I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
L HIN HU
THUT TON SONG SONG GII BI TON
C
N BNG TRN TP IM BT ËNG
LUN VN THC S TON HÅC
THI NGUYN - 2020
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
KHOA TON
L¶ Hi·n Hªu
T26B.228
THUT TON SONG SONG GII BI TON
C
N BNG TRN TP IM BT ËNG
Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch
M¢ sè: 8 46 01 02
LUN VN THC S TON HÅC
C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc
GS.TSKH. NGUYN XU
N TN
THI NGUYN - 2020
Líi cam oan
"Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n
b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng"
GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n
Tæi xin cam oan Luªn v«n
l cæng tr¼nh nghi¶n cùu khoa håc cõa ri¶ng
tæi d÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa
.
Ngo i ra, trong luªn v«n tæi cán sû döng mët sè k¸t qu£, nhªn x²t cõa mët sè t¡c
gi£ kh¡c ·u câ chó th½ch v tr½ch d¨n nguçn gèc. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, tæi ¢ k¸
thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh khoa håc vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn.
N¸u ph¡t hi»n b§t ký sü gian lªn n o tæi xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m v· nëi dung
luªn v«n cõa m¼nh.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020
T¡c gi£
L¶ Hi·n Hªu
X¡c nhªn
cõa khoa chuy¶n mæn
X¡c nhªn
cõa ng÷íi h÷îng d¨n
GS. TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n
i
Líi c£m ìn
Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc
tîi
GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n
ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, d¤y b£o º
tæi ho n th nh tèt luªn v«n.
Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa
To¡n , ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ d¤y b£o, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho
tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa.
Nh¥n dàp n y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢
luæn b¶n tæi, cê vô, ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n
luªn v«n tèt nghi»p.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020
T¡c gi£
L¶ Hi·n Hªu
ii
Danh möc c¡c kþ hi»u vi¸t tt
R
∈
∀x
Rn
H
xn → x
xn * x
q
kxk = hx, xi
hx, yi
(EP )
(SEP )
(DEP )
(SDEP )
d(., .)
PC
NC (x)
domf
graf
epif
lev ≤µ f
limak
limak
inf A
Tªp sè thüc.
Thuëc cõa mët ph¦n tû èi vîi tªp hñp.
Måi x.
Khæng gian Euclid thüc n-chi·u.
Khæng gian Hilbert thüc.
D¢y hëi tö m¤nh tîi x.
D¢y hëi tö y¸u tîi x.
Chu©n cõa vectì x.
T½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v y.
B i to¡n c¥n b¬ng.
Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng.
B i to¡n c¥n b¬ng èi ng¨u
Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng èi ng¨u.
Kho£ng c¡ch giúa hai ph¦n tû trong khæng gian Hilbert.
nh x¤ chi¸u l¶n mët tªp hñp C.
Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x.
Mi·n húu hi»u cõa h m f.
ç thà cõa h m f.
Tr¶n ç thà cõa h m f.
Tªp mùc d÷îi cõa f t¤i µ.
Giîi h¤n d÷îi cõa d¢y {ak }.
Giîi h¤n tr¶n cõa d¢y {ak }.
Cªn d÷îi lîn nh§t cõa tªp sè thüc A.
iii
supA
f 0 (x; y)
∇f (x)
∂f (x)
ιC
dH (A, B)
minH f
argminf
minC f
arg minC f
F ixT
Cªn tr¶n nhä nh§t cõa tªp sè thüc A.
¤o h m cõa h m f t¤i x theo h÷îng y.
¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x.
D÷îi vi ph¥n cõa h m f t¤i x.
H m ch¿ cõa tªp C.
Kho£ng c¡ch Hausdorff giúa hai tªp A v B.
Gi¡ trà cüc tiºu cõa h m f tr¶n to n khæng gian.
Tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m f tr¶n to n khæng gian.
Gi¡ trà cüc tiºu cõa h m f tr¶n tªp C.
Tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m f tr¶n tªp C.
Tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T.
iv
Möc löc
Mð ¦u
1 Lþ do chån · t i
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Möc ½ch nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Dü ki¸n k¸t qu£ nghi¶n cùu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng I: Ki¸n thùc chu©n bà
4
1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch lçi
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Tªp âng, tªp âng y¸u, tªp mð
1
2
2
3
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Tªp compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mët sè kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc cõa h m sè trong khæng gian Hilbert
. .
