Tài liệu Thuật toán lặp xen kẽ mfs đối với bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên không đầy đủ

i .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HẰNG THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HẰNG THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÔNG ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sỹ chuyên nghành toán ứng dụng, đến nay luận văn của tôi đã được hoàn thành.Để có được kết quả như mong muốn, trước hết tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang. Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành cũng chính là nhờ sự nhắc nhở, động viên thường xuyên và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn của thầy. Tôi cũng xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã không ngừng động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 30 tháng 9 năm 2014 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i MỤC LỤC ........................................................................................................ iv MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................... 3 1.1. Không gian Sobolev và phương trình elliptic ........................................ 3 1.1.1. Không gian Sobolev. .................................................................................. 3 1.1.2. Phương trình elliptic............................................................................................10 1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp.................................................................... 13 1.2.1. Lược đồ lặp hai lớp...................................................................................13 1.2.2. Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp........15 1.3. Phương pháp chia miền giải bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh .............................................................................................. 16 1.3.1. Mô tả phương pháp ..................................................................................16 1.3.2. Sự hội tụ của phương pháp ......................................................................18 1.4. Các kiến thức cơ bản về giải số phương trình đạo hàm riêng ............. 19 1.4.1. Phương pháp sai phân ..............................................................................19 1.4.2 Giới thiệu thư viện TK2004 .....................................................................22 Chương 2: THUẬT TOÁN LẶP XEN KẼ MFS ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUY ................................................................................... 27 2.1. Mô hình bài toán .................................................................................. 27 2.2. Thuật toán lặp chẵn lẻ .......................................................................... 29 2.2.1. Cơ sở thuật toán ...................................................................................29 2.2.2 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết. ......................................................................31 2.3. Phương pháp MFS ............................................................................... 32 Chương 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ GIẢI SỐ BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUY................................................................................................... 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v 3.1. Mô hình tổng quát ................................................................................ 36 3.2. Một số kết quả thực nghiệm số ............................................................ 43 3.2.1. Kết quả kiểm tra QH1 và QH2................................................................43 3.2.2. Kết quả kiểm tra QH3 và QH4................................................................46 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 50 PHẦN PHỤ LỤC ............................................................................................ 