Tài liệu Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

  • Số trang: 33 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 885 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62069 tài liệu

Mô tả:

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 M«n to¸n Biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n PhÇn I tæng hîp kiÕn thøc c¬ b¶n I. C¸c phÐp biÕn ®æi vÒ c¨n thøc 1. H»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí  a  b   a2  2ab  b 2  a  b   a  b   a2  b2 3  a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 a3  b3   a  b   a2  ab  b2   a  b   a2  2ab  b2 3  a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 a3  b3   a  b   a2  ab  b 2  2 2 2. Mét sè phÐp biÕn ®æi c¨n thøc bËc hai - §Òu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa A cã nghÜa khi A  0 - C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. A2  A A A  B B (A �0;B  0) A B  A 2B (A �0;B �0) A 1  B B C AB (AB �0;B �0)  a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca AB  A. B (A �0;B �0) A 2B  A B (B �0) A B   A 2B (A  0;B �0) A B  A B (B  0) B C( A mB) C C( A m B) (A �0;A �B2 )  (A �0;B �0;A �B) 2 A B A B A �B A�B 3. C¸c d¹ng bµi tËp c¬ b¶n D¹ng 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) Bíc 2: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã) Bíc 3: §a mét biÓu thøc ra ngoµi dÊu c¨n Bíc 4: Rót gän biÓu thøc Bíc 5: TÝnh sè trÞ (nÕu cßn tham sè) D¹ng 2: Rót gän biÓu thøc Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc Bíc 2: Trôc c¨n thøc ë mÉu nÕu cã (nÕu cã) Bíc 3: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã) Bíc 4: §a mét biÓu thøc ra ngoµi dÊu c¨n Bíc 5: Rót gän biÓu thøc D¹ng 3: Chøng minh ®¼ng thøc Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc Bíc 2: BiÕn ®æi vÕ tr¸i vÒ vÕ ph¶i hoÆc vÕ ph¶i vÒ vÕ tr¸i. Còng cã khi chóng ta ph¶i biÕn ®æi c¶ hai vÕ cïng vÒ biÓu thøc trung gian  II. Ph¬ng tr×nh bËc hai 1. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh bËc hai lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 2  bx  c  0 (a  0) 2. C«ng thøc nghiÖm: Ta cã   b2  4ac . - NÕu  < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. b - NÕu  = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1,2   2a b   b   - NÕu  > 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1  ; x2  2a 2a b c 3. HÖ thøc Viet: NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 th× S = x1  x 2  ; P = x1.x 2  a a 2 Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax  bx  c  0 (a  0). Ta cã thÓ sö dông ®Þnh lÝ Viet ®Ó tÝnh c¸c biÓu thøc cña x1, x2 theo a, b, c S1 = x12  x 22   x1  x 2   2x1x 2  2 b2  2ac a2 S2 = x13  x 23   x1  x 2   3x1x 2  x1  x 2   3 S3 = x1  x 2   x1  x 2   2 3abc  b3 a3  x1  x2   4x1x2  2 b2  4ac a2 4. øng dông hÖ thøc Viet a) NhÈm nghiÖm: Cho ph¬ng tr×nh ax 2  bx  c  0 (a  0). c - NÕu a + b + c = 0  x1 = 1; x 2  a c - NÕu a - b + c = 0  x1 = -1; x 2   a b) T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai X2 - SX + P = 0 c) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: NÕu ph¬ng tr×nh ax 2  bx  c  0 (a  0) cã hai nghiÖm x1; x2 th× ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x 2  d) X¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm sè: Cho ph¬ng tr×nh ax 2  bx  c  0 (a  0). c - NÕu  0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a �  0 � - NÕu �c th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu  0 � �a � � �  0 �  0 � � �c �c - NÕu �  0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng. NÕu �  0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m �a �a �b �b 0 0 � � �a �a 5. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n: D¹ng 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm c Ph¬ng ph¸p: §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ   b2  4ac  0 hoÆc �0 a 2 Trong trêng hîp cÇn chøng minh cã Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh ax  bx  c  0 ; a' x 2  b' x  c '  0 cã nghiÖm ngêi ta thêng lµm theo mét trong hai c¸ch sau: C¸ch 1: Chøng minh 1   2 �0 C¸ch 2: 1. 2 �0 D¹ng 2: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai X 2 SX + P = 0 Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh X2 - SX + P = 0 Bíc 3: KÕt luËn D¹ng 3: BiÓu thøc ®èi xøng hai nghiÖm Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b c Bíc 2: TÝnh S = x1  x 2  ; P = x1.x 2  , theo m a a Bíc 3: BiÓu diÔn hÖ thøc ®Ò bµi theo S, P víi chó ý r»ng x12  x 22  S2  2P ; 1 1 S 1 1 S2  2P   ;   x1 x 2 P x12 x 22 P2 D¹ng 4: HÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b c Bíc 2: TÝnh S = x1  x 2  ; P = x1.x 2  , theo m a a   x13  x 32  S S2  3P ;  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 2 Bíc 3: Khö m ®Ó lËp hÖ thøc gi÷a S vµ P, tõ ®ã suy ra hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè m D¹ng 5: §iÒu kiÖn ®Ó hai nghiÖm liªn hÖ víi nhau bëi mét hÖ thøc cho tríc Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b c Bíc 2: TÝnh S = x1  x 2  ; P = x1.x 2  , theo m a a Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn sè m, so s¸nh ®iÒu kiÖn Bíc 4: KÕt luËn III. HÖ ph¬ng tr×nh 1. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè: C¸ch 1: Sö dông ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè: - Nh©n c¸c vÕ cña hai ph¬ng tr×nh víi sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau - Sö dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó thùc hiÖn ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè) - Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®îc råi suy ra nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho C¸ch 2: Sö dông ph¬ng ph¸p thÕ - Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn - Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho 2. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng a) HÖ ®èi xøng lo¹i I: NÕu ta thay ®æi vai trß cña x, y th× tõng ph¬ng tr×nh kh«ng thay ®æi Ph¬ng ph¸p: §a vÒ hÖ ph¬ng tr×nh theo hai biÕn míi lµ: S = x + y vµ P = xy víi ®iÒu kiÖn S 2  4P b) HÖ ®èi xøng lo¹i II: NÕu ta thay ®æi vai trß cña x, y th× ph¬ng tr×nh nµy chuyÓn thµnh ph¬ng tr×nh kia Ph¬ng ph¸p: Trõ hai ph¬ng tr×nh víi nhau ®Ó nhËn dîc ph¬ng tr×nh míi cã d¹ng tÝch sè. Chó ý nÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x0; x0) (tøc lµ x = y). NÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x, y) th× ph¬ng tr×nh còng cã nghiÖm (y, x) IV. Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) 1. Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu sè: Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghÜa Bíc 2: Qui ®ång mÉu sè ®Ó ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm 2. Ph¬ng tr×nh chøa dÊu trÞ tuyÖt ®èi: Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghÜa Bíc 2: Khö dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, biÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt (bËc hai) trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm 3. Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax 4  bx 2  c  0 (a  0) Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt x2 = t  0 Bíc 2: BiÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm 4. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e víi a + d = b + c 1 Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: §Æt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k víi k =  ad  bc  2 Bíc 2: BiÕn ®æi ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x 5. Ph¬ng tr×nh håi qui a) D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4  bx 3  cx 2  bx  a  0 (a  0) Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2  0 1 Bíc 2: §Æt t  x  víi ®iÒu kiÖn t �2 vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t x Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x b) D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4  bx 3  cx 2  bx  a  0 (a  0) Ph¬ng ph¸p: Bíc 1: Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2  0 1 Bíc 2: §Æt t  x  vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t x Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 3 2 6. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0 víi e �d �  �; e  0 a � �b � 2 Ph¬ng ph¸p: 2 2 d d �d � d � d� �d � Bíc 1: §Æt t  x  � t 2  �x  � x 2  2  � �  x 2  � � t 2  2 bx b �bx � b � bx � �bx � Bíc 2: §a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm 7. Ph¬ng tr×nh cã d¹ng  x  a    x  b   c 4 Ph¬ng ph¸p: 4 ab ab ab �xa  t ;x  b  t  2 2 2 Bíc 2: §a vÒ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng Èn t Bíc 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng trªn Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn nghiÖm Bíc 1: §Æt t = x  V. Hµm sè 1. Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a  0) - Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b trong ®ã a  0 - Hµm sè bËc nhÊt x¸c víi mäi gi¸ trÞ x  R vµ cã tÝnh chÊt ®ång biÕn khi a > 0; nghÞch biÕn khi a < 0 - §å thÞ cña hµm sè bËc nhÊt lµ mét ®êng th¼ng. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm B(0; b). C¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm �b � A�  ;0 �(trong ®ã a gäi lµ hÖ sè gãc, b gäi lµ tung ®é gãc) �a � - C¸c ®êng th¼ng cã cïng hÖ sè gãc a th× t¹o víi trôc Ox c¸c gãc b»ng nhau. NÕu gäi  lµ gãc hîp bíi gi÷a ®êng th¼ng vµ tia Ox th× a = tg - NÕu ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a  0) vµ ®êng th¼ng (d’): y = a’x + b’ (a’  0) th×: a  a' � (d) c¾t (d’)  a  a’ (d) song song (d’)  � b �b' � a  a' � (d) trïng (d’)  � (d)  (d’)  a.a’ = -1 b  b' � 2. Hµm sè y = ax2 (a  0) - Hµm sè cã tÝnh chÊt: NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0. NÕu a < 0 th× hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0 - §å thÞ hµm sè lµ mét Parabol víi ®Ønh lµ gãc to¹ ®é vµ nhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh, O lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ 3. C¸c d¹ng to¸n D¹ng 1: X¸c ®Þnh hµm sè bËc nhÊt (ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng) Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo c¸c ®iÓm sau: NÕu ®iÓm A(x0; y0) thuéc ®å thÞ hµm sè y = ax + b th× ax0 + b = y0 C¸c kÕt qu¶ ®· nªu ë phÇn lý thuyÕt trªn D¹ng 2: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax2 (a  0) Ph¬ng ph¸p: Dùa vµo ®iÓm sau: NÕu ®iÓm A(x0; y0) thuéc ®å thÞ hµm sè y = ax2 th× ax02 = y0 D¹ng 3: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ Ph¬ng ph¸p: LËp ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm Gi¶i ph¬ng tr×nh, tõ ®ã t×m ra to¹ ®é c¸c giao ®iÓm D¹ng 4: T¬ng giao gi÷a ®êng th¼ng vµ Parabol Ph¬ng ph¸p: Cho ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh y = ax + b (a  0) vµ Parabol y = Ax 2 (A  0). XÐt ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm Ax2 = ax + b (1). Ta cã sè giao ®iÓm cña hai ®å thÞ phô thuéc vµo sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy - §êng th¼ng c¾t Parabol khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm - §êng th¼ng kh«ng c¾t Parabol khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm - §êng th¼ng tiÕp xóc Parabol khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp VI. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh 1. Ph¬ng ph¸p chung - Chän Èn sè vµ x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña Èn sè (®¬n vÞ tÝnh). Èn sè thêng lµ ®¹i lîng cha biÕt trong bµi to¸n. ViÖc chän mét Èn sè hay hai Èn sè tuú thuéc vµo sè ®¹i lîng cha biÕt trong bµi to¸n - BiÓu diÔn mèi t¬ng quan gi÷a ®¹i lîng ®· biÕt vµ ®¹i lîng cha biÕt - LËp ph¬ng tr×nh (hay hÖ ph¬ng tr×nh) - Gi¶i ph¬ng tr×nh (hay hÖ ph¬ng tr×nh) - NhËn ®Þnh kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 4 2. C¸c d¹ng to¸n D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ chuyÓn ®éng - Dùa vµo quan hÖ cña ba ®¹i lîng S: qu·ng ®êng; t: thêi gian; v: vËn tèc cña vËt chuyÓn ®éng ®Òu trong c«ng thøc S = v.t - Dùa vµo nguyªn lÝ céng vËn tèc: VÝ dô khi gi¶i bµi to¸n chuyÓn ®éng thuyÒn trªn s«ng ta cã: v 1 = v0 + v3; v2 = v0 – v3 trong ®ã v1 lµ vËn tèc thuyÒn ®i xu«i dßng, v2 lµ vËn tèc thuyÒn ®i ngîc dßng, v0 lµ vËn tèc riªng cña thuyÒn, v3 lµ vËn tèc dßng ch¶y D¹ng 2: C¸c bµi to¸n vÒ n¨ng suÊt lao ®éng Dùa vµo quan hÖ ba ®¹i lîng: N: n¨ng suÊt lao ®éng (khèi lîng c«ng viÖc hoµn thµnh trong mét ®¬n vÞ thêi s gian); t: thêi gian ®Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc; s: lîng c«ng viÖc ®· lµm th× N = t D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ lµm chung – lµm riªng, vßi níc ch¶y chung – ch¶y riªng ... Dùa vµo kÕt qu¶ sau 1 - NÕu x giê (hoÆc ngµy) lµm xong c«ng viÖc th× mçi giê (hoÆc ngµy) lµm ®îc c«ng viÖc ®ã x 1 1 - NÕu trong 1 giê: §èi tîng A lµm ®îc c«ng viÖc, ®èi tîng B lµm ®îc c«ng viÖc th× lîng c«ng viÖc mµ y x 1 1 c¶ hai lµm ®îc trong 1 giê lµ + c«ng viÖc x y 1 a - NÕu mçi giê lµm ®îc c«ng viÖc th× a giê lµm ®îc c«ng viÖc x x D¹ng 4: C¸c bµi to¸n s¾p xÕp, chia ®Òu s¶n phÈm (hµng hãa ...) Nh d¹ng 2: Ch¼ng h¹n víi ba ®¹i lîng: N: sè lîng hµng ho¸ ph©n phèi cho mçi xe; t: lµ sè xe chë hµng; s: s tæng sè lîng hµng ho¸ trong kho th× N = t D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng trong mét sè Chó ý: ab  10a  b ; abc  100a  10b  c D¹ng 6: C¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tØ sè % m Chó ý c¸c kÕt qu¶ sau: m% cña A nghÜa lµ .A 100 A m m Sè A b»ng m% sè B nghÜa lµ  hay A  .B B 100 100 m Sè A sau khi t¨ng lªn m% th× ®îc sè míi cã gi¸ trÞ lµ A + .A 100 D¹ng 7: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc Chó ý ®Õn c¸c hÖ thøc lîng trong tam gi¸c, c¸c