Tài liệu Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian bannach

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N V‹N HƒI THUŠT TON IšM G†N K— ×ÍNG DÈC NH‡T GIƒI MËT LÎP B‡T NG THÙC BI˜N PH…N TRONG KHÆNG GIAN BANNACH THI NGUY–N, 10/2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N V‹N HƒI THUŠT TON IšM G†N K— ×ÍNG DÈC NH‡T GIƒI MËT LÎP B‡T NG THÙC BI˜N PH…N TRONG KHÆNG GIAN BANNACH Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng M¢ sè: 8460112 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC TŠP THš GIO VI–N H×ÎNG DˆN GS.TS. NGUY™N B×ÍNG TS. NGUY™N THÀ THÓY HOA THI NGUY–N, 10/2018 iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach 4 1.1 1.2 nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 To¡n tû gi£i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach10 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u v  ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t . . . . . . 1.2.2 10 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷íng dèc nh§t x§p x¿ nghi»m b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 17 2.1 2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Giîi h¤n Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n v  sü hëi tö . . . . . . . . 18 Ph÷ìng ph¡p l°p hi»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 24 Mæ t£ ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . iv 2.2.2 Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 V½ dö minh håa 35 K¸t luªn T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 1 B£ng kþ hi»u H E E∗ SE R R+ ∅ ∀x D(A) R(A) A−1 I d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn * x0 J j Fix(T ) ∂f khæng gian Hilbert thüc khæng gian Banach khæng gian èi ng¨u cõa E m°t c¦u ìn và cõa E tªp c¡c sè thüc tªp c¡c sè thüc khæng ¥m tªp réng vîi måi x mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A mi·n £nh cõa to¡n tû A to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A to¡n tû çng nh§t kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f 2 Mð ¦u Cho E l  khæng gian Banach thüc. Kþ hi»u E ∗ l  khæng gian li¶n hñp cõa E , hx∗ , xi l  gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc x∗ ∈ X ∗ t¤i x ∈ E v  chu©n cõa E v  ∗ ·u kþ hi»u l  k · k. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach E ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho C l  mët tªp con lçi âng, kh¡c réng cõa khæng gian Banach thüc E , F : E → E l  mët ¡nh x¤ x¡c ành tr¶n E . T¼m ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), j(x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1) ð ¥y j l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà cõa E , ¡nh x¤ F l  ¡nh x¤ gi¡, C l  tªp r ng buëc. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1966 khi P. Hartman v  G. Stampacchia cæng bè nhúng nghi¶n cùu ¦u ti¶n cõa m¼nh v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n li¶n quan tîi vi»c gi£i c¡c b i to¡n bi¸n ph¥n, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v  c¡c b i to¡n bi¶n trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian væ h¤n chi·u v  c¡c ùng döng cõa nâ ÷ñc giîi thi»u trong cuèn s¡ch "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" cõa D. Kinderlehrer v  G. Stampacchia xu§t b£n n«m 1980 v  trong cuèn s¡ch "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" cõa C. Baiocchi v  A. Capelo xu§t b£n n«m 1984. Luªn v«n tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1) trong khæng gian Banach lçi ·u, câ chu©n kh£ vi G¥teaux 3 ·u vîi tªp r ng buëc C l  tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ m- j -ìn i»u. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cõa khæng gian Banach lçi ·u, câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c, ¡nh x¤ j -ìn i»u, to¡n tû gi£i trong khæng gian Banach; çng thíi tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t, ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ m-j -ìn i»u trong khæng gian Banach. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t (mët ph÷ìng ph¡p l°p ©n v  hai ph÷ìng ph¡p l°p hi»n) gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi ¡nh x¤ gi¡ l  ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh v  gi£ co ch°t, tªp r ng buëc l  tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ m-j -ìn i»u trong khæng gian Banach lçi ·u câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håc Th¡i Nguy¶n. ¦u ti¶n, tæi xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c ¸n th¦y GS.TS. Nguy¹n B÷íng, ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin gûi c¡m ìn ¸n c¡c quþ Th¦y Cæ trong khoa To¡n - Tin cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t ki¸n thùc v  kinh nghi»m quþ b¡u cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi håc tªp t¤i tr÷íng. Tæi xin gûi c¡m ìn ¸n c¡c quþ Th¦y Cæ trong Pháng  o t¤o cõa Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y. Cuèi còng, tæi xin gûi líi c¡m ìn ¸n gia ¼nh v  b¤n b± ¢ ëng vi¶n, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n V«n H£i 4 Ch÷ìng 1 Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach Ch÷ìng n y tr¼nh b y trong hai möc. Möc 1.1 giîi thi»u kh¡i ni»m v  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Banach lçi ·u câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c, ¡nh x¤ j -ìn i»u v  to¡n tû gi£i trong khæng gian Banach. Möc thù hai cõa ch÷ìng giîi thi»u v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u trong khæng gian Banach, tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· trong tr÷íng hñp °c bi»t t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j -ìn i»u. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð c¡c t i li»u [1][3], [11][14] v  c¡c t i li»u ÷ñc tham chi¸u trong â. 1.1 nh x¤ j -ìn i»u Cho E l  khæng gian Banach vîi khæng gian èi ng¨u kþ hi»u l  E ∗ . Ta dòng kþ hi»u k.k cho chu©n trong E v  E ∗ v  vi¸t t½ch èi ng¨u hx, x∗ i thay cho gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ E ∗ t¤i iºm x ∈ E , tùc l  hx, x∗ i = x∗ (x). Vîi mët ¡nh x¤ A : E → 2E , ta s³ ành ngh¾a mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà v  ç thà cõa nâ t÷ìng ùng 5 nh÷ sau: D(A) = {x ∈ E : A(x) 6= ∅}, R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)}, v  G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}. nh x¤ ng÷ñc A−1 cõa ¡nh x¤ A ÷ñc ành ngh¾a bði: x ∈ A−1 (y) n¸u v  ch¿ n¸u y ∈ A(x). 