..
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
Nguy¹n Minh Hi·n
SÜ TÇN TI V TNH LIN THÆNG CÕA TP NGHIM
ÈI VÎI BI TON TÜA C
N BNG VCTÌ SUY RËNG
LUN VN THC S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
Nguy¹n Minh Hi·n
SÜ TÇN TI V TNH LIN THÆNG CÕA TP NGHIM
ÈI VÎI BI TON TÜA C
N BNG VCTÌ SUY RËNG
Ng nh: To¡n gi£i t½ch
M¢ sè: 8460102
LUN VN THC S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc
TS. BÒI TH HÒNG
Th¡i Nguy¶n - 2019
Líi cam oan
Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc
v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Nguçn t i li»u sû döng cho vi»c ho n
th nh luªn v«n l nguçn t i li»u mð. C¡c thæng tin, t i li»u trong luªn v«n
n y ¢ ÷ñc ghi rã nguçn gèc.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019
Ng÷íi vi¸t luªn v«n
Nguy¹n Minh Hi·n
X¡c nhªn
cõa khoa chuy¶n mæn
X¡c nhªn
cõa ng÷íi h÷îng d¨n
TS. Bòi Th¸ Hòng
i
Líi c£m ìn
Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t
ìn s¥u sc tîi Th¦y gi¡o - Ti¸n s¾ Bòi Th¸ Hòng, ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng
d¨n, gióp ï, ch¿ b£o tªn t¼nh, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp tæi ho n
th nh luªn v«n n y.
Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thº c¡c
th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n
håc v Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n
thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâp
quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n.
Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ¢ quan t¥m gióp ï,
ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019
Ng÷íi vi¸t luªn v«n
Nguy¹n Minh Hi·n
ii
Möc löc
Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Líi c£m ìn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t tt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ii
iv
1
3
1.1. Tªp lçi v mët sè t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Khæng gian lçi àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4. Mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4.1. Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4.2. T½nh li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.3. T½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Ch÷ìng 2. Sü tçn t¤i v t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi
b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Mët sè ki¸n thùc mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2. Sü tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3. T½nh li¶n thæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii
Danh möc c¡c kþ hi»u, c¡c chú vi¸t
tt
R
tªp c¡c sè thüc
R+
tªp sè thüc khæng ¥m
R−
tªp sè thüc khæng d÷ìng
Rn
khæng gian v²ctì Euclide n− chi·u
Rn+
tªp c¡c v²ctì khæng ¥m cõa Rn
Rn−
tªp c¡c v²ctì khæng d÷ìng cõa Rn
f :X→Y
¡nh x¤ tø tªp X v o tªp Y
A := B
A ÷ñc ành ngh¾a b¬ng B
∅
tªp réng
A⊆B
A l tªp con cõa B
A 6⊆ B
A khæng l tªp con cõa B
A∪B
hñp cõa hai tªp hñp A v B
dom F
mi·n ành ngh¾a cõa ¡nh x¤ a trà F
gph F
ç thà cõa ¡nh x¤ a trà F
iv
A∩B
giao cõa hai tªp hñp A v B
A\B
hi»u cõa hai tªp hñp A v B
A×B
t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v B
cl A
bao âng tæpæ cõa tªp hñp A
co A
bao lçi cõa tªp hñp A
int A
ph¦n trong tæpæ cõa tªp hñp A
conv A
bao lçi cõa tªp hñp A
2
k¸t thóc chùng minh
v
Mð ¦u
B i to¡n c¥n b¬ng v²ctì câ nhi·u ùng döng quan trång trong vªt lþ, kinh
t¸, khoa håc,... Lþ thuy¸t v· sü tçn t¤i cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n c¥n
b¬ng v²ctì ¢ ÷ñc r§t nhi·u nh to¡n håc nghi¶n cùu d÷îi gi£ thi¸t h m
