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qm−1 ⊂ qm lµ mét xÝch c¸c i®ªan nguyªn tè cña S tháa m·n qi ∩ R = pi , víi mäi i = 0, . . . , m. Khi ®ã cã thÓ chÌn thªm vµo cuèi xÝch c¸c i®ªan qm+1 , . . . , qn cña S sao cho q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn−1 ⊂ qn vµ tháa m·n qi ∩ R = pi víi mäi i = 0, . . . , n. 11 Chøng minh. §Ó chøng minh ®Þnh lý b»ng quy n¹p ta chØ cÇn chøng minh quy vÒ tr­êng hîp cña R vµ tån t¹i q1 m = 0 vµ n = 1, tøc lµ cho p0 ⊂ p1 lµ mét xÝch c¸c i®ªan q0 lµ mét i®ªan cña S tháa m·n q0 ∩ R = p0 . Ta cÇn chØ ra r»ng ∈ Spec S ThËt vËy, ta cã tháa m·n q0 S/q0 ⊂ q1 vµ q1 lµ nguyªn trªn R/p0 giao ho¸n τ −−→ R   θy ∩ R = p1 . theo Bæ ®Ò 1.1.4 vµ biÓu ®å sau S   φy σ R/p0 −−→ S/q0 Trong ®ã σ θ, φ lµ c¸c ®ång cÊu chÝnh t¾c vµ lµ ®ång cÊu nguyªn, theo Bæ ®Ò 1.1.4. V× p1 /p0 ∈ Spec R/p0 nªn theo τ, σ lµ c¸c ®ång cÊu nhóng vµ §Þnh lý n»m trªn 1.1.7, tån t¹i i®ªan nguyªn tè Q ∈ Spec S/q0 tháa m·n Q ∩ R/p0 = p1 /p0 hay σ −1 (Q) = p1 /p0 . Do ®ã tån t¹i q1 ∈ Spec S sao cho q0 ⊂ q1 vµ Q = q1 /q0 . Ta sÏ kh¼ng ®Þnh r»ng q1 ∩ R = p1 . ThËt vËy, q1 ∩ R = τ −1 (φ−1 (Q)) = θ−1 (σ −1 (Q)) = θ−1 (p1 /p0 ) = p1 . Nh¾c l¹i r»ng víi p lµ mét i®ªan nguyªn tè cña R, chiÒu cao cña p, kÝ hiÖu lµ htR p (hoÆc ®¬n gi¶n lµ ht p), xÝch nguyªn tè b¾t ®Çu tõ p0 lµ cËn trªn ®óng cña tÊt c¶ ®é dµi cña c¸c = p cña R, ht p = sup{n : p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pn | pi ∈ Spec(R)}. ChiÒu Krull cña vµnh R, kÝ hiÖu lµ dµi cña c¸c xÝch nguyªn tè cña dim R lµ cËn trªn ®óng cña tÊt c¶ ®é R, dim R = sup{htp : p ∈ Spec(R)}. Cho M lµ mét R-m«®un kh¸c kh«ng. Khi ®ã chiÒu Krull cña M , kÝ hiÖu dim M , lµ cËn trªn ®óng cña tÊt c¶ ®é dµi c¸c xÝch nguyªn tè cña Supp M . 12 KÕt qu¶ sau cho phÐp ta tÝnh ®­îc chiÒu cña vµnh më réng nguyªn qua chiÒu cña vµnh ban ®Çu. MÖnh ®Ò 1.1.9. sö r»ng (MÖnh ®Ò [Sh, 14.22]) Cho R lµ vµnh con cña vµnh S vµ gi¶ S lµ më réng nguyªn trªn R. Khi ®ã dim S = dim R. Chøng minh. Cho ®ång cÊu nhóng mét xÝch c¸c i®ªan nguyªn tè cña f : R → S. LÊy q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn lµ S , ¸p dông §Þnh lý kh«ng so s¸nh ®­îc vµ thu hÑp c¸c i®ªan nguyªn tè trªn ta ®­îc xÝch qc0 = q0 ∩ R ⊂ qc1 ⊂ . . . ⊂ qcn gåm c¸c i®ªan nguyªn tè cña Ng­îc l¹i, gi¶ sö r»ng cña R. R. Do ®ã dim S ≤ dim R. p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn lµ xÝch c¸c i®ªan nguyªn tè Theo §Þnh lý n»m trªn, tån t¹i q0 theo §Þnh lý Going-up ta cã mét xÝch q0 tè cña ∈ Spec S tháa m·n qc0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn = p0 . L¹i c¸c i®ªan nguyªn S , v× vËy dim S ≥ dim R. MÖnh ®Ò 1.1.10. (Chó ý [Sh, 14.18]) Cho U lµ mét tËp nh©n ®ãng cña R vµ p ∈ Spec(R) sao cho p ∩ U = ∅. Khi ®ã htR p = htU −1 R U −1 p. §Æc biÖt nÕu chän U = R\p