Tài liệu Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . 2 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . 2 1.1.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 1.2 2 2 4 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . 11 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn 2.1 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân 2.2 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh giải bài toán đặt ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS. Nguyễn Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó giáo sư công tác tại Viện Toán học và các Thầy, các cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy và các cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Phạm Thanh Tùng Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii Bảng ký hiệu R Tập hợp số thực N Tập hợp số tự nhiên H Không gian Hilbret H E Không gian Banach E hx, yi Tích vô hướng của x và y kxkX Chuẩn của x trong không gian X φ Tập rỗng ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x inf F (x) Cận dưới lớn nhất của tập {F (x) : x ∈ X} x∈X sup F (x) Cận trên nhỏ nhất của tập {F (x) : x ∈ X} x∈X I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E A∗ Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính A D(A) Miền xác định của toán tử A xk → x Dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x Dãy {xk } hội tụ yếu tới x F ix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân và tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ không giãn đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Cho đến nay các bài toán này vẫn là một trong những vấn đề được sự quan tâm của nhiều nhà toán học ở trong nước cũng như trên thế giới. Trong phạm vi đề tài luận văn chúng tôi sử dụng một số phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cũng như phương pháp tìm điểm bất động để kết hợp giữa thuật toán hiệu chỉnh nguyên lý bài toán phụ cho bất đẳng thức biến phân nhằm giải quyết bài toán: Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Chương 1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Trong phần này chúng tôi nêu bài toán, trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và phương pháp nguyên lý bài toán phụ để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân. 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong luận văn chúng ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng là h., .i và k.k. Cho C là một tập con lồi đóng trong H . Ánh xạ F từ C vào H là một ánh xạ liên tục. Bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.1) Tập những điểm x∗ thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của bài toán và ký hiệu là V I(F, C). Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với nhiều bài toán khác nhau trong đó có bài toán điểm bất động. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 • Bài toán điểm bất động Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: x∗ = T (x∗ ). (1.2) Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bất đẳng thức biến phân cổ điển. Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Nếu ánh xạ F xác định bởi F (x) := x−T (x) ∀x ∈ C thì bài toán điểm bất động (1.2) tương đương với bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1). Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) phụ thuộc vào hàm F và miền ràng buộc C . Định lý sau cho ta biết điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) trong không gian Hilbert. Định lý 1.1. Cho C là một tập lồi, compact của không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C . Khi đó bài toán (1.1) tồn tại ít nhất một nghiệm x∗ ∈ C. Trong Định lý 1.1 cần tập C phải là một tập compact. Khi tập C không phải là tập compact thì bài toán (1.1) vẫn tồn tại nghiệm khi điều kiện bức sau được thỏa mãn. Cụ thể ta có định lý sau. Định lý 1.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C . Giả sử tồn tại một tập compact U khác rỗng thuộc C sao cho: với mọi u ∈ C \ U , tồn tại v ∈ U thỏa mãn hF (u), u − vi > 0. Khi đó, bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có ít nhất một nghiệm. Thông thường nghiệm của bất đẳng thức không phải là duy nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 Ta giả sử rằng x1 và x2 là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.1). Khi đó ta có: x1 ∈ C : hF (x1 ), x − x1 i ≥ 0, ∀x ∈ C và x2 ∈ C : hF (x2 ), x − x2 i ≥ 0, ∀x ∈ C . Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x2 và trong bất đẳng thức thứ 2 ta chọn x = x1 , sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức ta được: hF (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 i ≤ 0. Do đó điều kiện đủ để bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất là: hF (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 i > 0, ∀x1 , x2 ∈ C, x1 6= x2 . (1.3) Từ điều kiện (1.3) suy ra bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có nghiệm duy nhất. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đơn điệu chặt. 1.1.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân Trong phần trên chúng ta trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển trong không gian Hilbert. Trong phần này ta sẽ trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân. Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau: Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ từ C vào H . • Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0 ; • Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có: hF (y), x − yi ≥ 0 suy ra hF (x), x − yi ≥ 0 ; • Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F (x + ty) * F (x) khi t → 0+ với ∀x, y ∈ C ; • Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C , nếu tồn tại ,một hằng số L > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk . Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 • Cho X là một tập con lồi đóng trong H . Một ánh xạ T của X vào H được gọi là không giãn trên X , nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện sau: kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C . • Ánh xạ F được gọi là a-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ akx − yk2 . • Ánh xạ F được gọi là a-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ akF (x) − F (y)k2 . Dễ dàng thấy rằng ánh xạ F là a-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là phương pháp nguyên lý bài toán phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển trong không gian Hilbert. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ được G.Cohen [5] giới thiệu lần đầu vào năm 1980 khi nghiên cứu bài toán tối ưu. Năm 1988, Cohen [5] vận dụng nguyên lý bài toán phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển. Để trình bày kết quả đó trước hết chúng ta trình bày phương pháp nguyên lý bài toán phụ tổng quát. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và J là một phiến hàm lồi trên H . Giả thiết 4 Ta nói rằng phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết 4 nếu với mọi dãy {uk }k∈N ⊂ C sao cho kuk k → +∞ thì J(uk ) → +∞. Hiển nhiên phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết 4 nếu C là một tập bị chặn. Ta ký hiệu J 0 (u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm J tại u. Ta xét bài toán tối ưu sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho: J(u∗ ) = min J(u), u∈C (1.4) ở đây J là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux. Bổ đề sau đây cho ta biết sự tồn tại nghiệm của bài toán cực trị (1.4). Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 Bổ đề 1.1. [5] Nếu phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết 4 thì bài toán (1.4) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗ . Hơn nữa nghiệm u∗ là duy nhất nếu J 0 đơn điệu mạnh. Ta cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux. Với mỗi v ∈ C và ε > 0 xác định một phiếm hàm sau: G : u 7−→ ϕ(u) + hεJ 0 (v) − ϕ0 (v), ui. (1.5) Khi đó, G0 (v) = εJ 0 (v). Do đó nếu v ∈ C là nghiệm bài toán (1.4) thì v là nghiệm của bài toán: min{ϕ(u) + hεJ 0 (v) − ϕ0 (v), ui}. u∈C (1.6) Từ đó dẫn đến thuật toán sau: Cho {εn }n∈N là một dãy số thực dương. Thuật toán 1. (i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý ε0 và u0 ∈ C ; (ii) Tại bước k = n, biết εn và un , giải bài toán phụ sau: min{ϕ(u) + hεn J 0 (un ) − ϕ0 (un ), ui}. u∈C (1.7) Gọi un+1 là nghiệm bài toán (1.7). (iii) Dừng, nếu kun+1 − un k nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Ngược lại, ta quay trở lại bước trước. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.4) và (1.7) được trình bày trong định lý sau: Định lý 1.3. [5] Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết 4; (ii) J là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux J 0 là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C ; (iii) ϕ là một hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ0 là ánh xạ b-đơn điệu mạnh và B -liên tục Lipschitz trên C . Khi đó, bài toán (1.4) tồn tại nghiệm u∗ và bài toán (1.7) có duy nhất nghiệm un+1 , với mọi n ∈ N. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 Giả sử, nếu εn thỏa mãn điều kiện: α < εn < 2b , L+β α, β > 0 . Thì dãy {J(un )} giảm nghiêm ngặt ( trừ khi un = u∗ , (1.8) ∀n ∈ N)và hội tụ tới J(u∗ ). Hơn thế nữa, mọi điểm tụ yếu của dãy {un } là nghiệm của bài toán (1.4). (iv) Nếu giả thiết thêm rằng J 0 là một ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C , thì dãy {un } hội tụ mạnh tới u∗ và u∗ là nghiệm duy nhất của bài toán (1.4) và ta có: 1 kun+1 − u k ≤ a ∗   B kun+1 − un k εn + L (1.9). Để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1). Cohen [6] đã tiến hành như sau. Lấy tùy ý u0 ∈ C và ε0 > 0, xét bài toán phụ: min{ϕ(u) + hε0 F (u0 ) − ϕ0 (u0 ), ui}. u∈C (1.10) Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.10). Thay u0 và ε0 bởi u1 và ε1 để tìm u2 . Tiếp tục quá trình đó dẫn đến thuật toán sau: Thuật toán 2. (i) Tại bước n = 0, bắt đầu với u0 và ε0 ; (ii) Tại bước thứ n, giải bài toán phụ: min{ϕ(u) + hεn F (un ) − ϕ0 (un ), ui}. u∈C (1.11) Ký hiệu un+1 là nghiệm bài toán (1.11). (iii) Dừng, nếu kun+1 − un k nhỏ hơn một ngưỡng nào đó, nếu không, ta quay trở về bước trước. Chú ý 1.1 Tại mỗi bước lặp của thuật toán trên, un là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: hFn (un ), u − un i ≥ 0 ∀u ∈ C, ở đây, Fn là xấp xỉ của F , với Fn (u) = εn F (un ) + ϕ0 (u) − ϕ0 (un ) Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu ∀u ∈ C. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 Ta có định lý sau: Định lý 1.4. [6] Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H . Giả sử ánh xạ F : C → H thỏa mãn các điều kiện sau: (i) F là ánh xạ liên tục trên C ; (ii) F là ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C . Khi đó, bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất u∗ . Nếu giả thiết thêm rằng: (iii) ϕ : C → R là phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux; (iv) ϕ0 là ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số b trên C . Thế thì bài toán phụ (1.11) có duy nhất một nghiệm un+1 . Hơn nữa, nếu: (v) F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C và 0 < εn < 2abL2 thì dãy nghiệm {un } của bài toán phụ (1.11) hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ của bài toán (1.1). 1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ không giãn Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert, chúng ta sẽ giới thiệu ánh xạ không giãn và sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ này trong không gian Hilbert. • Cho X, Y là hai không gian Banach. Ánh xạ T : X → Y được gọi là d-compact, nếu {xn } là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy {T (xn ) − xn } hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk } của dãy {xn } cũng hội tụ mạnh. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn đòi hỏi một số điều kiện. Định lý sau đây cho ta biết về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 Định lý 1.5. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập đóng và giới nội của H , T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C . Định lý sau đây cho ta biết tính chất tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Định lý 1.6. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng và giới nội của H . Giả sử rằng T : C → C là một ánh xạ không giãn và d-compact. Khi đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi khác rỗng. 1.2.1 Phương pháp lặp Halpern Phương pháp lặp Halpern được B.Halpern [7] đề xuất vào năm 1967. với phương pháp này dãy lặp {xn }∞ n=0 được xác định bởi: x0 ∈ C, xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n = 0, 1, 2.... (1.12) Trong đó, u là một phần tử tùy ý thuộc C , {αn }∞ n=0 là một dãy số thực trong đoạn [0, 1] và T : C → C là một ánh xạ không giãn trên tập lồi đóng bị chặn C của không gian Hilbert H . B.Halpern cho kết quả sau. Định lý 1.7. [7] Cho C là một tập con lồi đóng bị chặn của không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ không giãn trên C . Khi đó với −θ u ∈ C và dãy số thực {αn }∞ n=0 ⊂ [0, 1] sao cho αn = n , θ ∈ (0, 1) , thì dãy lặp {xn }∞ n=0 xác định bởi (1.12) hội tụ mạnh đến điểm bất động của T . Năm 1977, Lions [8] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert H , khi đó dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn các điều kiện: (L1 ) : ∞ P |αn − αn+1 | lim αn = 0 ; (L2 ) : αn = ∞ và (L3 ) : lim = 0. n→∞ n→∞ αn2 n=0 Năm 1992, Wittmann [12] cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của dãy lặp (1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert. Khi dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn các điều kiện : (L1 ), Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 (L3 ), và (L4 ): ∞ P |αn+1 − αn | < ∞. Sau này, Bauschke [3] là người đầu n=o tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern để tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert P bằng cách sử dụng điều kiện (L5 ) : ∞ n=0 |αn+N − αn | < ∞. Định lý 1.8. [3] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và {Ti }N i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không N giãn, sao cho F = ∩ F ix(Ti ) 6= φ và thỏa mãn i=1 F = F ix(TN TN −1 ...T1 ) = F ix(T1 TN ...T2 ) = ... = F ix(TN −1 TN −2 ...T1 TN ) Giả sử rằng {αn }∞ n=0 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L1 ),(L2 ) và (L5 ). Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C thì dãy {αn }∞ n=0 xác định bởi: xn+1 = αn+1 u+(1−αn+1 )T[n+1] xn , n≥0 (1.13) trong đó T[n] = Tn (modN ), hội tụ mạnh tới PF u. Từ kết quả của Bauschke [3], sau này lại có một kết quả khác bằng αn việc thay đổi điều kiện (L5 ) bằng điều kiện (L6 ) : lim = 1 hoặc n→∞ αn+N αn − αn+N lim = 0 để có kết quả sau: n→∞ αn+N Định lý 1.9. [3] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và {Ti }N i=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ không N giãn, sao cho F = ∩ F ix(Ti ) 6= φ và thỏa mãn i=1 F = F ix(TN TN −1 ...T1 ) = F ix(T1 TN ...T2 ) = ... = F ix(TN −1 TN −2 ...T1 TN ). Giả sử rằng {αn }∞ n=0 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L1 ),(L2 ) Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 và (L6 ), Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C thì dãy {xn }∞ n=0 xác định bởi xn+1 = αn+1 u+(1−αn+1 )T[n+1] xn , n≥0 (1.14) trong đó T[n] = Tn (modN ), hội tụ mạnh tới PF u. 1.2.2 Phương pháp lặp Mann Phương pháp lặp Mann được W.R. Mann [9] đề xuất vào năm 1953. Với phương pháp này dãy lặp {xn }∞ n=0 được xác định bởi: x0 ∈ C, xn+1 = (1−αn )xn +αn T xn , n = 0, 1, 2.... (1.15) ở đây {αn }∞ n=0 ⊂ (0, 1). Để ý rằng, khi αn = γ với mọi n thì dãy lặp Mann trở về dãy lặp Krasnoselskij. Mann đã chứng minh rằng, nếu dãy số {αn }∞ n=0 ⊂ (0, 1) thỏa mãn ∞ P điều kiện αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy lặp {xn }∞ n=0 hội tụ yếu đến một n=0 điểm bất động của ánh xạ T , với T là ánh xạ không giãn từ một tập lồi đóng khác rỗng C của không gian Hilbert H vào chính nó. Năm 1967, Browder và Petryshyn [4] là những người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Mann để đưa ra kết quả hội tụ mạnh cho dãy lặp {xn }∞ n=0 tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Kết quả đó được trình bày trong định lý sau. Định lý 1.10. [4] Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng bị chặn của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt. Khi đó với mỗi γ ∈ (1 − λ, 1), dãy {xn }∞ n=0 xác định bởi: x0 ∈ C, xn+1 = γxn + (1 − γ)T xn = [γI + (1 − γ)T ]n (x0 ), n = 0, 1, 2, ... (1.16) hội tụ yếu đến điểm bất động của T . Hơn nữa nếu T là d − compact thì dãy (1.16) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T . Năm 1974, Rhoades [11] đưa ra kết quả sau: Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 Định lý 1.11. [11] Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi, compact của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt. Giả sử rằng {αn }∞ n=0 là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện: (i) (iii) α0 = 1; ∞ P αn = ∞; (ii) 0 < αn < 1, n ≥ 1; (iv) n=1 lim αn = α < 1 − λ. n→∞ Khi đó