Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
50 Bài tập về bất đẳng thức:
1
a
1 8a a 1
24
a 1 10
Giải: S a ( )
2 .
a 9
9 a
9
9 a 3
1
Bài 2: Cho a 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S a 2
a
1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9
Giải: S a 2
( 2)
33 . . 2
a
8
8 8 a
8
8 8 a
8 4 4
1
Bài 3: Cho a,b >0 và a b 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S ab
ab
1
1
15
1
15
17
S ab
(ab
)
2 ab
2
Giải:
ab
16ab 16ab
16ab
4
ab
16
2
3
Bài 4: Cho a,b,c>0 và a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
1
1
1
S a 2 2 b2 2 c 2 2
b
c
a
Giải:
Cách 1:
Bài 1: Cho a 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S a
Cách 2:
S a2
1
1
1
b2 2 c 2 2
2
b
c
a
(12 42 )(a 2
1
1
) (1.a 4. ) 2
2
b
b
a2
1
1
4
(a )
2
b
b
17
Tương tự
1
1
4
1
1
4
b2 2
(b ); c 2 2
(c )
c
c
a
a
17
17
Do đó:
1
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
S
1
4 4 4
1
36
(a b c )
(a b c
)
a b c
a bc
17
17
3 17
1
9
135
(a b c 4(a b c) ) 4(a b c) 2
17
x
y
z 1 . Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và
x2
1
1
1
y 2 2 z 2 2 82
2
y
z
x
Giải:
1
1
(1.x 9. )2 (12 92 )( x 2 2 )
y
y
x2
1
y2
1
9
(x )
y
82
1
1
9
1
1
9
( y ); z 2 2
(z )
2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1
81
S
(x y z )
(x y z
)
x y z
x yz
82
82
TT : y 2
1
1
80
( x y z x y z ) x y z 82
82
Bài 6: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c 20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 9 4
S a bc
a 2b c
Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4
12 18 16
12
18 16
4 S 4a 4b 4c a 2b 3c 3a 2b c
a b c
a
b
c
20 3.2.2
2.2.3 2.4 52 S 13
1 1 1
Bài 7: Cho x,y,z> 0 và 4 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1
1
1
P
2x y z x 2 y z x y 2z
Giải:
2
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Ta có
1 1
4 1 1
;
x y x y y z
4
yz
1
x
1
y
1
y
1
z
4
x y
4
yz
16
x 2y z
1
x 2y z
TT :
1
1 2 1 1
1
1 1 1 2
;
2 x y z 16 x y z x y 2 z 16 x y z
1 4 4 4
1
16 x y z
Bài 8
S
x
x
x
12 15 20
Chứng minh rằng với mọi x R , ta có 3x 4 x 5 x
5 4 3
Giải:
x
x
x
x
x
x
x
x
12 15
12 15
15
12
x 20
x 20
x
2 . 2.3 ; 2.5 ; 2.4
5
4
5
4
3
4
3
5
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8 x 8 y 8 z 4 x 1 4 y 1 4 z 1
Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8x 3 64 x 4 x nên :
8 x 8x 82 3 3 8x.8x.82 12.4 x ;
8 y 8 y 82 3 3 8 y.8 y.82 12.4 y ;
8 z 8z 82 3 3 8z .8z .82 12.4z
8 x 8 y 8z 3 3 8x.8 y.8z 3 3 82.82.82 192
Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
1 x3 y3
1 y3 z3
1 z 3 x3
3 3
xy
yz
zx
Giải:
x 3 y 3 xy x y 1 x3 y 3 xyz xy x y xy x y z 3xy 3 xyz 3xy
1 x3 y3
3xy
xy
xy
3 yz
3 1 y3 z3
;
xy
yz
yz
1
1
1
S 3
3 3
xy
yz
zx
1
2
x y2 z2
3
3 3
3 1 z 3 x3
3 zx
;
yz
zx
zx
3
zx
1 1
16 x
2
y
1
z
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Bài 11
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
x y 1 xy
của biểu thức P
2
2
1 x 1 y
Giải:
2
x y 1 xy
P 2
2
1 x 1 y
x y 1 xy
2
2
1 x 1 y
x y 1 xy
2
2
x y 1 xy
1
4
1
4
P
1
4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12
a 3 b3 c 3
Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:
ab bc ca
b c a
Giải:
2
3
3
3
4
4
4
2
2
2 2
ab bc ac
a
b
c
a
b
c
(
a
b
c
)
Cách 1:
ab bc ac
b c a ab bc ca
ab bc ac
ab bc ac
a3
b3
c3
Cách 2:
ab 2a 2 ; bc 2b 2 ; ca 2a 2
b
c
a
a 3 b3 c 3
2(a 2 b 2 c 2 ) ab bc ac ab bc ac
b c a
Bài 13
Cho x,y >0 và x y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A