th× ta cã htR p = htRp pRp = dim Rp . Chøng minh. Cho U lµ mét tËp nh©n ®ãng cña R vµ p ∈ Spec(R) sao cho p ∩ U = ∅. Theo §Þnh lý [Sh, 5.32] ta cã U −1 p ∈ Spec(S −1 R) vµ cã mét song ¸nh b¶o toµn quan hÖ bao hµm gi÷a {p ∈ Spec(R) : p ∩ U = ∅} vµ Spec(U −1 R). LÊy p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = p lµ mét xÝch c¸c i®ªan nguyªn tè cña qua ®ång cÊu tù nhiªn R. Më réng c¸c i®ªan nguyªn tè trªn R → S −1 R ta ®­îc xÝch pe0 ⊂ pe1 ⊂ . . . ⊂ pen 13 gåm c¸c i®ªan nguyªn tè cña S −1 R pen = pe = S −1 p. víi Do ®ã htR p ≤ htS −1 R S −1 p. MÆt kh¸c, lÊy q0 ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qn = pe lµ mét xÝch c¸c i®ªan nguyªn tè S −1 R. Thu hÑp c¸c i®ªan nguyªn tè trªn ta ®­îc xÝch cña qc0 ⊂ qc1 ⊂ . . . ⊂ qcn c¸c i®ªan nguyªn tè cña V× vËy cã R víi qcn = pec = p, do ®ã htR p ≥ htS −1 R S −1 p. htR p = htS −1 R S −1 p. Tr­êng hîp ®Æc biÖt, nÕu chän S = R\p th× ta htR p = htRp pRp = dim Rp . 1.2. §¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét Cho mçi f : R → Λ lµ mét ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh giao ho¸n, Noether. a∈R vµ b ∈ Λ, víi v« h­íng nµy Λ ta ®Þnh nghÜa tÝch cã cÊu tróc lµ vËy mét R-®¹i sè lµ mét vµnh §Þnh nghÜa 1.2.1. vµ R-m«®un ab = f (a)b. R-m«®un Víi Khi ®ã, víi phÐp nh©n vµ ®­îc gäi lµ R-®¹i sè. Nh­ Λ cïng víi mét ®ång cÊu vµnh f : R → Λ. [AM] Mét ®ång cÊu vµnh f : R → Λ ®­îc gäi lµ h÷u h¹n Λ ®­îc gäi lµ ®¹i sè h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un (sau ®©y sÏ gäi t¾t lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh) nÕu Λ h÷u h¹n sinh nh­ mét R-m«®un. §ång cÊu f ®­îc gäi lµ kiÓu h÷u h¹n vµ h÷u h¹n c¸c phÇn tö Λ ®­îc gäi lµ R-®¹i sè h÷u h¹n sinh nÕu tån t¹i x1 , . . . , xn ∈ Λ ®­îc viÕt thµnh mét ®a thøc theo sao cho mäi phÇn tö cña x1 , . . . , x n Λ víi c¸c hÖ sè trong ®Òu cã thÓ f (R), hay t­¬ng ®­¬ng víi nÕu cã mét R-toµn cÊu ®¹i sè tõ vµnh ®a thøc R[X1 , . . . , Xn ] vµo Λ. VÝ dô 1.2.2. (i) Cho Λ lµ mét vµnh bÊt k×. V× Λ cã phÇn tö ®¬n vÞ nªn lu«n tån t¹i duy nhÊt mét toµn cÊu vµnh tõ vµnh sè nguyªn V× thÕ mét vµnh bÊt k× ®Òu lµ (ii) Cho Z vµo Λ, cho bëi n 7→ n.1. Z-®¹i sè. Λ lµ mét vµnh bÊt k× vµ R lµ vµnh con cña vµnh t©m Z(Λ) = {x ∈ Λ |x.y = y.x, ∀y ∈ Λ} . 14 Khi ®ã (Λ, i) lµ mét R-®¹i sè, trong ®ã i : R → Λ lµ phÐp nhóng chÝnh t¾c. (iii) Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt, nÕu vµnh th× f :K →Λ cña nã trong K lµ ®¬n ¸nh vµ do ®ã K R lµ mét tr­êng K (vµ cã thÓ ®ång nhÊt chÝnh t¾c víi ¶nh Λ. Khi ®ã mét K-®¹i sè (K lµ mét tr­êng) lµ mét vµnh cã chøa nh­ mét vµnh con. NhËn xÐt 1.2.3. Râ rµng r»ng, theo MÖnh ®Ò 1.1.2 ta cã h÷u h¹n sinh khi vµ chØ khi Λ lµ mét R-m«®un Λ lµ R-®¹i sè h÷u h¹n sinh vµ nguyªn trªn R. VÝ dô sau ®©y cho thÊy cã nh÷ng líp vµnh lµ h÷u h¹n sinh nh­ nh­ng