dãy {xn }∞ n=0 xác định bởi (1.15) hội tụ mạnh đến điểm bất động của T Năm 2006, Marino và Xu [10] đưa ra kết quả hội tụ yếu của dãy (1.15) tới điểm bất động của ánh xạ λ− giả co chặt trong không gian Hilbert khi dãy số {αn }∞ n=0 thỏa mãn các điều kiện: (i) λ < αn < 1; ∞ P (ii) (αn − λ)(1 − αn ) = ∞. n=0 Tóm lại,chương 1 chúng tôi đã trình bày một số kết quả cơ bản đã được biết đến khi nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.Cùng với đó là việc sử dụng phương pháp lặp Halpern và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn ánh xạ không giãn. Trong chương 2 chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cùng một số kết quả cơ bản đạt được trong phạm vi đề tài. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 Chương 2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn 2.1 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân • Bài toán Cho H là một không gian Hilbert thực, tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng bởi h., .i và k.k. Cho C là một tập con lồi đóng trong H . Ký hiệu hình chiếu của một điểm x ∈ H lên tập C bởi PC (x). Một ánh xạ A của C vào H được gọi là đơn điệu, nếu hA(u) − A(v), u − vi ≥ 0, với mỗi u, v ∈ C . Bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm u ∈ C sao cho hA(u), u − vi ≤ 0, ∀v ∈ C. Tập các nghiệm của (2.1) được ký hiệu bởi V I(C, A). Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.1) 14 Cho {Ti }∞ i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C . Bài toán được nghiên cứu là tìm phần tử u∗ ∈ S := V I(C, A) ∩ F, (2.2) được giả thiết là khác rỗng, ở đây A là một ánh xạ đơn điệu L-Lipschitz liên tục, có nghĩa là tồn tại một hằng số dương L sao cho kAu − Avk ≤ Lku − vk ∀u, v ∈ C, và F := ∞ T F ix(Ti ). i=1 Lưu ý rằng bài toán (2.1) không có tính đơn điệu mạnh hoặc đều của A, đó là bài toán đặt không chỉnh và được hiệu chỉnh bằng bài toán hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân: Tìm uα ∈ C sao cho hA(uα ) + αuα , uα − vi ≤ 0 ∀v ∈ C, (2.3) ở đây α > 0 là một tham số hiệu chỉnh. Xuất phát từ thuật toán hiệu chỉnh (2.3), tồn tại nhiều phương pháp khác nhau để giải (2.1) nếu ta thống nhất về một quy tắc được gọi là nguyên lý bài toán phụ. Nguyên lý này được xây dựng dựa trên việc sử dụng một hàm bổ trợ ϕ : H → (−∞, ∞), có tính khả vi và lồi mạnh, và một dãy số dương {εn }n≥1 . Với mỗi x ∈ C , ta đưa vào bài toán phụ min z∈C ϕ(z) + hεk A(x) − ϕ0 (x), zi. Cho z(x) là nghiệm của bài toán phụ này. Khi đó nó được đặc trưng bởi bất đẳng thức biến phân hϕ0 (z(x)) + εk A(x) − ϕ0 (x), z(x) − vi ≤ 0 ∀v ∈ C. (2.4) Nếu z(x) được thay bằng x, thì dễ dàng kiểm tra được z(x) là nghiệm bài toán (2.1). Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 • Thuật toán cơ bản (i) Tại k = 1 xuất phát tại điểm z1 và số ε1 . (ii) Tại bước k = n, biết zn , tìm zn+1 = z(zn ) bằng giải bài toán phụ (2.4) với x thay bằng zn min z∈C ϕ(z) + hεn A(zn ) − ϕ0 (zn ), zi. (2.5) (iii) Dừng nếu kzn+1 − zn k nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Nếu không, thì quay về bước trước. Với một số điều kiện về kỹ thuật và cách chọn εn trong (2.5), thuật toán cơ bản ở trên hội tụ khi A là đơn điệu mạnh hoặc có tính chất Dunn. Thuật toán cũng hội tụ khi ánh xạ A là một gradient và đơn điệu. Trong trường hợp này, (2.1) tương ứng với bài toán tìm cực tiểu hàm lồi. Thuật toán được nghiên cứu giúp giải nhiều bài toán liên quan, xem ví dụ. Lưu ý rằng thuật toán này không hội tụ khi ánh xạ A là đơn điệu mạnh, nhưng không là một gradient. Để loại bỏ điều xấu này, trong [10], Baasansuren và Khan đã sử dụng thuật toán cơ bản cho (2.3), ở đây A + αI là a-đơn điệu mạnh. Họ đã kết hợp thuật toán hiệu chỉnh với thuật toán cơ bản trên. Tư tưởng này phát triển để tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt. Mặt khác để tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn Ti trên một tập con lồi đóng C , Takahashi đưa ra một ánh xạ W , sinh bởi Tn , Tn−1 , · · ·, T1 và γn , γn−1 , · · ·, γ1 , là những số thực, như sau: Un,n+1 = I, Un,n = γn Tn Un,n+1 + (1 − γn )I, Un,n−1 = γn−1 Tn−1 Un,n + (1 − γn−1 )I, .......................... Un,2 = γ2 T2 Un,3 + (1 − γ2 )I, Wn = Un,1 = γ1 T1 Un,2 + (1 − γ1 )I. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (2.6)