Tài liệu Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ––––––––––––––––– TRẦN ĐẠI DƢƠNG TÌM HIỂU LICH SỬ PHÁT TRIỂN TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU………………………………………….…………….……….1 CHƢƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƢỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ ................................................................... 3 1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại ...................................... 3 1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập ............................................. 3 1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại ............................................................ 6 1.1.3 Đoạn thẳng vô ƣớc và Phƣơng pháp hình học giải toán đại số ....... 7 1.1.4 Eudoxus và Phƣơng pháp vét cạn .................................................... 8 1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích phân ............................................................................................................. 11 1.2.1 Đo hình tròn ................................................................................... 12 1.2.2 Cầu phƣơng parabola ..................................................................... 13 1.2.3 Archimedes và calculus ................................................................. 16 1.3 Tính không chia nhỏ đƣợc và kĩ thuật vô cùng bé ................................ 17 1.3.1 Kĩ thuật vô cùng bé của Johannes Kepler ...................................... 17 1.3.2 Tính không chia nhỏ đƣợc của Bonavetura Cavalieri ................... 18 1.3.3 Cầu phƣơng số học (Arithmetical Quadratures) ............................ 19 1.4 Tiếp tuyến .............................................................................................. 21 1.4.1 Phƣơng pháp giả phương trình của Fermat ................................... 21 1.4.2 Quan hệ giữa tiếp tuyến và cầu phƣơng......................................... 23 CHƢƠNG 2 TÌM HIỂU LỊCH SỬ HOÀN CHỈNH KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀLEIBNIZ…….…………….………...…26 2.1 Phát triển tích phân của Asaac Newton ................................................ 26 2.1.1 Khái niệm vi phân và đạo hàm của Newton .................................. 26 2.1.2 Nguyên lí cơ bản của phép tính tích phân ...................................... 28 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1.3 Quy tắc xích và phép lấy tích phân bằng phép thế ......................... 29 2.2 Phát triển tích phân của Gottfriend Wilhelm Leibniz ........................... 34 2.2.1 Khởi đầu: Tổng và Sai phân........................................................... 34 2.2.2 Tam giác đặc trƣng......................................................................... 35 2.2.3 Sự phát minh ra calculus giải tích .................................................. 38 2.2.4 Các kết quả của Newton và Leibniz .............................................. 40 2.3 Thời đại của Euler ................................................................................. 41 2.3.1 Khái niệm hàm số...........................................................................41 2.3.2 Tính vi phân của các hàm cơ bản Euler ........................................ 