Tài liệu Tán xạ hạt dirac trên thế ngoài và hình thức luận hai thành phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGOÀI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGOÀI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS.TSKH. Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này. Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này. Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô ở Khoa Vật lý đã hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này . Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2015 Học viên Vũ Thị Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU………………………………………………………………………………………………..1 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƢỜNG NGOÀI TRONG GẦN PHI TƢƠNG ĐỐI TÍNH .............................................................................................. 5 1.1. Phương trình Klein – Gordon của hạt ở trường thế ngoài trong gần đúng phi tương đối tính………………………………………………………………………...8 1.2. Phương trình Dirac của hạt ở trường thế ngoài trong gần đúng phi tương đối tính................................................................................................................................7 CHƢƠNG 2: BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI NHẴN ............................................................................................................... 9 2.1. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ở trường thế ngoài dựa vào phương trình Klein- Gordon ..............................................................................................................9 2.2. Biễu diễn Glauber cho biên độ tán xạ ở trường thế ngoài dựa vào phương trình Dirac ...........................................................................................................................12 CHƢƠNG 3: TÁN XẠ TRÊN CÁC THẾ CỤ THỂ YKAWAVÀ THẾ GAUSS . 18 3.1. Tán xạ trên thế Ykawa ........................................................................................18 3.2. Tán xạ trên thế Gauss ..........................................................................................20 KẾT LUẬN……………………………………………………………………….……………………26 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 25 PHỤ LỤC A ................................................................................................................. 28 PHỤ LỤC B.................................................................................................................. 32 PHỤ LỤC C ................................................................................................................. 37 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ nhận được trong cơ học lượng tử [7], được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng cao xung lượng truyền nhỏ. Việc mở rộng cách tiếp cận này ( gần đúng eikonal) để thu được biểu diễn tương tự cho cơ học lượng tử tương đối tính hay lý thuyết trường lượng tử [11-15] luôn bức thiết và thời sự hiện nay. Một số cố gắng [8.9] trong việc nghiên cứu tán xạ năng lượng cao dựa vào phương trình chuẩn thế Logunov và Tavkhelidze cho biên độ tán xạ trong lí thuyết trường lượng tử [10] . Cách tiếp cận này dựa trên giả thiết rằng chuẩn thế nhẵn V ( E, r ) mô tả tương tác của của 2 hardon ở mức năng lượng cao như là hàm của toạ độ tương đối tính của hạt r . Tán xạ được xem như một quá trình chuẩn cổ điển trong cả quá trình tán xạ góc nhỏ [8,9]và tán xạ góc lớn [5]. Đặc biệt theo [8] có một biểu diễn tích phân gần với biểu diễn Glauber đối với biên độ tán xạ của hạt tương đối tính tán xạ trên nuclei trong phép gần đúng eikonal [8,9] cũng có giá trị đối với biên độ tán xạ của hai hạt năng lượng cao không có spin với góc tán xạ nhỏ khi chuẩn thế nhẵn. Để làm rõ vai trò rất quan trọng của chuẩn thế nhẵn [19-24]. Trong Luận văn chúng tôi giới thiệu một phương pháp mới là giải