möc ti¶u l tüa lçi ho°c tüa lçi theo nân ([2], [3], [4]). N«m 2015, Han v
Huang [4] nghi¶n cùu i·u ki»n v· sü tçn t¤i èi vîi tªp nghi»m húu hi»u
y¸u v tªp nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì suy rëng vîi gi£
thi¸t h m möc ti¶u lçi theo nân. N«m 2016, c¡c t¡c gi£ ¢ mð rëng k¸t qu£
tr¶n cho lîp b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng [6]. Ngo i vi»c nghi¶n
cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì ng÷íi ta cán quan t¥m
nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa tªp nghi»m cõa b i to¡n n y. Trong sè c¡c t½nh
ch§t cõa tªp nghi»m th¼ t½nh li¶n thæng câ vai trá r§t quan trång, v¼ nâ
÷ñc b£o to n khi chuyºn qua ¡nh x¤ li¶n töc. Ban ¦u, ng÷íi ta nghi¶n
cùu t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m húu hi»u y¸u li¶n quan ¸n ¡nh x¤ ìn
trà tø khæng gian húu h¤n chi·u n y sang khæng gian húu h¤n chi·u kh¡c
[4]. Sau â, c¡c b i to¡n n y ÷ñc mð rëng vîi khæng gian câ sè chi·u væ
h¤n [8]. N«m 2016, Han v Huang [6] nghi¶n cùu t½nh li¶n thæng cõa tªp
nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng v²ctì suy rëng. Sau â c¡c t¡c gi£ ¢ mð
rëng k¸t qu£ tr¶n cho lîp b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng [6].
Möc ½ch cõa luªn v«n nh¬m tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c k¸t qu£
trong cæng tr¼nh [6] v· sü tçn t¤i v t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi
b i to¡n tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng.
Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v t i li»u
tham kh£o.
1
Ch÷ìng 1 cõa luªn v«n tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· tªp lçi, khæng gian
lçi, ¡nh x¤ a trà v mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà.
Ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët sè i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m húu hi»u
m¤nh, nghi»m húu hi»u y¸u v nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng
v²ctì suy rëng. Hìn núa t½nh li¶n thæng cõa tªp nghi»m èi vîi b i to¡n
tüa c¥n b¬ng v²ctì suy rëng công ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y.
2
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
Gi£i t½ch a trà ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng n«m 30 cõa th¸ k 20 do ch½nh
nhu c¦u cõa c¡c v§n · n£y sinh tø thüc ti¹n v cuëc sèng. Tø kho£ng 10
n«m trð l¤i ¥y vîi cæng cö gi£i t½ch a trà, c¡c ng nh to¡n håc nh÷ lþ
thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, b§t ¯ng thùc
bi¸n ph¥n v ph÷ìng tr¼nh suy rëng, lþ thuy¸t tèi ÷u, lþ thuy¸t i·u khiºn,
tèi ÷u a möc ti¶u, khoa håc qu£n lþ v to¡n kinh t¸, ... ph¡t triºn mët c¡ch
m¤nh m³ v câ nhi·u ùng döng s¥u sc. Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh
b y mët sè ki¸n thùc v k¸t qu£ quen bi¸t v· gi£i t½ch a trà ÷ñc tr½ch ra
tø cuèn s¡ch chuy¶n kh£o v· gi£i t½ch a trà [1]. C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng
n y l cì sð cho vi»c tr¼nh b y k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n ð ch÷ìng 2.
1.1. Tªp lçi v mët sè t½nh ch§t
ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh. Tªp A ⊆ X ÷ñc
gåi l lçi n¸u vîi måi x1 , x2 ∈ A ta luæn câ
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A vîi måi λ ∈ [0, 1].
Quy ÷îc. Tªp réng l tªp lçi.
M»nh · 1.1.2. Gi£ sû Aα ⊆ X l c¡c tªp lçi vîi måi α ∈ I , vîi I l tªp
ch¿ sè b§t k¼. Khi â tªp A = ∩ Aα lçi.
α∈I
3
Chùng minh. L§y x, y ∈ A. Khi â x, y ∈ Aα , vîi måi α ∈ I . Do Aα l lçi
vîi måi α ∈ I n¶n λx + (1 − λ)y ∈ Aα , vîi måi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do â
λx + (1 − λ)y ∈ A. Vªy A l tªp lçi.