43 2.4 Hoàn thiện tích phân bởi Cauchy và Riemann ..................................... 44 2.4.1 Đóng góp của Cauchy trong hoàn thiện khái niệm tích phân ........ 47 2.4.2 Đóng góp của Riemann trong hoàn thiện khái niệm tích phân …51 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 53 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Trong chƣơng trình Toán Trung học Phổ thông, sách giáo khoa hiện hành thƣờng giới thiệu sơ lƣợc về các nhà toán học và một số kiến thức lịch sử toán học liên quan đến nội dung bài học. Tìm hiểu những kiến thức về lịch sử toán nói chung, kiến thức lịch sử tích phân liên quan đến chƣơng trình toán Trung học Phổ thông nói riêng, theo tôi, là rất cần thiết. Hơn nữa, giảng dạy toán học thông qua lịch sử toán học có lẽ cũng là vấn đề rất thú vị và đáng quan tâm. Với mong muốn tìm hiểu và trang bị cho mình một số kiến thức về lịch sử tích phân liên quan đến chƣơng trình Trung học Phổ thông và một số biện pháp để cung cấp kiến thức này cho học sinh Trung học Phổ thông, nhằm nâng cao chất lƣợng giảng dạy bộ môn toán của cá nhân ở trƣờng Trung học, tôi chọn đề tài Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân làm Luận văn Cao học. Luận văn có mục đích tìm hiểu quá trình hình thành, phát triển và định hình khái niệm tích phân, các nội dung trong tính toán tích phân và ứng dụng của tích phân. Chúng tôi cũng cố gắng sử dụng những hiểu biết về lịch sử tích phân trong dạy học toán ở trƣờng Trung học Phổ thông. Luận văn gồm hai chƣơng: Chƣơng 1: Tìm hiểu lịch sử phát triển khái niệm tích phân trƣớc Newton và Leibniz. Chƣơng 2: Tìm hiểu lịch sử hoàn chỉnh lí thuyết tích phân sau Newton và Leibniz. Luận văn đƣợc hoàn thành tại trƣờng Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phƣợng (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi đã nhận đƣợc sự hƣớng dẫn tỉ mỉ, nghiêm túc của Thầy. Một số 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nội dung trong Luận văn đƣợc tham khảo từ bản dịch của Thầy hƣớng dẫn. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy Cao học của Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Trung học Phổ thông Kim Sơn C, Ninh Bình, nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành nhiệm vụ. Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin đƣợc cảm ơn mẹ và ngƣời vợ yêu dấu, cùng những ngƣời thân trong gia đình đã luôn luôn ủng hộ và động viên để tác giả có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất. Thái Nguyên, tháng 5- 2013 Ngƣời viết Luận văn Trần Đại Dƣơng 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 1 TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƢỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ Toán học thực sự đƣợc hình thành, phát triển và có ứng dụng thực tế khoảng thế kỷ thứ V trƣớc Công nguyên, vào thời đại của các nền văn minh cổ đại: Nền văn minh Ai Cập, Babylone, nền văn minh Hy Lạp,... Ngay trong các thành tựu toán học thời kì này đã có những mầm mống của phép toán vi phân và tích phân (calculus). Chƣơng này trình bày ý tƣởng sơ khai hình thành khái niệm tích phân và những đóng góp của Archimedes, sau đó trình bày sự phát triển khái niệm tích phân thời kì trƣớc Newton và Leibniz. 