Tài liệu Tài liệu ôn thi đại học mon toán năm 2015 (tập 3)

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 3) (Phần 2: Hình học) - Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). - Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GD&ĐT. - Tài liệu được chia ra làm 2 phần: + Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề. Trong phần này có 10 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số.  Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.  Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.  Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.  Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.  Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.  Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.  Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.  Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.  Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức. + Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) gồm 1 quyển – Quyển 3 Trong phần này có 5 chuyên đề:  Chuyên đề 11: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ...  Chuyên đề 12: Chuyên đề Hình học phẳng.  Chuyên đề 13: Chuyên đề Hình học không gian.  Chuyên đề 14: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).  Chuyên đề 15: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi. Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài. Chủ biên: Cao Văn Tú 1 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. - Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên. - Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. - Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. - Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: [email protected] ! Xin chân thành cám ơn!!! Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn, nghiêm túc và hiệu quả!!! Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú Chủ biên: Cao Văn Tú 2 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. CHUYÊN ĐỀ 11: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – LĂNG TRỤ  HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN. A. Các Tính Chất : A 1. Tam giác thường: − Diện tích của tam giác 1 * S ∆ABC = . AB. AC.sin µA ; 2 2. Các tam giác đặc biệt : a. Tam giác vuông : B b C a B C H + Định lý pitago: BC 2 = AB 2 + AC 2 + Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông µ = Ñoái = b ; cos B µ = Keà = c ; tan B µ = Ñoái = b sin B Huyeàn a Huyeàn a Keà c A c h 1 S ∆ABC = .BC. AH 2 1 + Diện tích tam giác vuông: S ∆ABC = . AB. AC 2 A b. Tam giác cân: + Đường cao AH cũng là đường trung tuyến µ , S ∆ABC = 1 .BC. AH + Tính đường cao và diện tích : AH = BH .tan B 2 c. Tam giác đều: B C H A + Đường cao của tam giác đều : h = AM = AB. + Diện tích : S ∆ABC = ( AB ) 2 . 3 3 ( đường cao h = cạnh x ) 2 2 3 4 G 2. Tứ giác a. Hình vuông A B B 2 + Diện tích hình vuông : S ABCD = ( AB ) ( Diện tích bằng cạnh bình phương) + Đường chéo hình vuông AC = BD = AB. 2 + OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuông bằng cạnh x O D C M 2) C Chủ biên: Cao Văn Tú 3 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. b. Hình chữ nhật + Diện tích hình vuông : S ABCD = AB. AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng) A B + Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD O B. Thể Tích Khối Chóp: D + Thể tích khối chóp : V = C 1 .B.h 3 Trong đó :B là diện tích đa giác đáy , h : là đường cao của hình chóp  Các khối chóp đặc biệt : a. Khối tứ diện đều: + Tất cả các cạnh đều bằng nhau A + Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) D B O S M C b. Khối chóp tứ giác đều + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vuông tâm O + SO ⊥ (ABCD) A B O D C  NỘI DUNG. Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ·ACB = 600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC) Chủ biên: Cao Văn Tú 4 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.  Tài liệu lưu hành nội bộ. Lời giải: SB ⇒ (·SB, ( ABC )) = (·SB, AB) = SBA · * Ta có :AB = a , AB = hc = 45o ( ABC ) * ∆ ABC vuông tại B có AB = a, ·ACB = 600 ⇒ BC = AB a a 3 = = 0 tan 60 3 3 2 ⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a. a 3 = a . 3 2 2 3 6 µ * ∆ SAB vuông tại A có AB= a, B = 450 ⇒ SA = AB.tan 45o = a 1 1 a2. 3 a3. 