Tài liệu Tập hút đều đối với một lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TŠP HÓT —U ÈI VÎI MËT LÎP PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC SUY BI˜N TÜA TUY˜N TNH KHÆNG ÆTÆNÆM LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2018 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TŠP HÓT —U ÈI VÎI MËT LÎP PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC SUY BI˜N TÜA TUY˜N TNH KHÆNG ÆTÆNÆM Ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8 46 01 02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS.PH„M THÀ THÕY Th¡i Nguy¶n - 2018 Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trung thüc v  khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. C¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2018 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà Ngåc H¥n X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa To¡n cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Ph¤m Thà Thõy i Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS. Ph¤m Thà Thõy , ng÷íi cæ ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc còng to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v  cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Luªn v«n ch­c ch­n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Thà Ngåc H¥n ii Möc löc Líi cam oan Líi c£m ìn Möc löc Mët sè kþ hi»u v  vi¸t t­t Mð ¦u 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 C¡c khæng gian h m 1.3 Tªp hót to n cöc 1.4 1i ii2 3 iii v5 1 4 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Tªp hót to n cöc 1.3.3 Sü tçn t¤i tªp hót to n cöc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . 13 Tªp hót ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Tªp hót ·u cõa qu¡ tr¼nh ìn trà . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Tªp hót ·u cõa nûa qu¡ tr¼nh a trà . . . . . . . . 18 1.5 Mët sè b§t ¯ng thùc th÷íng dòng . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Mët sè bê · quan trång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iii 2 Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm 23 2.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Sü tçn t¤i nghi»m y¸u 25 2.3 Sü tçn t¤i tªp hót ·u trong 2.4 T½nh trìn cõa tªp hót ·u trong tr÷íng hñp duy nh§t nghi»m v  p=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Tªp (L2 (Ω), Lq (Ω)) 2.4.2 Tªp (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u K¸t luªn T i li»u tham kh£o 27 31 . . . . . . . . . . . . 35 - hót ·u 39 . . . . . . 