3x 2 4 2 y 3
4x
y2
Giải: Dự đoán x=y=2
3x 2 4 2 y 3 3x 1 2
1 x 2 y y x y 9
A
2 y 2
2
4x
y
4 x y
4 4 2 2
x 4 y
1
1
4 2 3
Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P 3
3
x y
xy
Giải: Ta có
3
x y x3 y3 3xy(x+y) x3 y 3 3xy=1
x 3 y 3 3xy x 3 y 3 3xy
3xy
x3 y 3
P=
4 3
42 3
x3 y 3
xy
x y3
xy
1
1
1
1
2 . Chứng minh rằng xyz
Bài 15: Cho x,y,z >0 và
1 x 1 y 1 z
8
Giải:
4
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
1
1
1
1
1
y
z
2
1
1
2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
TT :
1
2
1 y
xz
1
;
2
1 x 1 z 1 z
yz
1 y 1 z
xy
1 x 1 y
Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S
x
y
z
x 1 y 1 z 1
Giải:
1
x
y
z
1
1
9
9 3
3
3
3
x 1 y 1 z 1
x y z3
4 4
x 1 y 1 z 1
Bài 17:
4a 2 5b 2 3c 2
Cho a,b,c >1. Chứng minh rằng:
48
a 1 b 1 c 1
Giải:
2
4a 2 4 a 1 4
4
4
4 a 1
4 a 1
8 8 8 16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
5 b 1
10 20;
3 c 1
6 12 dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1
Bài 18
Cho a,b,c >0, chứng ming rằng :
1 1 1
1
1
1
3
a b c
a 2b b 2c c 2a
Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
;
;
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a
Bài 19
Với a,b,c >0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
a b c a bc
Giải:
2
1 4 9 1 2 3
36
a b c
abc
abc
Bài 20:
Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng :
1 1 4 16
64
a b c d abcd
Giải:
1 1 4
16
16
16
64
;
a b c a b c a b c d a b c d
S
5
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Cần nhớ:
a2 b2 c2 a b c
x
y z
x yz
2
Bài 21
Với a,b,c>0 chứng minh rằng:
4 5 3
a b c
2
1
3
4
ab bc ca
Giải.
1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
;
;
a b ab
a b a b b c bc
b c bc c a ca
Bài 22
Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
1
1
1
1 1 1
2
Chứng minh rằng
p a p b p c
a b c
Giải:
1
1
1
2
2
2
p a p b p c a b c a b c a b c
1
1
1
1
1
1
1 1 1
2
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b c
Bài 23
x2
y2
z2
x
y
x
4
Cho x,y,z>0 và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
yz zx x y
Giải:
x y z x y z 4 2.
x2
y2
z2
Cách1: P
y z z x x y 2 x y z
2
2
Cách 2:
x2
yz
y2
zx
z2
xy
x;
y;
z
yz
4
zx
4
x y
4
x yz x yz 4
P x y x
2.
2
2
2
Bài 24
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 y 3z 5 3z x 5 x 2 y 5 51
1 x
1 2 y
1 3z
7
Giải:
2
6
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
2 y 3z 5 3 z x 5 x 2 y 5
1 x
1 2 y
1 3z
2 y 3z 5
3z x 5
x 2y 5
1
1
1 3
1 x
1 2y
1 3z
1
1
1
9
x 2 y 3z 6
3
3 24.
x 2 y 3z 3
1 x 1 2 y 1 3z
9
51
24. 3
21
7
Bài 25
Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 b 2 1 ab a b
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p a p b p c 3p
Giải:
Bu- nhi -a ta có :
p a pb pc
Bài 27
(12 12 12 )( p a p b p c ) 3(3 p 2 p ) 3 p
Cho hai số a, b thỏa mãn : a 1; b 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A a
1
1
b
a
b
1
1 15b b 1 15.4
1 17
21
2; b
2.
A
Giải: a
a
b 16 16 b 16
4 4
4
Bài 28
Chứng minh rằng a 4 b 4 a 3b ab3
Giải:
a 2 2 b 2 2 (12 12 ) a 2 b 2 2 a 2 b 2 a 2 b 2 2ab a 2 b 2 a 4 b 4 a 3b ab 3
Bài 29
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
( x y 1) 2 xy y x
A
(Với x; y là các số thực dương).
xy y x ( x y 1) 2
Giải:
( x y 1) 2
1
a; a 0 A a Có
Đặt
xy y x
a
1 8a a
A
a
(
a 9
9
1
)
a
8
a 1
.3 2. .
9
9 a
8 2
3 3
Bài 30
7
10
3
A
10
3
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.
Chứng minh
a2
b2
c2
2
(b c) 2 (c a ) 2 (a b) 2
Giải:
a
b
b
c
c
a
.
.
.