3 * VS . ABC = .S ABC .SA = . .a = 3 3 6 18 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Xaùc ñònh goùc giöõa (SBC) vaø (ABC) Ta coù : (SBC) ∩ (ABC) = BC SM ⊥ BC, AM ⊥ BC ·SBC ), ( ABC )) = (·SM , AM ) = SMA · ⇒ ((  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)  Lời giải: SC ⇒ (·SC ,( ABCD)) = (·SC , AC ) = SCA · = 60o , SABCD = a 2 * Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a , AC = hc ( ABCD ) µ = 600 ⇒ SA = AC.tan 60o = a 6 * ∆ SAC vuông tại A có AC= a 2 , C 1 1 a3. 6 * VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a 6 = 3 3 3 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  S Sai lầm của học sinh: − Gọi M là trung điểm BC − Ta có AM ⊥ BC , SM ⊥ BC · · ⇒ (( SBC ), ( ABC )) = (·SM , AM ) = SMA = 60o C 60 A Chủ biên: Cao Văn Tú 5 M B Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. (Hình vẽ sai)  Lời giải đúng: * Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC S AB ⊥ BC ( vì ∆ ABC vuông tại B) SB ⇒ (( ·SBC ),( ABC )) = (·SB, AB) = SBA · = 60o SB ⊥ BC ( vì AB = hc ( ABC ) ) S A C 60 * ∆ ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a B 2 ⇒ S∆ABC = 1 BA.BC = 1 .a 3.a = a . 3 2 2 2 µ = 600 ⇒ SA = AB.tan 60o = 3a * ∆B SAB vuông tại A có AB= a, B A 60 D  Nhận xét: C 1 1 a2 . 3 a3 . 3 *: VS . ABC = .S ABC .SA = . .3a = 3 3 2 2 − Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o , do đó mất 0.25 điểm − Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến Trang 05 o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến. Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC S Giải ·SBC ), ( ABC )) = SBA ·  Sai lầm của học sinh: ⇒ (( = 45o  Lời giải đúng: * Ta có : AB = a 3 , (SBC) ∩ (ABC) = BC C Chủ biên: Cao Văn Tú 6 45 A M Email: [email protected] B Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Gọi M là trung điểm BC AM ⊥ BC ( vì ∆ ABC cân tại A) SM SM ⊥ BC ( vì AM = hc( ABC ) ·SBC ), ( ABC )) = (·SM , AM ) = SMA · ⇒ (( = 45o ⇒ AB = BC = a và AM = a 2 2 * ∆ ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2 1 1 a2 AB. AC = .a.a = 2 2 2 a 2 ¶ * ∆ SAM vuông tại A có AM= , M = 450 2 ⇒ S∆ABC = ⇒ SA = AB.tan 45o = a 2 2 1 1 a 2 a 2 a3 . 2 * VS . ABC = .S ABC .SA = . . = 3 3 2 2 12  Nhắc lại cách xác định góc : 1. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P): a. Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P) b. Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/ Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó. S Giải A · Ta có : AC = hc( ABCD ) SC ⇒ (·SC ,( ABCD )) = (·SC , AC ) = SCA = 45o B O D 2. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) : c. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) d. Tìm trong (P) đường thẳng a ⊥ (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d) e. Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b 45 C S Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 0 60 . Hãy xác định góc đó. Giải Gọi M là trung điểm BC Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC (ABCD) ⊃ AM ⊥ BC A 60 (SBC) ⊃ SM ⊥ BC ( vì AM = hc SM ) ( ABCD ) Chủ biên: Cao Văn Tú 7 O M Email: [email protected] C B Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. ·SBC ), ( ABCD)) = (·SM , AM ) = SMA · ⇒ (( = 60o Bài 7 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA vuông góc với S mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: A − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông  Lời giải: B Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 ,SB = a 3 . 1 1 a2. 2 * ∆ ABC vuông tại B nên BC = AC 2 − AB 2 = a ⇒ S∆ABC = BA.BC = .a 2.a = 2 2 2 2 1 1 a . 2 a3 . 2 * ∆ SAB vuông tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a * VS . ABC = .S ABC .SA = . .a = 3 3 2 6 Bài 8 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC    Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông Lời giải: Ta có : AC = a 2 , * ∆ ABC vuông, cân tại B nên BA = BC = SB = a 3 . AC 2 =a 2 S 1 1 a2 BA.BC = .a.a = 2 2 2 * ∆ SAB vuông tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a 1 1 a2 a3 * VS . ABC = .S ABC .SA = . .a = 3 3 2 6 ⇒ S∆ABC = Chủ biên: Cao Văn Tú C A B 8 Email: [email protected] C Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Bài 9 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC   Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAB Lời giải: * ∆ ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a S ⇒ S∆ABC = 1 BA.BC.sin 600 = 1 .2a.2a. 3 = a 2 . 3 2 2 2 C * ∆ SAB vuông tại A có SA = SB 2 − AB 2 = a A B 1 1 a3 . 3 * VS . ABC = .S ABC .SA = .a 2 . 