Tài liệu Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h liên tục và ngược đơn điệu mạnh

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH GIANG THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU H-LIÊN TỤC VÀ NGƯỢC ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 4 1 Một số khái niệm cơ bản 5 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ánh xạ đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8 1.4.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 9 2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 15 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 15 2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh . . . . . . . . 20 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của các giáo sư Viện Toán học, Viện Công Nghệ Thông Tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học ở Trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Giáo sư Nguyễn Bường, thầy đã tận tình hướng đẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng đẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn theo sát động viên, chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận văn . Hải Phòng, tháng 07 năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Rất nhiều bài toán của thực tiễn khoa học, công nghệ dẫn đến bài toán đặt không chỉnh (ill- posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán ( khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiên ban đầu. Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kì trong lời giải Mục đích của bài báo này là giới thiệu một phương án hiệu chỉnh của thuật toán điểm gần kề quán tính tìm một phần tử chung của các tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu và h-liên tục và một họ hữu hạn các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh {Ai }N i=1 từ một tập đóng lồi K vào không gian Hilbert H . Thuật toán điểm gần kề quán tính được đề xuất bởi Alvarez [1] cho bài toán cực trị lồi. Sau đó Attouch và Alvarez xét mở rộng thuật toán đó cho toán tử đơn điệu cực đại [2]. Mới đây Moudafi sử dụng thuật toán này để giải bất đẳng thức biến phân [9], Moudafi và Elisabeth [8] nghiên cứu thuật toán này với việc sử dụng, mở rộng toán tử đơn điệu cực đại và Moudafi cùng Oliny xét kết hợp thuật toán này với quá trình tách [7]. Kết quả của nghiên cứu này vẫn là sự hội tụ yếu trong không gian Hillbert. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Trong luận văn này bằng cách đưa ra quá trình hiệu chỉnh Browder – Tikhonow chúng tôi chỉ ra rằng việc công thêm thành phần hiệu chỉnh vào thuật toán điểm gần kề quán tính, ta thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán cho trường hợp tổng quát hơn khi Ai, i = 1,. . . , N, N > 1, là các ánh xạ ngược đơn điệu mạnh từ K vào H, và A là đơn điệu và h- liên tục tại u thuộc K. Luận văn này gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản. Các vấn đề liên quan đến đề tài và bài toán đặt không chỉnh được trình bày trong chương này. Chương 2 trình bày thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho ánh xạ đơn điệu h-liên tục và ngược đơn điệu mạnh. Thái Nguyên, tháng ... năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Không gian Hilbert thực ký hiệu là H Không gian Banach thực ký hiệu là X Không gian liên hợp của X ký hiệu là X ∗ Tập rỗng ký hiệu là φ Với mọi x ký hiệu là ∀x Infimum của tập {F (x) : x ∈ X} ký hiệu là inf F (x) x∈X Ánh xạ đơn vị ký hiệu là I Miền giá trị của toán tử Aký hiệu là R(A) Miền xác định của toán tử Aký hiệu là D(A) Ma trận chuyển vị của ma trận Aký hiệu là AT Toán tử liên hợp của A ký hiệu là A∗ Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x ký hiệu là xn → x Kí hiệu tập nghiệm của hA (u∗ ) , x − u∗ i ≥ 0 là VI(K,A) Ngược đơn điệu mạnh là λi Một họ hữu hạn các ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H là {Ai }N i=1 Tập điểm bất động của ánh xạ T là F (T ) Kí hiệu tập không ánh xạ B là SB {Cn } và {γn } :Là 2 dãy số thực Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản Chương này gồm hai vấn đề chính nhằm mục đích nhắc lại không gian Hillbert, ánh xạ đơn điệu ánh xạ ngược đơn điệu mạnh và khái niệm về bài toán đặt không chỉnh. 