M»nh · 1.1.3. Gi£ sû Ai ⊆ X l tªp lçi v λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m). Khi
â λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am l tªp lçi.
Chùng minh. °t A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am . L§y x, y ∈ A, khi â tçn
t¤i xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , m sao cho x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm ,
y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym .
Ta câ
λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym )
= λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ].
Do Ai l tªp lçi n¶n λxi +(1−λ)yi ∈ Ai , vîi måi λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2}, . . . , m.
Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, vîi måi λ ∈ [0, 1]. Vªy A l tªp lçi.
ành ngh¾a 1.1.4. Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh, A l mët tªp con
cõa X . Khi â giao cõa t§t c£ c¡c tªp lçi chùa A ÷ñc gåi l bao lçi cõa
tªp A v k½ hi»u l co A.
Nhªn x²t. Tªp A lçi khi v ch¿ khi A chùa t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa c¡c
ph¦n tû trong A.
ành lþ 1.1.5. Gi£ sû A l tªp con cõa khæng gian tuy¸n t½nh X . Khi â
co A tròng vîi tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa tªp A, tùc l
( n
)
n
X
X
co A =
αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0,
αi = 1 .
i=1
i=1
Chùng minh. Ta câ co A l tªp lçi. V¼ A ⊂ co A n¶n co A chùa t§t c£ c¡c
tê hñp lçi cõa A. Hìn núa tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A l lçi v chùa A,
do â nâ chùa co A (v¼ co A l tªp lçi nhä nh§t chùa A). Vªy co A tròng vîi
tªp t§t c£ c¡c tê hñp lçi cõa A.
4
1.2. Khæng gian lçi àa ph÷ìng
ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû X l mët tªp hñp kh¡c réng. Hå τ nhúng tªp
con cõa X ÷ñc gåi l mët tæpæ tr¶n X n¸u
(i) Hai tªp ∅, X ·u thuëc hå τ ;
(ii) τ k½n èi vîi ph²p giao húu h¤n, tùc l giao cõa mët sè húu h¤n tªp
thuëc hå τ th¼ công thuëc hå τ ;
(iii) τ k½n èi vîi ph²p hñp b§t k¼, tùc l hñp cõa mët sè húu h¤n hay
væ h¤n tªp thuëc hå τ th¼ công thuëc hå τ .
C°p (X, τ ) ÷ñc gåi l khæng gian tæpæ. C¡c ph¦n tû thuëc X ta gåi l
iºm v c¡c tªp thuëc hå τ ÷ñc gåi l tªp mð.
ành ngh¾a 1.2.2. Gi£ sû τ, τ 0 l c¡c tæpæ tr¶n X . N¸u τ
⊆ τ 0 , ta nâi
tæpæ τ y¸u hìn (thæ hìn) tæpæ τ 0 hay tæpæ τ 0 m¤nh hìn (màn hìn) tæpæ τ .
Tr÷íng hñp khæng câ quan h» â, ta nâi hai tæpæ khæng so s¡nh ÷ñc.
ành ngh¾a 1.2.3. Cho khæng gian tæpæ (X, τ ) v A ⊆ X .
(i) Tªp con U cõa khæng gian X ÷ñc gåi l l¥n cªn cõa A n¸u U l bao
h m tªp mð chùa A;
(ii) L¥n cªn cõa ph¦n tû x ∈ X l l¥n cªn cõa tªp con {x}. Hå t§t c£
c¡c l¥n cªn cõa mët iºm gåi l h» l¥n cªn cõa iºm â.
ành ngh¾a 1.2.4. Khæng gian tæpæ (X, τ ) ÷ñc gåi l khæng gian Hausdorff n¸u èi vîi hai iºm kh¡c nhau tòy þ x, y ∈ X luæn tçn t¤i c¡c l¥n
cªn U cõa x, V cõa y sao cho U ∩ V = ∅.
ành ngh¾a 1.2.5. Cho X l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K.
(i) Mët tæpæ τ tr¶n X ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè cõa X
n¸u c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc.
(ii) Mët khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh hay khæng gian v²ctì tæpæ tr¶n
tr÷íng K l mët c°p (X, τ ), trong â X l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K
v τ l mët tæpæ t÷ìng th½ch vîi c§u tróc ¤i sè cõa X .