1.3 D÷îi vi ph¥n cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 T½nh ìn i»u cõa h m sè trong khæng gian Hilbert
. . . . . . . . . . .
4
4
6
7
8
10
11
Ch÷ìng II: Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n
tªp iºm b§t ëng
15
2.1 B i to¡n c¥n b¬ng v sü tçn t¤i nghi»m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Giîi thi»u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Sü tçn t¤i nghi»m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Mët sè b i to¡n li¶n quan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t v tèc ë hëi tö cho b i to¡n c¥n b¬ng
v
. . .
15
17
18
21
23
2.2 Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng
. . .
2.2.1 Thuªt to¡n v sü hëi tö
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Mët sè tr÷íng hñp ri¶ng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K¸t luªn
T i li»u tham kh£o
32
32
37
43
44
vi
MÐ U
1. Lþ do chån · t i.
Cho
C
l mët tªp kh¡c réng,
0, ∀x ∈ C
f : C × C → R l mët h m sè thäa m¢n f (x, x) =
( ÷ñc gåi l song h m c¥n b¬ng).
B i to¡n: T¼m
x∗ ∈ C
sao cho:
f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C,
÷ñc gåi l b i to¡n c¥n b¬ng,
x∗ ÷ñc
(EP )
gåi l nghi»m. Tªp nghi»m cõa b i to¡n (EP)
÷ñc k½ hi»u l (SEP).
"C¥n b¬ng"
l thuªt ngú tø l¥u ¢ ÷ñc sû döng rëng r¢i trong c£ thüc ti¹n v to¡n
håc d÷îi nhi·u h¼nh thùc, quy mæ kh¡c nhau.
B i to¡n c¥n b¬ng
¢ ÷ñc Nikaido v
Isoda n¶u ra tø n«m 1955. N«m 1994, b i to¡n ÷ñc Blum v Oettli ph¡t biºu r§t ìn
gi£n nh÷ tr¶n.
Trong l¾nh vüc to¡n håc,
b i to¡n c¥n b¬ng
bao h m nhi·u lîp b i to¡n li¶n quan
nh÷ b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm y¶n ngüa, b i to¡n
iºm b§t ëng, b i to¡n Nash,...
B i to¡n c¥n b¬ng
°t ra v§n · quan trång c¦n gi£i quy¸t l t¼m i·u ki»n º
b i to¡n câ nghi»m v x¥y düng thuªt to¡n t¼m nghi»m cõa b i to¡n n y. Kh£o s¡t c¡c
i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m, ta ph£i °t c¡c i·u ki»n l¶n tªp hñp
C
h m sè
f . C¡c
thuªt to¡n ÷ñc bi¸t hi»n nay cì b£n düa tr¶n k¾ thuªt t¼m nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u,
nh÷ thuªt to¡n chi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c÷íng, ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ( h m gap),
h m ph¤t, ph÷ìng ph¡p h÷îng gi£m, ho°c c¡c k¾ thuªt hi»u ch¿nh nh÷ ph÷ìng ph¡p
1
iºm g¦n k· hay lþ thuy¸t hi»u ch¿nh Tikhonow.
Mët h÷îng ti¸p cªn cì b£n º gi£i (EP) ÷ñc düa tr¶n k¸t qu£ :
x∗
l mët nghi»m
cõa b i to¡n c¥n b¬ng (EP) khi v ch¿ khi nâ l mët nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u
min {f (x∗ , y) : y ∈ C} ,
hay l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ a trà
φ(x) = arg min {f (x, y) : y ∈ C} .
º t¼m hiºu s¥u sc v· b i to¡n n y, tæi chån · t i luªn v«n cao håc cõa m¼nh
thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm
b§t ëng
GS. TSKH. Nguy¹n
Xu¥n T§n
v·
, d÷îi sü h÷îng d¨n nghi¶m tóc, tªn t¼nh cõa
, vîi hy vång luªn v«n s³ l mët têng quan tèt v· ph÷ìng ph¡p gi£i b i
to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa hå húa h¤n tr¶n cì sð cõa gi£i t½ch
lçi, gi£i t½ch h m, v nhúng thuªt to¡n ¢ câ trong lþ thuy¸t tèi ÷u. Nëi dung cõa luªn
v«n düa tr¶n mët sè thuªt to¡n ¢ câ v hai b i b¡o mîi ÷ñc cæng bè cõa Phung
M. Duc, Le D. Muu A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems
involving nonexpansive mappings, Optimization, Vol 65( 2016), pages 1855-1866 v b i
b¡o cõa Phung M. Duc, Le D. Muu, Nguyen V. Quy: Solution-existence and algorithms
with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems , Pacific
Journal of Optimization, Vol 12 No.4, pages 833-845,2016.