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: 1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2) kx + yk 6 kxk + kyk , ∀x, y ∈ X; 3) kαxk = |α| . kxk , ∀x ∈ X, α ∈ R. Định nghĩa 1.2. Cặp (H, h, i) trong đó H là một không gian tuyến tính và h, i : H × H → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1. hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0 2. hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H 3. hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H 4. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. L2[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a,b] Rb 2 f : f (x) dx < +∞ với f ∈ L2[a,b] là một không gian Hilbert với tích vô a hướng Zb hf, gi = f (x) g (x) dx a và chuẩn Zb  21  kf kL2 [a,b] = f 2 (x)dx a 1.2 Ánh xạ đơn điệu Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được kí hiệu tương ứng bởi h., .i và k.k. Cho K là một tập con lồi và đóng trong H . Một ánh xạ A từ K vào H được gọi là đơn điệu ,nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 với mọi x, y ∈ K . Bài toán bất đẳng thức biến phân là tìm một phần tử u∗ ∈ K sao cho hA(u∗ ), x − u∗ i ≥ 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) 7 với mọi x ∈ K . Kí hiệu tập nghiệm của (1,1) là V I(K, A). 1.3 Ánh xạ ngược đơn điệu mạnh Một ánh xạ Ai từ K vào H được gọi là λi ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một số dương λi sao cho hAi (x) − Ai (y), x − yi ≥ λi kAi (x) − Ai (y)k2 , (1.2) với mọi x, y ∈ K . Dễ dàng nhận thấy mọi ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh Ai là đơn điệu và Lipschitz liên tục với hằng số 1/λi . Do đó ,ta chỉ xét trường hợp 0 < λi < 1. Cho {Ai }N i=1 là một họ hữu hạn các ánh xạ λi ngược đơn điệu mạnh từ K vào H với các tập nghiệm Si = {x ∈ K : Ai (x) = 0}. Đặt S = ∩N i=1 Si . Giả thiết là V I(K, A) ∩ S 6= ∅. Bài toán được xét trong luận văn này là tìm một phần tử u∗ ∈ V I(K, A) ∩ S. (1.3) Như ta đã biết [13] đối với một ánh xạ không gian bất kỳ T từ K vào H , tức là , T thoả mãn điều kiện kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ K , thì ánh xạ B := I − T là 1/2 ngược đơn điệu mạnh. Vì vậy, bài toán tìm một phần tử thuộc V I(K, A) ∩ F (T ), ở đây F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T , là tương đương với việc tìm một phần tử thuộc V I(K, A) ∩ SB , ở đây SB kí hiệu tập không ánh xạ B , và nó được chứa trong lớp bài toán (1.3). Trường hợp , khi A là λ ngược đơn điệu mạnh A1 = I − T ở đây T là không giãn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1.4 1.4.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Định nghĩa 1.3. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y. Bài toán ở dạng phương trình toán tử A (x) = f, (1.4) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu 1. Phương trình A (x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2. Nghiệm này duy nhất; 3. Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Định nghĩa 1.4. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y. Bài toán (1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Chú ý 1.1. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f, có nghiệm là x = R(f ), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y) nếu với mỗi ε > 0, ∃δ (ε) > 0 sao cho từ ρY (f1 , f2 ) 6 δ (ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) 6 ε, ở đây xi = R (fi ) , xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2 Chú ý 1.2. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên không gian khác. Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.4) dữ kiện Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f. Giả sử toán tử A được cho chính xác, còn vế phải f ( có được do đo đạc ) cho bởi fδ thỏa mãn ρY (f, fδ ) 6 δ . Như vậy, với (fδ , δ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x0 của (1.4) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ bài toán đặt không chỉnh (1.4). Chú ý 1.3. Gọi x (δ)là nghiệm của (1.1) với f thay bởi fδ ( giả thiết rằng nghiệm tồn tại ). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. Ví dụ 1.2. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.4) (vô hạn chiều) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử dãy {xn } chỉ hội tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và yn = A(xn ), A(x). khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hộitụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặt chỉnh. 1.4.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Ví dụ 1.3. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I Zb K (x, s) ϕ (s) ds = f0 (x) , x ∈ [a, b] , a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.5) 10 ở đây nghiệm là một hàm ϕ (x), vế phải f0 (x) là một hàm cho trước, ∂K (x, s) K(x,s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x,s) cùng với ∂x liên tục trên hình vuông [a, b]x[a, b]. Ta xét hai trường hợp sau: • Trường hợp 1 A : C [a, b] → L2 [a, b] Rb ϕ (x) 7→ f0 (x) = K (x, s) ϕ (s) ds a Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2 [a, b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f0 (x),f1 (x) trong L2 [a, b] được cho bởi Zb  21  ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) =  |f0 (x) − f1 (x)|2 dx a Giả sử phương trình (1.5) có nghiệm là ϕ0 (x). Khi đó với vế phải Zb f1 (x) = f0 (x) + N K (x, s) sin (ωs) ds a thì phương trình này có nghiệm ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin (ωx) Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong không gian L2 [a, b] là   2  12 b b Z Z    ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N|  K (x, s) sin (ωs) ds dx a a có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt Kmax = max |K (x, s)| , x∈[a,b],s∈[a,b] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 ta tính được ρL2 [a, b] (f0 , f1 ) ≤ |N| ≤   R 2  21  b Kmax 1 cos (ωs) dx ω a |N|Kmax c0 ω ở đâyc0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng N/ω lại nhỏ. Trong khi đó ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N| x∈[a,b] có thể lớn bất kì. • Trường hợp 2 A : L2 [a, b] → L2 [a, b] Rb ϕ (x) 7→ f0 (x) = K (x, s)ϕ (s) ds a Tương tự , ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 , ϕ1 trong không gian L2 [a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy ,  b  12  b  21 Z Z ρL2[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) =  |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx = |N|  sin2 (ωx) dx a a r = |N| b−a 1 − sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a)) 2 2ω Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2 [a,b] (f0 f1 ) rất nhỏ nhưng ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) lại rất lớn. Ví dụ 1.4. Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ (y) = y trên đoạn thẳng y = λ0 x + y0 nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng 0xy. Ở đây λ0 và y0 là những số cho trước và y0 > 0. Giả sử λ0 = 0 và thay cho λ0 ta có λδ : |λδ − λ0 | < δ . Ta xét các trường hợp: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 • Trường hợp 1: λδ > 0. Ta có λδ = λ1 = λ0 + 2δ . Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d1 : y = λ1 x+y0 . Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d1 nằm trong vùng {x > 0, y > 0} đạt được tại điểm (0, y0 ). Điều đó có nghĩa là khi x = 0 thìϕ (0) = y0 . • Trường hợp 2: λδ < 0. Ta có λδ = λ2 = λ0 − 2δ . Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d2 : y = λ2 x+y0 . Do λδ < 0 cho nên đường thẳng d2 cắt trục 0x tại một điểm x2 (δ) nào đó. Giá trị cực tiểu của phiếm hàm ϕ (y) trên một phần của d2 nằm trong vùng {x > 0, y > 0} đạt được tại điểm x2 (δ), 0 tức là tại x = x2 (δ) ta có ϕ (x2 (δ)) = 0. Như vậy với |λ1 − λ2 | < δ ta có     min ϕ (y) − min ϕ (y) = |y0 − 0| = y0 > 0,   λ1 λ2 ở đây y0 có thể lớn tùy ý, bài toán này không ổn định. Ví dụ 1.5. Xét phương trình toán tử A(x) = f với A là một ma trận vuông cấp M = 5 được xác định bởi  1 1 1 1   1 1.0001 1 1  1 1 1.0001 1   1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1  1        1 1 1.0001 và vế phải f=  5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên T ∈ R5 . http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm  T x= 1 1 1 1 1 ∈ R5 . Nếu  A = Ah1 1    1 1.0001 1 1 1  = 1 1.0001 1 1 1  1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 