Tài liệu Thế nhiệt động của q phonon (lv02255)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM BÍCH PHƯỢNG THẾ NHIỆT ĐỘNG CỦA q - PHONON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày luận văn này, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan - người đã định hướng đề tài, luôn tận tình hướng dẫn, truyền đạt cho tôi những kiến thức mang tính khoa học để giúp tôi hoàn thành luận văn này. Cô là tấm gương sáng để thế hệ trẻ chúng tôi noi theo về tinh thần say mê nghiên cứu khoa học, sự cẩn thận, nghiêm túc trong công việc. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy, Cô khoa Vật Lý, phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa học này. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Tác giả Phạm Bích Phượng LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành từ nỗ lực bản thân dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và hiệu quả của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và các số liệu, kết quả nghiên cứu trong đó là trung thực và không trùng lặp với các kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Tác giả Phạm Bích Phượng MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................... 2 5. Những đóng góp mới của đề tài ............................................................... 2 6. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................... 2 CHƯƠNG 1. THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN....................................................................................................... 3 1.1. Thống kê của các hạt có spin nguyên.................................................... 3 1.1.1. Dao động tử Boson:........................................................................ 3 1.1.2. Thống kê của các hạt có spin nguyên.............................................. 6 1.2. Thống kê biến dạng – q của các hạt có spin nguyên.............................. 8 1.2.1. Dao động tử biến dạng –q của các hạt có spin nguyên ................... 8 1.2.2. Thống kê biến dạng –q của các hạt có spin nguyên ...................... 14 Kết Luận chương 1 .................................................................................... 15 CHƯƠNG 2. THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN BÁN NGUYÊN ........................................................................................... 16 2.1. Thống kê của các hạt có spin bán nguyên ........................................... 16 2.2. Thống kê biến dạng q của các hạt có spin bán nguyên ........................ 18 Kết Luận chương 2 .................................................................................... 20 CHƯƠNG 3. XÁC ĐỊNH THẾ NHIỆT ĐỘNG CỦA q-PHONON ............. 21 3.1. Thế nhiệt động của phonon................................................................. 21 3.1.1. Phonon ......................................................................................... 21 3.1.2. Thế nhiệt động .............................................................................. 29 3.1.3 Thế nhiệt động của phonon............................................................ 30 3.2. Thế nhiệt động của q – phonon ........................................................... 32 3.2.1. q- phonon ..................................................................................... 32 3.2.2. Thế nhiệt động của q – phonon ..................................................... 34 Kết Luận chương 3 .................................................................................... 36 KẾT LUẬN.................................................................................................. 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 38 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý hiện đại nghiên cứu cấu trúc vi mô của vật chất. Vật chất là một hệ nhiều hạt đối với hệ nhiều hạt thì nó tuân theo quy luật của thống kê . Cho nên có thể nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê, để xác định các đại lượng vật lý của nhiều hạt bằng quy luật thống kê cần phải tìm hàm phân bố thống kê. Khi một tập hợp hạt được xem như một tập hợp các dao động điều hòa thì phân bố thống kê của hệ đã được xác định. Các đại lượng vật lý mô tả hệ hoàn toàn có thể tính được khi biết hàm phân bố thống kê của hệ. Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý trong nước và trên thế giới nghiên cứu và đưa ra khái niệmvề nhóm lượng tử, đại số biến dạng và dao động biến dạng bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các mô hình vật lý như : chúng liên quan đến những vấn đề tán xạ ngược lượng tử ,mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, và đặc biệt chúng tỏ ra rất hữu ích trong việc nghiên cứu các môi trường đậm đặc, trong nghiên cứu quang lượng tử,… Theo quan niệm của dao động biến dạng thì một hệ hạt được xem như là một hệ dao động biến dạng và nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận dao động biến dạng thì thống kê của các hạt được gọi là biến dạng q. Các nhà vật lý học đã và đang nghiên cứu hệ nhiều hạt bằng hình thức luận dao động biến dạng với một hi vọng rằng tính được hàm phân bố thống kê biến dạng để tìm các đại lượng vật lý mô tả trạng thái của hệ nhiều hạt sẽ cho các kết quả gần với thực nghiệm hơn tính bằng hàm phân bố thống kê của trường hợp chưa biến dạng. Ở luận văn này chúng tôi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để tính các thế nhiệt động của hệ q – phonon. 2 2. Mục đích nghiên cứu - Áp dụng phương pháp thống kê của dao động biến dạng để xác định các thế nhiệt động của hệ q – phonon. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động biến dạng và phân bố thống kê của dao động biến dạng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu và áp dụng thống kê biến dạng xác định các thế nhiệt động của hệ q – phonon. 5. Những đóng góp mới của đề tài Bằng phương pháp thống kê biến dạng xác định thế nhiệt động của hệ q – phonon. 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp của vật lý thống kê. - Phương pháp của đại số lượng tử (đại số biến dạng). 3 CHƯƠNG 1 THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN 1.1. Thống kê của các hạt có spin nguyên 1.1.1. Dao động tử Boson: Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:   a, a   1.   (1.1) Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động tử a và toán tử sinh dao động tử a+ như sau: N  a a, Và thỏa mãn hệ thức giao hoán: N , a   a      N , a   a ,   Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định. Trong không gian Fock trạng thái chân không |0> được định nghĩa là trạng thái có số hạt bằng 0, thỏa mãn điều kiện: a 0  0. n : Trạng thái n hạt (số hạt n hay trạng thái n dao động tử) Đại số (1) có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là các véc tơ riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N: | n  Ta có: n   n! 1 a 0 . n = 0,1,2........ (1.2) 4 1 N n  a a  1 n! 1 n! (a  )n 0 a a(a  )n 0  n a  a, a   0 n!   n 1 1   a n a 0 n! n n  a 0 n!       a  0  n.   (1.3) n n! n n . Ta có hệ thức sau:  a, a    n   n 1     n. a    . Chứng minh Ta chứng minh (1.4) bằng phương pháp quy nạp như sau: a, a    1,     Với n=1: Với n=2:  2 a, a    a  a, a    a, a   a   2a ,           Nhận thấy (1.4) đúng với n=1, 2. Ta giả sử biểu thức (1.4) đúng với n=k, tức là: (1.4) 5  a, a    k   k 1     k a   . Ta phải chứng minh biểu thức trên đúng với n=k+1 Ta có:  a, a    k 1       a  a, a      k   k     a, a   a       k 1 k      k  1a  .  a .k a    a k (đpcm) Dễ dàng thử lại được:  m | n  mn . m,n = 1, 2...... (1.5) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung lượng p được định nghĩa: 1   2   a a  x      2m    1  m  2     (1.6)   a a , p  i   2    (1.7) Chúng thỏa mãn hệ thức giáo hoán:  p, x   i.   (1.8) Thật vậy 1    p, x   i  m   2  a   a a   a  a   a a   a       2 2m           i 2a a  2aa  2       6  i a, a      i. Toán tử Hamiltion mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy dao động a+,a như sau: p2 1  m  2x 2 2m 2 H  2     a a  a a 4 4    a a  aa  2     2a a  a, a     2   1    N  .     2         2   1.1.2. Thống kê của các hạt có spin nguyên Bây giờ chúng ta đi tính phân bố thống kê của nó nhưng trước hết ta tìm hiểu về phân bố thống kê của toán tử F:  Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử F được định nghiã qua công thức:  1  F  Tr eH F z  1 Z   n |eH F | n  n Z : hàm phân bố   Z  Tr eH   n e | n 7    en n 0  1 1  e . Hàm phân bố Z xác định tính chất nhiệt động của hệ thống kê   1 , KT Và H là Hamiltionian mà thông thường nó có dạng H  N , với  là năng lượng dao động của một hạt. Áp dụng ta tính thống kê cho dao động tử điều hòa Boson như sau:  1 Tr eH a a Z a a         1 Z  n | eN a a | n  1 Z  n | eN  N | n  1 Z  en 1 Z  enn 1 Z n n n n n n e  2 1  e   Mà ta có:  Z  Tr eN   . 