Tài liệu Thế vị logarit có trọng và ứng dụng

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M HO NG THÀ XU N TH VÀ LOGARIT C´ TR¯NG V LU NV NTH CS TO NH¯C TH I NGUY N - 2020 ÙNG DÖNG I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M HO NG THÀ XU N TH VÀ LOGARIT C´ TR¯NG V ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t‰ch M¢ sŁ: 8460102 LU NV NTH CS TO NH¯C C¡n bº h÷îng d¤n khoa håc: GS.TSKH Nguy„n Quang Di»u Th¡i Nguy¶n - 2020 L˝I CAM OAN Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tæi, c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu l trung thüc v ch÷a ÷æc cæng bŁ trong b§t k… cæng tr…nh n o kh¡c. Th¡i Nguy¶n, ng y 29 th¡ng 5 n«m 2020 T¡c gi£ lu“n v«n Ho ng Thà Xu¥n ii L˝IC MÌN Tr÷îc h‚t, em xin b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c tîi Thƒy h÷îng d¤n, GS.TSKH Nguy„n Quang Di»u. Em væ còng bi‚t ìn sü gióp ï t“n t… nh, quþ b¡u m Thƒy ¢ d nh cho em trong suŁt qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n. Nhí nhœng þ t÷ðng m Thƒy ¢ gæi þ, nhœng t i li»u bŒ ‰ch m Thƒy ¢ cung c§p còng vîi sü h÷îng d¤n, ch¿ b£o nhi»t t…nh cıa Thƒy v• cæng vi»c nghi¶n cøu, em ¢ ho n th nh lu“n v«n cıa m…nh. Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Thƒy Cæ khoa To¡n tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m Th¡i Nguy¶n, trong thíi gian qua ¢ t⁄o cho chóng em mæi tr÷íng håc t“p h‚t søc thu“n læi v th÷íng xuy¶n câ nhœng líi ºng vi¶n, nh›c nhð gióp chóng em thüc hi»n tŁt cæng vi»c l m khâa lu“n. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2020 Ng÷íi thüc hi»n Ho ng Thà Xu¥n iii Möc löc Trang b…a phö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Líi cam oan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv M— U ......................................... 1 I 1. Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.H m i•u hÆa d÷îi tr¶n C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.N«ng l÷æng logarit v n«ng l÷æng câ trång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I 2. Th‚ và logarit câ trång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.Th‚ và câ trång tr¶n C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.B§t dflng thøc Bernstein-Walsh v t‰nh ch§t Bernstein-Markov 21 K T LU N...................................... 37 T I LI U THAM KH O........................ 38 iv M— U Th‚ và logarit cıa mºt º o x¡c ành tr¶n t“p K C ÷æc ành ngh¾a bði Z P (y) := K 1 log jx yj d (x): Th‚ và n y