41 42 iv Mët sè kþ hi»u v  vi¸t t­t R = (−∞; +∞) : tªp Rn : khæng gian v²ctì tuy¸n t½nh thüc n chi·u. C([a; b], Rn ) : tªp C(Ω) : l  C k (Ω) : c¡c sè thüc. t§t c£ c¡c h m li¶n töc tr¶n [a; b] v  nhªn gi¡ trà tr¶n khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n mi·n Ω. l  khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc ·u c§p k tr¶n mi·n L2 ([a, b], Rm ) : C ∞ (Ω) : l  tªp c¡c h m kh£ t½ch bªc hai tr¶n [a, b] v  l§y gi¡ trà trong ÷ñc x¡c ành b¬ng \ C(Ω), C k (Ω), ..., vîi gi¡ compact. khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc c§p væ h¤n tr¶n mi·n Vîi gi¡ compact. Trong â khæng gian c¡c h m lôy thøa bªc p kh£ t½ch Lebesgue. : k(Ω)kLp (Ω) 1 |(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞). Z =( (Ω) ∞ L (u) = {u : u → R|u l  Trong â Ω. C k (Ω). k∈N k Cc (Ω), Cc (Ω), ..., kþ hi»u c¡c h m trong Lp (Ω) : l  Ω. khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc c§p væ h¤n tr¶n mi·n C0∞ (Ω) : L  Rn . o ÷ñc Lebesgue, kukL∞ (u) : kukL∞ (u) = ess sup |u|. u v < ∞}. Ω. Rm . Ω0 ⊂⊂ Ω th¼ v(x) ∈ L1 (Ω0 ). Z L1loc (Ω) : tçn t¤i L1 (Ω) : gçm c¡c h m câ ë o Lebesgue Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ), H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, 3...) l  vîi måi Ω|v(x)| < +∞. V ⊂⊂ u}. kþ hi»u c¡c khæng gian Sobolev. C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, ..., 0 < β ≤ 1) l  c¡c khæng gian Holder. Ou = (ux1 , ..., uxn ) l  v²ctì gradient cõa h m u. n X Mu= uxi xi l  to¡n tû Laplace cõa h m u. i=1 2 : k¸t thóc chùng minh. vi Mð ¦u 1. L½ do chån · t i . C¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n nhi·u trong c¡c qu¡ tr¼nh cõa vªt lþ, hâa håc, sinh håc ... Vi»c nghi¶n cùu nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh n y câ þ ngh¾a quan trång trong khoa håc v  cæng ngh». Ch½nh v¼ vªy nâ ¢ v  ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  khoa håc tr¶n th¸ giîi. C¡c v§n · °t ra l  nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m, sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m theo dú ki»n ¢ cho v  c¡c t½nh ch§t ành t½nh cõa nghi»m cõa b i to¡n. Trong ba thªp k g¦n ¥y, lþ thuy¸t c¡c h» ëng lüc ti¶u hao væ h¤n chi·u ÷ñc ph¡t triºn m¤nh m³. Lþ thuy¸t n y n¬m ð giao cõa 3 chuy¶n ng nh l  lþ thuy¸t h» ëng lüc, lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng v  lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. B i to¡n cì b£n cõa lþ thuy¸t n y l  nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa tªp hót. Nhi·u k¸t qu£ v· lþ thuy¸t tªp hót èi vîi nhi·u lîp ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng ÷ñc tr¼nh b y trong [8],[14]. Mët trong nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc nghi¶n cùu nhi·u nh§t l  lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic. Sü tçn t¤i tªp hót to n cöc èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh khæng suy bi¸n ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u t¡c gi£ trong mi·n bà ch°n. T½nh li¶n töc cõa tªp hót to n cöc èi vîi c¡c b i to¡n parabolic ÷ñc nghi¶n cùu trong c¡c cæng tr¼nh[3], [6], [12]. Cho ¸n nay, c¡c k¸t qu£ v· lþ thuy¸t tªp hót èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh 1 parabolic khæng suy bi¸n r§t phong phó