3.a = 3 3 3 Bài 10: · AC = 1200 ,cạnh bên SA vuông góc Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , B với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC    Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) và vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200 Lời giải: · AC = 1200 , BC = 2a 3 ,AB = AC = BC = 2a * ∆ ABC cân tại A, B Xét ∆ AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 600 ⇒ AM = 1 1 AM .BC = .a.2a 3 = a 2 . 3 , SA = a 2 2 1 1 a3. 3 = .S ABC .SA = .a 2 . 3.a = 3 3 3 S BM a 3 = =a 0 tan 60 3 ⇒ S∆ABC = * VS . ABC Chủ biên: Cao Văn Tú C A M B 9 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD   Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng − ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông Lời giải: Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SC = a 5 S ( * SABCD = a 2 ) 2 = 2a 2 * Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2 = 2a A D B C ∆ SAC vuông tại A ⇒ SA = SC 2 − AC 2 = a 1 1 2a 3 * VS . ABCD = .S ABCD .SA = .2a 2 .a = 3 3 3 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) và vẽ thẳng đứng − Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với 2 )  Lời giải: Ta có : SA = AC = a 2  S * ABCD là hình vuông :AC = AB. 2 ⇒ AB = AC = a ; SABCD = a 2 , SA = a 2 2 Chủ biên: Cao Văn Tú A 10 D B Email: [email protected] C Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. 1 1 a3. 2 * VS . ABCD = .S ABCD .SA = .a 2 .a. 2 = 3 3 3 Baøi 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC   Giải Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O + Gọi M là trung điểm BC + O là trọng tâm của tam ABC + AM là đường cao trong ∆ ABC − Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABC)) Lời giải: * S.ABC là hình chóp tam giác đều S Gọi M là trung điểm BC ∆ ABC đều cạnh a 3 , tâm O A SO ⊥ (ABC) , SA=SB=SC = 2a C O M 2 2 3a 3 3a ⇒ AO= . AM = . = a * ∆ ABC đềuB cạnh a 3 ⇒ AM = a 3. = 3 3 2 2 2 2 ⇒ S∆ABC = 1 AB. AC.sin 600 = 1 .a 3.a 3. 3 = 3a . 3 2 2 2 4 * ∆ SAO vuông tại A có SO = SA2 − AO 2 = a. 3 Chủ biên: Cao Văn Tú 11 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.  Tài liệu lưu hành nội bộ. 1 1 3a 2 3 a3 . 3 * VS . ABC = .S ABC .SA = . .a = 3 3 4 4 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì + không xác định được vị trí điểm O + không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO ⊥ (ABC) + không tính được AM và không tính được AO − Tính toán sai kết quả thể tích Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: S − Hình chóp tứ giác đều có : + đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O + SO ⊥ (ABCD) + tất cả các cạnh bên bằng nhau − Đường cao của hình chóp là SO ( SO ⊥ (ABCD))  Lời giải: A * S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O SO ⊥ (ABCD) , SA=SB=SC =SD = a 3 * Diện tích hình vuông ABCD : ⇒ AC = 2a. 2 ⇒ AO= AC = 2a 2 = a 2 2 2 B O D C ⇒ SABCD = ( 2a ) = 4a 2 2 * ∆ SAO vuông tại O có SO = SA2 − AO 2 = a 1 1 4a 3 * VS . ABCD = .S ABCD .SA = .4a 2 .a = 3 3 3  Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều + không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông Chủ biên: Cao Văn Tú 12 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. + không SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD) + không tính được AC và không tính được AO − Tính toán sai kết quả thể tích Bài 15: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a A Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Tứ diện đều ABCD có các tính chất + tất cả các cạnh đều bằng nhau + tất cả các mặt là các tam giác đều + gọi O là trọng tâm của tam giác đáy − Đường cao của hình chóp là AO ( AO ⊥ (BCD))  Lời giải: * ABCD là tứ diện đều cạnh a Gọi M là trung điểm CD Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a ∆ BCD đều cạnh a, tâm O ⇒ AO ⊥ (BCD) a 3 * ∆ BCD đều cạnh a ⇒ BM = 2 D B O M C ⇒ BO= 2 .BM = 2 . a 3 = a 3 3 3 2 3 2 ⇒ S∆BCD = a . 3 4 2 a 3 a 6 * ∆ AOB vuông tại O có AO = AB − BO = ( a ) −   3 ÷ ÷ = 3   2 2 2 1 1 a 2 3 a 6 a3. 2 *: VABCD = .S BCD . AO = . . = 3 3 4 3 12 Dạng 3 : TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo công thức + Cách 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 13 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. o Xác định đa giác đáy o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần S tìm bằng k lần thể tích khối đã cho + Cách 3: Dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S Ta có : M VS .MNK SM SN SK = . . VS . ABC SA SB SC K n N A C B Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên Chương Trình Chuẩn Chương Trình Nâng Cao - Không trình bày khái niệm tỷ số thể tích Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của 2 của 2 khối chóp khối chóp Trang 12 Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho  Lời giải: S 1 Cách 1: (dùng công thức thể tích V = .S .h ) 3 * Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA * ∆ AMN có Â = 600 , AM=AN = a 2 ⇒ S∆AMN = 1 AM . AN .sin 600 = 1 .a.a. 3 = a . 