phương trình Schrodinger với chuẩn trường thế nhẵn, hoặc điều kiện Unita với đóng góp của tán xạ không đàn hồi, và tìm tiệm cận của biên độ tán xạ đàn hồi ở mức năng lượng cao. Sự phân tích bán hiện tượng luận kết quả của biên độ tán xạ cũng như ảnh hưởng của phân cực trong tán xạ pion-nucleon cho ta kết quả phù hợp. Thực nghiệm trên các máy gia tốc RHIC – EPJC 28(2006)83-89 [26-29] đòi hỏi phải khái quát hóa phép gần đúng eikonal cho bài toán tán xạ năng lượng cao với các hạt tán xạ cùng với spin. Bài toán mô tả hạt tán xạ có spin ½ được thảo luận trong hình thức luận hai thành phần. 1 Lưu ý rằng biểu diễn eikonal biên độ tán xạ của hạt Dirac chuyển động tương đối tính trong trường Culomb đã được tính trong [17] và [18].Tuy nhiên các phương pháp kể trên không thể áp dụng một cách tổng quát, chẳng hạn trong trường thế vô hướng và trường thế giả vô hướng, cụ thể là nghiên cứu tương tác của các hardon ở vùng năng lượng cao. Phương pháp được trình bầy trong luận văn này tổng quát hơn, và có thể áp dụng cho thế ngoài tuỳ ý. Lý do xem xét hình thức luận hai thành phần là trong gần đúng phi tương đối tính hai thành phần cho cả hai trường hợp phương trình KleinGordon và phương trình Dirac ở trường ngoài. Mục đích của Luận văn Thạc sỹ này nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ của các hạt có spin bằng ½ trên thế nhẵn dựa trên cơ sở của các phương trình tương đối tính cho hạt ở trường ngoai, cụ thể là phương trình Klein- Gordon và phương trình Dirac ở trường ngoài. Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục Chương 1. Phương trình cho hat ở trường ngoài trong gần phi tương đối tính. Chương này dành cho việc thực hiện gần đúng phi tương đối tính cho các phương trình tương đối tính Klein- Gordon và Dirac cho bài toán tán xạ hạt nhanh ở trường thế ngoài. Việc tách các phần không phụ thuộc vào thời gian khỏi các phương trình tương đối tích, giúp ta tách đại lượng năng lượng E dưới dạng tường minh.Khi năng lượng của hạt là lớn việc so sánh các đại lượng khác của bài toán được dễ dàng hơn trong gần đúng phi tương đối tính trong hình thức luận hai thành phần.Trong mục 1.1 ta thực hiện việc gần đúng phi tương đối tính cho phương trình Klein – Gordon. Một cách hoàn toàn tương tự ta thực hiện việc gần đúng phi tương đối tính cho phương trình Dirac ở mục 1.2. Chương 2. Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ trên thế ngoài nhẵn Với giả thiết trường thế ngoài là hàm nhẵn chúng ta rút ra biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ của hạt nhanh với các góc tán xạ là nhỏ. Trong mục 2.1 ta xét bài toán tán xạ ở trường thế ngoài mà nó bao gồm hai số hạng: trường thế ngoài và trường thế tương tác spin – quỹ đạo dựa vào phương trình Klein – Gordon . Mục 2.2 dành cho việc xem xét bài 2 toán tương tự. Khác với bài toán tán xạ của hạt không có spin, trong biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ của hạt có spin bằng ½ , có xuất hiện thêm thành phần mô tả phép quay spin trong quá trình tán xạ. Chương 3. Tán xạ trên các thế cụ thể Yukawa và thế Gauss. Chương này dành cho việc nghiên cứu các biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ, thu được ở chương 2 , ở các trường thế ngoài thể Yukawa và thế Gauss và tính tiết diện tán xạ vi phân cho các thế ngoài tương ứng. Trong mục 3.1 ta xét trường thế thể Yukawa, còn trường thế Gauss được nghiên cứu ở mục 3.2. Phần kết luận chúng tôi hệ thống lại kết quả thu được trong luận văn, và thảo luận những dự kiến nghiên cứu tiếp theo. Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử giả Euclide (metric Feynman)   c  1và metric tất cả bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn là thực  A  A0 , A gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số    0,1, 2,3 ,và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4-chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên.    