2. Möc ½ch nghi¶n cùu
Möc ½ch m · t i °t ra l t¼m i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m v nghi¶n cùu
thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå
húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n ( b i to¡n c¥n b¬ng c§p 2).
3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu
Vîi c¡c möc ½ch °t ra nh÷ tr¶n, trong luªn v«n n y chóng tæi x²t i·u ki»n õ º
b i to¡n c¥n b¬ng câ nghi»m, giîi thi»u mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t v tr¼nh b y thuªt
2
to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu
h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert. X¥y düng thuªt to¡n t¼m nghi»m
cõa b i to¡n.
4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
Thu thªp t i li»u v· b i to¡n c¥n b¬ng ¢ cæng bè tr¶n c¡c t¤p ch½ v s¡ch gi¡o khoa,
s¡ch chuy¶n kh£o, x¥y düng thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm
b§t ëng düa tr¶n thuªt to¡n gi£i b i to¡n tèi ÷u li¶n quan.
5. Dü ki¸n k¸t qu£ nghi¶n cùu
Luªn v«n l mët têng quan v· b i to¡n c¥n b¬ng v mët sè k¸t qu£ cõa thuªt to¡n
song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng.
· t i luªn v«n ÷ñc chia th nh 2 ch÷ìng:
Ch÷ìng 1. ÷a ra mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· khæng gian Hilbert v c¡c t½nh ch§t
cõa tªp hñp con, c¡c h m sè, t½nh li¶n töc, t½nh ìn i»u cõa h m sè tr¶n khæng gian
Hilbert.
Ch÷ìng 2. Giîi thi»u b i to¡n c¥n b¬ng v ÷a ra mët sè i·u ki»n õ v· sü tçn t¤i
nghi»m, giîi thi»u mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t º t¼m nghi»m , tr¼nh b y thuªt to¡n song
song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng.
3
CH×ÌNG I: KIN THÙC CHUN
BÀ
º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng, ta ph£i nghi¶n cùu c¡c t½nh
ch§t cõa tªp
C
v h m
f . Ta ph£i trang bà tr¶n khæng gian chùa C , hai c§u tróc tæpæ
v ¤i sè, tø â t¼m ra c¡c t½nh ch§t cõa tªp
C
h m
f
º £m b£o b i to¡n câ nghi»m.
Ta bt ¦u b¬ng ch÷ìng: Ki¸n thùc chu©n bà º nhc l¤i c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i
t½ch h m, gi£i t½ch lçi.
C¡c k¸t qu£ cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong khæng gian Hilbert, m°c dò chóng
v¨n cán óng trong c¡c khæng gian têng qu¡t hìn. Tr÷îc h¸t, ta nhc l¤i c¡c ki¸n thùc
cì b£n v mët sè bê ·, ành lþ c¦n thi¸t ÷ñc sû döng trong chùng minh sü tçn t¤i
nghi»m công nh÷ sü hëi tö cõa thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp
iºm b§t ëng trong c¡c ch÷ìng sau.
Mët sè kh¡i ni»m cì b£n trong ch÷ìng n y ÷ñc l§y tø t i li»u [1].
1.1 Mët sè kh¡i ni»m v· tªp hñp trong khæng gian
Hilbert
1.1.1 Tªp lçi
Ta bi¸t r¬ng mët khæng gian Hilbert l mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n â ÷ñc x¡c
ành mët h m song tuy¸n t½nh
h., .i ( ÷ñc gåi l t½ch væ h÷îng) thäa m¢n:
hx, xi ≥ 0 vîi måi x ∈ H.
4
Cho
H
l mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng
c¡ch li¶n k¸t vîi t½ch væ h÷îng â kþ hi»u l
q
∀x, y ∈ H : kxk =
h., .i.
Chu©n v kho£ng
k.k v d (., .), ÷ñc x¡c ành :
hx, xi v d(x, y) = kx − y |.