c«ng thøc tÝnh chu vi, diÖn tÝch ... cña c¸c h×nh ... A c b h c' b' a  H C c¹nh ®èi VII. C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng 1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH ta cã b2 = a. b’ c2 = a. c’ 2 2 2 b +c =a h2 = b’. c’ 1 1 1 a. h = b. c  2 2 2 h b c B b) TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän - C¸c tØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän  ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: c� nh � � i c� nh k� sin = cos = c� nh huy� n c� nh huy� n c� nh � � i c� nh k� tg = cotg = c� nh k� c� nh � � i - Víi hai gãc  vµ  phô nhau ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg c¹nh kÒ  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 5 - Mét sè gãc ®Æc biÖt sin300  cos600  1 2 sin450  cos45 0  2 2 3 tg45 0  cot g45 0  1 2 3 t g300  cot g600  co t g300  t g600  3 3 c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«sin gãc kÒ. Mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng kia nh©n tang gãc ®èi hoÆc nh©n víi c«tang gãc kÒ d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c a.h a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB S= (h lµ ®êng cao øng víi c¹nh a) S=   2 2 2 2 S = p.r (p lµ nöa chu vi, r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) a.b.c S= (R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c) 4R S = p  p  a   p  b   p  c  (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c) cos300  sin600  2. §êng trßn: a) Sù x¸c ®Þnh ®êng trßn. TÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn - §êng trßn t©m O b¸n kÝnh R (víi R > 0) lµ h×nh gåm c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu ®iÓm O mét kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoµi ®êng trßn - Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng vÏ ®îc mét vµ chØ mét ®êng trßn - §êng trßn cã t©m ®èi xøng, ®ã lµ t©m ®êng trßn. §êng trßn cã v« sè trôc ®èi xøng, ®ã lµ bÊt k× ®êng kÝnh nµo cña nã b) §êng kÝnh vµ d©y cung cña ®êng trßn. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y - Trong mét ®êng trßn, d©y lín nhÊt lµ ®êng kÝnh - §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong mét ®êng trßn: Hai d©y b»ng nhau khi vµ chØ khi chóng c¸ch ®Òu t©m. Trong hai d©y kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n c) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: ®êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau; tiÕp xóc nhau; c¾t nhau. øng víi mçi vÞ trÝ trªn, kho¶ng c¸ch d tõ t©m ®êng trßn ®Õn ®êng th¼ng vµ b¸n kÝnh R cña ®êng trßn cã c¸c liªn hÖ: d > R; d = R; d < R. Ta cã c¸c ®Þnh lÝ - NÕu mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm - NÕu mét ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã th× ®êng th¼ng Êy lµ mét tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×: - §iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm - Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn. Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ ngo¹i tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong tam gi¸c - §êng trßn ®i qua ba ®Ønh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ néi tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia lµ ® êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c. T©m cña mçi ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c cña hai gãc ngoµi tam gi¸c hoÆc giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc trong vµ mét trong hai ® êng ph©n gi¸c cña gãc ngoµi kh«ng kÒ víi nã f) VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng trßn C¨n cø vµo sè ®iÓm chung 0, 1, 2 cña hai ®êng trßn mµ ta ®Þnh nghÜa c¸c vÞ trÝ: Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t nhau Do tÝnh chÊt ®èi xøng cña ®êng trßn, nÕu hai ®êng trßn c¾t nhau th× giao ®iÓm ®èi xøng víi nhau qua ®êng nèi t©m, nÕu hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau th× giao ®iÓm n»m trªn ®êng nèi t©m g) Gãc víi ®êng trßn: + Gãc ë t©m: Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn ®îc gäi lµ gãc ë t©m. Sè ®o cung nhá b»ng sè ®o cña gãc ë t©m ch¾n cung ®ã. Sè ®o cung lín b»ng hiÖu gi÷a 360 0 vµ sè ®o cung nhá. Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 1800. + Gãc néi tiÕp: Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®êng trßn vµ hai c¹nh chøa d©y cung cña ®êng trßn ®ã. Cung bªn trong cña gãc gäi lµ cung bÞ ch¾n. Trong mét ®êng trßn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 6 + Gãc t¹o bëi gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: Cho ®êng trßn (O), A lµ tiÕp ®iÓm, xAy lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, AB lµ mét d©y cung. Gãc t¹o bëi tia Ax (hoÆc tia Ay) víi d©y AB ®îc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn: Mçi gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn ch¾n hai cung: mét cung n»m bªn trong gãc vµ cung kia n»m bªn trong gãc ®èi ®Ønh cña cung ®ã. Sè ®o cã ®Ønh ë bªn trong ® êng trßn b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n + Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn: Sè ®o gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn b»ng nöa hiÖu hai cung bÞ ch¾n  Chó ý: Trong mét ®êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ngîc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. h) §é dµi ®êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d Rn - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l  180 I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 R 2n lR - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n 0: S   360 2 3. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc so le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr¬ng øng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn hoÆc hai ®êng b»ng nhau. TÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau D¹ng 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng song song  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng song song víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: ë vÞ trÝ so le trong; ë vÞ trÝ so le ngoµi; ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh, ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, ... D¹ng 4: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: - Chóng cïng song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®êng cao trong mét tam gi¸c. - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. - TÝnh chÊt 2 ®êng chÐo h×nh thoi, h×nh vu«ng D¹ng 5: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng, ba ®êng th¼ng ®ång quy.  