8   n | e N  | n  n   en  n  1 1  e  (1.9) . Từ đây suy ra a a   1 e  1 . (1.10) 1.2. Thống kê biến dạng – q của các hạt có spin nguyên 1.2.1. Dao động tử biến dạng –q của các hạt có spin nguyên Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử ˆ ˆ hủy và toán tử sinh dao động tử a và a  tuân theo các hệ thức giao hoán sau: ˆˆ ˆ ˆ aa   qa a  q N , Trong đó : (1.11) q là thông số biến dạng N là toán tử số dao động tử biến dạng thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: N | n q  n | n q , (1.12) Và thỏa mãn hệ thức giao hoán: N , a   a ˆ ˆ  ˆ  ˆ ˆ  ˆ N , a   a ,   (1.13) Nếu q  1 thì (1.11) lại trở về hệ thức của dao động tử điều hòa Boson: ˆˆ ˆ ˆ aa   a a  1. Chúng ta đưa vào không gian Fock có các véctơ cơ sở là các véctơ riêng của toán tử số dao động tử N: 9 | n q  n   ˆ a n  !  q | 0, (1.14) Ở đây | 0 là trạng thái nền và dùng kí hiệu: n n n   q  q  q q  q 1 n  !  n  n  1 n  2 ........... 1 ,  q  q  q  q  q (1.15) ˆ ˆ ˆˆ Tác dụng a a, aa  lên trạng thái riêng | nq ta được : ˆ ˆ a a | n q  n  | n q q  n  1 | n  . ˆˆ aa | n q    q (1.16) q Chứng minh ˆ ˆ a a | n q  n  | n q . q (1.16.1) Ta chứng minh (1.16.1) bằng phương pháp quy nạp như sau : Với n=0 ˆ ˆ a a | 0q   0 | 0q , q Với n=1 ˆ ˆ ˆ ˆ a a | 1q  a a ˆ a  | 0 1   q   ˆ ˆ ˆ a  qa a  q N  0 1 | 0 ˆ a q  1 | 1, q Với n=2 0 10 ˆ ˆ ˆ ˆ a a | 2q  a a 2   ˆ a | 0 2 !   q   1 ˆ ˆ ˆ ˆ a  qa a  q N a  | 0 2 !   q 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ qa a aa  | 0  a q N | 1 2 !   q  1   2 ˆ ˆa  q N | 0  a q 1 | 1 ˆ ˆ q a qa 2 !     q         1   2 0 ˆ q | 0  q 1 a  ˆ  q a 2 !    q 2 1 1  ˆ  q q a | 0  2 !   q  q  q 1 | 2q  2 | 2q . q     2    | 0     Nhận thấy (1.16.1) đúng với n=0, 1, 2. ˆ ˆ Giả sử (1.16.1) đúng với n=k tức là : a a | k q  k  | k q , bây giờ ta q hãy chứng minh nó đúng với n=k+1 : ˆ ˆ ˆ ˆ a a | k  1q  a a 1 k 1 ˆ a   k  1  q  | 0 11 1 ˆ ˆˆ  a aa       | k q k  1  q 1 k  1  q 1 k  1  q 1 ˆ ˆˆ a aa  | k q  qaˆ  k  1  q  ˆ ˆ ˆ a  qa a  q N | k q k  | k   a q k | k  ˆ  k q q   k  k  q q k   q  q a | k q ˆ    q  q 1 k  1    q    k 1 k 1    q 1 q   a | k   ˆ q  1  k  1  q  q     q  1 k  1 a  | k   q ˆ q  k  1   q k 1   k  1 a   q ˆ  k  1  q  k  1 q  | 0 k  !  q 1 k  1 !  q k 1   ˆ a | 0 k  1 | k  1 .  q q  Điều phải chứng minh. Áp dụng (1.16.1) ta đi chứng minh biểu thức thứ 2 của (1.16): ˆˆ aa  | n q  n  1 | n q . q (1.16.2) 12   ˆˆ ˆ ˆ aa  | n q  qa a  q N | n q  q n  | n q  q n | n q q  n  n  q q n   | n q  q  q   q  q 1      q n 1  q n 1 q  q 1  n  1 | n q . | n q q Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p có dạng: ˆ p2 1 ˆ ˆ H   m 2x 2, 2m 2 (1.17) Toán tử tọa độ và toán tử xung lượng có thể biểu diễn qua các toán tử sinh, hủy dao động a  , a như sau:    ˆ ˆ a  a 2m  m  ˆ ˆ ˆ p  i a  a , 2 ˆ x  (1.18)  Hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p có dạng:    p, x   i q N  q  1 N  .    q (1.19) Chứng minh  p, x   px  xp.  ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ Nên ta được:        p, x   i  a   a a   a  a   a a   a  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   2   13      ˆˆ ˆ ˆ  i aa   a a  i N  1  N  q q  i N  1  q N   q N   N  q q q q  i q N  q  1 N  . q     Điều phải chứng minh. Khi q=1 thì (1.19) trở về biểu thức thông thường:  p, x   i,   Từ hệ thức (1.17) và (1.18) ta có: Toán tử Hamiltonian được biểu diễn như sau: ˆ  H  2 N    N  1 , q q (1.20) Phổ năng lượng của dao động điều hòa biến dạng q được xác định từ phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H: ˆ H | n q  En | n q , (1.21) Mà lại có : q N    2  ˆ H n  2 n   q  N  1 | n q q q  n  1 q  | n q Vậy: En   2 n  q   n  1 . q (1.22) Khi q=1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều. En   2n  1. 2 14 1.2.2. Thống kê biến dạng –q của các hạt có spin nguyên ˆ Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử F được định nghĩa : F     1 ˆ Tr eN F , Z  Z  Tr eN  (1.23)    n |eN  | n   n 0   en Z  n 0  1 1 e  . (1.24) Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q là phân bố thống kê của a a : a a   1 Tr Z  N   a a  1    n | eN a a | n  Z n 0   1   n | eN  N q | n  Z n 0 1  N    e n q Z n 0 15  1   N  q n  q n      e   1  Z n 0    q q     1 1    n  e  q   eq 1 1  Z q  q n 0   n 0  1 1  1 1         Z q  q 1 1  qe 1  q 1e         n     q  q 1 e 1 1  . Z q  q 1 q  q 1 e   e 2   a a     e   1  e 2  q  q 1 e   1 . (1.25) Trong trường hợp giới hạn q=1 thì phân bố trở về phân bố Boson Einstein thông thường như trong cơ học lượng tử mà ta đã biết. a a   1 e   1 . (1.26) Kết Luận chương 1 Ở chương 1, chúng tôi đã trình bày về dao động của các hạt có spin nguyên và đồng thời tính thống kê của các dao động đó cho cả trường hợp thông thường và trường hợp đã biến dạng. Đối với trường hợp dao động biến dạng, khi thông số biến dạng tiến tới 1 thì các kết quả trùng với các kết quả tương ứng với các kết quả của dao động chưa biến dạng. Như vậy, dao động biến dạng là tổng quát và chứa dao động thông thường như là một trường hợp riêng.