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Xuất phát từ mô hình toán học của bài toán biên với hệ điều kiện biên dạng không chính quy, cơ sở toán học của phương pháp lặp xen kẽ MFS cùng phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ thông qua hệ nghiệm cơ bản đối với bài toán biên thuần nhất. Luận văn đã hiện thực hóa các sơ đồ lặp xen kẽ để xác định nghiệm số của bài toán không chính quy bằng hai phương pháp xác định giá trị hàm hoặc đạo hàm trên phần biên chưa xác định điều kiện biên. Các kết quả số đã được xác định và từ đó đã đánh giá được hiệu quả của từng phương pháp. Trong trường hợp khi bài toán là phức tạp mà nếu sử dụng thuật toán lặp xen kẽ sẽ gặp phải bài toán biên hỗn hợp mạnh, dựa trên kết quả của thuật toán chia miền đối với bài toán biên elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đã đưa ra sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán biên không chính quy, tiến hành lập trình xác định nghiệm số của bài toán, đánh giá về tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ đồ lặp, so sánh các phương pháp xác định hàm và đạo hàm. Mục đích chính của luận văn là đề cập đến thuật toán lặp xen kẽ MFS đối với bài toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên không đầy đủ. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev và phương trình elliptic, các kiến thức về sơ đồ lặp, phương pháp sai phân đối với việc giải số phương trình đạo hàm riêng, thuật toán chia miền đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh. Chương 2: Trình bày mô hình vật lý và cơ học của bài toán biên elliptic với hệ điều kiện biên không chính quy Chương 3: Nghiên cứu một số kết quả giải số bài toán biên không chính quy, luận văn sẽ đưa ra một số mô hình bài toán trong trường hợp tổng quát hơn đồng thời đề xuất một số sơ đồ lặp tìm nghiệm số của các bài toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 tương ứng. Các kết quả số sẽ được kiểm tra bằng các chương trình viết bằng ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC. Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung của luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô giáo và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 Chƣơng 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Sobolev và phƣơng trình elliptic 1.1.1. Không gian Sobolev. 1.1.1.1. Không gian C k (W) . Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclide n chiều ¡ n và W là bao đóng của W. Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, 2...) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W. Ta đưa vào C k (W) chuẩn: u ( C k (W) = å max D a u (x ) a =k trong đó a = a 1, a 2 ,..., a n (1.1) xÎ W ) được gọi là vectơ với các tọa độ nguyên không âm, a = a 1 + a 2 + ... + a n , a D u= ¶ a 1 + ...+ a n a u a ¶ x 1 1 ...¶ x n n Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k ,kể cả k . Tập C k (W) với chuẩn (1.1)là không gian Banach. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 1.1.1.2. Không gian L p (W) Giả sử W là một miền trong ¡ n và p là một số thực dương. Ta kí hiệu Lp (W) là lớp các hàm đo được f xác định trên W sao cho: ò p f (x ) dx < ¥ W Trong L p (W) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên W. Như vậy các phần tử của L p (W) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên W. Vì : p f (x ) + g (x ) £ nên rõ ràng L Ta đưa vào L p p ( f (x ) + g (x ) p ) p pö æ £ 2p çç f (x ) + g (x ) ÷ ÷ ÷ è ø (W) là một không gian vectơ. (W) phiếm hàm . p được xác định bởi: 1 u p æ öp p ÷ ç = ççò f (x ) dx ÷ ÷ ÷ çè W ø Định lý 1.1.1 (bất đẳng thức Hoder). Nếu 1 < p < ¥ và u Î L p (W), v Î Lp (W) thì uv Î Lp (W) và ò | u (x )v (x ) |dx £ u (x ) p . v (x ) p' W Trong đó p ' = p 1 1 , tức là + = 1 , p ' được gọi là số mũ liên hợp p- 1 p p' đối với p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu 1 < p < ¥ thì f +g Định lý 1.1.3. Không gian L p £ p f (W) với p + g p 1£ p < ¥ là một không gian Banach. 1.1.1.3. Không gian W 1, p (W) Định nghĩa 1.1.1 Cho W là một miền trong ¡ n () . Hàm u x được gọi là khả () tích địa phương trong W nếu u x là một hàm trong W và với mỗi x 0 Î W () đều tồn tại một lân cận w của x 0 để u x khả tích trong W. Định nghĩa 1.1.2 Cho W là một miền trong ¡ () () n . Giả sử u x , v x là hai hàm khả tích địa phương trong W sao cho ta có hệ thức: òu W ¶ kj k k k ¶ x 1 1 ...¶ x nn () dx = (- 1) ò vj dx W ( ) ( ) đối với mọi j x Î C 0 W , k = k1 + ... + kn , ki ³ 0 i = 1, 2,..., n . k () () Khi đó, v x được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u x . () Kí hiệu: v x = ¶ ku k k ¶ x 11 ...