1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u ành ngh¾a 1.1.1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  ph£n x¤, n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E ∗∗ , khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E , ·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ . N¸u E l  khæng gian Banach ph£n x¤ th¼ måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. â l  nëi dung cõa ành lþ sau ¥y. ành lþ 1.1.2 (xem [3]) Cho E l  khæng gian Banach. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) E l  khæng gian ph£n x¤. (ii) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u. Kþ hi»u SE := {x ∈ E : kxk = 1} l  m°t c¦u ìn và cõa khæng gian Banach E . Sau ¥y l  ành ngh¾a khæng gian Banach lçi ch°t v  lçi ·u. ành ngh¾a 1.1.3 (i) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ch°t n¸u vîi måi iºm x, y ∈ SE , x 6= y , suy ra k(1 − λ)x + λyk < 1 ∀λ ∈ (0, 1). 6 (ii) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ·u n¸u vîi måi ε ∈ (0, 2] v  c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thäa m¢n th¼ tçn t¤i δ = δ(ε) > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ . Mèi li¶n h» giúa khæng gian Banach lçi ·u, lçi ch°t v  ph£n x¤ ÷ñc cho bði ành lþ d÷îi ¥y. ành lþ 1.1.4 (xem [3]) Måi khæng gian Banach lçi ·u ·u l  lçi ch°t v  ph£n x¤. ành ngh¾a 1.1.5 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  trìn n¸u vîi méi iºm x n¬m tr¶n m°t c¦u ìn và SE tçn t¤i duy nh§t mët phi¸m h m gx ∈ E ∗ sao cho hx, gx i = kxk v  kgx k = 1. ành ngh¾a 1.1.6 (i) Chu©n cõa khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux n¸u vîi méi y ∈ SE giîi h¤n kx + tyk − kxk (1.1) lim t→0 t tçn t¤i vîi x ∈ SE , kþ hi»u hy, 5kxki. Khi â 5kxk ÷ñc gåi l  ¤o h m G¥teaux cõa chu©n. (ii) Chu©n cõa E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi méi y ∈ SE , giîi h¤n (1.1) ¤t ÷ñc ·u vîi måi x ∈ SE . Mèi li¶n h» giúa khæng gian Banach trìn v  t½nh kh£ vi G¥teaux cõa chu©n ÷ñc cæng bè trong ành lþ sau. ành lþ 1.1.7 (xem [3]) Khæng gian Banach E l  trìn khi v  ch¿ khi chu©n cõa E kh£ vi G¥teaux tr¶n E \ {0}. 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ành ngh¾a 1.1.8 nh x¤ Js : E → 2E , ∗ s > 1 (nâi chung l  a trà) x¡c ành bði Js x = {uq ∈ E ∗ : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxks−1 }, 7 ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach E . Khi s = 2, ¡nh x¤ J2 ÷ñc kþ hi»u l  J v  ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E . Tùc l  Jx = {u ∈ E ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}. Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c l  ¡nh x¤ ìn và I . Kþ hi»u j ch¿ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà. ành ngh¾a 1.1.9 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J : E → E ∗ cõa khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  (i) Li¶n töc y¸u theo d¢y n¸u J ìn trà v  vîi måi d¢y {xn } hëi tö y¸u v· iºm x th¼ Jxn hëi tö y¸u v· Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E ∗ . (ii) Li¶n töc m¤nh-y¸u∗ n¸u J ìn trà v  vîi måi d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· iºm x th¼ Jxn hëi tö y¸u v· Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E ∗ . T½nh ìn trà cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c câ mèi li¶n h» vîi t½nh kh£ vi G¥teaux cõa chu©n cõa khæng gian Banach. ành lþ 1.1.10 (xem [3]) Cho E l  khæng gian Banach vîi ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J : E → 2E . Khi â