dòng ” x¡c ành n«ng l÷æng logarit cıa v tł â gióp ta ành ngh¾a ÷æc dung l÷æng logarit cıa K. ¥y l c¡c kh¡i ni»m cŒ i”n ¢ ÷æc ng÷íi ta t…m hi”u tł l¥u. Trong mºt cæng tr…nh gƒn ¥y cıa Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky, ng÷íi ta ¢ nghi¶n cøu c¡c kh¡i ni»m th‚ và logarit suy rºng, n«ng l÷æng logarit suy rºng còng c¡c øng döng cıa nâ. Sü "suy rºng" ð ¥y ÷æc th” hi»n l sü xu§t hi»n cıa h m trång ! trong cæng thøc Z P (y) := ;! K log vîi ! > 0 l h m trång li¶n töc x¡c 1 jx yj!(x) d (x); ành tr¶n K. Möc ‰ch cıa • t i l tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch h» thŁng c¡c t‰nh ch§t cıa th‚ và logarit câ trång, °c bi»t l øng döng v o nghi¶n cøu c¡c b§t flng thøc Bernstein - Walsh v Bernstein - Markov v o ¡nh gi¡ chu'n c¡c a thøc mºt bi‚n thæng qua h m cüc trà câ trång. • t i tr…nh b y l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ cì b£n cıa b i b¡o [2] cıa Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky. Nºi dung ch‰nh l c¡c t‰nh ch§t cıa th‚ và logarit câ trång còng vîi øng döng cıa nâ v o v§n • x§p x¿ a thøc v ¡nh gi¡ º t«ng cıa a thøc. 1 Chóng tæi dü ki‚n ⁄t ÷æc mºt sŁ k‚t qu£ v• i•u ki»n ı ” mºt º o thäa m ¢n t‰nh ch§t Bernstein - Markov v mºt i•u ki»n cıa t“p compact K còng vîi mºt trång ! tr¶n â ” th‚ và logarit câ trång P ;! < 1 vîi mºt º o x¡c xu§t n o â tr¶n K. C¡c k‚t qu£ n y s‡ dòng ” °c tr÷ng t“p cüc trong C. 2 Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð Ta tr…nh b y tâm t›t mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà s‡ ÷æc dòng v• sau. Nhœng ki‚n thøc n y ÷æc l§y ra trong t i li»u [1]. 1.1. Hm i•u hÆa d÷îi tr¶n C ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sß X l khæng gian tæpæ. H m u : X ! [ ; +1) gåi l nßa li¶n töc tr¶n tr¶n X n‚u vîi mØi 2 R t“p X = fx 2 X : u(x) < l mð trong X: H m v : X ! [ n‚u g ; +1) gåi l nßa li¶n töc d÷îi tr¶n X v l nßa li¶n töc tr¶n tr¶n X. Chóng ta câ th” d„ th§y ành ngh¾a tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi ành ngh¾a mang t‰nh àa ph÷ìng sau. Gi£ sß u : X ! ( ; +1]. Ta nâi h m u l nßa li¶n töc tr¶n t⁄i x0 2 X n‚u 8" > 0 tçn t⁄i l¥n c“n Ux0 cıa x0 trong X sao cho 8x 2 Ux0 ta câ: u(x) < u(x0) + " n‚u u(x0) 6= 1 u(x) < " n‚u u(x ) 6= 0 : H m u gåi l nßa li¶n töc tr¶n X n‚u u nßa li¶n töc tr¶n t⁄i måi x 0 2 X. M°t kh¡c n‚u ta cho ành ngh¾a sau. Gi£ sß E X v u : E ! [ ; +1) l h m tr¶n E. Gi£ sß x0 2 E. Ta ành ngh¾a lim sup u(x) = inffsupfu(y) : y 2 V