Tài liệu Tensor đề các và ứng dụng trong vật lí.

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ --------------------- NGUYỄN THỊ THANH TÂM TENSOR ĐỀ-CÁC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Hà Thanh Hùng đã tận tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa. Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết, những ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện có sự hỗ trợ từ giáo viên hƣớng dẫn và không sao chép các công trình nghiên cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này! Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Bố cục của khóa luận .................................................................................... 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 4 CHƢƠNG 1: CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC ........................................................................................... 4 1.1. Khái niệm về Tensor ................................................................................. 4 1.1.1. Một số ký hiệu ....................................................................................... 4 1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ ................................................. 8 1.2. Tensor Đề-các ............................................................................................ 9 1.2.1. Phép biến đổi tọa độ .............................................................................. 9 1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. ....................................................... 11 1.3. Đại số Tensor ........................................................................................... 14 1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. .............................................................. 14 1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. ...................... 14 1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor........................................... 14 1.3.2.2. Phép cuộn tensor. ............................................................................... 15 1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor........................................... 16 1.3.3. Phép hoán vị chỉ số. .............................................................................. 16 1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor. .................................................................. 16 1.3.5. Gradien của một tensor......................................................................... 17 1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor. ............................................................. 18 1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic. .............................................................. 19 1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) ................................................. 19 1.4.2. Tensor Levi – Civita. ............................................................................. 21 1.4.2.1. Định nghĩa: ....................................................................................... 21 1.4.2.2. Tính chất: .......................................................................................... 22 1.4.2.3. Đồng nhất thức. ................................................................................. 22 1.5. Giả tensor ................................................................................................. 23 1.5.1. Phép quay riêng và phép quay riêng ngược ......................................... 23 1.5.2: Giả tensor.............................................................................................. 