Ta th§y r¬ng tr¶n khæng gian Hilbert câ hai c§u tróc tæpæ v ¤i sè, ta câ thº sû
döng hai c§u tróc n y º ÷a ra c¡c kh¡i ni»m mîi v· tªp hñp trong khæng gian Hilbert.
Trong khæng gian Hilbert, ta câ kh¡i ni»m ÷íng th¯ng.
Cho hai iºm
a, b ∈ H. ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v b câ d¤ng
{x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R} .
Tªp
[a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}
÷ñc gåi l o¤n th¯ng nèi hai iºm
Cho
a v b.
u ∈ H\ {0} v η ∈ R. Mët si¶u ph¯ng vîi v²c-tì ph¡p tuy¸n u trong H
l
tªp câ d¤ng
{x ∈ H : hx, ui = η} .
Méi si¶u ph¯ng chia khæng gian th nh hai nûa, c¡c tªp
{x ∈ H : hx, ui ≤ η}
v
{x ∈ H : hx, ui < η} ,
l¦n l÷ñt ÷ñc gåi l nûa khæng gian âng v nûa khæng gian mð vîi v²c-tì ph¡p tuy¸n
ngo i
u.
D÷îi ¥y câ c¡c kh¡i ni»m cõa gi£i t½ch lçi. Trong ph¦n n y ta ·u gi£ sû
con lçi, âng, kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert
ành ngh¾a 1.1.1.
Mët tªp con
C
cõa
H
l tªp
H.
÷ñc gåi l lçi n¸u vîi måi
[x, y] ⊂ C , tùc l
λx + (1 − λ)y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] .
5
C
x, y ∈ C ,
V½ dö: H¼nh trán, h¼nh tam gi¡c,...
ành ngh¾a 1.1.2.
Cho
u ∈ H. Kho£ng c¡ch tø x ¸n C , kþ hi»u l dC (x), ÷ñc
x¡c ành :
dC (x) = inf {d(x, y) : y ∈ C} = inf {kx − yk : y ∈ C} .
N¸u câ iºm
cõa
p∈C
sao cho
kx − pk = dC (x)
th¼
p
÷ñc gåi l mët h¼nh chi¸u
x tr¶n C . N¸u måi iºm trong H ·u câ duy nh§t mët h¼nh chi¸u tr¶n C , C
gåi l tªp Chebyshev. Trong tr÷íng hñp n y, quy tc ùng vîi méi iºm trong
h¼nh chi¸u duy nh§t cõa nâ tr¶n
kþ hi»u l
C
cho ta mët to¡n tû gåi l to¡n tû chi¸u tr¶n
H
֖c
mët
C , ֖c
PC .
Ta câ mët k¸t qu£ cì b£n cho h¼nh chi¸u cõa mët iºm tr¶n mët tªp lçi âng kh¡c
réng sau ( xem chùng minh trong [1]).
ành lþ 1.1.1. Tªp C l mët tªp Chebyshev v vîi måi x v p trong H,
n¸u:
p = Pc (x) ⇔ p ∈ C
ành ngh¾a 1.1.3.
v
(∀y ∈ C) hx − p, y − pi ≤ 0 .
Nân ph¡p tuy¸n cõa
C
t¤i
x, kþ hi»u l NC x, ÷ñc x¡c ành
bði
NC x =
{u ∈ H |hu, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C } ,
∅,
x ∈ C,
n¸u x ∈
/ C.
n¸u
1.1.2 Tªp âng, tªp âng y¸u, tªp mð
ành ngh¾a 1.1.4.
(i)
(ii)
hëi tö m¤nh
hëi tö y¸u
kþ hi»u l
Mët d¢y
¸n iºm
¸n iºm
{xn } trong H ÷ñc gåi l
x n¸u lim kxk − xk = 0, kþ hi»u l xn → x;
k→∞
x n¸u vîi
måi
u ∈ H, hxn −x, ui → 0 khi n → ∞,
xn * x.
ành ngh¾a 1.1.5.
tö ¸n x th¼
Tªp
A ⊆ H ÷ñc gåi l tªp âng n¸u måi d¢y {xn } ⊆ A hëi
x ∈ A.
6
ành ngh¾a 1.1.6.
