Tài liệu Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS. TS. NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Lời nói đầu 1 1 3 3 Một số bài toán liên quan 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.3 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert . 10 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 13 1.4 Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 2.3 Thuật toán điểm gần kề mới . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 So sánh hai thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Ứng dụng 30 3.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R tập số thực Rn H không gian véc tơ n chiều tương ứng không gian Hilbert thực A dom A gra A domf epif zer(A) Jr,T NC ∅ hx, yi I toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert miền xác định của toán tử A đồ thị của toán tử A miền hữu hiệu của hàm f tập trên đồ thị của hàm f tập tất cả không điểm của A, A−1 (0) toán tử giải của toán tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng tích vô hướng của hai véc tơ x và y ánh xạ đơn vị 1 Lời nói đầu Bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: kinh tế, tối ưu hóa và các bài toán liên quan đến vật lý... Một trong những phương pháp nổi bật để giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại là phương pháp điểm gần kề được đề xuất nghiên cứu bởi Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi trên Rn và sau này được mở rộng bởi Rockafellar. Mới đây Boikanyo và Morosanu nghiên cứu sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A. Họ giả thiết tập không điểm của toán tử A là khác rỗng và dãy sai số (en ) là giới nội. Trong đề tài luận văn này chúng tôi xét một dãy tạo bởi xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n > 0 và đưa ra điều kiện cần và đủ cho tập không điểm của A là khác rỗng. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu của u lên A−1 (0) không cần giả thiết tính giới nội của (en ). Luận văn được trình bày thành 3 chương với nội dung chính sau: I: Trong chương này trình bày một số kiến thức về khái niệm không gian Hilbert, một số ví dụ minh họa, bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert và thuật toán điểm gần kề cổ điển. II: Trình bày hai thuật toán điểm gần kề và so sánh sự tối ưu của hai thuật toán. III: Trình bày về ứng dụng của thuật toán điểm gần kề trong bài toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân. 2 Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn thể các thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 29 tháng 9 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Vân 3 Chương 1 Một số bài toán liên quan Chương này nhắc lại một số kiến thức về định nghĩa không gian Hilbert, giải tích lồi và phương pháp điểm gần kề. Kiến thức chương này được tham khảo trong tài liệu [1], [2]. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X , một phần tử của X , ta gọi là tổng của x và y , ký hiệu là x + y ; với mỗi α ∈ R và x ∈ X , một phần tử của X gọi là tích của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau: i. x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán). ii. (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp). iii. tồn tại phần tử không của X , ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với mọi x ∈ X . iv. với mọi x ∈ X , tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho x + (−x) = 0 với mọi x ∈ X . v. 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị). vi. α(βx) = (αβ)x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X . vii. (α + β)x = αx + βx, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X . viii. α(x + y) = αx + αy , với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X . 4 Định nghĩa 1.1.2 Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu là h., .i, thỏa mãn các điều kiện sau: i. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H. ii. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. iii. hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R. iv. hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0. Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra i. hx, αyi = αhy, xi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R. ii. hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H. Định nghĩa 1.1.4 Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert. Định lý 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. (1.1) Chứng minh.Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có: 0 ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi. Từ đây suy ra ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ 0 với mọi x, y ∈ H. Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H.  Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. 5 Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi q kxk = hx, xi với mọi x ∈ H. (1.2) Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Hàm số kxk = p hx, xi với mọi x ∈ H là một chuẩn trên H. Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) của Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > 0 nếu x 6= 0 và kxk = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (i) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra kαxk = |α|.kxk với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có: |hx, yi| ≤ kxk.kyk với mọi x, y ∈ H. (1.3) Từ đó với mọi x, y ∈ H ta có: hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi
2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk . Suy ra kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ H.  Định nghĩa 1.1.7 Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2) thì H được gọi là không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.1.8 Không gian ∞ n o X 2 l = x = {xn }n ∈ R : |xn | < +∞ 2 n=1 là không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi = ∞ X n=1 xn yn , x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 6 và chuẩn kxk = q v u∞ ∞ X 1 uX 2 2 2 t hx, xi = |xn | = |xn | . n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng: Zb (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a và chuẩn kxk = Zb ! 12 |x(t)|2 dt . a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng hx, yi = b Z x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]. a Không gian C[a, b] với chuẩn kxk = Z b  12 |x(t)| dt 2 a là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert. Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N là hai dãy lần lượt hội tụ mạnh đến x0 , y0 trong không gian tiền Hilbert thực H. Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞ Chứng minh. Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 trong không gian Hilbert H. Ta sẽ chứng minh n→∞ n→∞ lim hxn , yn i = hx0 , y0 i trong R. n→∞ 7 Thật vậy, |hxn , yn i − hx0 , y0 i| = |hxn , yn i + hxn , y0 i − hxn , y0 i − hx0 , y0 i| ≤ |hxn , yn − y0 i| + |hxn − x0 , y0 i| ≤ kxn k.kyn − y0 k + kxn − x0 k.ky0 k. Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho kxn k ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞  Nhận xét 1.1.12 Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên H × H. Định lý 1.1.13 Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H, ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau: 2 2  2 2 kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk  . Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi và kx − yk2 = hx − y, x − yi = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi. Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.  Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.1.14 Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius:  2 2 kx − yk + kx − zk 2  2 y + z + ky − zk2 . = 4 x − 2 8 Nhận xét 1.1.15 (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành) i. Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo. ii. Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại, nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại một tích vô hướng h., .i sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.16 Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt  1 2 2 kx + yk − kx − yk , hx, yi = 4 (1.4) thì h., .i là một tích vô hướng trên H và ta có hx, xi = kxk2 . Chứng minh. Ta chứng minh h., .i xác định như trên thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (i) và (iv) trong Định nghĩa 1.1.2 hiển nhiên được thỏa mãn. Đặt  1 2 2 p(x, y) = kx + yk − kx − yk . 4 Để ý rằng, h., .i : H × H −→ R là một hàm liên tục và p(x, 0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H. Với mọi x, y, z ∈ H ta có: 4 (p(x, z) + p(y, z)) = kx + zk2 − kx − zk2 + ky + zk2 − ky − zk2   x+y ⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p ,z . (1.5) 2 9 Trong đẳng thức (1.5) lấy y = 0 được p(x, z) = 2p x 2  ,z . (1.6) Như vậy ta có:  x+y 2p ,z 2  = p(x + y, z). Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z). Vậy điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.1.2 được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.6) ta được 2p(x, z) = p(2x, z), ∀x, y, z ∈ H. Bằng quy nạp ta kiểm tra được p(nx, z) = np(x, z), ∀n ∈ N và bằng lập luận như trên ta có: p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và x, z ∈ H. Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có: p(ax, z) = ap(x, z) ∀x, z ∈ H và a ∈ R. Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên hx, xi = p(x, x) = kxk2 . Định lý được chứng minh.  Định nghĩa 1.1.17 i. Dãy {xn }∞ n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim hxn , yi = hx, yi với mọi y ∈ H. n→∞ 10 ii. Dãy {xn }∞ n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu lim kxn − xk = 0. n→∞ Ký hiệu xn * x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn } đến phần tử x ∈ H. Chú ý 1.1.18 i. Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng. ii. Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞. Chứng minh. Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn * x0 và kxn k → kx0 k thì xn → x0 . Với mọi x, ta có: kxn − x0 k2 = hxn − x0 , xn − x0 i = kxn k2 − hx0 , xn i − hxn , x0 i + kx0 k2 . Từ giả thiết suy ra lim kxn k2 = kx0 k2 , x→∞ lim hxn , x0 i = kx0 k2 , x→∞ lim hx0 , xn i = kx0 k2 . x→∞ Do đó lim kxn − x0 k2 = kx0 k2 . x→∞  1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]. 11 Định nghĩa 1.2.2 i. một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. ii. C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại x0 . iii. Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi, nghĩa là ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C. Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C → R ∪ +∞. Ta có các định nghĩa về hàm lồi như sau: Định nghĩa 1.2.3 i. Trên đồ thị của hàm f, Kí hiệu là epif và được định nghĩa bởi công thức sau: epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r}. ii. Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu là domf và được định nghĩa bởi công thức sau: domf := {x ∈ C : f (x) < +∞}. Định nghĩa 1.2.4 Hàm f được gọi là chính phương nếu domf 6= 0 và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C . Định nghĩa 1.2.5 Hàm f : C → R được gọi là i. Lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + f (λx + (1 − λ)f (y), ii. Lồi chặt trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + f (λx + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0, 1). 