C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 180 0 - Dùa vµo hai gãc ®èi ®Ønh - Dùa vµo hai ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cïng song song víi ®êng th¼ng kh¸c - Dùa vµo hai gãc b»ng nhau cã 1 c¹nh trïng nhau - Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 7 * Hai tam gi¸c thêng: - Trêng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau D¹ng 7: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng * Hai tam gi¸c thêng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét (g-g) - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-g-c) - Cã ba c¹nh t¬ng øng tû lÖ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ - Cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng t¬ng øng tû lÖ D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp  C¸ch chøng minh: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i díi mét gãc . - Dùa vµo ph¬ng tÝch cña ®êng trßn VIII. C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian 1. H×nh l¨ng trô: H×nh l¨ng trô lµ h×nh ®a diÖn cã hai mÆt song song gäi lµ ®¸y vµ c¸c c¹nh kh«ng thuéc hai ®¸y song song víi nhau. L¨ng trô ®Òu lµ l¨ng trô ®øng cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu Sxq = p. l (p lµ chu vi thiÕt diÖn th¼ng, l lµ ®é dµi c¹nh bªn) L¨ng trô ®øng: Sxq = p. h (p lµ chu vi ®¸y, h lµ chiÒu cao) V = B. h (B lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao) H×nh hép ch÷ nhËt: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c lµ c¸c kÝch thíc cña h×nh hép ch÷ nhËt) V = a. b. c C¸c ®êng chÐo h×nh hép ch÷ nhËt d = a2  b2  c 2 H×nh lËp ph¬ng: V = a3 (a lµ c¹nh) 2. H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung ®Ønh. H×nh chãp ®Òu lµ h×nh chãp cã ®¸y lµ ®a gi¸c ®Òu vµ c¸c mÆt bªn b»ng nhau. H×nh chãp côt lµ phÇn h×nh chãp n»m gi÷a ®¸y vµ thiÕt diÖn song song víi ®¸y. H×nh chãp côt tõ h×nh chãp ®Òu gäi lµ h×nh chãp côt ®Òu 1 H×nh chãp ®Òu: Sxq = . n .a. d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a lµ ®é dµi c¹nh ®¸y; d lµ ®é dµi trung ®o¹n) 2 Stp = Sxq + B (B lµ diÖn tÝch ®¸y) 1 V= .B.h 3 1 H×nh chãp côt ®Òu: Sxq =  n.a  n.a'  .d (n lµ sè c¹nh ®¸y; a, a’ c¹nh ®¸y; d trung ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn) 2 V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn) 1 V = .h B  B' B.B' (B, B’ lµ diÖn tÝch ®¸y, h lµ chiÒu cao) 3 3. H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh ra bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2. R. h (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; h lµ chiÒu cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2. R. h + 2. R2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = S. h = . R2. h (S lµ diÖn tÝch ®¸y) 4. H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh ra bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vu«ng cña nã. H×nh nãn côt lµ phÇn h×nh nãn gi÷a ®¸y vµ mét thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = . R. l (R lµ b¸n kÝnh ®¸y; l lµ ®êng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = . R. l + . R2 1 - ThÓ tÝch: V = .R 2 .h (h lµ chiÒu cao) 3 H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 lµ b¸n kÝnh hai ®¸y; l lµ ®êng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2). l + (R12 + R22) 1 - ThÓ tÝch: V = .h.(R12  R 22  R1 R 2 ) (h lµ chiÒu cao) 3 5. H×nh cÇu: - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4. R2 (R lµ b¸n kÝnh) 4 - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = .R 3 3    Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 8 IX. BÊt ®¼ng thøc vµ bµi to¸n t×m cùc trÞ 1. §Þnh nghÜa: a>ba–b>0b–a<0 2. Mét sè tÝnh chÊt: �A  B 1/ � �A C BC � �AC  BC,C  0 3/ A  B � � �AC  BC,C  0 �A  B  0 5/ � � AC  BD CD0 � 7/ A Bγ�0,n  N,n 2 � n,m �N* 9/ �  nm � 3. Mét sè B§T c¬ b¶n:  a  b 2 n A n B �A n  A m ,A  1 �n m �A  A ,0  A  1 aba–b0b–a0 2/ A > B  A + C > B + C �A  B 4/ � � A C BC CD � 6/ A > B > 0, n  N*  An > Bn �1 1  v� i AB  0 � A B 8/ A  B � � �1  1 v� i AB  0 � A B � a2n1  b2n1 ab � � � 10/ � �� 2n 1 n �N � a  2n1 b � a �a �4ab a  b �a  b a  b �a  b 1 1 4 1 1 1 9 (víi a, b > 0) (víi a, b, c > 0)  �   � a b a b a b c abc 1 1 1 n2 a b   ...  � (Víi a1, a2, …, an > 0)  �2 (víi ab > 0) a1 a2 an a1  a2  ...  an b a a) BÊt ®¼ng thøc CauChy: D¹ng tæng qu¸t: Gi¶ sö a 1, a2, …, an lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m, khi ®ã ta cã: n a1  a2  ...  an n �a1  a2  ...  an � D¹ng 1: D¹ng 2: � � a1a2 ...an ��a1a2 ...an n n � � §¼ng thøc x¶y ra  a1 = a2 = … = an n S �S � * NÕu a1 + a2 + ... + an = S (const) th× Max  a1a 2 ...an   � � x¶y ra  a1 = a2 = … = an = n �n � HÖ qu¶: * NÕu a1a2...an = P (const) th× Min  a1  a2  ...  a n   n n P x¶y ra  a1 = a2 = … = an = n P BÊt ®¼ng thøc CauChy suy réng: Cho n sè d¬ng a1, a2, …, an (n  2) vµ n sè d¬ng 1, 2, … n sao cho 1+ 2 + … + n = 1 th×: a11 .a11 ....a11 �1a1   2a2  ...  nan DÊu b»ng x¶y ra  a1 = a2 = … = an b) BÊt ®¼ng thøc: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS) D¹ng tæng qu¸t: Cho 2n sè thùc tuú ý a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn khi ®ã: a 2 1  DÊu ®¼ng thøc x¶y ra  HÖ qu¶:   a 22  ...  a n2 b12  b 22  ...  bn2 � a1b1  a 2b 2  ...  a nb n  2 a1 a2 a   ...  n b1 b2 bn   * NÕu a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c (const) th× Min x12  x 22  ...  xn2  c2 x¶y ra  a12  a22  ...  an2 x1 x 2 x   ...  n a1 a2 an * NÕu x12  x 22  ...  x 2n  c2 (const) th× Max  a1x1  a2 x 2  ...  an xn   c . a12  a22  ...  an2 � x1 x 2 x   ...  n �0 a1 a2 an  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 9 Min a1x1  a2 x 2  ...  an x n    c . a12  a 22  ...  an2 � x1 x 2 x   ...  n �0 a1 a2 an 2 2 2  a  a  ...  an  D¹ng kh¸c cña CBS: a1  a2  ...  an � 1 2 b1 b2 bn b1  b2  ...  bn 2 PhÇn II Mét sè d¹ng bµi tËp tù luyÖn Bµi tËp vÒ biÓu thøc 1 a 2 5 Bµi 1: Cho biÓu thøc : P    a 3 a a 6 2 a a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 1 � x �� x  3 x 2 x 2 � 1 :   Bµi 2: Cho biÓu thøc: P = � �� � x  1 �� x  2 3  x x  5 x  6 � � � �� � a) Rót gän P b)T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0 � x 1 1 8 x �� 3 x  2 �   : 1 Bµi 3: Cho biÓu thøc: P = � �3 x  1 3 x  1 9x  1 �� �� 3 x  1 � � � �� � a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 6 5 � � a �� 1 2 a Bµi 4: Cho biÓu thøc P = � 1 :  �� � a  1 �� a  1 a a  a  a  1 � � � �� � a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 1 c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a  19  8 3 � � �� � a(1  a)2 � 1  a3 1  a3 � � Bµi 5: Cho biÓu thøc: P = :�  a� .�  a� �1  a ��1  a � 1 a � � � �� � � � 1 b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M = a.(P- ) 2 � x 1 2x  x �� x 1 2x  x �   1�� : 1  Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = � � � 2x  1 �� 2x  1 2x  1 2x  1 � � �� � 1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x  . 3  2 2 2 � 2 x 1 �� x � Bµi 7: Cho biÓu thøc: P = �  : 1 �� � �x x  x  x  1 � x  1 �� � �� x  1 � a) Rót gän P b) T×m x ®Ó P  0 � �2a  1 �� a 1  a3  .