gg x!x0; x2E 3 ð â inf l§y tr¶n c¡c V ch⁄y qua c¡c l¥n c“n cıa x0. Khi â câ th” th§y r‹ng h m u : E ! [ ; +1) l nßa li¶n töc tr¶n t⁄i x0 2 X n‚u lim sup u(x) u(x0): x!x0 Ta câ k‚t qu£ sau ành lþ 1.1.2. Gi£ sß u l h m nßa li¶n töc tr¶n tr¶n khæng gian tæpæ X v K b X l t“p compact. Khi â u ⁄t cüc ⁄i tr¶n K. Chøng minh. C¡c t“p fx 2 X : u(x) < ng vîi n 1 t⁄o n¶n phı mð cıa K. Do â câ phı con hœu h⁄n phı K. V“y u bà ch°n tr¶n tr¶n K. Gi£ sß M = supfu(x) : x 2 Kg. Khi â c¡c t“p mð fx 2 X : u(x) < M K. V“y câ x0 2 K sao cho u(x0) M n 1 n 1 g khæng th” phı vîi måi n. V“y u(x0) = M, v ành lþ ÷æc chøng minh. Ti‚p theo ta cƒn ành lþ x§p x¿ sau Łi vîi c¡c h m nßa li¶n töc tr¶n. ành lþ 1.1.3. Gi£ sß u l h m nßa li¶n töc tr¶n v bà ch°n tr¶n tr¶n khæng gian metric (X; d). Khi â tçn t⁄i d¢y gi£m c¡c h m li¶n töc n :X! R vîi n lim (x) !1 n ành ngh¾a 1.1.4. Gi£ sß gåi l i•u hÆa d÷îi tr¶n = u(x); 8x 2 X: l t“p mð trong C. H m u : n‚u nâ nßa li¶n töc tr¶n tr¶n ![ ,u6 ; +1) tr¶n b§t mºt th nh phƒn li¶n thæng cıa v thäa m¢n b§t flng thøc d÷îi trung b…nh tr¶n , ngh¾a l vîi måi w 2 tçn t⁄i % > 0 sao cho måi o r < % ta câ u(w) 1 2 2 Z it u(w + re )dt: 0 Ta k‰ hi»u t“p c¡c h m i•u hÆa d÷îi tr¶n Sau ¥y l v‰ dö ¡ng chó þ v• h m 4 l SH( ). i•u hÆa d÷îi (1.1) M»nh • 1.1.5. N‚u f : ! C l h m ch¿nh h…nh tr¶n th… log jfj l h m i•u hÆa d÷îi. M»nh • 1.1.6. Gi£ sß u; v l c¡c h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð trong C. Khi â: (i) max(u; v) l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n (ii) T“p c¡c h m SH( ) v . i•u hÆa d÷îi tr¶n ; l mºt nân, ngh¾a l n‚u u; v 2 > 0 th… u + v công thuºc SH( ). B¥y gií ta i ‚n nguy¶n l‰ cüc ⁄i cıa c¡c h m i•u hÆa d÷îi nâi r‹ng gi¡ trà cüc ⁄i cıa h m a i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð ch¿ ⁄t tr¶n bi¶n cıa t“p mð â. ành lþ 1.1.7. Gi£ sß u l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n mi•n bà ch°n tr¶n C. Khi â: (i) N‚u u ⁄t cüc ⁄i to n th” t⁄i mºt i”m tr¶n th… u l h‹ng sŁ tr¶n . (ii) N‚u lim supz! u(z) 0 Łi vîi måi 2 @ th… u 0 tr¶n . 2 K‚t qu£ sau cho mºt i•u ki»n khi n o mºt h m lîp C l i•u hÆa d÷îi. 2 ành lþ 1.1.8. Gi£ sß u 2 C ( ). Khi â u l i•u hÆa d÷îi tr¶n khi v ch¿ khi 4u 0 tr¶n , ð â @ 4u = l Laplace cıa u. 2 u @2 u + @x2 @y2 K‚t qu£ sau ¥y r§t câ læi khi cƒn d¡n hai h m i•u hÆa d÷îi ” cho ta h m i•u hÆa d÷îi. 5 ành lþ 1.1.9. Gi£ sß u l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð 2 1. lim sup v(z) u( ); 1 v vl Gi£ thi‚t Łi vîi måi 2 1\@ 2: z! : Khi â u~ x¡c ành tr¶n 1 u~ = 8 max(u; v) tr¶n < u l i•u hÆa d÷îi tr¶n 1. tr¶n 2 1 2 n : d¢y gi£m c¡c h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p ành lþ 1.1.10. Gi£ sß fung l i•u hÆa d÷îi tr¶n . mð tr¶n C v u = limn!1 un. Khi â u l ành lþ 1.1.11. Gi£ sß u l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n mi•n kh£ t‰ch àa ph÷ìng tr¶n , ngh¾a l vîi måi K b ta câ Z H» qu£ 1.1.12. Gi£ sß u l cho u 6 K jujdV < +1: . Khi â u C sao h m a i•u hÆa d÷îi tr¶n mi•n tr¶n . Khi â t“p E = fz 2 ; u(z) = câ º o Lebesgue b‹ng 0. Ti‚p sau ¥y ta câ ành lþ x§p x¿ cì b£n sau. â l k‚t qu£ nâi r‹ng vîi måi h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð C câ th” x§p x¿ bði mºt d¢y h m i•u hÆa d÷îi trìn. Ta nh›c l⁄i kh¡i ni»m t‰ch ch“p cıa hai h m kh£ t ‰ch àa ph÷ìng. ành ngh¾a 1.1.13. Gi£ sß r l t“p mð cıa C. vîi mØi r > 0 °t = fz 2 ; +1) l : d(z; @ ) > rg: Gi£ sß u : ![ h m kh£ t‰ch àa ph÷ìng tr¶n :C!Rl h m kh£ t‰ch vîi supp 6 v gi£ sß 4(0; r). Khi â ta x¡c ành ÷æc t‰ch ch“p u (z) : u (z) = r! R Z C theo cæng thøc u(z w) (w)dV (w) = Z C h m trìn th… u công l Ta câ n‚u l ành lþ 1.1.14. Gi£ sß u l u(w) (z w)dV (w): h m trìn. Ta câ k‚t qu£ sau. C vîi h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð n u6 . Gi£ sß : R ! R l h m cho bði: (x) = ð â = jj x jj chån sao n i=1 cho: 2 x i 1 8 ke 1 N‚u jjxjj < 1 xjj 2 (1.2) <0 N‚u jjxjj 1 : ; x = (x ; : : : ; x ) 2 R n v k > 0 l h‹ng sŁ ÷æc 1 n Z pP (x)dV = 1 Rn n ð â dV l º o Lebesgue tr¶n R . 2 Vîi n = 2; R ’ C. Vîi mØi r > 0 °t 1 2 C): ( ) (z r r h m i•u hÆa d÷îi trìn tr¶n r v r(z) Khi â u r l z = 2 u r & u tr¶n khi r & 0. Ta câ h» qu£ sau H» qu£ 1.1.15. Gi£ sß u l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð l mi•n compact t÷ìng Łi trong fung trìn tr¶n D gi£m tîi u tr¶n D. ành lþ 1.1.16. Gi£ sß f : 1 ! 2 Cv D . Khi â tçn t⁄i d¢y h m i•u hÆa d÷îi l ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh giœa hai t“p mð trong C. n‚u u l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n 2 th… u f l i•u hÆa d÷îi tr¶n 1. Ta câ k‚t qu£ sau 7 ành lþ 1.1.17. Gi£ sß u; v l c¡c h m i•u hÆa d÷îi tr¶n t“p mð C sao cho u = v (t÷ìng øng u v) hƒu kh›p nìi tr¶n . Khi â u = v (t÷ìng øng u v) tr¶n . 