1
(b c) (c a) (c a) ( a b) ( a b) (b c)
2
a
b
c
VT
0
(
b
c
)
(
c
a
)
(
a
b
)
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 . Chứng ming rằng
1
2009
670
2
2
a b c
ab bc ca
2
Giải:
1
2009
2
2
a b c ab bc ca
1
1
1
2007
9
2007
2 2 2
670
2
2
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c
a b c
3
Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
P a 2 b2 c2
ab bc ca
a 2b b 2c c 2a
Giải:
3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0
ab bc ca
P a 2 b2
Suy ra P a b c 2 2
2
a b c
2
2
2
c
2
9 (a 2 b2 c2 )
2(a 2 b 2 c 2 )
t = a2 + b2 + c2, với t 3.
Suy ra P t
9t t 9 t 1
3 1
3 4 P 4
2t
2 2t 2 2
2 2
a=b=c=1
Bài 33
Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1 1
P=
16 x 4 y z
Giải:
8
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
1
1
1 1
1 1 y
x z
x z y 21
x y z
16x 4 y z
16x 4 y z 16 x 4 y 16 x z 4 y z 16
y
x 1
z y
z
x 1
có =khi y=2x;
1 khi z=2y
khi z=4x;
=>P 49/16
16 x 4 y 4
4y z
16 x z 2
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 34
P=
4 5
23
x y
6
7
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 8x 18y
x
y
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
Giải:
6
7
2
2 4 5
18y 8x 18y 8 12 23 43
x
y
x
y x y
1 1
1 1
Dấu bằng xảy ra khi x; y ; .Vậy Min B là 43 khi x; y ;
2 3
2 3
B 8x
Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 9
Gải:
1 x 2 x 1 0 và x 2 0 ( x 1)( x 2) 0
x 2 3x 2
Tương tự y 2 3y 2 và z 2 3z 2
x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9
Bài 36
Cho a,b,c là các số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6. Chứng minh rằng
a bc 0.
Giải:
a 1 a 2 0 a 2 a 2 0; b 2 b 2 0; c 2 c 2 0
a b c a 2 b2 c 2 6 0
Bài 37
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 . Chứng minh rằng:
1
1
1
97
a 2 2 b2 2 c 2 2
b
c
a
2
Giải:
2
9 1 2 81 2 1
1
4
9
2
1.
a
.
1 a 2 a 2
a ;
4 b
16
b
b
4b
97
cộng các vế lại
1
4
9
1
4
9
2
2
b 2
b ; c 2
c
c
4c
a
97
97 4a
9
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Bài 38
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p
9
p a p b p c
Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9
9 hay
p a p b p c
p a pb p c p a p b p c p
Bài 39
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2 b 2 c 2 ) 2abc 52
Giải:
8
abc
( a b c)( a ۳
b c)( a b c) (6 2a) 6 2b 6 2c
abc
24
ab bc ac
3
16 36 (a 2 b 2 c 2 )
8 2
۳
2abc
48
(a b 2 c 2 ) 2abc 48 (1)
3
2
3
a 2 b2 c2
4 (2)
(1) and(2) dpcm
3
Có chứng minh được 3(a 2 b 2 c 2 ) 2abc 18 hay không?
Bài 40
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P 4(a 3 b3 c3 ) 15abc .
Giải:
Có a 2 a 2 (b c)2 (a b c)(a b c ) (1) , b 2 b 2 (c a) 2 (b c a)(b c a ) (2)
c 2 c 2 (a b) 2 (c a b)(c a b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra a b c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có : abc (a b c)(b c a )(c a b) (*)
Từ a b c 2 nên (*) ۳ abc (2 2a )(2 2b)(2 2c) 8 8(a b c) 8(ab bc ca) 9abc 0
8 9abc 8(ab bc ca ) 0 9abc 8(ab bc ca) 8 (*)
Ta có a3 b3 c3 (a b c )3 3(a b c )(ab bc ca ) 3abc 8 6(ab bc ca ) 3abc
3
3
3
Từ đó 4(a b c ) 15abc 27abc 24(ab bc ca) 32 3 9abc 8(ab bc ca) 32 (**)
2 ۳b 2
a
2
2
c
2
2
0
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a 3 b3 c3 ) 15abc 3.(8) 32 8
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c .
3
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a b c
2
3
Bài 41
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
a 3 b3 c3 3abc .
9
4
10
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Giải:
*P a3 b3 c 3 3abc
Ta có a3 b3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b2 c 2 ab bc ac)
a 3 b3 c 3 3abc (a 2 b 2 c 2 ab bc ac ) (1)
có abc ( a b c )(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c)
2 8
1 4(ab bc ca) 8abc ۳ 6abc
ab bc ca (2)
3 3
2 5
(1)and(2) a 3 b3 c3 3abc a 2 b 2 c 2 ab bc ca
3 3
màab bc ca
2
1 a 2 b2 c 2
2
2
1 1
a
b
3 3
2
1
c
3
0
P
1 2
a b2 c 2
6
a 2 b2 c 2
1
3
1
6
P
1 1 1
.