1.1 Diện tích, số và khái niệm giới hạn thời cổ đại 1.1.1 Hình học Babilon và Hình học Ai cập Lịch sử phát triển toán học nằm trong và gắn liền với lịch sử phát triển của văn minh nhân loại. Toán học thời sơ khai phát triển và góp phần giải quyết các bài toán thực tế do xã hội đặt ra dựa trên các khái niệm số và hình. Hai lĩnh vực này tuy phát triển độc lập, nhƣng nói chung liên quan mật thiết với nhau. Thí dụ, hình học phải sử dụng số để biểu diễn các đại lƣợng (diện tích, thể tích,…), phƣơng trình đại số đƣợc giải bằng phƣơng pháp hình học. Hình học Ai Cập Những thành tựu hình học trong toán học Ai Cập và Hy Lạp là cơ sở cho sự phát triển của rất nhiều ngành toán học hiện đại, trong đó có calculus (phép tính vi phân và tích phân). Nói chung các nhà nghiên cứu lịch sử đều thống nhất rằng hình học có nguồn gốc từ Ai Cập. Thí dụ, nhà Lịch sử Hy Lạp Herodotus (thế kỉ 5 trƣớc công nguyên) đã viết rằng, việc thu thuế của những thửa ruộng trên những cánh đồng dọc theo sông Nile đƣợc tính theo diện tích, nhƣng hàng năm nhà quản lí phải biết số diện tích ruộng bị lấp đi do phù sa 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sông Nile bồi đắp, để trừ thuế. Rõ ràng, điều này đòi hỏi phát triển những kĩ thuật đo đạc và tính toán diện tích. Những bảng đất sét của ngƣời Hy Lạp cổ đại sau khi đƣợc giải mã, đã cho chúng ta biết nhiều thông tin về hiểu biết hình học của ngƣời xƣa. Thí dụ, các bảng đất sét Rhind Papyrus chứa một số bài toán và lời giải, trong đó có khoảng 20 bài toán tính diện tích cánh đồng và thể tích các kho thóc. Mỗi bài toán đƣợc phát biểu dƣới ngôn ngữ các số cụ thể, đúng hơn là bằng các chữ, và lời giải của chúng đƣợc viết dƣới dạng đơn thuốc (in recipe fashion), mà không chỉ rõ công thức tổng quát hoặc phƣơng pháp chung. Diện tích hình chữ nhật bằng tích của đáy nhân chiều cao coi nhƣ đã biết. Diện tích hình bình hành đƣợc tính bằng cách đƣa về hình chữ nhật nhờ cắt và dán tam giác. Diện tích tam giác đƣợc tính bằng cách nhân một nửa cạnh đáy với chiều cao, bằng nửa diện tích hình bình hành (hình bình hành là hai tam giác bằng nhau ghép lại). Bài toán tính diện tích hình thang cân có đáy bằng 4, 6 và chiều cao 20 đã đƣợc tính nhƣ nửa tổng hai đáy “giống nhƣ hình chữ nhật” và nhân với chiều cao, kết quả đƣợc đáp số đúng là 100 (Hình 1.1). Bài toán này và các bài toán tƣơng tự cho phép giả thiết rằng cách tính diện tích của ngƣời Ai Cập dựa trên phương pháp cắt cơ bản (elementary dissection method), hay kĩ thuật cắt các hình (đa giác) thành tam giác và dán các tam giác này lại để đƣợc hình chữ nhật (Hình 1.1). h h b b b2 h b b1 4 Hình 1.1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ngƣời Ai Cập đã biết gần đúng số  . Một bảng đất sét đã mô tả cách tính diện tích hình tròn bằng bình phƣơng của 8 đƣờng kính nhƣ sau: 9 Chia mỗi cạnh hình vuông ngoại tiếp đƣờng tròn đƣờng kính d làm ba phần và cắt đi bốn tam giác ở bốn góc (Hình 1.2). Khi ấy diện tích của bát giác đều (xấp xỉ diện tích hình tròn) là 2 7 63 8  A  d2  d2   d  . 