¸n
Tªp
A ⊆ H ÷ñc gåi l tªp âng y¸u n¸u {xn }n≥0 hëi tö y¸u
Tªp
A ⊆ H ÷ñc gåi l tªp compact n¸u måi d¢y {xn }n≥0 ⊆
x th¼ x ∈ A.
ành ngh¾a 1.1.7.
A ·u câ d¢y con xnj
j≥0
hëi tö tîi
x ∈ A.
ành ngh¾a 1.1.8. B ⊆ H
H\B
Bê · 1.1.1. Cho {xn}n≥0 v {un}n≥0 l c¡c d¢y trong H, x v u l c¡c
Tªp
÷ñc gåi l tªp mð n¸u
l tªp âng.
iºm trong H. Gi£ sû xn * x, un → u khi n → ∞. Khi â hxn, uni →
hx, ui khi n → ∞.
Bê · 1.1.2. Cho {xn}n≥0 l mët d¢y bà ch°n trong H. Khi â câ mët
d¢y con {xn}n≥0 hëi tö y¸u.
1.1.3 Tªp compact
ành ngh¾a 1.1.9.
(i) Mët hå
n¸u
A⊂
S
Cho c¡c khæng gian metric
(X, d)
{Gi : i ∈ I} c¡c tªp con cõa X ÷ñc gåi l mët phõ mð cõa tªp A ⊂ X
Gi
i∈I
N¸u I l tªp húu h¤n th¼ ta nâi phõ l húu h¤n.
N¸u måi
(ii) Tªp
Gi
l tªp mð th¼ ta nâi phõ l phõ mð.
A⊂X
÷ìc gåi l tªp compact n¸u méi phõ mð cõa
A ta luæn câ thº l§y
ra ÷ñc mët phõ húu h¤n.
(iii) Tªp
A ÷ñc gåi l compact t÷ìng èi n¸u A l tªp compact.
V½ dö: Tªp húu h¤n l mët tªp compact.
ành ngh¾a 1.1.10.
Cho
A ÷ñc gåi l compact t÷ìng èi n¸u bao âng A l tªp
compact.
ành ngh¾a 1.1.11.
d¢y
Mët khæng gian tæpæ
X
÷ñc gåi l ¸m ÷ñc n¸u
{xn } trò mªt trong X , tùc l bao âng cõa {xn } b¬ng X .
7
X
câ mët
ành ngh¾a 1.1.12.
vîi måi
cõa
x∈X
Mët khæng gian tæpæ
câ mët l¥n cªn
U
cõa
X
÷ñc gåi l compact àa ph÷ìng n¸u
x thäa m¢n U
l mët khæng gian con compact
X . Måi khæng gian compact àa ph÷ìng l khæng gian Tychonoff.
ành lþ 1.1.2.( ành lþ Weierstrass)
Trong khæng gian metric X , c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng:
(i) Tªp A ⊂ X l compact.
(ii) Tø méi d¢y {xn} ⊂ A câ thº l§y ra mët d¢y con hëi tö v· ph¦n tû
thuëc A.
1.2 Mët sè kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc cõa h m sè
trong khæng gian Hilbert
Cho
C
l mët tªp con kh¡c réng cõa
Mi·n húu hi»u (mi·n x¡c ành)
H v h m f : C → [−∞, +∞].
cõa
f
l tªp
domf = {x ∈ C|f (x) < +∞} ,
ç thà
cõa
f
l tªp:
graf = {(x, µ) ∈ C × R|f (x) = µ} ,
tr¶n ç thà
cõa
f
l tªp
epif = {(x, µ) ∈ C × R||f (x) ≤ µ} .
Tªp mùc d÷îi
cõa
f
t¤i
ξ ∈ R l tªp
lev≤µ f = {x ∈ C |f (x) ≤ µ} .
H m
f
÷ñc gåi l
ch½nh th÷íng
ành ngh¾a 1.2.1.
Mët h m
n¸u
−∞ ∈
/ f (C)
f : C → [−∞, +∞]
tr¶n ç thà cõa nâ l mët tªp lçi.
8
v
domf 6= φ.
÷ñc gåi l lçi tr¶n
C
n¸u
ành ngh¾a 1.2.2.