25 1.6. Tensor kép. ............................................................................................... 26 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC ................... 33 2.1. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng ....................... 33 2.2. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính ........................... 34 2.3. Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh thể ...... 35 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 44 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tensor là khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi và đặc biệt là thuyết tương đối rộng... Tensor lần đầu tiên đƣợc nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio RicciCurbastro, những ngƣời tiếp tục các công trình sơ khởi của Bernhard Riemann và Elwin Bruno Christoffel cùng một số nhà toán học khác, trong một nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối. Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi, ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ các phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động...Việc thiết lập các phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu...là tƣơng đối phức tạp. Tensor cũng có ứng dụng hữu ích trong những lĩnh vực khác nhƣ cơ học môi trường liên tục. Đại số ngoài (exterior algebra) do Hermann Grassmann phát triển từ giữa thế kỷ XIX cũng là một lý thuyết tensor mang nhiều đặc tính hình học trong thời gian đầu, cho đến khi nó đƣợc nhận ra cùng với các dạng vi phân, đƣợc thống nhất về bản chất với phép tính tensor. Vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, vật lý sử dụng những công cụ toán học có sẵn đồng thời đặt ra những yêu cầu mới đối với toán học. Để tìm hiểu rõ hơn về vai trò của tensor Đề-các trong vật lý tôi đã quyết định chọn đề tài : Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu : “Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý” trên cơ sở đó tìm hiểu rõ hơn về Tensor Đề-các và các ứng dụng của nó trong vật lý. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu về tensor Đề-các. - Phân loại tensor Đề-các. - Trình bày các phép tính của tensor Đề-các. - Ứng dụng của tensor Đề-các trong vật lý. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Tensor. - Phạm vi nghiên cứu: Tensor trong hệ tọa độ Đề-các. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách và tham khảo tài liệu, - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp, - Trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Bố cục của khóa luận PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng : Cách phân loại và các ph p iến đ i của tensor Đề-các 1.1: Khái niệm về tensor. - Một số kí hiệu. - Sự chuyển đổi cơ sở. 1.2: Tensor Đề-các. - Cách phân bậc của tensor Đề-các. 1.3: Đại số tensor. 1.4: Tensor Isotropic và Levi – Civita. 1.5: Giả tensor. 1.6: Tensor kép. Chƣơng 2: Ứng dụng vật lý của Tensor. 2.1: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng. 2 2.2: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính. 2.3: Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn  của mạng tinh thể. PHẦN III. KẾT LUẬN 3 NỘI DUNG CHƢƠNG : CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 1.1. Khái niệm về Tensor Tensor là đối tƣợng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính giữa các đại lƣợng vectơ, vô hƣớng, và các tensor với nhau. Những ví dụ cơ bản về liên hệ này bao gồm tích vô hƣớng, tích vector, và ánh xạ tuyến tính. Đại lƣợng vector và vô hƣớng theo định nghĩa cũng là tensor. Có nhiều cách biểu diễn tensor, nhƣ mảng giá trị số đa chiều. Bậc (hay hạng) của một tensor bằng số chiều của mảng cần để biểu diễn nó, hay tƣơng đƣơng với số chỉ số cần để đánh dấu các thành phần của mảng. Ví dụ, một ánh xạ tuyến tính biểu diễn dƣới dạng ma trận 2 chiều, mảng 2 chiều, do đó nó là tensor bậc (hạng) 2. Vector có thể coi là mảng một chiều và là tensor bậc (hạng) 1. Đại lƣợng vô hƣớng là các giá trị số và là tensor bậc (hạng) 0. 