�  a� Bµi 8: Cho biÓu thøc: P = � � � a3  1 a  a  1 ��1  a � � �� � a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P. 1  a a) Rót gän P  x 1� . � x 1 � � b) So s¸nh P víi 3 � a  a� � a � b) T×m a ®Ó P < 7  4 3 �2 x x 3x  3 ��2 x  2 �   :  1� Bµi 11: Cho biÓu thøc: P = � �� � x 3 � x  3 x  9 �� � �� x  3 �  �x  2 x 1   Bµi 9: Cho biÓu thøc P = 1: � �x x  1 x  x  1 � a) Rót gän P � �� 1 a a 1 a  a� .� Bµi 10: Cho biÓu thøc : P = � �1  a ��1  � �� a) Rót gän P  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 10 a) Rót gän P b) T×m x ®Ó P < 1 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P �x  3 x �� 9  x x 3 x 2� Bµi 12: Cho biÓu thøc: P = �  1�� :   � � x 9 ��x  x  6 2  x x 3� � �� � a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P < 1 15 x  11 3 x  2 2 x  3 Bµi 13: Cho biÓu thøc : P =   x  2 x  3 1 x x 3 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P= 1 2 2 c) Chøng minh P � 3 Bµi 14: Cho biÓu thøc: P= 2 x x m x  x m  m2 4x  4m2 víi m > 0 a) Rót gän P b) TÝnh x theo m ®Ó P = 0. c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1 a2  a 2a  a Bµi 15: Cho biÓu thøc P =  1 a  a 1 a a) Rót gän P b) BiÕt a > 1 H·y so s¸nh P víi P c) T×m a ®Ó P = 2 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P � a 1 ab  a �� a  1 ab  a � Bµi 16: Cho biÓu thøc P = �   1�� :   1� � ab  1 �� ab  1 � ab  1 ab  1 � �� � a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = 2  3 vµ b = c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu 3 1 1 3 a b 4 � a 1 a a 1 a a 1 � 1 � a 1�  �a   � � � � a 1 � a a a a � a� a  1 � � a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6 Bµi 17: Cho biÓu thøc : P = 2 �a 1 �� a  1 a 1� Bµi 18: Cho biÓu thøc: P = �   �� � �2 2 a �� a  1 a 1� � �� � a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P = -2 Bµi 19: Cho biÓu thøc P =  a b  2  4 ab a b  b a . a b ab a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 2 3 vµ b = 3 �x  2 x 1 � x 1   : Bµi 20: Cho biÓu thøc : P = � �x x  1 x  x  1 1  x � � 2 � � a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > 0  x �1 �2 x  x 1 �� x 2 � Bµi 21: Cho biÓu thøc : P = �  : 1 �� � �x x  1 � x  1 �� � �� x  x  1 � a) Rót gän P b) TÝnh P khi x= 5  2 3 3x � � � 1 � 1 2 Bµi 22: Cho biÓu thøc P = 1: �  2  �: �2  x 4  x 4  2 x �4  2 x � � a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 11   2 � x  y  xy �: � x y � b) Chøng minh P �0 � 1 � 1 3 ab �� 3 ab � a  b � Bµi 24: Cho biÓu thøc P = �  .�  � �� �: � a  b a a  b b �� � a  b a a b b � � � �� �a  ab  b � � a) Rót gän P b) TÝnh P khi a =16 vµ b = 4 �2a  a  1 2a a  a  a �a  a Bµi 25: Cho biÓu thøc: P = 1  �  . � � 1 a �2 a  1 1 a a � � 6 2 a) Cho P= t×m gi¸ trÞ cña a b) Chøng minh r»ng P > 3 1 6 �x  5 x �� 25  x x 3 x 5� Bµi 26: Cho biÓu thøc: P = �  1�� :   � �x  25 ��x  2 x  15 x 5 x 3� � �� � a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1 3 3 � Bµi 23: Cho biÓu thøc : P = � x  y  x  y �x y yx � a) Rót gän P   � a  1 . a  b �: a b� � 2a  2 ab  2b b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn a 2� � a 1 � � 1 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > 6 � �1 1 � 2 1 1 � x3  y x  x y  y 3  .   �: Bµi 29: Cho biÓu thøc: P = � � � �x y� � x 3 y  xy 3 � � x  y x y� � � a) Rót gän P b) Cho x.y = 16. X¸c ®Þnh x, y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt � 3a Bµi 27: Cho biÓu thøc P = � 3 a  �a  ab  b a a  b b � a) Rót gän P � 1 1 �� a  1 Bµi 28: Cho biÓu thøc P = �   �: � a �� � a 1 � a 2 Bµi 30: Cho biÓu thøc : P = x3 xy  2y  2x  1 . 1 x x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rót gän P b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x ®Ó y = 625 vµ P < 0,2 � x 2 x  2 � x 1  . Bµi 31 : Cho biÓu thøc : Q = � �x  2 x  1 x  1 � � x � � a) T×m x ®Ó Q  Q Bµi 32 : Cho biÓu thøc P = b) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn. 1 x 1  x x x a) Rót gän biÓu thøc sau P. Bµi 33 : Cho biÓu thøc : A = b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 1 2 x x 1 x 1  x 1 x 1 a) Rót gän biÓu thøc b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = c) T×m x ®Ó A < 0. d) T×m x ®Ó 1 4 A A � 1 � 3 � 1 � Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A = �  1 � � � a 3� � a 3 � a� a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A >  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 1 . 2 12 �x  1 x  1 x 2  4x  1 �x  2010  . Bµi 35 : Cho biÓu thøc: A = �  . � x2  1 � x �x  1 x  1 a) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa.  b) T×m x  Z ®Ó A  Z  � �2 x  2 x  1 Bµi 36 : Cho biÓu thøc: A = �x x  1  x x  1 �: . �x  x x  x � x  1 � � a) T×m x ®Ó A < 0. b) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn �x  2 x 1 � x 1 Bµi 37 : Cho biÓu thøc: A = �   : �x x  1 x  x  1 1  x � � 2 � � a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2 a 3 a 1 4 a  4 Bµi 38 : Cho biÓu thøc: P = (a �0; a  4)   4a a 2 a 2 a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 � a a � � a a � Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N = � 1 1 � � � a 1 � � a 1 � � � � � � a) Rót gän biÓu thøc N. b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2010 x x  26 x  19 2 x x 3 Bµi 40 : Cho biÓu thøc P    x2 x 3 x 1 x 3 a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x  7  4 3 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã �2 x x 3x  3 ��2 x  2 � Bµi 41 : Cho biÓu thøc P  �   :  1� �� � x 3 �� x  3 � x  9 x  3 � �� � 1 a) T×m x ®Ó P   b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P 2 � a 1 �� a 1 1 �  4 a� .� a  Bµi 42: Cho A= � �víi x > 0 ,x  1 � a 1 �� a  1 a � � � a) Rót gän A   b) TÝnh A víi a = 4  15 .  10  6 . 4  15  �x  3 x �� 9  x x 3 x 2 �  1�� :   Bµi 43: Cho A= � �víi x �0 , x  9, x  4 � x9 ��x  x  6 x 2 x 3� � �� � a) T×m x ®Ó A < 1. b) T×m x �Z ®Ó A  Z 15 x  11 3 x  2 2 x  3 Bµi 44: Cho A = víi x �0 , x  1.   x  2 x  3 1 x x 3 a) Rót gän A. b) T×m GTLN cña A. 1 2 c) T×m x ®Ó A = d) CMR : A � 2 3 x2 x 1 1 Bµi 45: Cho A = víi x �0 , x  1.   x x  1 x  x  1 1 x a) Rót gän A. b) T×m GTLN cña A 1 3 2   Bµi 46: Cho A = víi x �0 , x  1. x 1 x x 1 x  x 1 a) Rót gän A. b) CMR : 0 �A �1 �x  5 x �� 25  x x 3 x 5� Bµi 47: Cho A = �  1�� :   � �x  25 ��x  2 x  15 x 5 x 3 � � �� � a) Rót gän A. b) T×m x �Z ®Ó A  Z 2 a 9 a  3 2 a 1 Bµi 48: Cho A = víi a �0 , a  9 , a  4.   a5 a 6 a 2 3 a  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 13 a) T×m a ®Ó A < 1 b) T×m x �Z ®Ó A  Z �x  x  7 1 �� x  2 x 2 2 x � Bµi 49: Cho A = �  :   víi x > 0 , x  4. �� � � x4 �� x  2 � x  4 x  2 x  2 � �� � 1 a) Rót gän A. b) So s¸nh A víi A  3 3 � xy � x  y Bµi 50: Cho A = � �:  �x y yx � � � a) Rót gän A. x y  2  xy x y víi x �0 , y �0, x  y b) CMR : A �0 x x 1 x x 1 � 1 �� x  1 x  1� Bµi 51 : Cho A =  �x  .