1.2. N«ng l÷æng logarit v n«ng l÷æng câ trång Cho l º o Borel ch‰nh quy x¡c ành tr¶n t“p compact K C. Ta ành ngh¾a th‚ và cıa º o l Z I (z) := log jz wjd (w); z 2 C: K T‰nh ch§t cì b£n cıa ÷æc mæ t£ trong k‚t qu£ sau. ành lþ 1.2.1. H m sŁ I thäa m¢n c¡c t‰nh ch§t sau ¥y: (a) I l h m i•u hÆa d÷îi tr¶n C; (b) I l h m i•u hÆa tr¶n CnK; (c) I thäa m¢n r ng buºc v• º t«ng sau ¥y: I = 1 (K) log jzj + O(jzj ) khi jzj ! 1: K‚t qu£ tr¶n ÷æc chøng minh düa v o c¡c t‰nh ch§t cıa h m i•u hÆa d÷îi ¢ nâi ð ph‰a tr÷îc. MŁi li¶n h» giœa t“p a cüc v th‚ và logarit cÆn ÷æc th” hi»n trong k‚t qu£ sau: M»nh • 1.2.2. Cho Gi£ sß I( ) > l º o Borel ch‰nh quy tr¶n t“p compact k C. . khi â vîi måi t“p cüc E 8 C ta câ (E) = 0. Ch÷ìng 2 Th‚ và logarit câ trång Nhœng ki‚n thøc trong ch÷ìng n y ÷æc l§y ra trong t i li»u [2] v [3]. 2.1. Th‚ và câ trång tr¶n C Trong phƒn n y, chóng tæi ph¡t bi”u v chøng minh c¡c k‚t qu£, k” c£ sü tçn t⁄i v t‰nh duy nh§t nghi»m cıa º o n«ng l÷æng câ trång tŁi thi”u, trong mºt ìn và tŒng qu¡t. Nhî l⁄i t“p E C l t“p cüc n‚u tçn t⁄i u 6 ÷æc x¡c ành v i•u hÆa d÷îi tr¶n l¥n c“n cıa E vîi E fu = : Chóng ta sß döng thu“t ngœ t‰nh ch§t óng hƒu kh›p nìi tr¶n t“p S C n‚u nâ óng tr¶n S nP vîi P l mºt t“p cüc. Trong [2], cho t“p compact, khæng cüc K C, mºt h m gi¡ trà thüc Q tr¶n K ÷æc gåi l ch§p nh“n ÷æc n‚u Q l nßa li¶n töc d÷îi v l t“p khæng cüc. Ta vi‚t Q 2 A(K) v fz 2 K : Q(z) < 1g ành ngh¾a w(z) := e K l âng nh÷ng khæng bà ch°n th… Æi häi r‹ng lim inf [Q(z) 1 log(1 + jz 2)] = 1 : z j j!1 ;z 2 K 2 Q(z) : N‚u (2.1) j Gi£ sß K C l t“p âng, khæng cüc, v f : K ! C l li¶n töc. Cho K compact, lîp câ trång ch§p nh“n ÷æc Q tr¶n K thäa m¢n möc ‰ch cıa chóng ta; vîi t“p khæng bà ch°n K, chóng ta câ ành ngh¾a sau: ành ngh¾a 2.1.1. Ta gåi mºt h m nßa li¶n töc d÷îi Q tr¶n mºt t“p âng, khæng bà ch°n K C vîi fz 2 K : Q(z) < 1g khæng cüc f - ch§p 9 nh“n ÷æc vîi K n‚u (z) := Q(x) 2 1 2 log[(1 + jzj )(1 + jf(z)j )] 2 (z) = 1: thäa m¢n limjzj!1;z2K Suy ra (z) c = c(Q) > vîi måi z 2 K; công tł 1 + jf(z)j 1 ta câ (z) Q(z) 2 1; 2 log(1 + jzj ) v“y n¶n Q l ch§p nh“n ÷æc tr¶n nguy¶n lþ th‚ và trong [2]. Gi£ thi‚t sü ph¡t tri”n cıa Q phö thuºc nhi•u v 2 o f. Ta nâi Q l m⁄nh ch§p nh“n ÷æc tr¶n K n‚u tçn t⁄i > 0 sao cho (1 )Q l ch§p nh“n ÷æc tr¶n K. Ta công nhî l⁄i sü ành ngh¾a cıa n«ng l÷æng logarit cıa . 