kh«ng lµ h÷u h¹n sinh nh­ Cho vµnh ®a thøc VÝ dô 1.2.4. nh­ 1 Λ 6= 0) vµ K -®¹i x. sè th× K[x] Nh­ng nÕu xem K -kh«ng lµ sè R-m«®un. K[x] lÊy hÖ sè trªn tr­êng K . NÕu xem K[x] K -®¹i K[x] R-®¹i sè h÷u h¹n sinh ®­îc sinh bëi 2 phÇn tö nh­ lµ mét gian vÐc t¬ víi c¬ së lµ K -m«®un 1, x, x2 , x3 . . . ., th× cã thÓ coi nh­ mét nã lµ v« h¹n chiÒu nªn kh«ng h÷u h¹n sinh. KÕt qu¶ sau ®©y lµ mét ®Þnh lý quan träng trong phÇn kiÕn thøc c¬ së cña §¹i sè giao ho¸n, ®Þnh lý nµy sÏ ®­îc sö dông trong c¸c phÇn sau cña luËn v¨n. (§Þnh lý tr¸nh nguyªn tè [AM, 1.11]) Cho Bæ ®Ò 1.2.5. ho¸n vµ p1 , . . . , pn lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña R lµ mét vµnh giao R. Gi¶ sö I vµ J lµ i®ªan nµo ®ã cña R. Khi ®ã n S (i) NÕu I ⊆ pi th× tån t¹i i ∈ {1, . . . , n} sao cho I ⊆ pi . (ii) NÕu J i=1 n T ⊇ pi th× tån t¹i i ∈ {1, . . . , n} sao cho J ⊇ pi . NÕu J = i=1 th× tån t¹i pi i=1 i ∈ {1, . . . , n} sao cho J = pi . Chøng minh. Ph¸t biÓu (i) cña bæ ®Ò t­¬ng ®­¬ng víi ph¸t biÓu nÕu víi mäi n T i = 1, . . . , n th× I 6⊆ n S i=1 I 6⊆ pi pi . Ta sÏ chøng minh mÖnh ®Ò t­¬ng ®­¬ng 15 b»ng quy n¹p theo ®óng víi n. Víi n = 1 kÕt qu¶ lµ ®óng. Gi¶ sö n > 1 vµ kÕt qu¶ lµ n − 1, khi ®ã víi mçi i tån t¹i xi ∈ I chän ®­îc sao cho xi ∈ / pj j 6= i. Ta n phÇn tö nh­ vËy lµ x1 , . . . , xn . Tr­êng hîp 1: NÕu tån t¹i mét chØ sè víi mäi víi j = 1, . . . , n, do ®ã xi ∈ / i sao cho xi ∈ / pi n S pj . pj hay I 6⊆ n S y= n X xi ∈ / pj j=1 j=1 Tr­êng hîp 2: Víi mäi chØ sè th× ta cã i ®Òu cã xi ∈ pi . Khi ®ã xÐt phÇn tö x1 . . . xi−1 xi+1 . . . xn . i=1 Ta cã y∈I vµ ta sÏ chØ ra y 6∈ pi , ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i chØ sè n X y=( víi mäi i = 1, . . . , n b»ng ph¶n chøng. 1 ≤ i ≤ n ®Ó y ∈ pi , khi ®ã x1 . . . xt−1 xt+1 . . . xn ) + x1 . . . xi−1 xi+1 . . . xn . t=1,t6=i §Æt n P a=( x1 . . . xt−1 xt+1 . . . xn ). V× mçi thµnh phÇn cña a ®Òu chøa t=1,t6=i x1 . . . xi−1 xi+1 . . . xn = y − a ∈ pi , n n S S m©u thuÉn víi c¸ch chän c¸c xi . Nh­ vËy y ∈ I vµ y ∈ / pi hay I 6⊆ pi . x i ∈ pi nªn a ∈ pi , mµ y ∈ pi suy ra i=1 (ii) Ta chøng minh ph¸t biÓu (ii) b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö mäi Cã i = 1, . . . , n. n Khi ®ã víi mçi i=1 pi 6⊆ J , víi i ta chän ®­îc phÇn tö xi ∈ pi vµ xi ∈ / J. phÇn tö nh­ vËy lµ V× p1 . . . pn ⊆ x1 , . . . , xn . XÐt phÇn tö z = x1 . . . xn ∈ p1 . . . pn . n T pi nªn z ∈ pi . MÆt kh¸c, v× c¸ch chän c¸c xi ∈ / J nªn n T i=1 z∈ / J . Suy ra n T i=1 pi 6⊆ J , m©u thuÉn. Ta cã kh¼ng ®Þnh (ii) lµ ®óng. i=1 Cuèi cïng, ¸p dông (ii), nÕu J= n T pi th× tån t¹i i ∈ {1, . . . , n} sao cho i=1 J = pi . MÖnh ®Ò 1.2.6. ®ã víi mçi Cho R lµ vµnh giao ho¸n, Noether, Λ lµ mét R-®¹i sè. Khi P ∈ Min Λ, i®ªan nguyªn tè p = P ∩ R trong R bao gåm c¸c ­íc cña 0 trong Λ.