Cho
φ 6= C ⊆ Rn
lçi.
f : Rn → R ∪ {+∞} ÷ñc gåi l h m
(i) H m
lçi ch°t
tr¶n
C
n¸u
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
f : Rn → R ∪ {+∞}
(ii) H m
÷ñc gåi l
h m lçi m¤nh
tr¶n
C
vîi h» sè
η > 0, n¸u ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta câ:
1
f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 .
2
(iii) H m
f
h m lãm
÷ñc gåi l
ành ngh¾a 1.2.3.
ành ngh¾a 1.2.4.
Mët h m
H m
li¶n töc d÷îi y¸u ) t¤i iºm
f
tr¶n
C
n¸u
−f
gåi l âng, n¸u
l h m lçi tr¶n
epif
C.
l mët tªp âng trong
Rn+1 .
f : C → R ∪ {+∞} ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi ( nûa
x∈C
n¸u vîi måi d¢y
{xn } ⊂ C
xn → x ⇒ f (x) ≤ limf (xn ).
(xn * x ⇒ f (x) ≤ limf (xn )).
H m
f
÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi ( nûa li¶n töc d÷îi y¸u) ð tr¶n
li¶n töc d÷îi (nûa li¶n töc d÷îi y¸u) t¤i måi iºm trong
H m
f
C
C.
÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u ) t¤i iºm
vîi måi d¢y
n¸u nâ nûa
x∈C
n¸u
{xn } ⊂ C ,
xn → x ⇒ f (x) ≥ limf (xn ).
(xn * x ⇒ f (x) ≥ limf (xn )).
H m
f
÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u ) ð tr¶n
li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u) t¤i måi iºm trong
H m
f
÷ñc gåi l li¶n töc ( li¶n töc y¸u ) t¤i iºm
C
n¸u nâ nûa
C.
x n¸u nâ çng thíi nûa li¶n töc
tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u ) v nûa li¶n töc d÷îi ( nûa li¶n töc d÷îi y¸u ) t¤i â. H m
9
f
÷ñc gåi l li¶n töc ( li¶n töc y¸u) ð tr¶n
iºm trong
H m
h m sè
f
C
n¸u nâ li¶n töc ( li¶n töc y¸u ) t¤i måi
C.
÷ñc gåi l b¡n li¶n töc tr¶n ð tr¶n
C
n¸u vîi måi
x, y ∈ C
v
α ∈ [0, 1],
τ (α) = f [αx + (1 − α)y] l nûa li¶n töc tr¶n t¤i 0+ .
1.3 D÷îi vi ph¥n cõa h m sè
N¸u h m
f
x¡c ành tr¶n
C
th¼ ta câ thº th¡c triºn l¶n to n khæng gian b¬ng c¡ch
°t
F (x) =
f (x), x ∈ C;
+∞, x ∈
/ C.
Do â, d÷îi ¥y ta câ thº x²t vîi h m x¡c ành tr¶n to n khæng gian. Ta nhc l¤i kh¡i
ni»m ¤o h m theo h÷îng.
ành ngh¾a 1.3.1.
v
Cho
f : H → R ∪ {+∞} l h m ch½nh th÷íng, x ∈ domf
y ∈ H. Ta gåi ¤o h m theo h÷îng cõa h m f
f 0 (x; y) = lim
α↓0
t¤i x l ¤i l÷ñng
f (x + αx) − f (x)
.
α
n¸u giîi h¤n n y tçn t¤i.
N¸u h m
li¶n töc tr¶n
f
câ ¤o h m t¤i
H th¼ f
x theo måi h÷îng v f 0 (x; .) l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux t¤i
tçn t¤i duy nh§t mët v²c-tì
x, v theo biºu di¹n Riesz-Fr²chet,
∇f (x) ∈ H sao cho:
(∀y ∈ H)f 0 (x; y) = hy, ∇f (x)i .
N¸u câ
f (x + y) − f (x) − hy, ∇(x)i
= 0,
06=y→0
kyk
ta nâi f l kh£ vi Fr²chet t¤i x, v ∇f (x) ÷ñc gåi l ¤o h m Fr²chet cõa f
lim
t¤i
x.
Mët h m câ thº khæng kh£ vi t¤i mët iºm, ta câ thº ÷a ra kh¡i ni»m g¦n vîi kh¡i
ni»m kh£ vi nh÷ sau:
ành ngh¾a 1.3.2.
Cho
f : H → R ∪ {+∞} l h m ch½nh th÷íng.