1 d (x)d (y) Z Z I( ):= K K log jx yj trong â p (y) := K log x 1y d (x) l th‚ và logarit cıa . Cho t“p comR j j pact K C , dung l÷æng logarit cıa K l cap(K) := exp[ inffI( ) : 2 M(K)g]: (2.2) V§n • nguy¶n lþ th‚ và câ trång chóng ta nghi¶n cøu l l m gi£m thi”u n«ng l÷æng câ trång Q Q Ef ( ) = E ( ) := Z Z K K 1 log jx d (x)d (y) yjjf(x) f(y)jw(x)w(y) (2.3) Q tr¶n 2 M(K), t“p º o x¡c su§t tr¶n K. do â w = e . Chó þ r‹ng t‰ch ph¥n k†p ð (2:3) ÷æc x¡c ành v kh¡c . Th“t v“y, cho k(x; y) := log(jx yjjf(x) f(y)jw(x)w(y)): Sß döng b§t flng thøc ju log jx 1 yj + log jf(x) 2 1 vj p 1 + juj f(y)j 1 2 2 p (2.4) 2 1 + jvj ; ta câ 2 1 2 2 log(1 + jxj + 2 log(1 + jyj ) + 2 log(1 + jf(x)j + 2 log(1 + jf(y)j : 10 Do â theo ành ngh¾a 2:1:1, ta câ k(x; y) (x) + (y) 2c trong K K; (2.5) v t‰ch ph¥n cıa t‰ch ph¥n k†p l bà ch°n d÷îi bði 2c. Cho t“p Borel E C; cap(E) câ th” ÷æc x¡c ành l exp[ inf I( )] trong â c“n d÷îi óng l º o Borel s¡c xu§t vîi gi¡ compact trong E. N«ng l÷æng logarit câ trång cıa t÷ìng øng vîi Q l 1 Q I ( ) := Tł 1 + jf(x)j 2 Khi I( ) 6= Z Z K jx yjw(x)w(y) K log R (2.6) ÷æc x¡c ành v kh¡c 1, t‰ch ph¥n k†p ð (2:6) l ho°c d (x)d (y): . Q Qd < 1, ta câ th” vi‚t l⁄i I ( ) nh÷ sau Q I ( ) = I( ) + 2 Z K Qd : Tł â ta câ I(f ) = Z Z K log K 1 d (x)d (y) f(y)j = Z Z 1 df (a)df (b) log f(K) f(K) ja bj Z = f (K) Z = K jf(x) pf (b)df (b) pf (f(z))d (z): Q Q Khi I ( ) 6= +1 ho°c I(f ) 6= , n«ng l÷æng E ( ) câ th” vi‚t l⁄i nh÷ sau Q Q E ( ) = I ( ) + I(f ): M»nh • 2.1.2. Cho K Cl âng v cho Q l f - ch§p nh“n ÷æc tr¶n Q Q K. Gi£ sß tçn t⁄i 2 M(K) vîi E ( ) < 1. Cho Vw := inffE ( ); M(K)g. Khi â ta câ c¡c khflng ành sau: 1. Vw l hœu h⁄n. 11 2 2. Vîi KM := fz : Q(z) Mg, ta câ vîi M ı lîn, M < 1, Vw = Q inffE ( ); 2 M(KM )g: 3. Ta câ sü tçn t⁄i v t‰nh duy nh§t nghi»m cıa K;Q gi£m ‚n møc tŁi Q thi”u E . º o K;Q câ gi¡ compact v n«ng l÷æng logarit I( K;Q), I(f K;Q) l hœu h⁄n. 4. C¡c b§t flng thøc d⁄ng Frostman luæn óng: p K;Q (z) + pf p K;Q (z) + pf (f(z)) + Q(z) Fw q:e: trong K; (2.7) (f(z)) + Q(z) Fw trong supp( K;Q); (2.8) K;Q K;Q trong â Fw := I( K;Q) + I(f K;Q) + R R Qd( K;QQ= Vw Qd( K;Q: 5. N‚u mºt º o 2 M(K) vîi gi¡ compact v E ( ) < 1 thäa m¢n p (z) + pf (f(z)) + Q(z) C q:e: tr¶n K; (2.9) p (z) + pf (f(z)) + Q(z) C trong supp( ); (2.10) vîi h‹ng sŁ C, khi â = K;Q. Chøng minh. Vîi (1), ta câ Vw < 1 theo gi£ thi‚t. B§t flng thøc < Vw ÷æc suy ra tł t‰ch ph¥n k†p trong (2:3) l bà ch°n d÷îi bði 2c. Chøng minh þ (2). Tr÷îc ti¶n, cho M ı lîn, k(x; y) > Vw + 1 n‚u (x; y) 2= KM Q Tł â suy ra E ( ) = Vw ch¿ tçn t⁄i vîi KM : º o câ gi¡ trong KM . Ti‚p theo ta chøng minh (3). Tł (2), câ mºt d¢y f ng Q M(KM ) vîi E ( n) ! Vw khi n ! 