c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) E l  khæng gian trìn. (ii) J l  ìn trà. (iii) Chu©n cõa E l  kh£ vi G¥teaux vîi 5kxk = kxk−1 Jx. ành lþ 1.1.11 (xem [3]) Cho E l  khæng gian Banach câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Khi â ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c j : E → E ∗ l  li¶n töc ·u m¤nh-y¸u∗ tr¶n måi tªp con bà ch°n trong E . ∗ 1.1.3 nh x¤ j -ìn i»u ành ngh¾a 1.1.12 nh x¤ A : E → E ÷ñc gåi l  8 (i) η -j -ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè η > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ A, ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ηkx − yk2 , j(x − y) ∈ J(x − y); (ii) α-j -ìn i»u m¤nh ng÷ñc (hay α-çng bùc j -ìn i»u) n¸u tçn t¤i h¬ng sè α > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ αkAx − Ayk2 , j(x − y) ∈ J(x − y); (iii) j -ìn i»u n¸u vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y); (vi) j -ìn i»u cüc ¤i n¸u A l  ¡nh x¤ j -ìn i»u v  ç thà G(A) cõa ¡nh x¤ A khæng thüc sü bà chùa trong b§t k¼ mët ç thà cõa mët ¡nh x¤ j -ìn i»u kh¡c; (v) m-j -ìn i»u n¸u A l  ¡nh x¤ j -ìn i»u v  R(A + I) = E , ð ¥y R(A) l  kþ hi»u mi·n gi¡ trà cõa ¡nh x¤ A. Bê · 1.1.13 (xem [7]) Cho E l  khæng gian Bannach thüc v  trìn. Khi â, kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i ành ngh¾a 1.1.14 Cho C ∀x, y ∈ E. l  tªp con kh¡c réng cõa khæng gian Banach E . (i) nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz n¸u tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C. (1.2) (ii) Trong (1.2), n¸u L ∈ [0, 1) th¼ T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ co; n¸u L = 1 th¼ T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ khæng gi¢n. 9 ành ngh¾a 1.1.15 nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ γ -gi£ co ch°t n¸u tçn t¤i h¬ng sè γ ∈ (0, 1) v  j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx−yk2 −γk(I−T )x−(I−T )yk2 ∀x, y ∈ C, (1.3) vîi γ l  h¬ng sè khæng ¥m cè ành. Trong (1.3), n¸u γ = 0 th¼ T ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ gi£ co. Nhªn x²t 1.1.16 (xem [3]) (i) N¸u F : E → E l  ¡nh x¤ γ -gi£ co ch°t th¼ F l  ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz vîi L = 1 + 1/γ . (ii) Måi ¡nh x¤ khæng gi¢n ·u l  ¡nh x¤ gi£ co li¶n töc. Bê · 1.1.17 (xem [7]) Cho E l  khæng gian Bannach thüc v  trìn, ¡nh x¤ F : E → E l  ¡nh x¤ η-j -ìn i»u m¤nh v  γ -gi£ co ch°t, vîi η + γ > 1. Khi â λ ∈ p (0, 1), I − λF l  ¡nh x¤ co vîi h¬ng sè co 1 − λτ, trong â τ = 1 − (1 − η)/γ. 1.1.4 To¡n tû gi£i Thuªt ngú "resolvent" l  mët thuªt ngú ÷ñc °t ra bði Fredholm v o cuèi th¸ k 19 khi æng b­t ¦u mët nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ph¡t sinh tø vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng. Tham sè λ l  mët ph¦n cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, v  tham sè n y ban ¦u ¢ t¡ch ra khäi c¡c bi¸n, kÿ thuªt ÷ñc t¤o ra bði Fourier v o ¦u th¸ k 19 º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng. Mët ¡nh x¤ A ÷ñc gåi l  thäa m¢n i·u ki»n mi·n n¸u D(A) ⊂ R(I + λA) ∀λ > 0, ð ¥y D(A) l  bao âng cõa mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ A. (1.4) 10 ành ngh¾a 1.1.18 Cho E l  mët khæng gian Banach, A : D(A) ⊂ E → 2E l  mët ¡nh x¤ j -ìn i»u thäa m¢n i·u ki»n mi·n (1.4). Khi â vîi méi λ > 0 ¡nh