3 , SA = a 3 2 2 2 4 1 3 N C A M B 1 a2. 3 a3 .a. 3 = 3 4 4 * VS . AMN = .S AMN .SA = . Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích) Chủ biên: Cao Văn Tú 14 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có VA.SMN AS AM AN 1 1 1 V 1 = . . = 1. . = ⇒ VS . AMN = VA.SMN = .VA.SBC = S . ABC VA.SBC AS AB AC 2 2 4 4 4 VS . AMN  1 1 4a 2 . 3 Ta có : VS . ABC = .S ABC .SA = . .a. 3 = a 3 3 3 4 V a3 = S . ABC = 4 4 Vậy Nhận xét: - Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai. − Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn. Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ”dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho  Lời giải: S ( Dùng công thức tỷ số thể tích) N Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S M VS . AMN SA SM SN 1 1 1 = . . = 1. . = Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có VS . ABC SA SB SC 2 2 4 ⇒ VS . AMN 1 2 .a 3.a 3 VS . ABC 3 a3 = = = 4 4 4 ⇒ VA. BCNM = 3 .VS . ABC = 3a 4 4 3 C A B Bài 18 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho  Lời giải: Chủ biên: Cao Văn Tú 15 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Gọi O là giao điểm AC và BD Ta có : IO // SA và SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD) S 1 ⇒ VI . ABCD = .S ABCD .IO 3 2 Mà : S ABCD = a , IO = I A B SA =a 2 1 a3 Vậy : VI . ABCD = .a 2 .a = 3 3 O D C THỂ TÍCH KHÔI LĂNG TRỤ Kiến Thức Cơ Bản • Hình vuông cạnh a có diện tích • Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích • Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích • Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao a a a a b Chủ biên: Cao Văn Tú a hA b . b hA a a 16 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. • Hình thoi biết hai đường chéo a,b • Hình bình hành biết cạnh a và đường cao hA • Một số công thức khác tính diện tích tam giác Tài liệu lưu hành nội bộ. . Định lý Cosin . Định lý sin Hệ thức lượng trong tam giác vuông THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao. TỶ SỐ THỂ TÍCH. ĐỊNH LÝ 1 Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó ĐỊNH LÝ 2 Chủ biên: Cao Văn Tú 17 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó III. Nội Dung : 1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Giải Ta có C' A' ∆ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a B' ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA' ⊥ AB ∆AA 'B ⇒ AA'2 = A'B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA' = 2a 2 3a C A a Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. Giải C' D' ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ⇒ BD = 3a A' B' 4a ABCD là hình vuông ⇒ AB = 5a C D A Suy ra B = SABCD = B 3a 2 9a2 4 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Chủ biên: Cao Văn Tú 18 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Giải C' A' Gọi I là trung điểm BC . Ta có ∆ ABC đều nên B' AI = A AB 3 = 2 3 & AI ⊥ BC ⇒ A 'I ⊥ BC(dl3 ⊥) 2 2S 1 SA'BC = BC.A 'I ⇒ A 'I = A'BC = 4 2 BC AA ' ⊥ (ABC) ⇒ AA ' ⊥ AI . C ∆A 'AI ⇒ AA ' = A 'I2 − AI2 = 2 I B Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Giải C' D' Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và SABCD = 2SABD = B' A' Theo đề bài BD' = AC = 2 C D A 60 B a2 3 2 a 3 =a 3 2 ∆DD'B ⇒ DD' = BD'2 − BD2 = a 2 Vậy V = SABCD.DD' = a3 6 2 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và a3 3 tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS: V = ; S = 3a2 4 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' = a 6 . Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ. Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm3 Chủ biên: Cao Văn Tú 19 Email: [email protected] Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Tài liệu lưu hành nội bộ. Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. C' A' Giải Ta có : A 'A ⊥ (ABC) ⇒ A 'A ⊥ AB& AB là hình chiếu của A'B trên (ABC) . ABA ' = 60o Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼ B' ∆ABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a 3 C A 60o SABC = 1 a2 BA.BC = 2 2 Vậy V = SABC.AA' = a3 3 2 B Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với ¼ = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ. AC = a , ACB Chủ biên: Cao Văn Tú 20 Email: [email protected]