1: T“p KM l t“p compact, do â theo ành lþ Helly, ta câ mºt d¢y c¡c º o hºi tö y‚u tîi º o x¡c su§t câ gi¡ tr¶n K M ; v d„ th§y r‹ng := Q E ( ) = Vw. Vîi n«ng l÷æng logarit cıa K;Q, ta câ 12 K;Q thäa m¢n I( K;Q) > v… K;Q câ gi¡ compart. V… f l li¶n töc v f trong f(KM ), n¶n ta công câ I(f K;Q) K;Q câ gi¡ cıa nâ > . L⁄i câ Q bà ch°n d÷îi n¶n ta câ th” vi‚t I( K;Q) nh÷ sau I( K;Q) = Vw I(f K;Q) 2 Z K Qd K;Q: V… I( K;Q) < 1 n¶n I(f K;Q) < 1. T‰nh duy nh§t ÷æc suy ra tł ! I( ) l lçi ch°t v ! I(f ) l lçi tr¶n t“p con hœu h⁄n cıa M(K). ” ch‰nh x¡c, cho 1 v o vîi n«ng l÷æng hœu h⁄n v 1(K) = 2(K), ta câ I( 1 I( 1 2) = 0 n‚u v ch¿ n‚u 1 2 hai º l 2) 0v = 2. Q N‚u 2 M(K) l mºt º o kh¡c vîi gi¡ trà cüc ti”u E th… theo . Suy chøng minh cıa (2), ta câ 2 M(KM ). Do â I( ); I(f ) > ra I( ); I(f ) < 1. Ta câ Q + ))+I( 1 ( ))+I(f ( 1 ( )) = 1 [EQ( E (1 ( 2 TŒng 2 K;Q 2 K;Q 1 I( 2 1 ( )) + I(f ( 2 ( K;Q flng thøc n‚u v ch¿ n‚u l 2 K;Q K;Q Q )]=V : )+E ( K;Q w )) 0 K;Q = . Do â ta câ i•u ph£i chøng minh. Ti‚p theo ta s‡ chøng minh b§t flng thøc thø nh§t cıa (4). Cho 2 M(K) vîi gi¡ compact v x†t º o ~ = t + (1 t) K;Q; t 2 [0; 1]. B§t flng thøc Q Q E ( K;Q) E (~) câ th” vi‚t l⁄i nh÷ sau E Q K;Q 2 t (I( ) + I(f + 2t(1 t)(I( ; trong â vîi hai º o I( ; ) = V‚ ph£i cıa b§t 2 )) + (1 t) (I( K;Q) + I(f ;f K;Q) + I(f v , ta bi”u thà I( ; ) bði ZZ log jx yjd (x)d (y): K;Q)) Z +2 K;Q)) Qd(t + (1 flng thøc ÷æc x¡c ành tł gi£ thi‚t r‹ng compact. Suy ra t§t c£ c¡c h⁄ng tß trong tŒng l lîn hìn 13 t) K;Q); câ gi¡ . Cho t ti‚n dƒn tîi 0 ta thu ÷æc Fw = I( K;Q) + I(f I( ; K;Q) K;Q) + I(f ; f + Z Qd K;Q K;Q) + Qd : Z (2.11) Xu§t ph¡t tł sü m¥u thu¤n, gi£ sß r‹ng tçn t⁄i mºt t“p con compact khæng cüc K cıa K sao cho 8z 2 K; p K;Q(z) + p (f(z)) + Q(z) < F : f w K;Q T‰ch ph¥n b§t flng thøc n y Łi vîi º o x¡c su§t câ gi¡ trong K, ta thu ÷æc Z I( ; K;Q) + I(f ; f K;Q) + Qd < Fw; m¥u thu¤n vîi (2:11). B§t flng thøc thø hai cıa (4) công m¥u thu¤n. Th“t v“y, gi£ sß 9x0 2 supp( K;Q); p K;Q (x0) + pf K;Q (f(x0)) + Q(x0) > Fw: Bði t‰nh nßa li¶n töc d÷îi, b§t flng thøc thäa m¢n trong mºt l¥n c“n Vx0 cıa x0. Hìn nœa, K;Q(Vx0 flng thø nh§t (2:7) tr¶n supp( K;Q ) > 0 v… x0 2 supp( K;Q)nVx0 v K;Q(E) K;Q). Sß döng b§t = 0 vîi E l t“p cüc (V… câ n«ng l÷æng logarit hœu h⁄n I( K;Q)), ta thu ÷æc Z Fw = (p K;Q (z) + pf K;Q (f(z)) + Q(z))d K;Q(z) > Fw K;Q(Vx0 ) + Fw K;Q(supp( K;Q)nVx0 ) = F w: i•u n y l m¥u thu¤n CuŁi còng, ta chøng minh (5). Ta vi‚t K;Q = +( K;Q ): Khi â Q E () Q Q E ( K;Q) = E ( ) + I( K;Q 14 ) + I(f ( K;Q )) + 2R