6 3 6
2
9
*P a 3 b3 c 3 3abc
abc (a b c )(a b c)( a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4( ab bc ca ) 8abc 0
1
ab bc ca ) 2abc
(3)
4
P a3 b3 c 3 3abc ( a b c)( a 2 b2 c 2 ab bc ac) 6abc
a 2 b 2 c 2 ab bc ac 6abc a b c 3 ab bc ca 6abc
2
1 1
1 3 ab bc ca 2abc 1 3.
4 4
Bài 42
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
x 2 y 2 z 2 xy yz zx xyz 8
Giải:
11
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Chứng minh được
xyz x y z x y z x y z
(6 2 x)(6 2 y )(6 2 z ) 216 72( x y z ) 24( xy yz zx) 8xyz
8
۳ xyz 24 ( xy yz zx) (1)
3
mà x y z 9 x 2 y 2 z 2 2xy 2 yz 2xz 9
2
x 2 y 2 z 2 xy yz xz 36 3xy 3 yz 3xz
(2)
8
Nên xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy 3 yz 3xz
3
1
2
xyz x 2 y 2 z 2 xy yz xz 12 ( xy yz zx) mà x y z 3( xy yz zx)
3
1 x y z
36
xyz x y z xy yz xz 12 .
12
8
3
3
9
2
2
2
2
Bài 43
2
2
Cho a 1342; b 1342 . Chứng minh rằng a b ab 2013 a b . Dấu đẳng
thức xảy ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
a 1342
2
b 1342 0; a 1342 b 1342 0; a 1342 b 1342 0
2
Thật vậy:
(1)
a 1342 b 1342 0 a 2 b 2 2.1342. a b 2.13422 0
(2)
a 1342 b 1342 0 ab 1342a 1342b 1342 2 0
a 2 b 2 2.1342. a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 0
a 2 b2 ab 3.1342. a b 3.13422 2.2013. a b 3.13422
2013. a b 2013. a b 2.2013.1342 2013. a b 2013. a b 1342 1342 2013. a b
2
2
Bài 44
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x 1 x 3 6 x 1
4
4
2
x 3
2
Giải:
Cách 1:
12
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Cách 2 :
A x 1 x 3 6 x 1
4
4
2
x 3
2
2
2
2
2
2
A x 1 x 3 4 x 1 x 3
A 2x 2 8x 10 4 x 2 4x 3
2
A 2( x 2) 2 2 4 ( x 2) 2 1
2
2
2
A 4( x 2) 4 8( x 2) 2 4 4( x 2) 4 8( x 2) 2 4
A 8( x 2) 4 8 8
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
1
c 1 a 1 b 1 4
Giải:
Bài 46
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
13
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
1
1 x y
3
3
1
1
1
3
3
1 y z 1 z 3 x3
Giải:
x y x 2 y 2 2xy x y
x 2 y 2 2xy
1 x3
xy x
y3
1
1 x y
3
1
y z
1 x y
3
z
1
;
x y z 1 y3 z3
3
x 3 y 3 xy x y
1
xy x y z
3
x
1
;
x y z 1 z 3 x3
y
x y z
dpcm
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng :
a b
2
ab
2a b 2b a
2
2
ab
1
1
1
a b a b a b a b 2 ab a b 2a b 2b a
2
2
4
4
Giải:
a b
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1 8a 3
1
1
1 8b 3
1 8c3
1
Giải:
1
1 8a 3
;
1
2a 1 4a 2 2a 1
1
2b 1
;
1
1
2
1
2
2
2
2a 1 4a 2a 1 4a 2 2a 1
2
1
1 8c3 2c 1
1
1
1
9
1
2
2
2
2
2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 2 1 2c 2 1
1 8b3
VT
1
2
2
Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng :
a 3 b3 c 3
a 2 b2 c2
b c a
Giải:
Cách 1:
2
2
2
a2 b2 c2 a2 b2 c2
a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 a b c
a2 b2 c2
b c a ab bc ca
ab bc ca
ab bc ca
2
Cách 2
a3
b3
ab 2a 2 ;
bc
b
c
2b 2 ;
c3
a
ca
2c 2
VT
Bài 50
14
2 a 2 b 2 c 2 (ab bc ca) a 2 b 2 c 2
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn .
Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3
y 1 z 1 x 1 2
Giải:
x2
y 1
y2
x;
y 1
4
z 1
z 1
4
z2
y;
x 1
x 1
4
15
z
VT
3
x y z
4
3
4
3
3
.3
4
4
3
2
- Xem thêm -
.DOC 
15 
304 
71 