1.1.1. Một số ký hiệu Ta sẽ kí hiệu một đại lƣợng vật lý nào đó bằng một hoặc một tập kí tự (chữ La mã, chữ La tinh viết thƣờng hoặc in hay bằng bất kỳ một kí hiệu nào tùy ý, là tên của đại lƣợng vật lý nào đấy cần khảo sát, ví dụ a, A, Ab, , ... ) kèm theo các chỉ số dƣới hoặc trên hoặc hỗn hợp. Các chỉ số này có thể là số jl ... . Đại lƣợng tự nhiên, các chữ (Hy lạp hoặc Latinh), ví dụ Ai , Ai j , aik , ABiak vật lý Ai j thì A là kí tự, tên của đại lƣợng vật lý; j là chỉ số trên; i là chỉ số dƣới. Sau này ngƣời ta gọi các đại lƣợng có kí hiệu nhƣ vậy là đại lƣợng tensor. Trong lý thuyết tổng quát về tensor cần phân biệt chỉ số trên và chỉ số dƣới. Các tensor trong tọa độ Đề-các thì các chỉ số trên và dƣới không có phân biệt gì, và ngƣời ta thƣờng viết một loại chỉ số, thƣờng là chỉ số dƣới và 4 các chỉ số thƣờng bằng chữ Latinh. Dƣới đây khi nói đến tensor, ta hiểu là tensor Đề-các nếu không có chú thích gì đặc biệt. Để sử dụng một cách thống nhất các đại lƣợng vật lý, ta có những quy ƣớc sau đây: Quy ƣớc 1: Nếu một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn, ví dụ Aij , aib j ,... ) với các chỉ số bằng chữ Latinh gặp một lần thì chỉ số ấy là các giá trị từ 1 đến 3 và nó có thể xuất hiện trên tử số hoặc mẫu số của một số hạng trong một biểu thức. Ví dụ: - Đại lƣợng ai có 31  3 thành phần là a1, a2 , a3 - Đại lƣợng Aij có 32  9 thành phần là: a11, a12 , a13 , a21, a22 , a23 , a31, a32 , a33 - Đại lƣợng ai có 32  9 thành phần là: x j a1 a1 a1 a2 a2 a2 a3 a3 a3 , , , , , , , , x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 - Đại lƣợng aijk có 33  27 thành phần. - Đại lƣợng aijmk có 34  81 thành phần. Chỉ số lặp lại một lần trong một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) gọi là chỉ số tự do. Quy ƣớc 2: Chỉ số bằng chữ (Latinh) gặp hai lần trong một đại lƣợng hoặc trong một biểu thức đơn đƣợc lấy tổng từ 1 đến 3. 3 Ví dụ: aii   aii  a11  a22  a33 i 1 3 ai xi   ai xi a1 x1  a2 x2  a3 x3 i 1 5 Chỉ số lặp lại hai lần trong một đại lƣợng hoặc trong một biểu thức đơn gọi là chỉ số câm và có thể thay bằng bất kỳ một chữ nào khác mà kết quả đều nhƣ nhau. Lƣu ý: - Sẽ không bao giờ gặp trong đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) lại có quá hai chỉ số trùng nhau, chẳng hạn đại lƣợng aiib j ci là không có nghĩa (tất nhiên đại lƣợng a11bnc1 lại có nghĩa). - Hai quy ƣớc trên là quy ƣớc chỉ số Anh-xtanh, trong nhiều ứng dụng nó có thể mở rộng đến n tùy ý mà không nhất thiết chỉ đến 3, ví dụ ai có thể có đến n thành phần là a1, a2 , a3, ...an : n aibi   aibi  a1b1  a2b2  ...  anbn i 1 Quy ƣớc 3: Ký hiệu Krônecker: 1, i  j 0, i  j  ij   Nhƣ vậy đại lƣợng  ij có 9 thành phần trong đó ba thành phần bằng 1 đó là 11   22  33  1 ; 6 thành phần còn lại đều bằng 0 đó là: 12   21  13  31   23  32  0 Lƣu ý, các đại lƣợng ai , aij đều gắn với một đại lƣợng vật lý nào đó mà các đại lƣợng vật lý lại đƣợc xác định trong một hệ tọa độ (Đề-các) xác định, nên để phù hợp với các kí hiệu trên đây, các trục tọa độ sẽ đƣợc đánh số từ 1 đến 3 tƣơng ứng với các trục x, y, z . Ta sẽ nói hệ trục tọa độ xi có các vectơ đơn vị ei tƣơng ứng với cách nói đã quen thuộc là hệ trục x, y, z tƣơng ứng với các vectơ đơn vị i , j , k tức là: x1  x, x2  y, x3  z 6 e1  i , e2  j , e3  k Từ quy ƣớc 3 và các lƣu ý trên ta có các hệ quả sau: - Hệ quả 1:  ij   ji - Hệ quả 2:  ii   jj  3 - Hệ quả 3: ik .ik  ii jj  3 - Hệ quả 4:  ij kj   ik aij jk  aik aijij  aii  a jj  a11  a22  a33 - Hệ quả 5: ei .e j  ei . e j cos  ei .e j   cos  ei .e j    ij Quy ƣớc 4: Kí hiệu Levi-Civita.  