¶ x nn Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p là một số thực, 1 £ p < ¥ , W là một miền trong ¡ n . Không gian Sobolev W W 1, p 1, p (W) được định nghĩa như sau: íï ü ï ¶u p p ï (W) = ìï u | u Î L (W), ¶ x Î L (W), i = 1,..., n ïýï ïî ïþ i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 Trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng. Với p = 2 , ta kí hiệu W 1,2 (W) = H 1 (W), nghĩa là: íï ü ï ¶u 2 2 ï H (W) = ì u | u Î L (W), Î L (W), i = 1, 2,..., n ïý ïï ïï ¶ xi î þ 1 Bổ đề 1.1.1 i) Không gian W 1, p (W) là không gian Banach với chuẩn n u ii) Không gian H 1 W 1, p (W) = u p L (W) + å i= 1 ¶u ¶ xi Lp (W) (W) là không gian Hilbert với tích vô hướng:(u, v ) H 1 (W) = (u , v ) 2 1.1.1.4 Vết của hàm. Định nghĩa 1.1.4 Không gian Sobolev W 1, p (W) được định nghĩa như các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong W tương ứng với chuẩn của W 1, p (W). Không gian H (W) được xác định bởi: 1 0 H 01 (W) = W01,2 (W) Định lý 1.1.4 Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz thì: i) Nếu 1 £ p < n thì W0 1, p (W) Ì Lq (W) là: - Nhúng Compact đối với q Î éê1, p *ù ë ûú trong đó 1 1 1 = - , p* p n - Nhúng liên tục đối với q = p * . ii) Nếu p= n thì W01,n (W) Ì Lq (W) là nhúng Compact nếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ L (W) 7 q Î éêë1, + ¥ ù. úû W01, p (W) Ì C 0 (W) là nhúng Compact. iii) Nếu p > n thì Định lý 1.1.5 (Định lý vết). Giả sử W là một tập mở trong R n sao cho ¶ W là liên tục Lipschitz thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục: g : H 1 (W) ® L2 (¶ W) sao cho với bất kì u Î H 1 (W) Ç C (W) ta có g (u ) = u | 0 ¶W . () Hàm g u được gọi là vết của u trên ¶ W. Định nghĩa 1.1.5 Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H 1 2 (¶ W) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết H 1 2 g , tức là: (¶ W) = g (H (W)) 1 Định lý 1.1.6 i) H 1 2 (¶ W) là một không gian Hilbert với chuẩn: u 2 = 1 H 2 (¶ W) ò u (x ) 2 dS x + ¶W òò u (x ) - u (y ) ¶W ¶W x- y n+1 2 dS xdS y ( ) ii) Tồn tại một hằng số C g W sao cho: g (u ) 1 H2 (¶ W) £ C g (W) u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 1 H (W) , " u Î H 1 (W) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 ( ) Khi đó C g W được gọi là hằng số vết. Bổ đề 1.1.2 Giả sử ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H 1 2 (¶ W) có các tính chất sau: { i) Tập u |¶ W, u Î C ii) Nhúng H 1 2 ¥ (¶ W) Ì (R )} là trù mật trong n H 1 2 (¶ W). L2 (¶ W) là compact iii) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục: gÎ H 1 2 (¶ W) ® u g Î H 1 (W) ( ) ( ) Với g u g = g và tồn tại một hằng số C 1 W chỉ phụ thuộc miền W sao cho: u H 1 (W) £ C 1 (W) g H 1 2 (¶ W) ,"g Î H 1 2 (W) Bổ đề 1.1.3. Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz. Khi đó: { } H 01 (W) = u | u Î H 1 (W), g (u ) = 0 Định lí 1.1.7 ( Bất đẳng thức Poincare). Tồn tại một hằng số C W sao cho: u 2 L (W) £ CW Ñu 2 L (W) , " u Î H 01 (W) Trong đó hằng số C W phục thuộc vào đường kính của W được gọi là hằng số Poincare. Bất đẳng thức Poincare có ý nghĩa rằng u = Ñ u chuẩn trên H 1 L2 (W) là một (W) đã xác định. Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng) Giả sử biên ¶ W liên tục Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 Lipschitz, ¶ W= G1 U G2 , trong đó G1, G2 là các tập đóng, rời nhau, G1 có ( ) độ đo dương. Khi đó, tồn tại hằng số C W sao cho : u L2 (W) £ CW Ñu L2 (W) " u Î H 1 (W), g (u ) = 0 trên G1 1.1.1.5. Không gian Sobolev với chỉ số âm H Định nghĩa 1.1.6 Ta kí hiệu H - 1 - 1 - 1 2 (W) và H (¶ W). (W) là một không gian Banach được xác định bởi: H ' (W) = (H (W)) - 1 1 0 với chuẩn: F,u F Trong đó F , u H- 1 H- 1 (W) (W),H 01(W) Bổ đề 1.1.4.Cho F Î H = sup H- u H 01 (W)\ {0} 1 (W),H 01(W) H 01 (W) là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu. - 1 (W) thì tồn tại n + 1 hàm f0 , f1,..., fn trong L (W) sao cho: F = f0 + n ¶ fi i= 1 ¶ xi å Theo nghĩa phân bố và đồng thời: F n 2 H- 1 (W) = inf å fi i= 1 ( 2 L2 (W) trong đó infimum lấy trên tất cả các vectơ f0 , f1,..., fn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu ) n+1 2 ù trong é êëL W ú û ( ) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ . 10 Định nghĩa 1.1.7 Giả sử ¶ W liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H - 1 2 (¶ W) là một không gian Banach được xác định như sau: H 1 2 - ' æ 1 ö ÷ ç 2 (¶ W) = çççH (¶ W)÷÷÷ è ø với chuẩn tương ứng: F,u F - H 1 2 = (W) sup H Trong đó F , u - H 1 2 1 (¶ W),H 2 (¶ W) = 1 2 - H u (¶ W)\ {0} 1 2 1 (¶ W),H 2 (¶ W) 1 H 2 (¶ W) ò FudS ¶W 1.1.2. Phƣơng trình elliptic 1.1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phƣơng trình Xét phƣơng trình - Vu = f Giả sử u Î C 2 (W), f (1.3) Î C (W) và phương trình (1.3) thỏa mãn trong miền W. Khi đó, u (x ) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.3). ( ) ¥ Lấy hàm j bất kì thuộc D W = C 0 (W) nhân với hai vế của (1.3) rồi lấy tích phân ta được: - ò Vuj dx = ò f j dx W (1.4) W Áp dụng công thức Green vào (1.4) và kết hợp với điền kiện j |¶ W= 0 ta có : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 n òå W i= 1 ¶j ¶u dx = ¶ xi ¶ xi ò f j dx (1.5) W hay: ò Ñ u Ñ j dx = ò f j dx W W Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thì có (1.5). Nhưng nếu f Î C (W) thì phương trình (1.3) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần mở ( ) rộng khái niệm khi f Î L W . 2 Định nghĩa 1.1.8. Giả sử u Î H 1 (W), f Î L2 (W), u được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.3) nếu (1.5) được thỏa mãn. Mệnh đề 1.1.2. Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.3) và u Î C 2 (W), f Î C (W) thì u là nghiệm cổ điển, tức là - Vu = f . Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.3), tức là u Î H 1 (W) và ta có (1.5) với mọi hàm j Î D (W), kết hợp với điều kiện u Î C 2 (W) ta suy ra: ò (Vu + f )j dx = 0, " u Î D (W) W ( ) ( ) ( ) Vì D W trù mật trong L W ,Vu + f trực giao với mọi j Î D W nên 2 Vu + f = 0 trong L2 (W). Nhưng vì Vu liên tục nên Vu + f º 0 trong C (W). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.3). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 1.1.2.2 Phát biểu các bài toán biên Bài toán Dirichlet Xét bài toán: íï - Vu = f , x Î W ï ì ïï u = j , x Î ¶ W î (1.6) ( ) trong đó f Î L W . 2 Hàm u Î H 1 (W) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.6) nếu: u - w Î H 01 (W) trong đó w là hàm thuộc H 1 (W), có vết bằng j (1.7) và: ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx , " v Î W H 01 (W) (1.8) W Nhận xét: i) Nghiệm yếu của bài toán (1.6) là nghiệm yếu của phương trình - Vu = f vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u Î H ¥ thỏa mãn (1.8) với mọi v Î C 0 (W) Ì 1 (W) H 01 (W). ii) Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.6) và đặt u, f , j đủ trơn thì nghiệm theo nghĩa cổ điển. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 Bài toán Neumann. Xét bài toán : íï - Vu = f , x Î W ïï ì ¶u ïï = h, x Î ¶ W ïî ¶ v ( ) ( ) trong đó h Î C ¶ W , f Î C W , u Î C 2 (1.9) (W) là nghiệm cổ điển. Nhân hai vế của phương trình - Vu = f với v Î H 1 (W) rồi lấy tích phân ta được: - ò vVudx = ò vfdx W (1.10) W Áp dụng công thức Green vào (1.10) ta có: - òv ¶W ¶W dS + ¶v ò Ñ u Ñ vdx = ò vfdx W W Kết hợp với (1.9) ta suy ra: ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx + ò hvdS , " v Î W W H 1 (W) (1.11) ¶W ( ) ( ) Định nghĩa 1.1.9 Nếu h Î L ¶ W , f Î L W thì nghiệm yếu của bài 2 toán Neumann (1.9) là hàm u Î H 1 2 (W) thỏa mãn (1.1.1). 1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp 1.2.1. Lƣợc đồ lặp hai lớp. Xét bài toán: Ay = f (1.12) trong đó A : H ® H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực hữu hạn chiều H . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f Î H là vecto tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y 0 bất kì thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y 1,y 2 ,..., y k ,... của phương trình (1.12). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2,... , bản chất của những phương pháp này là giá trị y k + 1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: y k , y k + 1,... Phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ y k + 1 có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là: Bk yk + 1 - yk qk+1 + Ay = f , k = 0,1, 2,... (1.13) k trong đó qk + 1 là các tham số lặp. Lược đồ lặp (1.13) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm u của phương trình (1.12) với bất kì toán tử B k và cách trọn tham số qk + 1 . Nếu B k = E thì lược đồ lặp (1.13) được gọi là lược đồ lặp hiện. yk + 1 - yk qk + 1 + Ay = f , k = 0,1, 2,... (1.14) k Trong trường hợp qk = q là hằng số thì lược đồ lặp (1.14) còn gọi là lược đồ lặp đơn giản. Nếu B k ¹ E thì lược đồ lặp (1.31) được gọi là lược đồ ẩn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 1.2.2. Lƣợc đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phƣơng pháp lặp. Lƣợc đồ lặp (1.13) với toán tử B k = B , tham số qk + 1 = q không đổi (k = 0,1, 2,... ) còn đƣợc gọi là lƣợc đồ lặp dừng, có dạng: B yk + 1 - yk q + Ay = f , k = 0,1, 2... (1.15) k Định lý 1.1.9 Nếu A là toán tử đối xứng , xác định dương thì: B> 1 1 qA hay (Bx , x ) > q (Ax, x ), " x Î H 2 2 (1.16) là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.15) trong không gian H A với tốc độ hội tụ cấp số nhân. zk + 1 A £ r zk A , k = 0,1, 2,..., r < 1 (1.17) trong đó 1 æ ö2 çç 2qd d ÷ æ 1 ö÷ B + B* ÷ * ÷ ç ç r = ç1 , d = min l k (A ), d* = min l k çB 0 - qA ÷ ,B = ÷ 2 ÷ ÷ k k ÷ 0 ç çç 2 2 ÷ è ø B ÷ è ø là phần tử đối xứng của toán tử B . Nhận xét. Với B k = B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị q để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E , điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn: æ 1 ö 1 ç ÷ l k çE - qA ÷ = 1 ql (A ) > 0 ÷ ÷ çè 2 ø 2 k hay: 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 1 q A > 0 2 http://www.lrc-tnu.edu.vn/