9 81 9  Vì diện tích hình tròn là  r 2 , ta suy ra   3.16. Hình 1.2 Toán học Babilon Ngƣời Babilon đã biết đặt và giải các bài toán đại số nhƣ một số phƣơng trình và hệ phƣơng trình bậc hai. Ví dụ, họ đã giải đƣợc bài toán sau đây: “Tìm chiều dài một cạnh hình vuông cho biết diện tích của nó trừ đi chiều dài của một cạnh thì bằng 870”. Ngày nay ta dễ dàng đặt phƣơng trình x 2 – x  870 , và tìm thấy đáp số là 30. Neugebauer đã phát hiện trong bộ sƣu tập của Louvre một tài liệu từ thời vua Nabuchodonosor (vua Babilon 605 - 562 trƣớc CN), có ghi hai chuỗi số: 1  2  22  23  29  29  29 – 1;  1  2  1  22  32   102  1   10    55  385.  3    3 Một câu hỏi cho tới nay vẫn chƣa có câu trả lời là: Khi tìm ra các công thức trên, ngƣời Babilon đã biết công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân và tổng bình phƣơng các số tự nhiên liên tiếp dƣới đây chƣa? s n1 s  ;  s 1 i 0 n i n j j 1 2  n(n  1)(2n  1) ; 6 5 n j j 1 2  1 2n   n       j  .  3 3   j 1  Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ngày nay, khi nghiên cứu thành tựu về đại số của ngƣời Babilon, ngƣời ta cho rằng sở dĩ họ đạt đƣợc những thành tựu nhƣ vậy là vì họ biết dựa vào hệ đếm cơ số 60. Thí dụ, họ đã tính gần đúng giá trị của 2 (chỉ sai khác 0.000001 đơn vị): 1 24 51 10    1.414213. 60 602 603 Về mặt hình học, ngƣời Babilon đã biết tính chính xác diện tích của tam giác và hình thang, thể tích hình trụ và hình lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân với chiều cao). 1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại Khoảng 2500 về trƣớc, ngƣời Hy Lạp đã tiếp thu đƣợc những kiến thức toán học, đặc biệt là hình học, của ngƣời Ai Cập và ngƣời Babilon. Những kiến thức đó lần đầu tiên đã đƣợc ứng dụng một cách hiệu quả để đo diện tích các mảnh đất. Tiếng Hy Lạp chữ “hình học” nghĩa là “đo đất”. Các nhà toán học Hy Lạp, tiêu biểu là Thales (nửa đầu thế kỉ 6 trƣớc công nguyên) và Pythagoras (500 năm trƣớc công nguyên), đã có những đóng góp lớn trong hình học. Trƣờng phái Pythagoras đã đƣa vào khái niệm tỉ số (ratios) và tỉ lệ (proportion) giữa các đại lƣợng (có thể là các số hoặc các đại lƣợng hình học), có ứng dụng thiết thực trong tính toán số học và buôn bán. Khái niệm tỉ số và tỉ lệ giữa các số đƣợc mở rộng và áp dụng cho tỉ số độ dài, diện tích. Thí dụ, Hyppocrates (khoảng năm 430 trƣớc công nguyên) đã chứng minh rằng tỉ số diện tích giữa hai hình tròn bằng bình phƣơng tỉ số đƣờng kính (hoặc bán kính) của chúng. Ông suy ra kết quả này bằng cách vẽ hai đa giác đều đồng dạng nội tiếp trong hai đƣờng tròn đã cho và diện tích hình tròn nhận đƣợc bằng cách tăng vô hạn số cạnh của đa giác đều nội tiếp. Nhƣ vậy, Hyppocrates đã có những cảm nhận về khái niệm giới hạn (limit) và 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đại lượng vô cùng bé (infinitesimal), tuy nhiên, các khái niệm này ở Ông có lẽ còn chƣa thật rõ ràng. Vì diện tích hình tròn có thể xấp xỉ bởi diện tích hình đa giác đều nội tiếp khi số cạnh đủ lớn, diện tích hình tròn không thể bằng diện tích của bất cứ đa giác đều cụ thể nào nội tiếp trong nó. Xuất hiện bài toán cầu phƣơng hình tròn: Tìm hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn đã cho. Đây cũng là ví dụ của bài toán, trong đó phân biệt rõ ràng sự khác nhau giữa tính toán chính xác và tính toán xấp xỉ, khác với toán học thời kì Ai Cập và Babilon. 