A  A0 , A  A0 , A1 , A2 , A3  def (0.1)  A Các véctơ phản biến là tọa độ: x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x  , (0.2) Thì các véctơ tọa độ hiệp biến : x  g  x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  (0.3) Véctơ năng xung lượng: p    E , px , p y , pz    E , p  . (0.4) Tích vô hướng của hai véc tơ được xác định: AB  g  A B  A B   A0 B0  AB . (0.5) Tensor metric có dạng: 3 g    g  1 0 0 0     0 1 0 0  .   0 0 1 0     0 0 0 1 (0.6) Chú ý, tensor metric là tensor đối xứng g   g và g  g  . Thành phần của véc tơ hiệp biến được xác định bằng cách sau: A  g  A , A0  A0 , Ak   Ak . (0.7) Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. 4 CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƢỜNG NGOÀI TRONG GẦN PHI TƢƠNG ĐỐI TÍNH Hầu hết việc đo các hiệu ứng lượng tử được tiến hành nhờ các thiết bị cổ điển, nên một trong những đòi hỏi quan trọng là thiết lập sự tương ứng giữa các kểt quả cơ học cổ điển và lượng tử. Vấn đề này có thể giải quyết dễ dàng trong cơ lượng tử phi tương đối tính, ví dụ phương pháp WKB1, song trong cơ học lượng tử tương đối tính là bài toán phức tạp . So sánh các kết quả của cơ học lượng tử tương đối tinh và cơ học cổ điển là bài toán vô cùng phức tạp. Phương trình Dirac là phương trình bậc nhất dưới dạng đạo hàm riêng, song nó khác một cách cơ bản với các phương trình của cơ học cổ điển và cơ học lượng tử phi tương đối tính. Ngay đối với hạt chuyển động tự do, đã nảy sinh vấn đề làm sao xây dựng các toán tử, mà chúng tương ứng với các đại lượng cơ học cổ điển quan sát được. Chính vì vậy, bài toán thiết lập giới hạn cổ điển của các phương trình tương đối tính (Dirac, Klein- Gordon ,…) ở trường ngoài một thời gian dài chưa có lời giải. Nếu không kể việc sinh cặp hay các hiệu ứng lượng tử khác, thì các quá tình tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử có thể được mô tả bằng cơ học lương tử tương đối tính ở trạng thái một hạt. Sự mô tả tương tác của hạt với trường ngoài trong gần đúng một hạt, và cách rút ra các phương trình cơ học lượng tử và các phương trình chuẩn cổ điển xác định động lực học của xung lượng và spin, là vô cùng quan trọng cho nhiều ứng dụng thực tế như thực tế thí nghiệm cũng như công nghệ hiện đại 1.1. Phƣơng trình Klein – Gordon của hạt ở trƣờng thế ngoài trong gần đúng phi tƣơng đối tính Tán xạ đàn hồi là tán xạ mà trong đó trạng thái bên trong và thành phần các hạt va chạm không thay đổi . Giai đoạn đầu và cuối của quá trình tán xạ là sự chuyển động gặp nhau và tách nhau của các hạt ở xa vô cùng . Khi chúng lại gần nhau tương 1 WKB (Wentzel-Kramers-Brilluin) –khi độ dài lượng tử của hạt    k  ; ( k  độ lớn của độ dài véc tơ sóng) nhỏ hơn các độ dài đặc trưng của bài toán cụ thể đang nghiên cứu , thì các tính chất của hệ gần với hệ cổ điển thì ta có thể sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển, cụ thể sử dụng phép khai triển theo hằng số Planck . 5 tác giữa chúng ( ví dụ, giữa hai hạt với nhau hay giữa hạt với tâm tán xạ) làm thay đổi trạng thái của chúng sau đó. Thông thường để thuận tiện , thay cho bài toán phụ thuộc thời gian người ta khảo sát bài toán dừng tương đương. Khi hạt ở xa tâm tán xạ một khoảng cách lớn , chuyển động của hạt là chuyển động tự do, năng lượng của nó là dương không bị lượng tử hóa . Như vậy, trong bài toán tán xạ , chúng ta có phổ liên tục. Trong cơ học lượng tử, bài toán tán xạ của hạt có khối lượng m và năng lượng E dương ở trong trường thế V  r  được miêu tả bằng phương trình Schrodinger dừng. Lưu ý, V  r  chỉ khác không ở một miền hạn chế nào đó của r , phần không gian này được gọi là miền tác dụng của lực. Tương tự với phương trình Schrodinger dừng, trong cơ học lượng tử tương đối tính ta có cách mô tả tương ứng. Xuất phát từ phương trình Klein – Gordon cho hạt tự do mà nó có dạng:   m2    r , t   0 hay:  