x¤ JλA : R(I + λA) → D(A) x¡c ành bði JλA = (I + λA)−1 (1.5) ÷ñc gåi l  to¡n tû gi£i cõa A. To¡n tû gi£i cõa A câ t½nh ch§t sau ¥y. Bê · 1.1.19 (xem [15]) N¸u c2 ≥ c1 > 0 th¼ vîi måi x ∈ E. Bê · 1.1.20 (xem [15]) Vîi b§t ký hai sè d÷ìng λ v  µ ta luæn câ     kx − JcA1 xk ≤ 2kx − JcA2 xk JλA x = JµA µ A µ x+ 1− J x λ λ λ ∀x ∈ E. M»nh · 1.1.21 (xem [11]) Cho E l  mët khæng gian Bannach v  cho A l  mët ¡nh x¤ j -ìn i»u trong E sao cho D(A) ⊂ R(I +tA) vîi måi t > 0. Khi â, 1 A 1 kJt x − JrA JtA xk ≤ kx − JtA xk vîi måi x ∈ R(I + tA) v  r, t > 0. r t 1.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u v  ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t Cho E l  khæng gian Banach thüc, C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa E v  j : E → E ∗ l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà cõa E . Trong ph¦n n y ta luæn gi£ thi¸t ¡nh x¤ F : E → E l  ¡nh x¤ ìn trà. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u vîi ¡nh x¤ gi¡ F v  tªp r ng buëc C , kþ hi»u l  VI∗ (F, C), ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ C thäa m¢n: hF x∗ , j(x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.6) 11 Kþ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) l  S ∗. ành ngh¾a 1.2.1 nh x¤ QC : E → C ÷ñc gåi l  ph²p co rót khæng gi¢n theo tia tø E l¶n C n¸u QC thäa m¢n: (i) QC l  ph²p co rót tr¶n C , tùc l  Q2C = QC ; (ii) QC l  ¡nh x¤ khæng gi¢n; (iii) QC l  ¡nh x¤ theo tia, tùc l  vîi måi 0 < t < ∞ QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x). Tªp C ÷ñc gåi l  tªp co rót khæng gi¢n theo tia n¸u tçn t¤i ph²p co rót khæng gi¢n theo tia QC tø E l¶n C . Sü tçn t¤i cõa ph²p co rót tø khæng gian Banach E l¶n tªp lçi C ÷ñc cho trong bê · d÷îi ¥y. Bê · 1.2.2 (xem [3]) Måi tªp con C lçi âng cõa khæng gian Banach lçi ·u E ·u l  tªp co rót cõa E , tùc l  tçn t¤i ph²p co rót tø E l¶n C . Bê · 1.2.3 (xem [10]) Cho C l  tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa khæng gian Banach trìn E v  QC : E → C l  ph²p co rót tø E l¶n C . Khi â, c¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) QC l  ¡nh x¤ khæng gi¢n theo tia. (ii) hx − QC (x), j(y − QC (x))i ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C . ành ngh¾a 1.2.4 Cho C l  tªp lçi, âng, kh¡c réng trong khæng gian Banach thüc E v  T : C → C l  ¡nh x¤. B i to¡n iºm b§t ëng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ C thäa m¢n x∗ = T x∗ . (1.7) Kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l  Fix(T ). Mèi quan h» giúa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) vîi b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach trìn ÷ñc cho trong m»nh · d÷îi ¥y. 12 M»nh · 1.2.5 (xem [4]) Cho C l  tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa khæng gian Banach trìn E . Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n iºm b§t ëng: x∗ = QC (I − λF )x∗ , λ > 0, (1.8) tùc l  S ∗ = Fix(QC (I − λF )). Chùng minh. Theo Bê · 1.2.3, ta câ p∗ ∈ Fix(QC (I − λF )) khi v  ch¿ khi h(p∗ − λF p∗ ) − p∗ , j(x − p∗ )i ≤ 0 ⇔ h−λF p∗ , j(x − p∗ )i ≤ 0 vîi måi x ∈ C v  λ > 0. Do λ > 0 n¶n ta suy ra x∗ ∈ S ∗ . M»nh · ÷ñc chùng minh. 2 Do sü t÷ìng ÷ìng cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach trìn vîi b i to¡n iºm b§t ëng m  nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach công ÷ñc x¥y düng düa v o c¡c ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng. Khi F : E → E l  ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz v  η -j -ìn i»u m¤nh th¼ ¡nh x¤ QC (I − λF ), vîi λ ∈ (0, 2η/L2 ) l  ¡nh x¤ co. Khi â, theo Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach, d¢y l°p Picard x¡c ành bði xn+1 = QC (I − λn F )xn (1.9) hëi tö m¤nh v· iºm x∗ l  nghi»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6). N«m 2001, Yamada [17] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp r ng buëc C l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti , i = 1, . . . , N trong khæng gian Hilbert thüc H , ngh¾a l  C := ∩N i=1 Fix(Ti ) b¬ng d¢y l°p xoay váng d÷îi d¤ng: un+1 = T[n+1] un − λn+1 µF (T[n+1] un ), (1.10) ð ¥y [n] := n mod N l  h m modulo l§y gi¡ trà trong tªp {1, 2, . . . , N }, u0 l  iºm ban ¦u b§t ký trong H , µ ∈ (0, 2η/L2 ). Ph÷ìng ph¡p 13 do Yamada (2001) [17] · xu§t ÷ñc chùng minh l  hëi tö m¤nh v· nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Hilbert H khi C := ∩N i=1 Fix(Ti ) vîi i·u ki»n °t l¶n d¢y tham sè {λn } nh÷ sau: (L1 ) limn→∞ λn = 0, (L2 ) (L3 ) P∞ n=1 |λn P∞ n=1 λn = ∞, v  − λn+N | < ∞. Khi N = 1, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc cõa Yamada trð v· d¤ng un+1 = T (un ) − λn+1 µF (T un ). Trong tr÷íng hñp F = 5ϕ th¼ d¢y l°p (1.10) hëi tö m¤nh v· iºm x∗ l  iºm cüc tiºu cõa h m ϕ(x) tr¶n tªp r ng buëc ∩N i=1 Fix(Ti ). K¸t qu£ n y ¢ ÷ñc Deutsch v  Yamada [8] cæng bè n«m 1998. ×u iºm cõa ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc l  khæng c¦n thüc hi»n ph²p chi¸u l¶n tªp r ng buëc C cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n m  thay v o â l  d¤ng âng cõa hå c¡c ¡nh x¤ m  tªp iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ â l  tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n. 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j -ìn i»u Trong möc n y ta x²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ gi¡ F l  η -j -ìn i»u m¤nh v  γ -gi£ co ch°t tr¶n E , tªp r ng buëc C l  tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ Ai : E → E câ t½nh ch§t m-j -ìn i»u trong khæng gian Banach E lçi ·u câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ngh¾a l  C = ∩N i=1 ZerAi N ≥ 1, (1.11) ð ¥y ZerAi := {p ∈ D(Ai ) : 0 = Ai p}. Khi C ≡ E , (Ai ≡ I) th¼ (1.6) trð th nh ph÷ìng tr¼nh to¡n tû F x = 0. Khi â, º t¼m mët nghi»m cõa ¡nh x¤ η -j -ìn i»u m¤nh v  L-li¶n töc Lipschitz F vîi mi·n x¡c ành D(F ) = E ta sû döng ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t: l§y z 1 ∈ E l  iºm b§t ký v  14 d¢y l°p {z k } ÷ñc x¡c ành bði: z k+1 = (I − tk F )z k , k ≥ 1, (1.12) trong â tk thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (C1) tk ∈ (0, 1), limk→∞ tk = 0, P∞k=1 tk = ∞. Vîi c¡c t½nh ch§t tr¶n th¼ F l  mët ¡nh x¤ m-j -ìn i»u trong khæng gian Bannach ph£n x¤. Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p cê iºn t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ m-j -ìn i»u A l  x1 ∈ E, xk+1 = JrAk xk , k ≥ 1, (1.13) trong â JrAk = (I + rk A)−1 l  to¡n tû gi£i cõa A v  {rk } l  d¢y sè thüc d÷ìng. Sü hëi tö cõa d¢y l°p (1.13) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong khæng gian Hilbert thüc H , rçi ph¡t triºn sang khæng gian Banach trìn ·u E . Trong [9], Kaminrura v  Takahashi ¢ · xu§t hai thuªt to¡n. Thuªt to¡n ¦u ti¶n cõa hå x¡c ành bði: y k = JrAk xk + ek , xk+1 = tk u + (1 − tk )y k , (1.14) ð ¥y {ek } l  d¢y sai sè. Hå ¢ chùng minh r¬ng c¡c d¢y {xk } sinh ra bði (1.14) hëi tö m¤nh tîi PZerA u, ph²p co rót khæng gi¢n theo tia chi¸u u l¶n ZerA, d÷îi i·u ki»n (C1) v  (C2) rk ∈ (0, ∞) vîi måi k ≥ 1 v  limk→∞ rk = ∞; v  (C3) Pk≥1 kek k < ∞. Hå công ch¿ ra thuªt to¡n thù 2 y k = JrAk xk + ek , xk+1 = tk xk + (1 − tk )y k , hëi tö y¸u ¸n v ∈ ZerA vîi c¡c i·u ki»n ¥y v = limk→∞ PZerA xk . (1.15) (C1), (C2) v  (C3), ð Thuªt to¡n (1.14) v  (1.15) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu khi A l  mët ¡nh x¤ ìn i»u cüc ¤i trong khæng gian Hilbert thüc H . C¡c thuªt to¡n 15 n y l  c¡c c£i bi¶n cõa thuªt to¡n iºm g¦n k·, mët thuªt to¡n ch¿ cho sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u. Mët c£i bi¶n kh¡c cho sü hëi tö m¤nh cõa thuªt to¡n iºm g¦n k· ÷ñc ÷a ra bði Xu [16] v  ÷ñc ành ngh¾a bði: xk+1 = JrAk ((1 − tk )xk + tk u + ek ), k ≥ 1. (1.16) Xu [16] ¢ chùng minh r¬ng d¢y {xk } ÷ñc x¡c ành bði (1.16) hëi tö X1: (i) tk thäa m¢n i·u ki»n (C1); (ii) tPk+1 ≤ rr vîi måi k ≥ 1 v  limk→∞ t1  rr t t m¤nh tîi PZerA u d÷îi gi£ thi¸t k+1 k k+1 k ∞  rk+1 tk k=1 rk tk+1 − 1< ∞; k k k+1  − 1= 0 ho°c (iii) {rk } l  d¢y sè thüc d÷ìng; v  (vi) (C3). Ho°c gi£ thi¸t X2: (i) tk thäa m¢n i·u ki»n (C1) vîi P∞k=1 |tk+1 − tk | < ∞;   r 1 r t (ii) tPk+1 ≤ r vîi måi k ≥ 1 v  limk→∞ t r t − 1= k+1 k rk+1 tk ∞  k=1 rk tk+1 k+1 k − 1< ∞; k k k+1 0 ho°c (iii) {rk } l  d¢y sèPthüc sao cho 0 < r ≤ rk ≤ r vîi måi k ≥ 1 vîi 0 < r ≤ r v  ∞ k=1 |rk+1 − rk | < ∞; v  (C3). Trong [5], Boikanyo v  Morosanu ch¿ ra r¬ng (1.16) t÷ìng ÷ìng vîi y k+1 = (1 − tk+1 )JrAk y k + tk+1 u + ek+1 , (1.17) v  ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {y k } tîi PZerA u, n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n (i) tk thäa m¢n i·u ki»n (C1); (ii) rk thäa m¢n i·u ki»n (C2); v  (iii) ho°c (C3) ho°c kek k/tk → 0. 16 Trong [13], Tian v  Song ¢ chùng minh hëi tö m¤nh cõa (1.17) d÷îi gi£ thi¸t X1 trø i·u ki»n (ii). G¦n ¥y Sahu v  Yao [11] ÷a ra thuªt to¡n Prox-Tikhonov: xk+1 = JrAk ((1 − tk )xk + tk f xk + ek ), k ≥ 1, (1.18) vîi ¡nh x¤ co f v  ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh vîi gi£ thi¸t t÷ìng tü nh÷ gi£ thi¸t X1. B i to¡n x§p x¿ khæng iºm chung cho mët hå ¡nh x¤ Ai câ t½nh ch§t m-j -ìn i»u m¤nh trong khæng gian Bannach E vîi i ≥ 1 ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu tr¶n cì sð sû döng c¡c ¡nh P P P Ai a A vîi a > 0 v  a = 1 ho°c S = i i i i i≥1 i≥1 i≥1 βk,i Jri , P trong â i≥1 βk,i = 1, 0 < βk,i < 1 v  JrAi i = (I + ri Ai )−1 vîi c¡c sè cè ành ri > 0. Trong [7], º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) khi C = ZerA, Ceng v  cëng sü ¢ · xu§t thuªt to¡n sau
xk+1 = (I − λk F ) tk xk + (1 − tk )JrAk xk , k ≥ 1, (1.19) x¤ A = v  ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa (1.19) trong khæng gian Bannach trìn ·u d÷îi nhúng gi£ thi¸t t÷ìng tü nh÷ X1. Trong Ch÷ìng 2, ta s³ tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) vîi tªp r ng buëc l  tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ m-j -ìn i»u m¤nh trong khæng gian Banach trìn.