v  ¢ kh¡ ho n thi»n. Lþ thuy¸t v· tªp hót to n cöc èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho b i to¡n chùa ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n câ ph¦n ch½nh d¤ng −4Φ(u) ho°c −div(Φ(u)O(u)) trong â Φ(0) = 0; ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n chùa to¡n tû Grashin; ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n kiºu Caldiroli - Mussina...C¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i tªp hót ·u ÷ñc nghi¶n cùu trong [2], [7], [11], [9], ... Vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  t½nh ch§t cõa tªp hót èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n l  v§n · thíi sü, câ þ ngh¾a khoa håc v  hùa hµn câ nhi·u ùng döng trong c¡c b i to¡n thüc t¸. Vîi nhúng l½ do tr¶n, chóng tæi lüa chån v§n · tr¶n l m nëi dung º nghi¶n cùu luªn v«n vîi t¶n gåi  Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm . 2. Möc ½ch v  nhi»m vö nghi¶n cùu. 2.1. Möc ½ch nghi¶n cùu . Möc ½ch cõa luªn v«n l  nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  mët sè t½nh ch§t cõa tªp hót to n cöc (bao gçm t½nh trìn,¡nh gi¡ sè chi·u fractal,...) èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh suy bi¸n kiºu Caldiroli - Mussina trong mi·n bà ch°n. 2.2. Nhi»m vö nghi¶n cùu . Tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m c¡c khæng gian h m, tªp hót to n cöc, sü tçn t¤i tªp hót to n cöc, sè chi·u fractal. Tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm tr¶n mi·n bà ch°n 3. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. Ω ⊂ RN . º chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m y¸u, chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin k¸t hñp vîi c¡c bê · compact. º chùng minh sü tçn t¤i tªp hót v  t½nh trìn cõa tªp hót chóng tæi sû söng ph÷ìng ph¡p cõa l½ thuy¸t h» ëng lüc væ h¤n chi·u, nâi ri¶ng l  2 ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m ti»m cªn. 4. Bè cöc luªn v«n. Nëi dung luªn v«n gçm 44 trang, trong â câ ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v  danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà: Trong Ch÷ìng 1 chóng tæi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m v· c¡c khæng gian h m,tªp hót to n cöc v  sü tçn t¤i cõa tªp hót to n cöc,sè chi·u fractal cõa tªp hót to n cöc,tªp hót ·u trong qu¡ tr¼nh ìn trà v  tªp hót ·u nûa qu¡ tr¼nh a trà. ¥y l  nhúng ki¸n thùc cì sð bê trñ cho ki¸n thùc Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm: Tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm tr¶n mi·n bà ch°n Ω ⊂ RN ,trong tr÷íng hñp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh câ thº khæng duy nh§t. Ch÷ìng n y công tr¼nh b y k¸t qu£ v· t½nh trìn cõa tªp hót ·u nhªn ÷ñc ð tr¶n trong mët tr÷íng hñp °c bi»t â l  tr÷íng hñp nûa tuy¸n t½nh v  duy nh§t nghi»m. Vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  t½nh ch§t cõa tªp hót èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n l  v§n · thíi sü, câ þ ngh¾a khoa håc v  hùa hµn câ nhi·u ùng döng trong c¡c b i to¡n thüc t¸. Vîi nhúng l½ do tr¶n, chóng tæi lüa chån v§n · tr¶n l m nëi dung º nghi¶n cùu luªn v«n vîi t¶n gåi  Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm . Cuèi còng l  ph¦n k¸t luªn tr¼nh b y tâm t­t k¸t qu£ ¤t ÷ñc. 