5
ành ngh¾a 1.2.6. Khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh X ÷ñc gåi l khæng gian
lçi àa ph÷ìng (v tæpæ cõa nâ l tæpæ lçi àa ph÷ìng), n¸u trong X câ mët
cì sð l¥n cªn cõa gèc gçm to n tªp lçi. Hìn vªy, n¸u khæng gian lçi àa
ph÷ìng X çng thíi l khæng gian Hausdorff th¼ X ÷ñc gåi l khæng gian
lçi àa ph÷ìng Hausdorff.
V½ dö 1.2.7. Khæng gian ành chu©n, khæng gian Hilbert l c¡c khæng gian
lçi àa ph÷ìng Hausdorff.
1.3. Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà
Gi£ sû X v Y l hai tªp hñp. K½ hi»u 2X l tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa
X.
ành ngh¾a 1.3.1. Mët ¡nh x¤ a trà F tø X v o Y
m ùng vîi méi ph¦n
tû x ∈ X cho mët tªp con cõa Y , ÷ñc kþ hi»u F : X → 2Y .
Thüc ch§t, méi ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y ÷ñc °c tr÷ng bði mët tªp
con cõa X × Y , k½ hi»u l gph F v ÷ñc x¡c ành bði
gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) .
Tªp hñp gph F ÷ñc gåi l ç thà cõa F .
Mi·n ành ngh¾a cõa F , k½ hi»u dom F , x¡c ành bði
dom F := x ∈ X : F (x) 6= ∅ .
V½ dö 1.3.2. X²t ph÷ìng tr¼nh a thùc vîi h» sè thüc
xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0,
Quy tc cho ùng méi v²ctì a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn vîi tªp nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh tr¶n, k½ hi»u bði F (a), cho ta mët ¡nh x¤ a trà
F : Rn → 2C
tø khæng gian Euclide Rn v o khæng gian phùc C.
6
ành ngh¾a 1.3.3. Cho X, Y
l c¡c khæng gian tuy¸n t½nh v ¡nh x¤ a
trà F : X → 2Y . Ta nâi r¬ng
(i) F câ gi¡ trà lçi n¸u F (x) l tªp lçi trong Y , vîi måi x ∈ X;
(ii) F l ¡nh x¤ lçi n¸u gph F l tªp lçi trong X × Y.
ành ngh¾a 1.3.4. Cho X, Y
l c¡c khæng gian tæpæ v F : X → 2Y l
¡nh x¤ a trà. Ta nâi r¬ng
(i) F câ gi¡ trà âng n¸u F (x) l tªp âng trong Y , vîi måi x ∈ X ;
(ii) F l ¡nh x¤ âng n¸u gph F l tªp âng trong X × Y ;
(ii) F l ¡nh x¤ mð n¸u gph F l tªp mð trong X × Y ;
(iii) F l ¡nh x¤ compact n¸u F (X) l tªp compact t÷ìng èi trong Y .
M»nh · 1.3.5. Gi£ sû X, Y
l c¡c khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh v ¡nh x¤
a trà F : X → 2Y . Khi â
(i) N¸u F l ¡nh x¤ âng th¼ F câ gi¡ trà âng;
(ii) N¸u F l ¡nh x¤ mð th¼ F câ gi¡ trà mð;
(iii) N¸u F l ¡nh x¤ lçi th¼ F câ gi¡ trà lçi;
(iv) F l ¡nh x¤ lçi khi v ch¿ khi
(1 − t)F (x) + tF (x0 ) ⊆ F ((1 − t)x + tx0 ) vîi måi x, x0 ∈ X v t ∈ [0, 1]
.
C¡c v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra r¬ng ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà lçi ch÷a chc l
¡nh x¤ lçi v ¡nh x¤ a trà câ gi¡ trà âng ch÷a chc l ¡nh x¤ âng.
V½ dö 1.3.6. Cho ¡nh x¤ a trà F : N∗ → 2R ành ngh¾a nh÷ sau
co 1, 2, ..., n − 1 , n¸u n ≥ 2,
F (n) =
{0}, n¸u n=1.