�  � Víi x > 0 , x  1 � � x x x x � x �� x  1 x  1� � a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A = 6 � � x 4 3 �� x  2 x � � Bµi 52 : Cho A =  :�  � víi x > 0 , x  4. � x x 2 x  2 �� x x 2� � � � �   a) Rót gän A b) TÝnh A víi x = 6  2 5 1 �� 1 1 � 1 � 1  :  Bµi 53 : Cho A= � víi x > 0 , x  1. �� � 1  x 1  x �� 1 x 1 x � 2 x � a) Rót gän A b) TÝnh A víi x = 6  2 5 �2x  1 Bµi 54 : Cho A = � 3  � � x 1 a) Rót gän A. � 1  Bµi 55: Cho A= � � x 1 x � a) Rót gän A. �2 x  Bµi 56 : Cho A = � � x 3 � �� x4 � :� 1 � �víi x �0 , x  1. x 1� x  x  1 � � � b) T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn �� 1 2 x 2 2 � :�  � � víi x �0 , x  1. x  1 x  x  x 1� x  1 � � � b) T×m x ®Ó A ®¹t GTNN x 3x  3 ��2 x  2 �  :  1� víi x �0 , x  9 �� � x  3 x  9 �� �� x  3 � 1 a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < 2 � x 1 x  1 8 x �� x  x  3 1 � Bµi 57 : Cho A = �   :  �� � víi x �0 , x  1. � x 1 �� x  1 x  1 �� x  1 x 1� � � a) TÝnh A víi x = 6  2 5 b) CMR : A  1 1 1 � x 1 � 1 Bµi 58 : Cho A = � víi x > 0 , x  1.  �: x  1 �x  2 x  1 �x  x a) Rót gän A b) So s¸nh A víi 1 � x 1 1 8 x �� 3 x  2 � 1 Bµi 59 : Cho A = �   : 1 Víi x �0,x � �3 x  1 3 x  1 9x  1 �� �� 3 x  1 � � 9 � �� � 6 a) T×m x ®Ó A = b) T×m x ®Ó A < 1. 5 � x 2 x  2 �x 2  2x  1  . Bµi 60 : Cho A = � víi x �0 , x �1. �x  1 x  2 x  1 � � 2 � � a) Rót gän A. b) CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c) TÝnh A khi x = 3 + 2 2 d) T×m GTLN cña A Bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 14 Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh : m 2x    2 2  1  2  x  m2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m  2  1 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  3  2 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh :  m  4  x 2  2mx  m  2  0 (x lµ Èn ) a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  2 .T×m nghiÖm cßn l¹i b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm ph©n biÖt c) TÝnh x12  x 22 theo m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : x 2  2  m  1 x  m  4  0 (x lµ Èn ) a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm tr¸i dÊu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M = x1  1  x 2   x 2  1  x1  kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 4: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh a) x 2  x  2 m  1 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) 4x 2  2x  m  1  0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt   c) m2  1 x 2  2  m  1 x  2m  1  0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : x 2   a  1 x  a2  a  2  0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 .T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x12  x 22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 1 1 1 Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m ·n hÖ thøc:   . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau b c 2 ph¶i cã nghiÖm x2 + bx + c = 0 vµ x2 + cx + b = 0 Bµi 7: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2x 2  2mx  m2  2  0 a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x 2  4x  m  1  0 a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m · n ®iÒu kiÖn x12  x 22 = 10 Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh x 2  2  m  1 x  2m  5  0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cung dÊu . Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ? Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x 2  2  m  1 x  2m  10  0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x 1; x2 h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 10x1x 2  x12  x 22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh  m  1 x 2  2mx  m  1  0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt m �1 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m dÓ ph¬ng tr×nh cã tÝch hai nghiÖm b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tæng hai nghiªm cña ph ¬ng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m x x 5 d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n hÖ thøc: 1  2   0 x 2 x1 2 2 Bµi 13: Cho ph¬ng tr×nh: x  mx  m  1  0 (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1; x2 víi mäi m; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A  x12  x 22  6x1x 2 . Chøng minh A  m2  8m  8 . c) T×m m ®Ó A = 8 vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng. d) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 15 Bµi 14: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a.x 2  bx  c  0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1; x2. §Æt Sn  x1n  xn2 (n nguyªn d¬ng) a) Chøng minh: a.Sn 2  bSn1  cSn  0 5 5 � 1 5 � � 1 5 � b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= � � � � 2 � � 2 � � � � � � Bµi 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m b) §Æt x = t + 2 .TÝnh f(x) theo t, tõ ®ã t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi m ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã 2 nghiÖm lín h¬n 2 Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh: x 2  2  m  1 x  m2  4m  5  0 a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng c) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau vµ tr¸i dÊu nhau d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh . TÝnh x12  x 22 theo m Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh x 2  4x 3  8  0 cã hai nghiÖm lµ x1; x2. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu 6x12  10x1 x 2  6x 22 thøc : M  5x1x 23  5x13 x 2 Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh x 2  2  m  2  x  m  1  0 1 2 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m m ®Ó : x1(1  2x 2 )  x 2 (1  2x1)  m2 Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh x 2  mx  n  3  0 (1) (n , m lµ tham sè) a) Cho n = 0 . CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m �x  x  1 b) T×m m vµ n ®Ó hai nghiÖm x1; x2 cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n hÖ : �21 22 �x1  x 2  7 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh: x 2  2  k  2  x  2k  5  0 ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho x12  x 22  18 Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh  2m  1 x 2  4mx  4  0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k× c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng m Bµi 22: Cho ph¬ng tr×nh: x 2   2m  3  x  m2  3m  0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n 1  x1  x 2  6 Bµi 23: Cho ph¬ng tr×nh x 2  2mx  2m  1  0 a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m. b) §Æt A = 2(x12  x 22 )  5x1x 2 . CMR A = 8m2  18m  9 . T×m m sao cho A = 27 c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia Bµi 