1.1.3 Đoạn thẳng vô ƣớc và Phƣơng pháp hình học giải toán đại số Trƣờng phái Pytagoras đã xây dựng hình học trên cơ sở tỉ số và tỉ lệ. Từ đó phát hiện ra rằng độ dài cạnh hình vuông và đƣờng chéo của nó là vô ƣớc (tỉ số của chúng không biểu diễn đƣợc qua một số hữu tỉ), nghĩa là tồn tại các số, thí dụ, 2, không phải là số hữu tỉ. Khoảng 300 năm trƣớc công nguyên, hệ thống suy luận lôgic và phép diễn dịch (the consciously logical and explicitly deductive approach) đã đƣợc trình bày khá hoàn hảo trong 13 tập Elements, tác phẩm Cơ bản của Euclid. Cho tới nay, đây vẫn là nét đặc trƣng tuyệt vời của toán học Hy Lạp. Sách giáo khoa hình học của các trƣờng phổ thông hiện nay về nội dung và chặt chẽ lôgic trong trình bày cơ bản gần nhƣ trùng với các chƣơng hình học của Elements. Qua đây thấy đƣợc sức sống mạnh mẽ của Elements và thiên tài của Euclid. Hình 1.3 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nhờ cách dựng hình (bằng thƣớc và compass), Euclid đã chứng minh sự tồn tại đoạn thẳng, độ dài của nó là trung bình nhân (Hình 1.3) của độ dài hai đoạn thẳng a và b. Từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm (hình học) của phƣơng trình x 2  ab, trong khi đó phƣơng trình x 2  2 đã bị các nhà toán học Hy Lạp coi là không có nghiệm (nghiệm hữu tỉ theo ngôn ngữ hiện đại). Nhƣ vậy, Euclid đã đƣa phương pháp hình học vào giải các bài toán đại số (giải các phƣơng trình). 1.1.4 Eudoxus và Phƣơng pháp vét cạn Các nhà toán học Hy Lạp giả thiết một cách cảm tính rằng, các hình cong nhƣ hình tròn và ellipses, có diện tích bằng diện tích của các đa giác. Và các diện tích này, kí hiệu là a ( S ), thỏa mãn các tính chất tự nhiên sau đây. (i) Tính đơn điệu: Nếu S chứa trong T , thì a ( S )  a (T ). (ii) Tính cộng: Nếu S là hợp của hai hình S1 và S 2 rời nhau, thì a(S )  a(S1 )  a(S2 ). Tƣơng tự nhƣ Hyppocrates đã tăng số cạnh của đa giác đều nội tiếp để tính diện tích hình tròn, Eudoxus (408-355 trƣớc CN) đã đƣa ra phương pháp vét cạn (method of exhaustion) để tính diện tích của một hình phẳng S bất kì nhƣ sau: Xây dựng một dãy các đa giác P1, P2 ,..., Pk ,... “lấp đầy dần” và vét cạn S . Dãy diện tích a( Pk ) sẽ cho giá trị diện tích a ( S ) của hình S . Phƣơng pháp vét cạn của Eudoxus đã dẫn tới khái niệm giới hạn (tuy không đƣợc giải thích và còn mơ hồ). Với phƣơng pháp vét cạn, có thể chứng minh Bổ đề Cho trước hình tròn C và một số   0, tồn tại một đa giác đều P nội tiếp trong C sao cho a (C )  a ( P )   . 8 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Dựa trên Bổ đề này, có thể chứng minh a(C1 ) r12 Định lí Cho hai hình tròn C1 và C2 bán kính r1 và r2 . Khi ấy  . a(C2 ) r22 Nguyên lí vét cạn của Eudoxus còn cho phép chứng minh Định lí Hai hình chóp tam giác có chiều cao bằng nhau thì tỉ số thể tích V1 và V2 bằng tỉ số hai diện tích đáy A1 và A2 : V1 A1  . V2 A2 Dựa trên Định lí này và Nguyên lí vét cạn, Eudoxus là ngƣời đầu tiên đã 1 chứng minh công thức tính thể tích hình chóp và hình nón V  Ah, trong đó 3 A là diện tích đáy, còn h là chiều cao hình chóp (hình nón), mặc dù, theo Archimedes, công thức này đã đƣợc phát hiện bởi Democritus. Chứng minh của Euduxus nhƣ sau. Hình 1.4 Chia hình chóp có đáy tam giác thành hai hình lăng trụ và hai hình chóp đồng dạng (Hình 1.4). Các