10
p ∈ H ÷ñc gåi l d÷îi vi ph¥n cõa f
(i) Mët v²c-tì
f (x) + hp, y − xi ≤ f (y),
Tªp t§t c£ c¡c d÷îi vi ph¥n cõa
l
∂f (x). H m f
∀y ∈ H.
, mët v²c-tì p ∈ H ÷ñc gåi l mët -d÷îi ¤o h m cõa f
- d÷îi ¤o h m cõa f
t¤i
∀y ∈ H
x ÷ñc gåi l - d÷îi vi ph¥n cõa f
t¤i
x, kþ
∂ f (x).
H m ch¿ cõa tªp
C
x, kþ hi»u
x ∈ H n¸u
Tªp t§t c£ c¡c
N¸u
t¤i
x n¸u ∂f (x) 6= φ.
f (x) + hp, y − xi − ≤ f (y),
hi»u l
x ∈ H n¸u
x ÷ñc gåi l d÷îi vi ph¥n cõa f
t¤i
÷ñc gåi l kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i
(ii) Cho sè thüc d÷ìng
t¤i iºm
f
t¤i
C , kþ hi»u l ιC , ÷ñc x¡c ành bði
0, n¸u x ∈ C,
ιC (x) =
+∞, n¸u x ∈
/ C.
l mët tªp con lçi kh¡c réng cõa
H, th¼ ta câ ∂ιC (x) = NC (x).
D÷îi ¥y, ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ trong khæng gian
Hilbert.
ành ngh¾a 1.3.3.
(i)
T
Cho
C l mët tªp con kh¡c réng cõa H v ¡nh x¤ T : C → H.
÷ñc gåi l li¶n töc Lipschitz tr¶n
C
vîi h» sè
kT x − T yk ≤ L kx − yk ,
N¸u
L = 1 th¼ T
L > 0, n¸u
∀x, y ∈ C.
÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n, v n¸u
0 < L < 1 th¼ T
gåi l ¡nh
x¤ co,
(ii)
â
T
÷ñc gåi l b¡n li¶n töc tr¶n
C
n¸u vîi
x ∈ C , y ∈ H v x + tn y ∈ C , ð
{tn } l mët d¢y sè d÷ìng sao cho lim tn = 0, k²o theo T (x + tn y) * T (x).
n→∞
1.4 T½nh ìn i»u cõa h m sè trong khæng gian Hilbert
ành ngh¾a 1.4.1.
nh x¤
T : C → H ÷ñc gåi :
11
(i)
ìn i»u m¤nh
vîi h» sè
γ > 0 tr¶n C , n¸u
hT x − T y, x − yi ≥ γkx − yk2
(ii)
ìn i»u
tr¶n
C , n¸u
hT x − T y, x − yi ≥ 0,
ìn i»u ch°t
(iii)
∀x, y ∈ C;
tr¶n
C
n¸u b§t ký
∀x, y ∈ C;
x, y ∈ C, x 6= y
sao cho
T (x, y) + T (y, x) < 0
γ
(iv)
-
gi£ ìn i»u m¤nh
tr¶n
C , n¸u vîi måi x, y ∈ C ,
hT y, x − yi ≥ 0 ⇒ hT x, x − yi ≥ γkx − yk2 ;
(v)
gi£ ìn i»u
tr¶n
C , n¸u vîi måi x, y ∈ C ,
hT y, x − yi ≥ 0 ⇒ hT x, x − yi ≥ 0;
(vi)
ìn i»u m¤nh ng÷ñc
vîi h» sè
γ > 0 tr¶n C , n¸u
hT x − T y, x − yi ≥ γkT x − T yk2 , ∀x, y ∈ C.
Ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· ¡nh x¤ a trà.
Cho
F : H → 2H l mët ¡nh x¤ a trà. Tªp
x¡c ành
cõa
F , kþ hi»u l domF ,
÷ñc x¡c ành bði
domF = {x ∈ H : F (x) 6= φ} ,
ç thà
cõa
F
l tªp
graF = {(x, y) ∈ H × H : y ∈ F (x)} .
Cho
A v B
l c¡c tªp con cõa
H. Kho£ng
c¡ch Hausdorff
x¡c ành bði
dH (A, B) := max {d(A, B), d(B, A)} ,
12
giúa
A v B
֖c
- Xem thêm -
.PDF 
52 
18 
62 