24: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0 Bµi 25: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Bµi 26: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0 d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 Bµi 27: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Bµi 28: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1  x 2 C= 1 1  x1  1 x 2  1 b) LËp ph¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 1 vµ x1  1 x2  1  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 16 Bµi 29: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) a) Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu c) Gäi x1, x2 lµ nghÖm cña ph¬ng tr×nh (1) .T×m k ®Ó : x13 + x23 > 0 Bµi 30: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m c) T×m m ®Ó x1  x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1 , x2 lµ ha1 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn b) Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè) 9 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 2 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè . a) BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) b) T×m m ®Ó (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. c) T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3. T×m nghiÖm thø hai. Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè a) T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp b) T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x12 + x22 = 10 Bµi 34: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x 1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: a) x12 + x22 b) x1 x1  x 2 x 2 c) x12  x 22  x1x x  x1  x2  . x12 x12  1  x 22 x 22  1 Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. b) T×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m· n x12 + x22 = 12 (trong ®ã x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). Bµi 36: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. b) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. c) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2, t×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Bµi 37: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 0. b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4. Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1). b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x13 + x23. Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ b»ng 2. T×m nghiÖm cßn l¹i. b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m· n x13 + x23 �0. Bµi 40: Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1, 0) Bµi 42: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0 vµ mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0 vµ mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bµi 43: XÐt c¸c ph¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2) T×m hÖ thøc gi÷a a, b, c lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ph¬ng tr×nh trªn cã mét nghiÖm chung duy nhÊt. Bµi 44: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) vµ x2 – mx + 10m = 0 (2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh (2) cã mét nghiÖm b»ng hai lÇn mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Bµi 45: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = 0 vµ x2 + ax + 1 = 0 a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó cho hai ph¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× hai ph¬ng tr×nh trªn t¬ng ®¬ng. Bµi 46: Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + 2 = 0 (1) vµ x2 + 2x + m = 0 (2) a) §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung. b) §Þnh m ®Ó hai ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng. c) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt Bµi 47: Cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = 0 (1) vµ x2 – 7x + 2k = 0 (2) X¸c ®Þnh k ®Ó mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lín gÊp 2 lÇn mét trong c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1).     Bµi tËp vÒ hµm sè bËc nhÊt  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 17 Bµi 1: a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4). b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh Bµi 2 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn. b) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. c) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy Bµi 3: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. a) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1; -4). c) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m Bµi 4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2). Bµi 5: Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. a) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (2; 5) b) Chøng minh r»ng ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. T×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. c) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2  1 6x 4x  5 Bµi 6 : T×m gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c ®êng th¼ng sau : y = ;y= vµ y = kx + k + 1 c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. 4 3 Bµi 7 : Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = ax + b. X¸c ®Þnh a, b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A(1; 3) vµ B(-3; -1). Bµi 8 : Cho hµm sè : y = x + m (D). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng (D) : a) §i qua ®iÓm A(1; 2010). b) Song song víi ®êng th¼ng x – y + 3 = 0. Bµi 9: Cho hµm sè y = (m - 2)x + n (d) T×m gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®å thÞ (d) cña hµm sè : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) C¾t trôc tung t¹i ®iÓm cãtung ®é b»ng 1- 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2+ 2 . c) C¾t ®êng th¼ng -2y + x – 3 = 0 d) Song song vèi ®êng th¼ng 3x + 2y = 1 Bµi 10: Cho hµm sè : y  2x 2 (P) a) VÏ ®å thÞ (P) b) T×m trªn ®å thÞ c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai trôc to¹ ®é c) XÐt sè giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng (d) y  mx  1 theo m d) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') ®i qua ®iÓm M(0; -2) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 11 : Cho (P) y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y  2x  m 1) X¸c ®Þnh m ®Ó hai ®êng ®ã : a) TiÕp xóc nhau . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm b) C¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B , mét ®iÓm cã hoµnh ®é x= -1. T×m hoµnh ®é ®iÓm cßn l¹i T×m to¹ ®é A vµ B 2) Trong trêng hîp tæng qu¸t, gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. ×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n MN theo m vµ t×m quü tÝch cña ®iÓm I khi m thay ®æi. Bµi 12: Cho ®êng th¼ng (d) 2(m  1)x  (m  2)y  2 a) T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t (P) y  x 2 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n AB theo m c) T×m m ®Ó (d) c¸ch gèc to¹ ®é mét kho¶ng Max d) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ (d) ®i qua khi m thay ®æi Bµi 13: Cho (P) y   x 2 a) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau vµ tiÕp xóc víi (P) b) T×m trªn (P) c¸c ®iÓm sao cho kho¶ng c¸ch tíi gèc to¹ ®é b»ng 2 3 Bµi 14: Cho ®êng th¼ng (d) y  x  3 4 a) VÏ (d). TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®îc t¹o thµnh gi÷a (d) vµ hai trôc to¹ ®é b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ gèc O ®Õn (d) Bµi 15: Cho hµm sè y  x  1 (d) a) NhËn xÐt d¹ng cña ®å thÞ. VÏ ®å thÞ (d) b) Dïng ®å thÞ , biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x  1  m Bµi 16: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ®êng th¼ng : (d) y  (m  1)x  2 (d') y  3x  1 a) Song song víi nhau b) C¾t nhau c) Vu«ng gãc víi nhau  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 18 Bµi 17: T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ba ®êng th¼ng : (d1): y = 2x – 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 ®ång quy t¹i mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Bµi 18: CMR khi m thay ®æi th× (d) 2x + (m - 1)y = 1 lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh 1 Bµi 20: Cho (P) y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y=ax + b .X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®I qua ®iÓm A(-1; 0) vµ tiÕp 2 xóc víi (P). Bµi 21: Cho hµm sè y  x  1  x  2 a) VÏ ®å thÞ hµn sè trªn b) Dïng ®å thÞ c©u a biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x  1  x  2  m Bµi 22: Cho (P) y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m a) VÏ (P) b) T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 2 x Bµi 23: Cho (P) y   vµ (d) y = x + m 4 a) VÏ (P) b) X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B c) X¸c ®Þnh ®êng th¼ng (d') song song víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4 d) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P) Bµi 24: Cho hµm sè y  x 2 (P) vµ hµm sè y = x + m (d) a) T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. ¸p dông. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 2 Bµi 25: Cho ®iÓm A(-2; 2) vµ ®êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x + 1) a) T×m a ®Ó hµm sè y  a.x 2 (P) ®i qua A b) X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d2) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d1) c) Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (d 2) ; C lµ giao ®iÓm cña (d 1) víi trôc tung. T×m to¹ ®é cña B vµ C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC 1 Bµi 26: Cho (P) y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d) qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇm lît lµ -2 vµ 4 4 a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) 2;4 � c) T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é x �� � �sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. x2 vµ ®iÓm M (1; -2) 4 a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m b) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi c) Gäi x A ; xB lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó x A2 xB  x A xB2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt d) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B. *TÝnh S theo m; *X¸c ®Þnh m ®Ó S= 4(8  m2 m2  m  2) Bµi 27: Cho (P) y   Bµi 28: Cho hµm sè y  x 2 (P) a) VÏ (P) b) Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) 1 Bµi 29: Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P) y   x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y  mx  2m  1 4 a) T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm b) Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh 1 Bµi 30: Cho (P) y   x 2 vµ ®iÓm I(0; -2) .Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 4 a) VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B m �R b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt 3 x2 Bµi 31: Cho (P) y  vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1) cã hÖ sè gãc lµ m 2 4 a) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) b) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 19 x x2 vµ ®êng th¼ng (d) y    2 2 4 a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) b) T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d) Bµi 33: Cho (P) y  x 2 a) Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 34: Cho (P) y  2x 2 . Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x=1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x=2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®êng th¼ng (d) y=mx+n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB (d1 )x  y  m Bµi 35: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn (P) (d2 )mx  y  1 Bµi 32: Cho (P) y  y  2x 2 Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y: x x 2x 3 - 1 a) b) 3 =2  2 x - 1 x2 x + x +1 Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m: (m – 2)x + m2 – 4 = 0 Bµi 3: T×m m  Z ®Ó ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm nguyªn: (2m – 3)x + 2m 2 + m - 2 = 0. Bµi 3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 7x + 4y = 23. Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x  3y  5 2x  y  3 � �x  4y  6 � a) � b) � c) � 5  y  4x �3x  4y  2 �4x  3y  5 � 5 �2  �x x  y  2 2x  4  0 �x  y  1 � � d) � e) � f) � �4x  2y  3 �x  y  5 �3  1  1,7 � �x x  y mx  y  2 � Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : � �x  my  1 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m. b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x + y = -1. c) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m �x  2y  3  m Bµi 6: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: � 2x  y  3(m  2) � a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1. b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (a  1)x  y  a � Bµi 7: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: � cã nghiÖm duy nhÊt lµ (x; y). �x  (a  1)y  2 a) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo a. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 5. 2x  5y c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn. xy �x  ay  1 (1) Bµi 8: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: � ax  y  2 � a) Gi¶i hÖ (1) khi a = 2. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. mx  y  n � Bµi 9: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè m vµ n, biÕt r»ng hÖ ph¬ng tr×nh � cã nghiÖm lµ 1; 3 . nx  my  1 �   �  a  1 x  y  4 (a lµ tham sè). Bµi 10: Cho hÖ ph¬ng tr×nh � ax  y  2a � a) Gi¶i hÖ khi a = 1.  Su tÇm vµ biªn so¹n: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n 20
- Xem thêm -