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· c¡c khæng gian h m, tªp hót ·u, tªp hót to n cöc,sè chi·u fractal cõa tªp hót to n cöc, tªp hót ·u cõa qu¡ tr¼nh ìn trà v  tªp hót ·u cõa nûa qu¡ tr¼nh a trà. Nhúng ki¸n thùc bê trñ cho ki¸n thùc ð Ch÷ìng 2 ÷ñc tr½ch d¨n trong [5], [7], [8], [10], [13], [14], [15]. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m ành ngh¾a 1.1.1. iºm gèc θ. H m kxk ≥ 0 (i) (ii) (iii) Cho X l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng k.k : X → R vîi måi kλxk = |λ|kxk x∈X vîi måi kx + yk ≤ kxk + kyk ÷ñc gåi l  chu©n tr¶n v  X K vîi n¸u kxk = 0 ⇔ x = θ. x∈X vîi måi v  λ ∈ K. x, y ∈ X. Khi â c°p (X, k.k) Nhªn x²t. Måi khæng gian ành chu©n l  khæng gian metric vîi kho£ng c¡ch ÷ñc gåi l  khæng gian ành chu©n. d(x, y) = kx − yk. Kho£ng c¡ch x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l  kho£ng c¡ch sinh bði chu©n. ành ngh¾a 1.1.2. Khæng gian ành chu©n 4 X ¦y õ èi vîi kho£ng c¡ch sinh bði chu©n ÷ñc gåi l  khæng gian Banach. ành ngh¾a 1.1.3. Cho X l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng sè thüc R. Mët t½ch væ h÷îng trong X l  mët ¡nh x¤ h., .i: X × X → R thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) hx, yi = hy, xi, (ii) vîi måi x, y ∈ X ; hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, (iii) hλx, yi = λ hx, yi, (iv) hx, xi > 0, vîi måi vîi måi vîi måi x, y, z ∈ X ; x, y ∈ X ; λ ∈ R; x 6= 0; hx, xi = 0 ↔ x = 0. Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi t½ch væ h÷îng h., .i ÷ñc gåi l  khæng gian ti·n Hilbert. Chu©n cõa ph¦n tû x ∈ X, k½ hi»u |x| = q |x| v  ÷ñc x¡c ành: hx, xi (1.1) Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ vîi metric sinh bði chu©n x¡c ành bði (1.1) ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert. 1.2 C¡c khæng gian h m ành ngh¾a 1.2.1. Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ , Ω ∈ RN bao gçm t§t c£ c¡c h m kh£ t½ch Lebesgue bªc p l  khæng gian Banach tr¶n Ω vîi chu©n ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: kukLp (Ω) 1 Z := ( |u|p dx) p . Ω Lp (Ω) l  khæng gian Banach ph£n x¤ khi ành ngh¾a 1.2.2. L∞(Ω) 1 < p < +∞. l  khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc v  bà ch°n h¦u kh­p tr¶n Ω vîi chu©n kukL∞ (Ω) := ess sup |u(x)|. x∈Ω 5 ành ngh¾a 1.2.3. Gi£ sû σ:Ω→R l  h m o ÷ñc Lebesgue, khæng ¥m v  thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: khi mi·n (Hα ) σ ∈ L1loc (Ω) v  Ω v  khi mi·n ∞ (Hα,β )σ vîi bà ch°n, α ∈ (0, 2), lim infx→z |x−z|−α σ(x) > 0 vîi måi z ∈ Ω, khæng bà ch°n. thäa m¢n i·u ki»n (Hα ) v  lim inf|x|→∞ |x|−β σ(x) > 0 vîi β > 2. Khi â ta ành ngh¾a khæng gian C0∞ (Ω) Ω D01 (Ω, σ) l  bê sung õ cõa khæng gian èi vîi chu©n kukD01 (Ω,σ) D01 (Ω, σ) 1 Z := ( σ(x)|Ou|2 dx) 2 . Ω l  khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng Z (u, v) := ( σ(x)OuOvdx. Ω K½ hi»u D− 1(Ω, σ) 2, α ∈ (0, 2), l  khæng gian èi ng¨u cõa 2∗α Gi£ sû N ≥ v   4   ∈ (2, ∞) 2∗α = α 2N 2N   ∈ (2, ) N −2+α N −2 Sè mô D01 (Ω, σ). n¸u N =2 . n¸u N ≥3 l  sè mô giîi h¤n trong ph²p nhóng Sobolev li¶n quan ¸n khæng gian D01 (Ω, σ). Trong luªn v«n n y ta sû döng c¡c khæng gian h m phö thuëc thíi gian sau: ành ngh¾a 1.2.4. C([a, b]; X) X li¶n töc tø Gi£ sû X l  mët khæng gian Banach. l  khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m [a, b] v o X vîi chu©n ||u||C([a,b];X) = sup ||u(t)||X . t∈[0,T ] 6 u : [a, b] → Lp (a, b; X) khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m sao cho ||u||Lp (a,b;X) u : (a, b) → X 1 Z b := ( ||u(t)||pX dt) p < +∞. a Bê · 1.2.5. Gi£ sû r¬ng Ω l  mi·n bà ch°n tr¶n RN , N ≥ 2, v  σ thäa m¢n i·u ki»n (Hα ). Khi â: ∗ (i) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ L2α (Ω) (ii) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) l  li¶n töc; l  compact n¸u p ∈ [1, 2∗α ). Bê · 1.2.6. Gi£ sû r¬ng Ω l  mi·n khæng bà ch°n tr¶n RN , N ≥ 2, v  σ thäa m¢n i·u ki»n (i) Ph²p nhóng ∞ (Hα,β ). Khi â: D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) (ii) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) l  li¶n töc vîi måi l  compact n¸u Ta ành ngh¾a khæng gian Sobolev câ trång khæng gian C0∞ (Ω) p ∈ [2∗β , 2∗α ]; p ∈ (2∗β , 2∗α ). D02 (Ω, σ) l  bao âng cõa vîi chu©n kukD02 (Ω,σ) 1 Z := ( |div(σ(x)Ou)|2 dx) 2 . Ω â l  mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng t÷ìng ùng l  (u, v)D02 Z := ( div(σ(x)Ou)div(σ(x)Ov)dx. Ω K¸t qu£ sau suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a cõa khæng gian v  ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ L2 (Ω) khi σ thäa m¢n D01 (Ω, σ), D02 (Ω, σ) (Hα ). M»nh · 1.2.7. Gi£ sû Ω l  mët mi·n bà ch°n trong RN (N ≥ 2), v  σ thäa m¢n (Hα ). Khi â ph²p nhóng D02 (Ω, σ) ,→ D01 (Ω, σ) 7 l  li¶n töc. Chùng minh. Vîi b§t k¼ h m ||u||2D01 (Ω,σ) = u ∈ C0∞ (Ω), ta câ Z σ|Ou)|2 dx ΩZ = − div(σ Ou)udx Ω 1 Z 1 Z ≤ ( |div(σ Ou)|2 dx) 2 ( |u|2 dx) 2 Ω Ω = ||u||D02 (Ω,σ) ||u||L2 (Ω) . ||u||L2 (Ω) ≤ C||u||D01 (Ω,σ) M°t kh¡c ta câ , ð â C ëc lªp vîi u, vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. 