12 iii. Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với mọi x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta có: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + f (λx + (1 − λ)f (y) 1 − λ(1 − λ)α k x − y k2 . 2 iv. Lõm trên C nếu −f là hàm lõm trên C . Định nghĩa 1.2.6 Giả sử f là hàm lồi trên H. i. Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x nếu hx∗ , x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ H. ii. Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có: ∂f (x) := {x∗ ∈ H : hx∗ , x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ H}. iii. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) 6= 0. Định nghĩa 1.2.7 Cho X, Y ∈ H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y, (F (x) có thể là tập rỗng). Định nghĩa 1.2.8 Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là: i. Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ F (x), tồn tại lân cận mở U của x sao cho: F (x0 ) ⊆ V, ∀x ∈ U. ii. Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn F (x) ⊆ V 6= 0, ∀x ∈ U ∩ domF. iii. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên H nếu F nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm. 13 iv. F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. v. Nếu trên F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H. 1.3 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.3.1 Cho hai không gian tuyến tính X và Y . Một ánh xạ A : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: i. A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ X . ii. A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và mọi α ∈ R. Chú ý 1.3.2 i. Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.3.1 tương đương với: A(α1 x1 + α2 x2 + ... + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + ... + αk Axk , với mọi xi ∈ X với mọi αi ∈ R, i = 1, . . . , k . ii. Nếu Y ≡ X thì ta cũng nói A là toán tử trong X . Ký hiệu R(A) là miền giá trị của toán tử A, tức là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho y = Ax với một x ∈ X nào đó. Nếu y1 , y2 ∈ R(A) thì α1 y1 + α2 y2 ∈ R(A) với mọi α1 , α2 ∈ R nên R(A) là một không gian con của Y . Định nghĩa 1.3.3 Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn (giới nội), nghĩa là tồn tại một hằng số dương K sao cho: kAxk ≤ K kxk ∀x ∈ X. Định lý 1.3.4 Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y được gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số K > 0 sao cho: kAk = sup x6=0 kAxk = sup kAxk ≤ K. kxk k6=1 14 Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r), nghĩa là S(a, r) = {x ∈ X : kx − ak = r}. Hệ quả 1.3.5 Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn. Chứng minh. Thật vậy, giả sử kAxk ≤ N với mọi x ∈ S(x0 , α). Khi đó, với mọi x mà kxk = 1 thì αx + x0 ∈ S , cho nên A(αx + x0 ) ≤ N , và do đó kAαx + Ax0 k ≤ N hay α kAxk ≤ N + kAx0 k . Từ đó suy ra kAxk ≤ (N + kAx0 k)/α. Vậy theo Định lý 1.3.4 ta có: sup x6=0 kAxk = sup kAxk ≤ K, kxk k6=1 với K = (N + kAx0 k)/α.  Ví dụ 1.3.6 Toán tử A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định bởi Z (Ax)(t) = 1 x(s)ds, t ∈ [0, 1] 0 là toán tử tuyến tính liên tục. Thật vậy, áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có t 2  1 2 Z Z Z1 x(s)ds ≤  |x(s)| ds ≤ |x(s)|2 ds = kxk2 , 0 0 0 với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra, A bị chặn. Do đó  2  Z1 Z t    x(s)ds dt ≤ kxk2 .     0 Suy ra, A bị chặn. 0 15 Dễ dàng thấy rằng, A là một toán tử tuyến tính. Do đó, A là toán tử tuyến  tính liên tục. Ví dụ 1.3.7 Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) = (η1 , η2 , . . . , ηm ) với ηi = k X aij ξj i = 1, 2, 3, . . . , m, (1.7) j=1 trong đó aij là những hằng số. Ma  a11  ..  . am1 trận  . . . a1k ..  ... .  · · · amk là ma trận của toán tử A. Thật vậy, (1.7) là dạng tổng quát của toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm . Cho A là toán tử tuyến tính bất kì từ Rk vào Rm . Gọi e1 , e2 , . . . , ek và f1 , f2 , . . . , fk là các cơ sở của Rk và Rm sao cho với mọi x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk )T ∈ Rk , y = (η1 , η2 , . . . , ηm )T ∈ Rm : x= k X ξj ej j=1 và y= m X ηi f i , i=1 với e1 = (1, 0, . . . , 0)T , e2 = (0, 1, . . . , 0)T , . . . , ek = (0, 0, . . . , 1)T , f1 = (1, 0, . . . , 0)T , f2 = (0, 1, . . . , 0)T , . . . , fm = (0, 0, . . . , 1)T . Vì A là toán tử tuyến tính nên Ax = k X j=1 ξj (Aej ). 16 Đặt Ax = (η1 , η2 , . . . , ηm ), Aej = (a1j , a2j , . . . , amj ) ta có (1.7). Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.  Định nghĩa 1.3.8 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là: i. L-liên tục Lipschitz trên C , nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C. Nếu 0 < L < 1 thì A là ánh xạ co, nếu L = 1 thì A là ánh xạ không giãn. ii. bị chặn trên C , nếu với mỗi tập con khác rỗng, bị chặn B của C , tồn tại hằng số dương kB chỉ phụ thuộc vào tập B sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≤ kB kx − yk ∀x, y ∈ B. iii. bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C , A là ánh xạ liên tục Lipschitz trên B . Định nghĩa 1.3.9 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là: i. Đơn điệu trên C nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C. ii. η -đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C.