1        1 1 1 1 và f=  5 5.0001 5.0001 5.0001 5 T ∈ R5 . thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu 1    1 1.0001 1 1 1  = 1 1.0001 1 1 1  1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 1         A = Ah2 1 1 1 1 và f=  5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 T ∈ R5 . thì phương trình vô nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán A(x) = f , nên người ta thường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗ − chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 ∈ X thỏa mãn A(x0 ) = f, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 và kx0 − x∗ k = min {kx − x∗ k : A (x) = f } . Bằng cách chọn x∗ , ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chương 2 Thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Chương này giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính, tìm nghiệm cho phương trình với toán tử đơn điệu, sau đó xét kết hợp thuật toán này với phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm chung cho một họ các phương trình với toán tử đơn điệu. 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính 2.1 Giới thiệu thuật toán điểm gần kề quán tính. Chúng ta sẽ sử dụng kết quả đơn giản của hội tụ yếu trong không gian Hilbert.  Bổ đề 2.1: Gọi H là một tập trong không gian Hilbert và xk là một dãy sao cho tồn tại một tập không rỗng S ⊂ H thoả mãn:   a) Với mọi z ∈ S , tồn tại limk→∞ xk − z  b) Nếu xkj * x trong H khi cho dãy kj → ∞ thì x ∈ S .Khi đó tồn tại x̂ ∈ S sao cho xk * x̂ trong H khi cho k → ∞. Chứng minh: Theo lập luận của Z. Opial [14]. Lấy x̂1 , x̂2 ∈ S là hai  k 2  k  điểm tụ yếu của dãy x trong H . Đặt li = limk→∞ x − x̂i  khi cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 i = 1; 2 . Lấy một dãy kj → ∞ sao cho xkj * x̂1 trong H . Từ đẳng thức này suy ra:  k    x − x̂1 2 xk − xk − x̂2 2 = |x̂1 − x̂2 |2 + 2hx̂1 − x̂2 , x̂2 − xk i Ta suy ra l1 − l2 = − |x̂1 − x̂2 |2 .Tương tự lấy km → ∞ sao cho xkm → x̂2 dẫn đến l1 − l2 = |x̂1 − x̂2 |2 . Suy ra |x̂1 − x̂2 | = 0. Điều này thiết lập tính duy nhất của điểm tụ yếu xk * x̂ trong H khi k → ∞ với x̂ ∈ S (đpcm). Dựa trên bổ đề của Opial ta chứng minh định lí sau:  Định lí 2.1: Cho xk ⊂ H là một dãy được xác định bởi

xk+1 = JλAk xk + αk xk − xk−1 , k = 1, 2, ... Với A : H → P (H) là một toán tử đơn điệu cực đại với S := A−1 (0) 6= ∅ và các tham số λk và αk thoả mãn: i)tồn tại λ > 0 sao cho ∀k ∈ N ,λk ≥ λ ii) tồn tại α ∈ [0, 1] sao cho ∀k ∈ N ,0 6 αk 6 α Nếu điều kiện sau được thoả mãn thì ∞ X  2 αk xk − xk−1  < ∞. (2.1) k=1 Khi đó tồn tại x̂ ∈ S sao cho xk * x̂ trong H khi cho k → ∞. Chứng minh: Đầu tiên ta xét trường hợp αk = 0 tương ứng với thuật toán điểm gần kề cổ điển. Cố định z ∈ S = A−1 (0) và xét dãy thực  2 ϕk := 1/2 xk − z  . Khi đó dễ dàng kiểm tra được ∀k ∈ N k+1 ϕk+1 = ϕk + hx k k+1 − x ,x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  k+1  k 2  − zi − 1/2 x −x . http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Nếu αk = 0 thì 0 ∈ xk+1 − xk + λk A(xk+1 ) và từ tính đơn điệu của A ta có hxk+1 − xk , xk+1 − zi 6 0 Vì vậy :  2 ϕk+1 − ϕk 6 −1/2 xk+1 − xk  (2.2) Do đó {ϕk } không tăng, vì vậy hội tụ. Vì z là một phần tử bất kì của S nên điều kiện a) của bổ đề 2.1 được thoả mãn. Mặt khác, từ (2.2) ta có: ∞ X  2  k+1 2 x − xk  6 2ϕ = x1 − z  , k=1   và dãy xk+1 − xk  → 0 khi k → ∞. Vì λk bị chặn dưới bởi một hằng số lớn hơn 0, ta suy ra khoảng cách  (0, A(xk )) → 0 khi k → ∞. Cho x là một điểm tụ yếu của dãy xk . Vì đồ thị của một ánh xạ đơn điệu cực đại A là đóng trong H × H và yếu H × mạnh H , ta có định lí được chứng minh khi αk ≡ 0. Bây giờ chúng ta xét trường hợp αk > 0 khi k ∈ N. .Ta có : hxk+1 − xk − αk (xk − xk−1 ), xk+1 − zi + λhA(xk+1 ), xk+1 − zi = 0 Và tính đơn điệu cực đại của A cho ta : hxk+1 − xk − αk (xk − xk−1 ), xk+1 − zi 6 0 Bây giờ, ta viết lại bất đẳng thức dựa vào ϕk−1 ,ϕk và ϕk+1 . Ta thấy : hxk+1 − xk − αk (xk − xk−1 ), xk+1 − zi  1  k+1 k 2 = ϕk+1 − ϕk + x − x − αk hxk − xk−1 , xk+1 − zi 2 Và vì hxk − xk−1 , xk+1 − zi = hxk − xk−1 , xk − zi + hxk − xk−1 , xk+1 − xk i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn