Tài liệu Thác triển chỉnh hình kiểu hartogs chirka

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  PH„M THÀ NGÅC THC TRIšN CHŸNH HœNH KIšU HARTOGS-CHIRKA LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2019 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M - PH„M THÀ NGÅC THC TRIšN CHŸNH HœNH KIšU HARTOGS-CHIRKA CHUY–N NG€NH: TON GIƒI TCH M‚ SÈ: 8 46 01 02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS. TSKH. NGUY™N QUANG DI›U THI NGUY–N - 2019 Líi cam oan Tæi xin cam oan cæng tr¼nh tr¶n l  do tæi nghi¶n cùu d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u. C¡c k¸t qu£ n¶u trong luªn v«n n y l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc n o kh¡c. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2019 T¡c gi£ Ph¤m Thà Ngåc XC NHŠN CÕA KHOA CHUY–N MÆN XC NHŠN CÕA NG×ÍI H×ÎNG DˆN GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u i Líi c£m ìn Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu º ho n th nh luªn v«n tæi ¢ nhªn ÷ñc sü gióp ï nhi»t t¼nh cõa ng÷íi h÷îng d¨n, GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u. Tæi công muèn gûi líi c£m ìn bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n, ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, h÷îng d¨n, ph£n bi»n º tæi câ thº ho n th nh tèt luªn v«n n y. Do thíi gian câ h¤n, b£n th¥n t¡c gi£ cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n câ thº câ nhúng thi¸u sât. T¡c gi£ mong muèn nhªn ÷ñc þ ki¸n ph£n hçi, âng gâp v  x¥y düng cõa c¡c th¦y cæ, v  c¡c b¤n. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2019 T¡c gi£ Ph¤m Thà Ngåc ii Möc löc Líi cam oan Líi c£m ìn Möc löc L½ do chån · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Möc ½ch nghi¶n cùu i ii iii 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Nhi»m vö nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 C§u tróc luªn v«n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H m ch¿nh h¼nh mët bi¸n v  nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 H m a i·u háa d÷îi v  mi·n gi£ lçi . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Chuéi Fourier cõa h m sè li¶n töc v  sü hëi tö . . . . . . . . . . . 2 ành lþ th¡c triºn ch¿nh h¼nh Hartogs v  c¡c mð rëng 2.1 ành lþ th¡c triºn Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 inh lþ kiºu Hartogs-Chirka v· mð rëng h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8 9 K¸t luªn 23 T i li»u tham kh£o 24 iii Mð ¦u 1. L½ do chån · t i. Th¡c triºn ch¿nh h¼nh l  mët b i to¡n quan trång cõa gi£i t½ch phùc mët bi¸n.Trong C måi mi·n ph¯ng ·u l  mi·n ch¿nh h¼nh. i·u n y câ ngh¾a l  tçn t¤i mët h m ch¿nh h¼nh khæng thº mð rëng l¶n mët mi·n rëng hìn thªt sü. Tuy nhi¶n trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u (C n , n ≥ 2) th¼ c¡c k¸t qu£ tr¶n khæng cán óng núa . ành lþ cê iºn cõa Hartogs nâi r¬ng måi h m ch¿nh h¼nh tr¶n l¥n cªn cõa bi¶n mët song ¾a ·u mð rëng ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a. ành lþ n y ¢ ÷ñc Chirka ph¡t triºn cho c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n l¥n cªn cõa ç thà mët h m sè li¶n töc tr¶n ¾a ìn và. ¥y l  mët mð rëng r§t s¡ng t¤o v  l  c£m hùng º c¡c nh  to¡n håc i sau nghi¶n cùu. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu. Luªn v«n nghi¶n cùu: Th¡c triºn ch¿nh h¼nh kiºu Hatogs - Chirka. Chóng tæi cì b£n tr¼nh b y theo mët b i b¡o chuy¶n kh£o cõa Barret v  Bharali. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu Nghi¶n cùu hai ành lþ cì b£n: ành lþ th¡c trºn Hatogs v  ành lþ Chirka v· mð rëng h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn cõa mët ç thà. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Dòng c¡c ph÷ìng ph¡p kÿ thuªt cõa lþ thuy¸t a th¸ và v  gi£i t½ch phùc. 5. C§u tróc luªn v«n. Luªn v«n bao gçm hai ch÷ìng ch½nh. • Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà. Ch÷ìng n y tæi s³ nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa Gi£i t½ch phùc nh¬m phöc vö cho ch÷ìng 2. • Ch÷ìng 2: ành lþ th¡c triºn Hartog v  c¡c mð rëng. Trong ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y l¤i ành lþ Hartogs v  ành lþ kiºu Hartogs-Chirka v· th¡c triºn h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn ç thà. 1 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y chóng ta s³ nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· h m ch¿nh h¼nh mët bi¸n v  nhi·u bi¸n s³ ÷ñc dòng v· sau. Kh¡i ni»m quan trång l  mi·n ch¿nh h¼nh, mi·n gi£ lçi còng vîi nguy¶n lþ li¶n töc º nhªn bi¸t c¡c mi·n gi£ lçi. 1.1 H m ch¿nh h¼nh mët bi¸n v  nhi·u bi¸n ành ngh¾a 1.1.1. H m f x¡c ành trong mi·n D ⊂ C vîi gi¡ trà trong C ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh t¤i z0 ∈ D n¸u tçn t¤i r > 0 º f l  C-kh£ vi t¤i måi z ∈ ∆(z0 , r) ⊂ D. N¸u f ch¿nh h¼nh t¤i måi z ∈ D th¼ ta nâi f ch¿nh h¼nh tr¶n D. V½ dö 1.1.2. C¡c h m a thùc ch¿nh h¼nh tr¶n to n m°t ph¯ng phùc C. C¡c h m húu t ch¿nh h¼nh tr¶n C trø ra t¤i c¡c iºm m  nâ khæng x¡c ành. Cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy sau ¥y l  ành lþ n·n t£ng nh§t cõa gi£i t½ch phùc mët bi¸n. ành lþ 1.1.3. Cho h m f (z) ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n D v  γ l  mët chu tuy¸n trong D sao cho mi·n γ 0 giîi h¤n bði γ n¬m trong D. Khi â vîi måi z0 ∈ γ 0 , ta câ a) 1 f (z0 ) = 2πi 2 Z γ f (z) dz. z − z0 (1.1) Vîi n ≥ 1 ta câ b) f Chùng minh. giîi h¤n bði a) L§y γ. δ >0 Kþ hi»u (n) n! (z0 ) = 2πi Z γ f (z) dz. (z − z0 )n+1 õ b² º h¼nh trán Cδ l  bi¶n cõa ∆(z0 , δ) ∆(z0 , δ) ⊂ γ 0 , (1.2) ph¦n m°t ph¯ng v  °t Dγ,δ = γ 0 \∆(z0 , δ). Do Dγ,δ l  mi·n 2-li¶n, n¶n ta câ Z γ∪Cδ− f (ν) dν = 0. ν − z0 Tø â câ ¯ng thùc Z γ B ng c¡ch tham sè hâa Z Cδ Z f (ν) dν = ν − z0 Cδ f (η) dη. η − z0 η = a + δeiφ , dη = iδeiφ dφ 2π Z f (η) dη = η − z0 0 (1.3) ta câ f (z0 + ρeiϕ ) iϕ ρe dϕ ρeiϕ 2π Z f (z0 + ρeiϕ )dϕ =i 0 2π Z [f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πif (z0 ). =i 0 Cho δ→0 ta câ Z 2π [f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ = 0. lim δ→0 0 Vªy ta câ Z lim δ→0 γ f (η) dη = 2πif (z0 ). η − z0 (1.4) K¸t hñp l¤i ta câ i·u ph£i chùng minh. b. B¬ng c¡ch ¤o h m d÷îi d§u t½ch ph¥n ta câ cæng thùc ph£i chùng minh. Nhí cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy ta chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau v· biºu di¹n àa ph÷ìng mët h m ch¿nh h¼nh th nh mët chuéi thøa. ành lþ 1.1.4. Cho f l  h m ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n mð D. Khi â vîi måi a ∈ D, h m f câ thº khai triºn th nh chuéi lôy thøa trong måi l¥n cªn õ nhä cõa a f (z) = ∞ X cn (z − a)n . n=0 3 (1.5) Hìn núa c¡c h» sè cõa chuéi l  ÷ñc t½nh theo cæng thùc f (n) (a) . n! cn := Tø ành lþ tr¶n chóng ta câ thº hiºu kh¡i ni»m h m ch¿nh h¼nh nhi·u bi¸n nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.5. H m f ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh t¤i z ∈ Cn n¸u f câ thº khai triºn ÷ñc th nh chuéi luÿ thøa trong l¥n c¥n cõa z . H m f ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n D n¸u nâ ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm z ∈ D T÷ìng tü nh÷ ành lþ Cauchy cho h m mët bi¸n phùc, chóng ta câ k¸t qu£ sau ¥y: ành lþ 1.1.6. Gi£ sû U = U (a, r) = {z ∈ Cn : |zj − aj | < rj ∀j = 1, . . . , n} l  a ¾a t¥m a a b¡n k½nh r = (r1 , . . . , rn ) v  Γ = {z ∈ Cn : |zj − aj | = rj ∀j = 1, . . . , n}. N¸u f l  h m li¶n töc tr¶n U v  ch¿nh h¼nh trong U th¼ f (z) =  1 n Z 2πi Γ f (η)dη1 · · · dηn (η1 − z1 ) · · · (ηn − zn ) ∀z ∈ U. (1.6) ành lþ sau ¥y ÷ñc chùng minh t÷ìng tü nh÷ mët bi¸n. ành lþ 1.1.7. Gi£ sû {fn} hëi tö ·u tr¶n måi tªp compact trong D tîi h m f , th¼ h m f ch¿nh h¼nh tr¶n D. Chùng minh. Cho z0 ∈ D. t½ch ph¥n Cauchy vîi måi Chån z ∈ U (z0 , r) fn (z) = Do (fn ) hëi tö ·u tîi f r >0 tr¶n 1 2πi õ b² º Theo cæng thùc ta câ Z ∂D(z0 , r) U (z0 , r) ⊂ D. ∂D(z0 ,r) fn (η) dη. η−z b¬ng c¡ch ti¸n ¸n giîi h¤n d÷îi d§u t½ch ph¥n ta nhªn ÷ñc 1 fn (z) = 2πi vîi måi z ∈ D(z0 , r). V¼ th¸ f Z ∂D(z0 ,r) ch¿nh h¼nh tr¶n fn (η) dη η−z D(z0 , r). Sû döng ành lþ tr¶n chóng ta câ nguy¶n lþ sau ¥y v· t½nh compact cõa hå c¡c h m ch¿nh h¼nh: 4 ành lþ 1.1.8 . Gi£ sû D l  mët mi·n trong C v  F ⊂ H(D). (ành lþ Montel) Khi â F bà ch°n ·u tr¶n c¡c tªp compact n¸u v  ch¿ n¸u måi d¢y {fn } ⊂ F chùa mët d¢y con fnk hëi tö ·u tr¶n c¡c tªp compact. 1.2 H m a i·u háa d÷îi v  mi·n gi£ lçi ành ngh¾a 1.2.1. Cho D l  tªp mð trong C. H m u : D → [−∞, +∞) ÷ñc gåi l  i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u u l  nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D, u 6= −∞ tr¶n b§t k¼ th nh ph¦n li¶n thæng cõa D v  thäa m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh d÷îi tr¶n D. Ngh¾a l  vîi måi x ∈ D, tçn t¤i r > 0 sao cho ∆(x, ρ) ⊂ D v  vîi måi 0 ≤ r < r ta câ 1 u(x) ≤ 2π Z 2π u(x + reit )dt. 0 ành lþ 1.2.2. Cho u l  h m i·u háa d÷îi tr¶n tªp mð D1 v  v l  h m i·u háa d÷îi tr¶n tªp mð D2 ⊂ D1 . Gi£ sû vîi måi x ∈ D1 ∩ ∂D2 ta câ lim sup v(z) ≤ u(x). z→x Khi â h m ( ũ = max{u, v} tr¶nD2 u tr¶n D1 \ D2 l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 . K¸t qu£ sau ¥y gióp chóng ta trìn hâa h m a i·u háa d÷îi. ành lþ 1.2.3. Cho u l  h m i·u háa d÷îi tr¶n tªp mð D ⊂ C vîi u 6= −∞. H m θ l  h m x¡c ành bði ( θ(x) = 1 − 1−kxk 2 λe n¸u kxk < 1 0 n¸u kxk ≥ 1. Vîi r > 0 d÷ìng ta °t 1 z θr (z) = 2 θ 2 r r   z ∈ C. Khi â u ∗ θr l  h m i·u háa d÷îi trìn tr¶n Dr v  hìn núa u ∗ χ ↓ u tr¶n D. Mèi li¶n h» giúa h m ch¿nh h¼nh v  h m a i·u ho  d÷îi ÷ñc thº hi»n nh÷ sau: 5 ành lþ 1.2.4. Cho h m f : D1 → D2 l  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai tªp mð trong C. N¸u u l  h m i·u háa d÷îi tr¶n D2 th¼ t½ch u ◦ f công l  mët h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 . ành ngh¾a 1.2.5. Cho tªp mð D n¬m trong Cn, h m nûa li¶n töc tr¶n u : D → [−∞, +∞) l  a i·u háa d÷îi n¸u h¤n ch¸ cõa u l¶n méi ÷íng th¯ng phùc l  i·u háa d÷îi. Ta câ mët sè t½nh ch§t sau: ành lþ 1.2.6. Cho h m nûa li¶n töc tr¶n u : D → [−∞, +∞), tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ⊂ Cn khæng çng nh§t b¬ng −∞. Ta câ u ∈ P SH(D) n¸u v  ch¿ n¸u vîi måi a ∈ D, b ∈ Cn {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D, ta câ 1 u(a) ≤ 2π 2π Z u(a + eiθ b)dθ = L(u, a, b). 0 Sau ¥y l  ành lþ x§p x¿ cho ph²p ta ti»m cªn mët h m i·u háa d÷îi tòy þ bði c¡c h m a i·u háa d÷îi trìn tr¶n mët mi·n hµp hìn. ành lþ 1.2.7. Cho u l  h m a i·u háa d÷îi tr¶n tªp D mð trong Cn. N¸u ε d÷ìng sao cho Dε := {z ∈ D : d(z, ∂D) > ε} = 6 ∅ th¼ u ∗ χε ∈ C ∞ (Dε ) ∩ P SH(Dε ). Hå {u ∗ χε : ε > 0} l  ìn i»u gi£m khi ε ↓ 0 v  vîi måi z ∈ D ta câ lim u ∗ χε (z) = u(z). ε→0 Kh¡i ni»m d÷îi ¥y l  mët trong nhúng kh¡i ni»m quan trång nh§t cõa gi£i t½ch phùc nhi·u bi¸n. ành ngh¾a 1.2.8. Mi·n D ⊂ Cn gåi l  mi·n ch¿nh h¼nh hay mi·n tçn t¤i cõa h m f ch¿nh h¼nh tr¶n D n¸u khæng thº mð rëng ch¿nh h¼nh f tîi mët mi·n lîn hìn D. Nâi mët c¡ch ch½nh x¡c khai triºn cõa f th nh chuéi luÿ thøa t¤i måi z 0 ∈ D khæng thº hëi tö trong måi a ¾a P (z 0 , r) vîi r < ρ(z 0 , ∂D). ành ngh¾a 1.2.9. Gi£ sû D l  mët mi·n trong Cn . Vîi måi tªp compact K ⊂ D, °t: K̂D = {z ∈ D : |f (z)| ≤ kf kK , ∀f ∈ H(D)} 6 . Tªp K̂D ÷ñc gåi l  bao lçi ch¿nh h¼nh cõa h m K. Mi·n D gåi l  lçi ch¿nh h¼nh n¸u K̂D l  compact vîi måi tªp compact K trong D ành ngh¾a 1.2.10. Mi·n mð D trong Cn gåi l  mi·n gi£ lçi n¸u D câ mët h m a i·u ho  d÷îi v²t c¤n. Tùc l  tçn t¤i u ∈ P SH(D) º {u < c} l  compact t÷ìng èi vîi måi c ∈ R. ành lþ 1.2.11. N¸u mi·n D ⊂ Cn th¼ ba kh¯ng dành sau l  t÷ìng t÷ìng: (i) D l  mi·n ch¿nh h¼nh. D l  mi·n lçi ch¿nh h¼nh. (ii) (iii) D l  mi·n gi£ lçi. 1.3 Chuéi Fourier cõa h m sè li¶n töc v  sü hëi tö ành lþ ch½nh cõa luªn v«n công sû döng mët sè t½nh ch§t cõa chuéi Fourier. °c bi»t l  khai triºn mët h m sè li¶n töc hay kh£ vi th nh chuéi Fourier. Ta b­t ¦u b¬ng ành ngh¾a sau ¥y. ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû f l  h m kh£ t½ch Lebesgue tr¶n [−π, π], chuéi Fourier cõa f l  chuéi l÷ñng gi¡c sau ¥y ∞ α0 X + (αn cos(nx) + βn sin(nx)) Ff (x) := 2 (1.7) n=1 trong â 1 αn = π βn = 1 π Z π f (t) cos(nt)dt, n = 0, 1, 2, . . . Z −π π f (t)(sin nt)dt, n = 1, 2, . . . (1.8) −π K¸t qu£ sau ¥y cho chóng ta i·u ki»n õ º chuéi Fourier cõa h m f nh÷ tr¶n l  hëi tö. ành lþ 1.3.2. Gi£ sû f câ bi¸n ph¥n to n ph¦n bà ch«n th¼ khi â Ff (x) = f (x) t¤i c¡c iºm x ∈ (−π, π) m  t¤i â h m f li¶n töc. Têng qu¡t hìn, 1 Ff (x) = [f (x+ ) + f (x− )] 2 n¸u x l  iºm gi¡n o¤n mët cõa f. 7 Ch÷ìng 2 ành lþ th¡c triºn ch¿nh h¼nh Hartogs v  c¡c mð rëng 2.1 ành lþ th¡c triºn Hartogs Ta ph¡t biºu v  chùng minh d¤ng ìn gi£n sau cõa ành lþ th¡c triºn Hartogs. ành lþ n y ¢ ÷ñc chùng minh v o ¦u th¸ k 20. ành lþ 2.1.1. Cho f l  h m ch¿nh h¼nh tr¶n l¥n cªn cõa tªp compact (∂∆ × ∆) ∪ (∆ × ∂∆). Khi â f mð rëng ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a ∆ × ∆. Chùng minh. Theo ành lþ khai triºn Laurent cõa h m ch¿nh h¼nh mët bi¸n tr¶n h¼nh v nh khuy¶n ta câ thº biºu di¹n ∞ X f (z, w) = ak (w)z k , k=−∞ ð ¥y z∈U l  mët l¥n cªn cõa ¾a ìn và Z ∂∆, w ∈ ∆ v  f (z, w) dz. zk ak (w) = |z|=1 ak Theo cæng thùc l§y ¤o h m d÷îi d§u t½ch ph¥n chóng ta câ h¼nh tr¶n ∆ tr¶n, ta vi¸t vîi måi k. Ta ch¿ c¦n chùng minh k = −k 0 , k 0 > 0 ak = 0 n¸u k < 0. l  h m ch¿nh Theo cæng thùc v  nhªn ÷ñc vîi Z 0 f (z, w)z k dz. ak (w) = |z|=1 Theo ành lþ t½ch ph¥n Cauchy, khi câ thº x²t f˜(z, w) := P k≥0 ak (w)z w õ g¦n ∂∆ chóng ta câ k l  mð rëng ch¿nh h¼nh cõa 8 f ak (w) = 0. Vªy ta l¶n song ¾a. V o nhúng n«m cuèi th¸ k 20, trong cæng tr¼nh [4], Chirka ¢ chùng minh ÷ñc mð rëng sau ¥y cõa ành lþ kinh iºn nâi tr¶n. ành lþ 2.1.2. Cho F l  h m li¶n töc tr¶n ∆ v  thäa m¢n kF k∆ < 1. Kþ hi»u Γ(F ) = {(z, F (z)) : z ∈ ∆} l  ç thà cõa F . Gi£ sû f l  mët h m ch¿nh h¼nh tr¶n mët l¥n cªn cõa Γ(F ) ∪ (∂∆ × ∆). Khi â f mð rëng ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a ∆ × ∆. Ta s³ khæng i v o chùng minh ành lþ n y bði v¼ nâ câ thº ÷ñc suy ra tø ph²p chùng minh ành lþ ¦u ti¶n cõa möc ti¸p theo. 2.2 inh lþ kiºu Hartogs-Chirka v· mð rëng h m ch¿nh h¼nh trong l¥n cªn ç thà Ta ph¡t biºu k¸t qu£ ch½nh ¦u ti¶n cõa luªn v«n. K¸t qu£ n y l m rã hìn l¥n cªn ban ¦u m  h m f c¦n th¡c triºn ÷ñc x¡c ành. ành lþ 2.2.1. Cho F ∈ C(∆; C) v  gi£ sû r¬ng kF k∂∆ < 1. Kþ hi»u an(r) l  h» sè Fourier thù n cõa F (rei ), r > 0, n ∈ Z. Gi£ sû c¡c h» sè n y thäa m¢n i·u ki»n X |an (r)| rn n∈Z <1 ∀r ∈ (0, 1]. (2.1) Gi£ sû D1 l  mët l¥n cªn cõa Γ(F ) ∪ (∂∆ × ∆) v  D2 l  mët tªp mð li¶n thæng b§t ký thäa m¢n ∂∆ × ∆ ⊂ D2 ⊂ D1 ∩ ({|z| ≥ 1} × ∆). Khi â n¸u f ∈ H(D1 ) th¼ f |D2 câ th¡c triºn ch¿nh h¼nh l¶n song ¾a ∆ × ∆. Chó þ r¬ng ta ¢ kþ hi»u F (rei ) thay cho h m sè θ 7→ F (reiθ ). Ta c¦n mët sè ki¸n thùc chu©n bà tr÷îc khi câ thº chùng minh c¡c ành lþ ch½nh. Trong ph¦n ti¸p theo ¥y, kþ hi»u k½nh trong l  r t¥m t¤i a. r, M(a; r, R) l  v nh khuy¶n mð vîi t¥m t¤i b¡n k½nh ngo i l  Ta công vi¸t R, kþ hi»u ∆(a; r) C ∞ (∆; Cm ), m = 1, 2, . . . Cn th¼ ta kþ hi»u e πD ) (D, mët mi·n Riemann-Stein tr£i tr¶n thi¸t l  mi·n mð trong Cn l  lîp c¡c h m kh£ vi væ h¤n l  bao ch¿nh h¼nh cõa qua ¡nh x¤ chi·u Cn . Ta c¦n mët sè k¸t qu£ bê trñ. 9 v  câ b¡n l  h¼nh trán mð b¡n k½nh tr¶n ¾a ìn và, câ ¤o h m th¡c triºn th nh h m li¶n töc tr¶n mi·n trong a∈C πD ∆. D. N¸u D l  mët Nâi chung e D l  v  do â khæng nh§t Bê · 2.2.2. Gåi G(reiθ ) = PNn=−N gn(r)einθ v  gi£ sû G ∈ C ∞(∆; C) thäa m¢n i·u ki»n: N X |gn (r)| <1 rn n=−N ∀r ∈ (0, 1]. (2.2) Khi â h m ch¿nh h¼nh Mr (ξ) = N X  n ξ r gn (r) n=−N ξ ∈ M(0; r, 1), , thuëc v o H[M(0; r, 1)]∩C[M(0; r, 1)] v  thäa m¢n |Mr (eiθ )| < 1. Cè ành η ∈ N v  cho K b M(0; 1/η, 1) l  mët tªp compact. Khi â h m (0, 1/η]×K 3 (r, ξ) 7→ Mr (ξ) th¡c triºn th nh h m li¶n töc l¶n [0, 1/η] × K. Chùng minh. º chùng minh ph¦n ¦u cõa bê · n y, chó þ r¬ng |Mr (eiθ )| ≤ N X n=−N Cè ành η∈N (2.3) n=−N rçi cè ành tªp compact D¹ th§y h m sè [0, 1/ν] × K,  iθ n N X e  |gn (r)|   < 1. |gn (r)|   = r rn K b M(0; 1/ν, 1). (0, ν] × K 3 (r, ξ) 7→ g−n (r)(r/ξ)n câ thº mð rëng li¶n töc l¶n r = 0, X²t h m v  bà tri»t ti¶u t¤i vîi méi n = 1, 2, . . . , N . (r, ξ) 7→ gn (r)(ξ/r)n , n = 1, 2, . . . , N. Chó þ r¬ng (2.2) ⇒ |gn (r)| < rn ∀n = 1, 2, . . . , N. Do G ÷ñc gi£ sû l  trìn n¶n i·u tr¶n k²o theo méi h m b¶n tr¶n ÷ñc th¡c triºn li¶n töc th nh h m ϕn ∈ C([0, 1/k] × K), ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau  gn (r)(ξ/r)n , n  ϕn (r, ξ) :=  1 d gn  , n n! dr V¼ Mr l  têng húu h¤n tø c¡c h m r=0 n¸u (r, ξ) ∈ (0, 1/k] × K, n¸u (r, ξ) ∈ {0} × K. gn (r)(r/ξ)n , hai nhªn x²t tr¶n thi¸t lªp ph¦n thù hai cõa bê ·. Bê · 2.2.3. Cho G nh÷ trong Bê · 2.2.2 nh÷ng gi£ sû th¶m r¬ng kGk∂∆ < 1. Kþ hi»u D1 l  l¥n cªn cõa Γ(G) ∪ (∂∆ × ∆) nh÷ trong ành lþ 2.2.1. Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) {Mr }r∈(0,1) l  mët hå li¶n töc theo ngh¾a: Vîi ξ0 ∈ ∆\{0} cè ành, h m r 7→ Mr (ξ0 ) li¶n töc trong o¤n (0, |ξ0 |). 10 b) limr→0+ Mr (ξ0 ) tçn t¤i vîi méi ξ0 ∈ ∆\{0}, v  tçn t¤i ϕ ∈ H(∆) sao cho ψ(ξ) = limr→0+ Mr (ξ) tr¶n ∆\{0}. c) Tªp hñp E := Γ(ϕ) ∪ ∪0 0 ch¿ phö thuëc v o 11 D1 (z, w) ∈ E . sao cho Theo c¡ch x¥y (ξ, Mr (ξ)) ∈ D1 ∀r, |ξ| < δ(D1 ). Do â z 6= 0 compact khæng chùa v¼ (z, w) ∈ / D1 . 0, tçn t¤i B¥y gií, cho κ1 ∈ N κ2 ∈ N hëi tö ·u tr¶n tªp con sao cho |Mr(k) (ξ) − ψ(ξ)| < ε/2 L§y Mr ∀k ≥ κ1 , ∀ξ ∈ ∆(z; |z|/2). sao cho ξk ∈ ∆(z; |z|/2) v  |w − Mr(k) (ξk )| < ε/2 ∀k ≥ κ2 . C¡c b§t ¯ng thùc b¶n tr¶n k²o theo r¬ng |w − ψ(ξk )| ≤ |w − Mr(k) (ξk )| + |Mr(k) (ξk ) − ψ(ξk )| < ε i·u n y suy ra khi (z, w) ∈ Γ(ψ)\D1 th¼ ∀k ≥ max{κ1 , κ2 }. w = limk→∞ ψ(ξk ). Chùng minh xong (c). Bê · sau l  ch¼a khâa trong chùng minh ành lþ 2.2.1. Tr÷îc khi chùng minh nâ, ta ph¡t biºu k¸t qu£ ìn gi£n sau. Bê · 2.2.4. Cho F ∈ C(∆; C) v  kþ hi»u an(r) l  h» sè Fourier cõa F (rei ), r > 0, n ∈ Z. Gi£ sû r¬ng: 1) kF k∂∆ < 1, v  2) F thäa m¢n i·u ki»n X |an (r)| n∈Z rn <1 ∀r ∈ (0, 1]. (2.6) Cho tr÷îc ε > 0, tçn t¤i h m G ∈ C ∞ (∆; C) câ d¤ng iθ G(re ) = N X Cn (r)einθ , n=−N trong â N l  sè nguy¶n d÷ìng õ lîn v  Cn ∈ C ∞ ([0, 1]; C), sao cho • |F (ξ) − G(ξ)| < ε ∀ξ ∈ ∆, • G câ t½nh ch§t (1) v  thäa m¢n d¤ng t÷ìng tü cõa (2) b¶n tr¶n (vîi Cn (r) ÷ñc thay b¬ng An (r) nh÷ trong (2.6) b¶n tr¶n). Ngo i ra, n¸u t½nh ch§t (2) ÷ñc thay b¬ng (2∗ ) F khæng câ h» sè Fourier ¥m, th¼ G câ thº ÷ñc x¥y düng sao cho nâ thäa m¢n t½nh ch§t (1) v  C−j ≡ 0 vîi j = 1, 2, . . . , N. 12 Chùng minh. ành ngh¾a Sm (θ, r) := m X aj (r)eijθ j=−m σn (θ, r) := ¦u ti¶n ta gi£ sû F S0 (θ, r) + · · · + Sn (θ, r) . n+1 thäa m¢n c¡c t½nh ch§t (1) v  (2). L§y η>0 õ nhä sao cho n < 1 − kF k∂∆ , η+ X |an (r)|/rn < 1 (2.7) ∀r ∈ (0; 1], n∈Z v  °t δ := min(ε, η). N >0 Tçn t¤i sè tü nhi¶n |F (reiθ ) − σN (θ, r)| < δ/2 sao cho ∀(θ, r) ∈ [0, 2π) × [0, 1]. K¸t qu£ tr¶n l  h» qu£ cõa ành lþ Fej²r. Vîi r ∈ [0, 1] ph¡t biºu cõa ành lþ Fej²r ¡p döng cho h m tu¦n ho n (2.8) cè ành, (2.8) ch½nh l  F (rei ). Tuy nhi¶n, kiºm tra chùng minh cõa ành lþ Fej²r, ta th§y r¬ng do t½nh li¶n töc çng bªc cõa h m {F (rei )}r∈[0,1] ⊂ C(T), c¡ch chån N¸u ta vi¸t σN (θ, r) = N trong (2.8) l  thèng nh§t vîi N X r ∈ [0, 1]. aj (r)eijθ , j=−N th¼ ta th§y ngay C−j (r) (i) (ii) (iii) |aj (r)| ≤ |aj (r)| ∀r ∈ [0, 1]. Vîi méi j = 1, 2, . . . , N, thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: C−j ∈ C ∞ ([0, 1]; C), C−j tri»t ti¶u tîi c§p væ h¤n t¤i r0 , v  |a−j (r) − C−j (r)| ≤ δ/2(2N + 1) ∀r ∈ [0, 1], Theo i·u ki»n v· h» sè Fourier ta câ ¡nh gi¡ {An (r)}n∈Z , |aj (r)| ≤ |aj (r)| ≤ rj ∀j = 1, 2, . . . , N, r ∈ [0, 1). Cho 0 < R0 < 1 l  mët sè õ nhä sao cho  R0 ≤ δ 4(2N + 1) 1/j ∀j = 1, 2, . . . , N. 13 ta chån h m Vîi méi j = 1, 2, . . . , N ta inh ngh¾a h m Cj (r) ( Cj (r) := nh÷ sau: αj (r)rj , n¸u r ≤ R0 , βj (r), n¸u r ≥ R0 , thäa m¢n ∗ Cj ∈ C ∞ ([0, 1]; C), ∗ αj bà tri»t ti¶u tîi c§p væ h¤n t¤i ∗ αj thäa m¢n (i ) (ii ) (iii ) r = 0, |αj (r)| ≤ sup s≤1 ∗ (iv ) βj |aj (s)| sj ∀s ∈ [0, R0 ], thäa m¢n R0j δ |βj (r) − aj (r)| ≤ 2(2N + 1) Cuèi còng, ành ngh¾a C0 (r) l  h m C∞ |C0 (r) − a0 (r)| < v  thäa m¢n C0 − C0 (0) ∀r ∈ [R0 , 1]. b§t ký sao cho δ ∀r ∈ [0, 1] 2(2N + 1) tri»t ti¶u tîi c§p væ h¤n t¤i N X iθ G(re ) = r = 0. B¥y gií °t Cj (r)eijθ . j=−N Chóng ta câ mët sè ¡nh gi¡ v· c¡c h» sè Cj . ¦u ti¶n x²t C−j (r), j = 1, 2, . . . , N. Chó þ r¬ng c¡c b§t ¯ng thùc sau v¨n óng n¸u N X |C−j (r) − a−j (r)| ≤ j=1 N X j=1 N X |C−j (r)|rj ≤ N X δN δ ≤ 2(2N + 1) 2(2N + 1) rj  j=1 j=1 ≤ N X δ |a−j (r)| + 2(2N + 1) |a−j (r)|rj + j=1 Ti¸p theo, ta x²t Cj (r), j = 1, 2, . . . , N. ∗ ch§t (iii ) trong ành ngh¾a cõa N X j=1 C−j ≡ 0 vîi b§t ký j = 1, 2, . . . , N. Cj (r) |Cj (r) − aj (r)| ≤ δ 2(2N + 1) Tr÷îc ti¶n, cho (2.9)  ∀r ∈ [0, 1]. 0 ≤ r ≤ R0 . ta thu ÷ñc N X j=1     |a (r)| j  r αj (r) − rj  14 j (2.10) Sû döng t½nh ≤ N X 2R0j sup s≤1 j=1 ≤ N  X j=1 ≤ N X |Cj (r)| rj j=1 V  khi x²t R0 ≤ r ≤ 1, ≤ |aj (s)| sj δ 4(2N + 1)  sup s≤1 |aj (s)| sj δN , 2(2N + 1) N X j=1 sup s≤1 (2.11) |aj (s)| sj ∀r ∈ [0, R0 ]. ∗ ta sû döng t½nh ch§t (iv ) trong ành ngh¾a cõa (2.12) Cj (r) º thu ÷ñc N X |Cj (r) − aj (r)| ≤ N X j=1 j=1 N X |Cj (r)| rj j=1 ≤ N X R0j δ δN ≤ , 2(2N + 1) 2(2N + 1) ( j=1 ≤ R0j δ |aj (r)| + rj 2(2N + 1)R0j N X |aj (r)| rj j=1 + δN 2(2N + 1) (2.13) ) ∀r ∈ [R0 , 1]. (2.14) Tø (2.10) v  (2.12), ta câ N X |Cj (r)| j=−N rj ≤ N X |a−j (r)|rj + j=1 δN + |a0 (r)| 2(2N + 1) N X |aj (s)| δ + + sup 2(2N + 1) sj s≤1 j=1 ≤ N X j=−N ≤ N X j=−N sup s≤1 sup s≤1 |aj (s)| δ(N + 1) + j s 2(2N + 1) |aj (s)| k + <1 sj 2 ∀r ∈ [0, R0 ]. B§t ¯ng thùc cuèi còng ÷ñc suy ra tø ành ngh¾a cõa |aj (r)| ≤ |aj (r)| ∀r ∈ [0, 1]. N X |Cj (r)| j=−N rj ≤ k (2.15) v  k¸t qu£ r¬ng Ti¸p theo, ¡p döng (2.10) v  (2.14) ta thu ÷ñc X |aj (r)| j6=0 rj + δN δ + |a0 (r)| + 2(2N + 1) 2(2N + 1) 15