điểm E, F , G, K , L, M là điểm giữa của sáu cạnh của hình chóp. Rõ ràng các hình chóp OEFG và EBKM là bằng nhau và đồng dạng với hình chóp OBCD. Bởi vì v(OEFG )  v( FKCL)  v( EKMFCL) và v( EBKM )  v(GMLD)  v( MLDEFG ) nên. 1 v(OBCD)  v(OEFG )  v( EBKM )  v( EKMFCL)  v( MLDEFG ) 2 9 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kí hiệu chiều cao của hình chóp OBCD là h và diện tích đáy BCD là A. Khi ấy vì chiều cao của lăng trụ MLDEFG là bằng 1 h và đáy MLD của nó 2 1 A nên theo công thức tính thể tích lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân 4 chiều cao, đƣợc chứng minh nhờ cắt ghép hình thành hộp chữ nhật, từ thời Babilon và Hy Lạp), ta có v( MLDEFG)  1 1 1 A. h  Ah. 4 2 8 Tƣơng tự, vì diện tích hình bình hành KCML bằng 1 A và thể tích lăng 2 trụ EKMFCL bằng một nửa thể tích hình hộp có đáy là KCML và chiều cao 1 1 1 h nên v( EKMFCL)  Ah. Vậy v( MLDEFG )  v( EKMFCL )  Ah. 4 2 8 Tiếp tục chia mỗi hình chóp OEFG và EBKM thành hai hình chóp và hai lăng trụ nhỏ hơn. Tổng thể tích bốn lăng trụ nhỏ lớn hơn nửa tổng thể tích của hai hình chóp OEFG và EBKM . Bởi vì cả hai hình chóp OEFG và EBKM đều có chiều cao nhỏ sẽ là 4( h 1 và diện tích đáy là A nên tổng thể tích của bốn lăng trụ 2 4 1 Ah Ah ) 2 . 842 4 Sau n bƣớc, hình chóp ban đầu đƣợc chia nhỏ thành các hình lăng trụ và hình chóp. Tại bƣớc thứ k , ta có 2k hình chóp nhỏ với chiều cao bằng h và đáy 2k A , do đó tổng thể tích của 2k cặp lăng trụ nhỏ sẽ là k 4  1 A h  Ah 2k  k 1 k 1   k . 8 4 2  4 Nhƣ vậy, nếu P là hợp của tất cả các lăng trụ nhận đƣợc sau n bƣớc, ta có 10 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 1 1 v( P )  Ah(  2  ...  n ). 4 4 4 Hơn nữa, vì tại mỗi bƣớc, tổng thể tích của các lăng trụ lớn hơn nửa tổng hình chóp nhận đƣợc ở bƣớc trƣớc, theo nguyên lí Eudoxus, với   0 cho trƣớc, với n đủ lớn, V  V ( P )   . Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân  1 4 n 0 n 4  , với n đủ lớn, ta có 3 1 1 1 V  V ( P)  V  Ah   2  ...  n    . 4  4 4 Suy ra, thể tích hình chóp bằng V Ah  1 1   Ah. 4 n 0 4 n 3 Lƣu ý rằng, mặc dù ngƣời Hy Lạp đã biết công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của cấp số nhân, họ đã sử dụng reductio ad absurdum để tránh tính tổng hình thức của chuỗi vô hạn. Chứng minh công thức thể tích hình chóp của Eudoxus là lí do để Hilbert phát biểu Bài toán thứ ba của Hilbert nhƣ sau (dƣới dạng phù hợp với trình bày ở đây): Có thể có chứng minh sơ cấp (không dùng giới hạn) cho công thức tính thể tích hình chóp không?-Câu trả lời là không. Nhờ nguyên lí vét cạn, nhiều khẳng định hình học đƣợc chứng minh. Tuy các chứng minh này không sử dụng trực tiếp khái niệm giới hạn, nhƣng các ví dụ trên cho thấy, các nhà toán học Hy Lạp đã tiếp cận đến khái niệm giới hạn và đại lượng vô cùng bé, hai khái niệm cơ bản của phép tính vi tích phân. 1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích phân Archimedes (287 - 212 trƣớc công nguyên) đã phát triển phƣơng pháp vét cạn thành một kĩ thuật có sức mạnh phi thƣờng để giải một lƣợng lớn các bài 11 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ toán mà ngày nay là những ứng dụng điển hình của phép tính tích phân. Những nghiên cứu của Archimedes là điểm khởi đầu của sự phát triển calculus hiện đại. Với calculus, Ông để lại 6 tác phẩm chính: 1) Measurment of a Circle. 