ijk  1 khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1 2 3,  ijk  1 khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1 2 3,  ijk  0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau. Đại lƣợng  ijk có 33  27 thành phần, có 3 thành phần bằng 1 là 123 ,  231,  312 ; 3 thành phần bằng 1 là 132 ,  213 ,  321 và 21 thành phần còn lại đều bằng 0. Từ quy ƣớc trên với lƣu ý ở quy ƣớc 2, ta có các hệ quả sau: - Hệ quả 1:  ijk   jik   kij - Hệ quả 2:  ijk . ipq   jp kq   jq kp Từ đó ta có ngay:  ijp . ijp  2 pq - Hệ quả 3:  ijk . ijk  6 - Hệ quả 4: ei  e j   ijk ek 7 1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ Vì tensor thể hiện mối quan hệ giữa các vector, tensor phải độc lập với bất kỳ sự lựa chọn hệ tọa độ nào. Khi chọn một cơ sở tọa độ hoặc hệ quy chiếu và áp dụng tensor vào, nó sẽ cho kết quả là một mảng đa chiều đƣợc tổ chức đại diện cho tensor đó trong cơ sở hay hệ quy chiếu đó. Một vector tùy ý a trong hệ tọa độ Đề-các đã cho với 3 thành phần ai trên các trục tọa độ xi . Ta có thể viết a  ai (lƣu ý đây là cách viết mới, không nên hiểu một đại lƣợng vector tƣơng đƣơng với các đại lƣợng vô hƣớng). Cách viết này cũng có thể hiểu việc sắp xếp các thành phần của vector thành hàng hoặc cột là không quan trọng, sau này sẽ thấy rõ hơn việc nhân các đại lƣợng tensor là các phép nhân theo quy ƣớc (định nghĩa), việc mở rộng các phép tính này hoàn toàn phù hợp với phép tính vector đã quen biết khi xếp nó thành hàng hoặc thành cột theo kiểu ma trận. Giả sử có một tập hợp các vector cơ sở e1, e2 , e3 thuộc không gian ba chiều (vector). Trong cơ sở này, bằng cách sử dụng quy ƣớc lấy tổng, vector a đƣợc mô tả: a  a1e1  a2e2  a3e3  aiei Nếu có một cơ sở mới e1 ', e2 ', e3 ' liên quan với cơ sở cũ bởi biểu thức: e j'  Sij e j (tổng trên i ) (1.1) Trong đó Sij là thành phần thứ i của vector e j' đối với cơ sở e1, e2 , e3 .  Trong cơ sở mới này, a  a1' e1'  a2' e2'  a3' e3' (tổng trên i ) Nếu ký hiệu Sij bởi ma trận S thì a'j  (S1 )ij a j (tổng trên j ) Bằng quy ƣớc lấy tổng, có một tổng ẩn trên j từ j  1 tới j  3 Trong trƣờng hợp đặc biệt, phép biến đổi là phép quay của trục tọa độ. Các ma trận biến đổi S là trực giao và ta có: 8 ai'  (ST )ij a j  S ji a j (tổng trên j ) Tuy nhiên, biến đổi vô hƣớng diễn ra khác nhau thì nó vẫn không thay đổi.  Các phép tính vector thƣờng gặp: (i) Phép cộng (trừ) các vector: a  b   ai  bi    ai  bi  ei (ii) Phép nhân vô hƣớng hai vector: a.b  ai ei .bk ek  aibk ei ek  aibk  ik  aibi (iii) Phép nhân có hƣớng hai vector: a  b  ai ei  bk ek  aibk ei  ek  aibk  ikpe p   ikp aibk e p   ikp aibk   pqr a pbqer   pqr a pbq . (iv) Tích hỗn hợp của 3 vector:   a b  c  aiei pqr bpcqer   pqr aibpcqei .er   pqr aibpcq ir   pqr ar bpcq 1.2. Tensor Đề-các 1.2.1. Phép biến đổi tọa độ Hình 1 9 Giả sử hai hệ tọa độ Đề-các trực giao có chung gốc tọa độ tùy ý     Ox1x2 x3   Oxi  và Ox1' x2' x3'  Oxi' (Hình 1). Vì hai hệ trục  Oxi  và Oxi' đều trực giao có chung gốc nên có thể hệ trục này nhận đƣợc từ hệ trục kia bằng phép quay các trục quanh gốc tọa độ hoặc bằng phép chiếu gƣơng các trục đối với một mặt tọa độ nào đấy, hoặc có thể kết hợp cả hai cách. Gọi ei và ei' là các vector đơn vị trên các trục tọa độ tƣơng ứng và cosin của góc giữa hai trục xi và xk' kí hiệu là aik . Rõ ràng ta có:       ei .ek'  ei . ek' cos ei .ek'  cos ei .ek'  cos xi xk'  aik (1.2) Và có 9 đại lƣợng aik nhƣ vậy. Ta lập bảng: e1 e2 e3 e1' a11 a12 a13 e2' a21 a22 a23 e3' a31 a32 a33 Hoặc ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:  a11 a12 A   aik    a21 a22 a  31 a32 a13  a23  a33  (1.3) Nhờ ma trận biến đổi này mà các vector đơn vị trên hệ trục tọa độ  Oxi  (tạm gọi là hệ trục tọa độ cũ) là ek có thể biểu diễn qua các vector đơn vị của hệ trục tọa độ mới ei' và ngƣợc lại: ei'  aik .ek ; ek  aik .ei' (lƣu ý đến quy ƣớc về chỉ số) 10 (1.4) Nói cách khác, khi cho trƣớc một hệ trục tọa độ Đề-các (tƣơng ứng với cho tập các vector đơn vị hay hệ các vector cơ sở) và ma trận cosin chỉ phƣơng thì hệ vector cơ sở mới (tƣơng ứng với hệ trục tọa độ mới) là hoàn toàn xác định theo (1.4). Dễ dàng thấy rằng các hàng và các cột của ma trận A đều là những vector trực giao và trực chuẩn, nghĩa là các vector vuông góc với nhau có độ lớn (chuẩn) bằng đơn vị. Thật vậy: ei' .ek'   ik  aip e p .akp eq  aip akq pq  aip akp ei ek   ik  a pi e p' .aqk eq'  a pi aqk  pq  a pi a pk (1.5) Ma trận gồm các hàng, các cột trực giao và trực chuẩn gọi là ma trận trực giao. Các ma trận trực giao thỏa mãn đẳng thức: A1  AT 1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. Vector tùy ý x trên Hình 1 có thể biểu diễn qua các thành phần tƣơng ứng trong hệ tọa độ mới xi' và trong hệ tọa độ cũ xk nhƣ sau: x  xi'  xi' .ei' (1.6) x  xk  xk .ek (1.7) Các vector đơn vị ei' và ek lại có quan hệ thông qua (1.4). Từ (1.4) và (1.6) và (1.7) suy ra: xi'  aik xk ; xk  aik xi' (1.8) Đẳng thức (1.8) chứng tỏ rằng nếu biết trƣớc ma trận cosin chỉ phƣơng của hai hệ trục tọa độ và các thành phần của một vector nào đó trong một hệ trục đã cho thì các thành phần của nó trong hệ trục kia cũng hoàn toàn xác định. Quy luật này giống với quy luật biến đổi hệ trục tọa độ (1.4). Từ kết quả đó cho phép ta có một định nghĩa mới về vector nhƣ sau: 11 Một hệ thống gồm 31  3 thành phần xk cho trong một hệ tọa độ Đềcác nào đó, khi hệ trục này thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần này cũng thay đổi theo quy luật ấy (quy luật (1.8)), chúng lập thành một tensor Đề-các bậc nhất. Lƣu ý rằng quy luật biến đổi của tensor bậc nhất tỉ lệ bậc nhất với các cosin chỉ phƣơng. Một vector là một tensor bậc nhất nhƣng không phải chỉ có vector mới là tensor bậc nhất mà bất kỳ một tập 3 thành phần nào khi hệ trục tọa độ thay đổi mà nó đƣợc xác định theo quy luật (1.8) đều là tensor bậc nhất. Một mặt phẳng có phƣơng trình tổng quát cho trong hệ trục  Oxi  là: ak xk  ai xi  1, khi hệ trục thay đổi thành Ox  ' i phƣơng trình của mặt phẳng này trong hệ trục tọa độ mới là: ai' xi'  1 Quan hệ giữa tọa độ xk và xi' nhƣ đã biết là: xi'  aik xk . Vậy thì: ai' xi'  ai' aik xk  1  ak xk hay ak  aik ai' . Đây chính là quan hệ của biến đổi tensor bậc nhất (1.8). Vậy các hệ số của mặt phẳng ak cũng là một tensor bậc nhất. Tensor bậc nhất có một bất biến, đó là “độ dài” và “hƣớng” của nó đƣợc xác định bằng tích xi xi trong hệ tọa độ cũ và xi' xi' trong hệ tọa độ mới là không thay đổi (bằng nhau). Thật vậy, ta có: xi' .xi'  aip x p .aiq xq  aip aiq .x p xq   pq x p xq  xi xi Để dẫn đến các tensor bậc cao hơn (chẳng hạn bậc 2) ta xét tích của 2 vector đƣợc định nghĩa nhƣ sau: x  y  xi yk (1.9) nghĩa là lấy tập hợp các tích có thể có đƣợc của từng thành phần của hai vector x và y . Ta có tất cả 9 tích nhƣ vậy. Kí hiệu: 12 aik  xi yk (1.10) Ta thử xem các thành phần aik sẽ thay đổi nhƣ thế nào khi chuyển sang hệ trục tọa độ mới. Gọi aik' là các thành phần của nó trong hệ trục mới và khi chuyển sang hệ trục mới, đẳng thức (1.10) trở thành: aik'  xi' yk' (1.11) Do xi , yk là thành phần của tensor bậc nhất nên sang hệ tọa độ mới phải tuân theo quy luật (1.8): aik'  aip x p .akq yq  aip akq .x p yq  aip akq .a pq (1.12) Đẳng thức (1.12) chứng tỏ rằng việc chuyển đổi các thành phần a pq trong hệ tọa độ cũ sang các thành phần trong tọa độ mới là có quy luật xác định dựa vào các thành phần của ma trận chuyển đổi A và tỷ lệ bậc hai với các thành phần cosin chỉ phƣơng này. Quy luật (1.12) dẫn đến định nghĩa tensor bậc hai nhƣ sau: Một hệ thống gồm 32  9 thành phần aik cho trong một hệ trục tọa độ Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.12) chúng lập thành một tensor Đề-các bậc hai. Dễ dàng thấy rằng các hệ số của mặt bậc hai tổng quát aik xi xk  1 , là một tensor bậc hai. Trên cơ sở nghiên cứu quy luật biến đổi của tensor bậc nhất và tensor bậc hai ta có thể mở rộng để định nghĩa một tensor Đề-các bậc N bất kỳ nhƣ sau: Một hệ thống gồm 3N thành phần aikp... cho trong một hệ trục tọa độ Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần này thay đổi theo quy luật: ' aikp  aim akn a ps ...amns... 13 (1.13) chúng lập thành một tensor Đề-các bậc N . Các thành phần của tensor trong hai hệ trục tỉ lệ bậc N với các cosin chỉ phƣơng. Trƣờng hợp đặc biệt, các vô hướng là tensor bậc không. 1.3. Đại số Tensor Đại số tensor nghiên cứu các phép tính đại số nhƣ: phép cộng, phép trừ, phép nhân (tích trong, tích ngoài và phép cuộn) tensor. 1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. Giả sử aijk ... và bijk ... là các thành phần của cùng một tensor. Các tensor Đề-các cùng bậc có thể cộng (hoặc trừ) các thành phần theo nguyên tắc sau: aijk ...  bijk ...  cijk ... (1.14) Tensor tổng này sẽ cùng bậc với các tensor thành phần. Cần lƣu ý rằng các chỉ số nhƣ nhau đƣợc sắp xếp theo một thứ tự nhất quán trong mỗi một phần tử. Phép nhân tất cả các thành phần của tensor với một vô hƣớng cho một tensor mới cùng bậc, chẳng hạn: bijk  a.aijk (1.15) 1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. 1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của hai tensor có bậc tùy ý là một tensor mới mà mỗi thành phần của nó đƣợc biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia. Bậc của tensor mới bằng tổng bậc của hai tensor thành phần. Chứng minh: Giả sử đối với hai tensor có bậc hai và bậc ba aik và bijk . Tích có thể của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia sẽ là aik bpqr . Ta kí hiệu kết quả phép nhân này là cikpqr , nghĩa là: 14 cikpqr  aik bpqr Bây giờ cần chứng minh cikpqr là một tensor bậc năm. Thật vậy, trong hệ tọa độ mới có: ' cikpqr  aik' b'pqr Do giả thiết, aik và bpqr là hai tensor bậc hai và bậc ba nên ở hệ tọa độ mới, các thành phần này biến đổi theo quy luật của tensor, vậy: ' cikpqr  aim akn amn a ps aqh arj bshj  aim akn a ps aqh arj amnbshj  aimakna ps aqharj cmnshj Theo định nghĩa đây là quy luật của tensor bậc năm. 1.3.2.2. Phép cuộn tensor. Phép cuộn tensor theo hai chỉ số là phép tính khi hai chỉ số trùng nhau và nhƣ vậy nó tuân theo quy tắc lấy tổng. Kết quả phép cuộn tensor đƣợc một tensor mới (tích chập) có bậc giảm hai đơn vị so với tensor ban đầu. Việc chứng minh kết quả của phép cuộn tensor là một tensor có bậc bé hơn tensor ban đầu hai đơn vị hoàn toàn tƣơng tự nhƣ cách chứng minh tích ngoài của hai tensor. Điều cần lƣu ý là để thực hiện phép cuộn tensor đòi hỏi tensor ban đầu phải có bậc ít nhất là hai và có thể cuộn nhiều lần. Ví dụ: Chỉ ra phép cuộn của một tensor bậc N tạo ra tensor bậc  N  2 . Bài làm Giả sử Tij...l ...m...k là các thành phần của một tensor bậc N thì: ' Tij... l ...m...k  Lip L jq ...Llr ...Lms ...Lkn Tpq...r ...s...n Nthuaso Nếu l  m thì: ' Tij... l ...l ...k  Lip L jq ...Llr ...Lls ...LknTpq...r ... s...n  Lip L jq ... rs ...LknTpq...r ...s...n 15