2 t   2  m2    r , t   0 (1.1) Khi có mặt của trường thế ngoài không phụ thuộc vào thời gian U  r  , tương tự như phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử ta có:    U  r   2   2  m 2    r , t   0  t  (1.2) Biến đổi phương trình (1.2), ta thu được: t2  2U  r  t  U 2  r   2  m2    r , t   0   (1.3) Để tìm phương trình dừng tương ứng ta tìm nghiệm của phương trình (1.3) dưới dạng:   r , t   eiEt  r  (1.4) Thay (1.4) vào (1.3), ta thu được phương trình Klein- Gordon dừng ở trường thế ngoài :  E 2  2iEU  U 2  2  m2  eiEt  r   0   (1.5) do E 2  p 2  m2 , ta có thể viết lại (1.5) như sau: 6  p 2  2iEU  U 2  2   r   0   Trong p giới m, U hạn phi tương đối tính phương trình (1.6) (1.6), ta giả thiết m, E  m . (1.6) trở thành: p 2  2imU  2   r   0 (1.7) Như vậy, tương tự như phương trình Pauli thì hàm sóng spinor hai thành phần   r    r    1  của hạt sẽ tuân theo phương trình dạng Klein – Gordon dừng ở  2  r   trường thế ngoài, và nó có dạng tương tự với phương trình Schrodinger dừng như sau: p  2   r   V  r   r  2 (1.8) Tán xạ đàn hồi của các nucleon bởi hạt nhân [6] có thể mô tả bằng trường thế ngoài V  r  mà nó bao gồm hai số hạng: trường thế ngoài và trường thế tương tác spin – quỹ đạo (1.9) Phần ảo của thế (1.9) mô tả sự hấp thụ các nucleon bằng hạt nhân, ta đã bỏ qua trong Luận văn này. 1.2. Phƣơng trình Dirac của hạt ở trƣờng thế ngoài trong gần đúng phi tƣơng đối tính Tương tự với cách tiếp cận đã được trình bày ở mục 1.1 , ta xét bài toán tán xạ của hạt Dirac có spin bằng ½ ở trường thế ngoài trong gần đúng phi tương đối tính. Xuất phát từ phương trình Dirac cho tán xạ của hạt nhanh ở một trường thế ngoài vô hướng nhẵn V  r  có dạng:  p    m  V  r    r , t   i   r , t  (1.10) t hay:  i     m  V  r    r , t   i   r , t  t 7 (1.11) Sử dụng tách biến phần phụ thuộc thời gian của hàm sóng của phương trình Dirac , ta đặt:   r , t   eiEt  r  (1.12) Thay (2.12) vào (2.11), ta được hàm sóng   r  thỏa mãn phương trình  i     m  V  r  e   r   EeiEt  r   iEt (1.13) Rút gọn 2 vế cho eiEt , ta thu được phương trình Dirac dừng ở trường thế ngoài sau:  E  i    m  V  r   r   0 (1.14) Phương trình Dirac dừng ở trường thế ngoài V  r  (1.14) có thể sử dụng để nghiên cứu các bài toán khác nhau cho nguyên tử hay bài toán tán xạ 8 CHƢƠNG 2: BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI NHẴN Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ thu được trong cơ học lượng tử , sau thu được đầu tiên trong lý thuyết trường dựa trên phương trình chuẩn thế [10] Giả thiết về tính nhẵn của giả thế định xứ tương tác, một mặt cho phép ta cho những đặc trưng cơ bản của tán xạ năng lượng cao của các hadron, mặt khác dẫn đến bức tranh định tính đơn giản của tương tác các hạt cơ bản ở các năng lượng tiệm cân cao. Cơ học lượng tử là lý thuyết đơn giản mà trong đó giả thiết nhẵn của giả thế (xem Phụ luc A) người ta thành công tìm các giải thích vật lý những đặc trưng của tán xạ năng lượng cao của các hadron. Chính lý thuyết tán xạ thế cho ta cơ sở đưa gần đúng eikonal vào vật lý hiện đại 2.1. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ ở trƣờng thế ngoài dựa vào phƣơng trình Klein- Gordon Đối với thế nhẵn, điều kiện chuẩn cổ điển được thõa mãn [19-25] : (2.1) Ta tìm nghiệm của (1.8) dưới dạng: (2.2) Trong đó là một spinor hai thành phần thỏa mãn điều kiện biên: . Thay (2.2) vào (1.8), ta có: 9 Chọn p hướng theo trục z, , đồng thời chú ý rằng với điều kiện (2.1), là một hàm biến đổi chậm. Điều kiện biến đổi chậm của chứa đạo hàm cấp 2 của vậy, có nghĩa là số hạng sẽ xấp xỉ bằng 0. Ngoài ra ta chọn ptheo trục z. Như sẽ xấp xỉ thõa mãn: (2.3) Ta có: (do ta đang lấy theo trục z) Như vậy, (2.3) trở thành: (2.4) Chia cả hai vế cho (2ip), sau đó lấy tích phân hai vế, đồng thời chú ý đến điều kiện biên của , ta được: (2.5) Để ý rằng r = (b, z); (1.14)có thể viết lại: (2.6) 10 Đặt: (2.7) (2.8) Ta viết gọn (2.6) như sau: (2.9) Như vậy nghiệm của phương trình (1.8) có dạng: (2.10) Biên độ tán xạ lúc này: (2.11) trong đó: (2.12) Để ý rằng: (2.13) Dùng các biểu diễn tích phân của hàm Bessel: Ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ như sau: 11 (2.14) trong đó: (2.15) (2.16) Hàm sóng spin của hạt và trị riêng theo Helicity    . p / p ,  '   . p '/ p ' tương ứng là 1 0     0 ( p)    và   khi   1/ 2 và 1/ 2 0 1  cos  / 2   sin  / 2   và   khi  '  1/ 2 và 1/ 2   sin  / 2   cos  / 2  0 ( p ')   ở đây  là góc tán xạ cos  / 2  1   2 / 4 p 2  1 sin  / 2   / 2 p  0 khi p  0 Như vậy giá trị của A và B được xác định theo công thức (2.15) và (2.16). So với tán xạ không có spin ,biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ (2.14) có chứa thêm thành phần B mô tả việc quay spin trong quá trình tán xạ. 2.2. Biễu diễn Glauber cho biên độ tán xạ ở trƣờng thế ngoài dựa vào phƣơng trình Dirac Phương trình Dirac dừng ở trường thế ngoài V  r  trong gần đúng phi tương đối tính(1.14) có dạng:  E  i    m  V  r   r   0 Tương tự như mục 2.1 nghiệm của phương trình trên được tìm dưới dạng: (2.17) Với: . Thay (2.17) vào (1.14), chú ý rẳng với p lớn thì các số hạng không chứa thừa số p sẽ có đóng góp không đáng kể, ta có: 12 (2.18) hay: (2.19) Từ (2.19) ta suy ra rằng, trong biểu diễn Dirac (biểu diễn tiêu chuẩn) thì có dạng sau: (2.20) trong đó là thừa số chuẩn hóa, là các spinor 2 thành phần. Ta thấy rằng hàm sóng mô tả quá trình tán xạ của hạt Dirac nhanh trong trường thế ngoài trong (2.17) bao gồm hai số hạng lần lượt mô tả sóng tới và sóng phản xạ theo trục z. Ta có các điều kiện biên sau: (2.21) Thay (2.17) và (2.20) vào (2.14) với điều kiện (2.19). Có nghĩa là bây giờ ta chỉ giữ lại những số hạng không chứa thừa số p ở (2.14), ta được: (2.22) 13 Dùng biễu diễn Dirac (biểu diễn tiêu chuẩn) cho các ma trận ,: (2.23) Ta tiếp tục biến đổi (2.22) thu được: (2.24)-(2.25) Hay ta có hệ hai phương trình: (2.26) (2.27) trong đó: Tích phân hai phương trình (2.26) và (2.27) cộng với điều kiện biên (2.9), ta được: (2.28) 14 (2.29) Với r=(z, b), . Với p rất lớn, p, Từ phương trình (2.29), ta có: Ta được: Bỏ qua số hạng chứa , thay W  m  V  r  ta thu được biểu thức sau: (2.30) Hàm sóng spinor (2.29) có dạng giống với hàm sóng spinor (1.8). Biểu thức để cho biên độ tán xạ có thể tìm bằng cách tích phân phương trình (1.14) ( p2  2  W 2  m2  iW ) (r )  0 (2.31) Vậy f ( p,  )   1 dr .eipr  (0)* (r )(V 2  2mV  iV )ψ(r) p' 4  15 (2.32) Spinor 1  1  2 z  (0)* (r )  eip ' r p'   0 '  (2.33) Mô tả tán xạ của hạt có xung lượng lớn dọc theo trục z. Từ (2.17) và (2.20)có biểu thức biên độ tán xạ cho hạt dirac có dạng (2.14)với 0 (  )   1 2  dz(V (  , z)  2mV (  , z)) 2ip  1 (  )   (2.34)  1 dV (  , z )  dz d  2 p  (2.35) Ta nhận thấy rằng phần spin-flip của biên độ tán xạ của hạt dirac chuyển động tương đối tính trong thế vô hướng là do hiệu ứng tương đối tính. Điều thú vị là trong (2.34) đối với hàm eikonal, chúng ta tìm thấy cả thế bậc một và bậc 2. Trong giới hạn tương đối tính, khi V  m , số hạng thế bậc 2 có thể bỏ qua và (2.34) có dạng  p i  0 (  )    dzV (  , z ) với v  z v  m (2.36) Trùng với kết quả của cơ học lượng tử thu được dựa trên phương trình schrodinger thế V(r). Ngược lại trong trường hợp siêu tương đối tính khi V  m , ta phải đưa thành phần thế bậc 2 trong (2.34) để tính toán. Phương pháp được sử dụng gần đây là biểu diễn Eikonal trong tán xạ của hạt dirac tương đối tính trong một thế nào đó. Chẳng hạn trong trường hợp thế giả vô hướng, ta có phương trình ( E  i   m   5 .V (r )) (r )  0 (2.37) Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ của hạt Dirac năng lượng cao ở các góc nhỏ * f ( p, )  0 ( p ')[a  i xb]0 ( p) (2.38) a và b giống (2.14), với  1 2 0 (  )    dzV (  , z) 2ip  (2.39)  1 dV (  , z ) 1 (  )   dz d  2 p  (2.40) 16