2) Quadrature of the Parabola 3) On the Sphere and Cylinder 4) On Spirals 5) On Conoids and Spheroids 6) The Method 1.2.1 Đo hình tròn Các nhà hình học cổ đại đã biết, diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phƣơng bán kính của nó, a(C)  1r 2 với một hằng số 1 nào đó. Tƣơng tự, độ dài đƣờng tròn tỉ lệ với đƣờng kính của nó, d (C )   2d . Tuy nhiên, chƣa rõ ràng là hai tỉ lệ này có chung hằng số, 1   2   . Trong tác phẩm Measurement of a Circle (đo hình tròn), Archimedes lần đầu tiên đã chứng minh điều này một cách chặt chẽ bằng cách chỉ ra rằng diện tích hình tròn bằng diện tích tam giác có đáy bằng chu vi đƣờng tròn và chiều cao bằng bán kính của nó, 1 1 a (C )   1r 2  rd (C )  r 2 d   2r 2 . 2 2 Từ đây suy ra, 1   2   . Ông cũng chỉ ra rằng 3 10 1  3 . 71 7 Archimedes cũng đã mở rộng phƣơng pháp vét cạn thành phương pháp nén (method of compression). Thay vì chỉ xét một đa giác đều nội tiếp đƣờng tròn, Ông đã xét hai đa giác đều nội ngoại tiếp đƣờng tròn. Diện tích hình tròn khi ấy bị nén (compressed) giữa diện tích các đa giác đều nội, ngoại tiếp. Diện tích của hai đa giác đều cho xấp xỉ gần đúng thiếu và gần đúng thừa diện tích hình tròn. 12 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.2 Cầu phƣơng parabola Trong Lời nói đầu của tác phẩm Về phép cầu phương parabola (Quadrature of the Parabola), Archimedes đã lƣu ý rằng, các nhà toán học trƣớc kia đã tìm đƣợc diện tích của hình giới hạn bởi cung tròn hoặc cung hyperbola và đƣờng thẳng, nhƣng chƣa ai tìm đƣợc diện tích của hình giới hạn bởi cung parabola và đƣờng thẳng (viên phân parabola). Parabola đã đƣợc các nhà toán học Hy Lạp định nghĩa nhƣ là thiết diện của một hình nón với một mặt phẳng song song với hai đƣờng sinh của hình nón. Các vị trí khác của mặt phẳng sẽ sinh ra thiết diện là ellips (hình tròn trong trƣờng hợp riêng) hay hyperbola. Rõ ràng parabola đối xứng với một đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng parabola. Đƣờng thẳng này đƣợc gọi là trục của parabola. Giả sử BAC là hình viên phân parabola, giới hạn bởi cát tuyến BC (đƣợc gọi là đáy) và parabola. A là điểm trên parabola xa BC nhất (có khoảng cách đến BC là lớn nhất trong số các điểm nằm trên parabola). Ta gọi A là đỉnh của viên phân và khoảng cách từ A tới BC là chiều cao của viên phân. Những điều sau đây đã biết vào thời Archimedes: 1) Tiếp tuyến tại A song song với cát tuyến BC. 2) Đƣờng thẳng đi qua A và song song với trục cắt đáy tại M là trung điểm của đáy BC. 3) Mọi dây PQ song song với BC bị chia đôi bởi đường kính AM. 4) Nếu V là điểm giữa của PQ thì V nằm trên AM và AV VQ 2  . AM MB 2 (1.2.1) Từ đây suy ra rằng, trong hệ trục tọa độ xy, phƣơng trình parabola có dạng x  ky 2 . Archimedes đã trích dẫn công thức (1.2.1) mà không chứng minh. Ông 13 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lƣu ý rằng công thức (1.2.1) đã đƣợc chứng minh trong các công trình trƣớc đây của Euclid và Aristaeus về thiết diện cônic. Nhờ phƣơng pháp vét cạn, Archimedes đã chứng minh chặt chẽ rằng: một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabola có diện tích bằng 4 