1.3 Tªp hót to n cöc 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m X Gi£ sû l  mët khæng gian Banach, ta câ c¡c ành ngh¾a sau: ành ngh¾a 1.3.1. x¤ Mët nûa nhâm ( li¶n töc) tr¶n S(t) : X → X, t ≥ 0, (i) S(0) = I , I (ii) X l  mët hå c¡c ¡nh thäa m¢n l  ph²p çng nh§t, S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s), (iii) S(t)u0 li¶n töc èi vîi ành ngh¾a 1.3.2. (t, u0 ) ∈ [0; +∞) × X . Quÿ ¤o cõa S(t) tr¶n I ⊂ R l  mët ¡nh x¤ u : I → X thäa m¢n: u(t + s) = S(t).u(s), vîi måi N¸u s ∈ I, t ≥ 0 I =R v  k½ hi»u l  v  τ >0 t + s ∈ I. uo = z ∈ X , th¼ u gåi l  quÿ ¤o ¦y õ xuy¶n qua z γ(z). Quÿ ¤o ¦y õ n¸u sao cho γ = {u(t) sao cho t ∈ R} gåi l  quÿ ¤o tu¦n ho n sao cho: u(t + τ ) = u(t), 8 vîi måi t∈R u0 ∈ X Ph¦n tû h» ëng lüc gåi l  iºm cè ành( iºm døng, iºm c¥n b¬ng) cõa (X, S(t)) n¸u: S(t)u0 =u0 , ành ngh¾a 1.3.3. (i) Tªp Y ⊂X (iii) Tªp t ≥ 0. C¡c kh¡i ni»m b§t bi¸n: ÷ñc gåi l  b§t bi¸n d÷ìng n¸u Y ⊂X (ii) Tªp vîi måi ÷ñc gåi l  b§t bi¸n ¥m n¸u Y ⊂X ÷ñc gåi l  b§t bi¸n n¸u S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ 0. S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0. S(t)Y = Y, ∀t ≥ 0. Ta giîi thi»u c¡c kh¡i ni»m v· t½nh ti¶u hao cõa nûa nhâm. ành ngh¾a 1.3.4. H» ëng lüc (X, S(t)) gåi l  ti¶u hao iºm( t÷ìng ùng ti¶u hao bà ch°n) n¸u tçn t¤i mët tªp bà ch°n B0 ⊂ X cho (X, S(t)) l  ti¶u hao bà ch°n th¼ tçn t¤i mët tªp vîi h» ëng lüc vîi måi t ≥ T. Nûa nhâm S(t) bà ch°n) n¸u tçn t¤i mët tªp bà ch°n tªp bà ch°n) cõa T = T (B) ≥ 0 B0 sao nh÷ vªy gåi l  tªp h§p thö èi gåi l  ti¶u hao iºm ( t.÷., ti¶u hao B0 ⊂ X hót c¡c iºm (t.÷., hót c¡c X. S(t) l  ti¶u hao bà ch°n th¼ tçn t¤i mët tªp B0 ⊂ X tªp bà ch°n Tªp B0 Tªp tçn t¤i (X, S(t)). ành ngh¾a 1.3.5. N¸u B ⊂ X, sao cho vîi måi tªp bà ch°n S(t)B ⊂ B0 , hót c¡c iºm( X. t÷ìng ùng hót c¡c tªp bà ch°n) cõa N¸u h» ëng lüc B0 ⊂ X B ⊂ X, tçn t¤i T = T (B) ≥ 0 sao cho sao cho vîi måi S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . nh÷ vªy gåi l  mët tªp h§p thö èi vîi nûa nhâm S(t). D¹ th§y mët nûa nhâm ti¶u hao bà ch°n th¼ ti¶u hao iºm. i·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng, nh÷ng nâ óng èi vîi c¡c nûa nhâm trong khæng gian húu h¤n chi·u. B¥y gií ta ành ngh¾a t½nh compact ti»m cªn. ành ngh¾a 1.3.6. Gi£ sû X l  mët khæng gian Banach. Nûa nhâm gåi l  compact ti»m cªn n¸u vîi måi d¤ng 9 t > 0, S(t) S(t) câ thº biºu di¹n d÷îi S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), S (1) (t) ð â v  S (2) (t) (1.2) thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: B⊂X (i). vîi b§t k¼ tªp bà ch°n rB (t) = sup ||S (1) (t)y||X → 0 khi t → +∞; y∈B (ii). vîi b§t k¼ tªp bà ch°n B trong [γ (2) (t0 )B] = [ X [ t0 tçn t¤i sao cho tªp hñp S (2) (t)B] (1.3) t≥t0 l  compact trong X ,ð ¥y [γ] l  bao âng cõa tªp γ. Mët h» ëng lüc gåi l  compact n¸u nâ l  compact ti»m cªn v  ta câ thº l§y S (1) (t) ≡ 0 trong biºu di¹n ( 1.2). Rã r ng r¬ng b§t k¼ h» ëng lüc ti¶u hao húu h¤n chi·u n o công l  compact. D¹ d ng th§y r¬ng i·u ki»n ( 1.3) ÷ñc thäa m¢n n¸u tçn t¤i mët tªp compact sao cho K trong X sao cho vîi b§t k¼ tªp bà ch°n S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). B ⊂ X, tçn t¤i t0 (B) Nâi ri¶ng, mët h» ti¶u hao l  compact n¸u nâ câ mët tªp h§p thö compact. Bê · sau ¥y r§t húu ½ch khi chùng minh t½nh compact ti»m cªn. Bê · 1.3.7. Nûa nhâm S(t) l  compact ti»m cªn n¸u tçn t¤i mët tªp compact K sao cho lim dist(S(t)B, K) = 0, t→+∞ vîi måi tªp B bà ch°n trong Chùng minh. V¼ ph¦n tû K X. l  tªp compact n¶n vîi måi v := S (2) (t)u ∈ K t>0 sao cho dist(S(t)u, K) = ||S(t)u − S (2) (t)u||. 10 v  u ∈ X, tçn t¤i Do â n¸u °t S (1) (t)u = S(t)u − S (2) (t)u, d¹ th§y sü ph¥n t½ch (1.2) thäa m¢n t§t c£ c¡c y¶u c¦u trong ành ngh¾a cõa t½nh compact ti»m cªn. Nhªn x²t. N¸u X [14] l  mët khæng gian Banach lçi ·u v  nûa nhâm B, tªp h§p thö bà ch°n (i) Nûa nhâm S(t) (ii) Nûa nhâm trong X câ mët th¼ ba i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng: l  compact ti»m cªn; S(t) v  måi d¢y S(t) thuëc lîp AK , tùc l  vîi måi d¢y bà ch°n tk → ∞, {S(tk )xk }∞ k=1 {xk } l  compact t÷ìng èi trong X; (iii) Tçn t¤i mët tªp compact K⊂X sao cho dist(S(t)B, K) → 0 khi t → ∞. 1.3.2 Tªp hót to n cöc Tªp hót to n cöc l  èi t÷ñng trung t¥m cõa lþ thuy¸t c¡c h» ëng lüc ti¶u hao væ h¤n chi·u. ành ngh¾a 1.3.8. Mët tªp con kh¡c réng to n cöc èi vîi nûa nhâm (i). A (ii). (iii). S(t) A cõa X gåi l  mët tªp hót n¸u: l  mët tªp âng v  bà ch°n; A A l  b§t bi¸n, tùc l  S(t)A = A hót måi tªp con bà ch°n B vîi måi cõa X, t > 0; tùc l  lim dist(S(t)B, A) = 0, t→∞ ð â dist(E, F ) = supa∈E infb∈F d(a, b) giúa hai tªp con E v  F cõa l  nûa kho£ng c¡ch Hausdorff X. C¡c t½nh ch§t sau ¥y cõa tªp hót to n cöc l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành ngh¾a. 11 M»nh · 1.3.9. Gi£ sû S(t) câ tªp hót to n cöc A. Khi â: (i). N¸u B l  mët tªp con bà ch°n b§t bi¸n cõa X th¼ B⊂A (t½nh cüc ¤i) ; (ii). N¸u B l  mët tªp con âng hót c¡c tªp bà ch°n cõa X th¼ A⊂B (t½nh cüc tiºu) ; (iii). A l  duy nh§t. K¸t qu£ sau ¥y nâi v· c§u tróc cõa tªp hót to n cöc. ành lþ 1.3.10. [13] Gi£ sû nûa nhâm S(t) câ tªp hót to n cöc A. Khi â måi quÿ ¤o ¦y õ bà ch°n ( nâi ri¶ng l  c¡c iºm døng v  c¡c quÿ ¤o tu¦n ho n, n¸u câ) ·u n¬m tr¶n A. Hìn núa, n¸u S(t) l  ìn ¡nh tr¶n A th¼ A l  hñp cõa t§t c£ c¡c quÿ ¤o ¦y õ bà ch°n. C¡c k¸t qu£ d÷îi ¥y ch¿ ra r¬ng c¡c h» ëng lüc "tr¶n tªp hót to n cöc" s³ quy¸t ành c¡c d¡ng i»u ti»m cªn câ thº câ cõa c¡c quÿ ¤o ri¶ng l´, ngh¾a l  sau mët kho£ng thíi gian õ lîn, b§t k¼ mët quÿ ¤o n o cõa ph÷ìng tr¼nh gèc træng s³ gièng nh÷ mët quÿ ¤o n o â tr¶n tªp hót trong mët kho£ng thíi gian õ d i. ành lþ 1.3.11. A. [13]. Gi£ sû h» ëng lüc Cho tr÷îc mët quÿ ¤o thíi gian v0 ∈ A T > 0. u(t) = S(t)u0 , (X, S(t)) mët sai sè Khi â tçn t¤i mët thíi iºm câ tªp hót to n cöc >0 v  mët kho£ng τ = τ (, T ) v  mët iºm sao cho ||u(τ + t) − S(t)v0 || ≤  º x§p x¿ quÿ ¤o ¢ chån u(t) vîi måi 0 ≤ t ≤ T. trong mët kho£ng thíi gian d i hìn, ta ph£i dòng nhi·u quÿ ¤o tr¶n tªp hót to n cöc l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành l½ 1.3.11. H» qu£ 1.3.12. [13]. 12 A. M»nh · sau ¥y