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân. 3 Chứng minh Vì diện tích ∆ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc mà diện tích hình viên phân nhỏ hơn diện tích hình bình hành (ngoại tiếp nó) nên diện tích ∆ABC lớn hơn một nửa diện tích viên phân. Xét hai parabola nhỏ với đáy là AB và AC và đỉnh tƣơng ứng của chúng là H và G. Tƣơng tự nhƣ trên, ta có tổng diện tích hai tam giác GAB và HAC lớn hơn một nửa tổng diện tích hai viên phân này (Hình 1.5). Ta bắt đầu vét cạn diện tích parabola ban đầu bằng tam giác ABC nội tiếp nó. Bƣớc thứ là là đa giác BGAHC. Tiếp tục quá trình này, ta dựng đƣợc đa giác có diện tích xấp xỉ diện tích viên phân parabola với sai số bé tùy ý. Hình 1.5 Ta sẽ chứng minh rằng tổng diện tích hai tam giác AGB và AHC bằng 1 4 diện tích tam giác ABC. Thật vậy, giả sử E là điểm giữa BM , F là điểm giữa MC , K là giao điểm của HF và AC. Từ H kẻ HV song song với BC ( V nằm trên AM ). Vì MC  2 FC nên từ công thức (1.2.1) ta có AM MC 2 MC 2    4. AV VH 2 ME 2 14 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Suy ra AM  4 AV hay HF  VM  3 AP. Nhƣng KF  1 AM  2 AV . Mà 2 HK  HF  KF  VM  1 1 AM  3 AV  4 AV  AV . 2 2 Suy ra AM  4 AV  4 HK . Từ đây ta có a( AHC )  a ( AHK )  a (CHK )  1 11 1 HK ( MF  CF )  AM .MC  a ( AMC ). 2 24 4 1 Tƣơng tự, a ( AHB )  a ( AMB ). Suy ra 4 1 1 1 a( AHC )  a( AHB)  a( AMC )  a( AMB)  a( ABC ). 4 4 4 Tiếp tục, hoàn toàn tƣơng tự, ta có thể chứng minh rằng, tổng diện tích của tam giác tại mỗi bƣớc bằng 1 tổng diện tích của các tam giác ở bƣớc trƣớc. 4 Nếu kí hiệu a : a (ABC ) và n là hợp của tất cả các tam giác tại bƣớc thứ n thì a(n )  a  a 1a 11a a a a 1 1 1    ...  a   2  ...  n  a (1   2  ...  n ). 4 44 444 4 4 4 4 4 4 Nhƣ vậy, với   0 đủ nhỏ thì diện tích viên phân parabola khác diện tích của n một lƣợng  khi n đủ lớn. Đến đây, Archimedes đã sử dụng đẳng thức 1 1 1 1 1 4 1   2  ...  n  . n  . 4 4 4 3 4 3 Thật vậy, vì 1 1 1 4 1 1 1  .  .  . nên ta có 4k 3 4k 3 4k 3 4k 1 15 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   2  ...  n  . n  1   2  ...  n1  n1 4 4 4 3 4 4 4 4 34 1 1 1 1 1 1 11 4  1   2  ...  n2  n2  ...  1    . 4 4 4 34 4 34 3 Sử dụng đẳng thức này ta tính đƣợc diện tích của parabola: 1 1 1   1 1 a ( ABC )  lim a(n )  a 1   2  ...  n   n  4 3 4n   4 4 1  1 1  4  a 1   2  ...  n  ...   a. 4  4 4  3 Nhận xét Hình 1.5 mô tả trƣờng hợp trục của parabola trùng với AM. Các bƣớc chứng minh vẫn đúng khi trục của parabola chỉ song song (mà không trùng với) AM. 1.2.3 Archimedes và calculus Archimedes đã sử dụng công thức tính tổng các số tự nhiên đầu tiên 1  2  3  ...  n  n(n  1) 2 và tổng bình phƣơng các số tự nhiên đầu tiên 1  22  32  ...  n2  n(n  1)  2n  1 6 để thiết lập các công thức cầu phƣơng tƣơng đƣơng với tích phân a a2 0 xdx  2 a và a3 0 x dx  3 . 2 Archimedes còn đóng góp rất nhiều cho phát triển calculus. Ông cũng đã chứng minh đƣợc rằng thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu lớn hơn thể tích hình cầu 1,5 lần; diện tích toàn phần của mặt trụ ngoại tiếp mặt cầu lớn hơn diện tích của mặt cầu 1,5 lần. Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều bài toán mà Archimedes đã giải nhờ phƣơng pháp vét cạn hoặc phƣơng pháp nén. Các bài toán này vẫn đƣợc 16