Hiºn nhi¶n F l ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà lçi. Tuy nhi¶n F khæng l ¡nh x¤
lçi.
7
V½ dö 1.3.7. X²t ¡nh x¤ a trà F : R → 2R x¡c ành bði
[0, 1], n¸u x = 0,
F (x) =
R, trong tr÷íng hñp cán l¤i.
Hiºn nhi¶n ¡nh x¤ F câ gi¡ trà âng. M°t kh¡c ta câ
gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)
l tªp khæng âng trong R2 v nh÷ vªy F khæng l ¡nh x¤ âng.
ành ngh¾a 1.3.8. Cho X, Y l c¡c khæng gian tæpæ. nh x¤ bao âng cõa
F l ¡nh x¤ a trà cl F : X → 2Y m ç thà cõa nâ l bao âng cõa ç thà
cõa ¡nh x¤ F , tùc l
gph(cl F ) = cl(gph F ).
ành ngh¾a 1.3.9. Gi£ sû F : X → 2Y
l ¡nh x¤ a trà tø X v o Y . Ta
gåi ¡nh x¤ ng÷ñc cõa F , kþ hi»u l F −1 : Y → 2X , ÷ñc x¡c ành bði
F −1 (y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , vîi y ∈ Y.
Ta nâi F −1 l £nh ng÷ñc cõa F .
Måi ¡nh x¤ a trà ·u câ ¡nh x¤ ng÷ñc, i·u n y khæng óng èi vîi ¡nh
x¤ ìn trà. Ta công d¹ d ng kiºm tra ÷ñc måi ¡nh x¤ a trà câ £nh ng÷ñc
t¤i méi iºm l mð ·u l ¡nh x¤ nûa li¶n töc d÷îi v i·u ng÷ñc l¤i khæng
óng.
1.4. Mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ a trà
Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y t½nh ch§t li¶n töc theo nân cõa ¡nh
x¤ a trà v t½nh lçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà. C¡c kh¡i ni»m trong ph¦n
n y l sü mð rëng cõa c¡c kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc, t½nh lçi cõa ¡nh x¤
a trà. Tr÷îc ti¶n, ta tr¼nh b y kh¡i ni»m nân trong khæng gian tuy¸n t½nh.
8
1.4.1. Nân trong khæng gian tuy¸n t½nh
ành ngh¾a 1.4.1. Cho Y
l khæng gian tuy¸n t½nh v C l mët tªp con
khæng réng trong Y . Ta nâi r¬ng C l nân câ ¿nh t¤i gèc trong Y n¸u
tc ∈ C , vîi måi c ∈ C v t > 0.
N¸u C l nân câ ¿nh t¤i gèc th¼ C + x0 l nân câ ¿nh t¤i x0 .
ành ngh¾a 1.4.2. Cho C l nân trong khæng gian tuy¸n t½nh Y . Ta nâi
r¬ng
(i) C l nân lçi n¸u C l tªp lçi;
(ii) C l nân nhån n¸u l(C) = {0}, trong â l(C) = C ∩ (−C).
Nân C gåi l âng n¸u C l tªp âng trong Y . Ta nâi C l nân lçi âng
nhån n¸u C l nân lçi, âng v nhån.
D÷îi ¥y l mët sè v½ dö v· nân trong khæng gian tuy¸n t½nh.
V½ dö 1.4.3. 1. Cho Y
l khæng gian tuy¸n t½nh. Khi â 0 , Y l c¡c nân
trong Y v ta gåi chóng l c¡c nân t¦m th÷íng trong Y .
2. Cho khæng gian tuy¸n t½nh Rn . Khi â tªp
Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n}
l nân lçi âng nhån trong Rn v ta gåi l nân Orthant khæng ¥m trong Rn .
3. Gåi C[0, 1] l khæng gian tuy¸n t½nh c¡c h m sè x¡c ành v li¶n töc
tr¶n o¤n [0, 1] vîi c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng
(x + y)(t) = x(t) + y(t),
(λx)(t) = λx(t).
Khi â tªp
C+ [0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 vîi måi t ∈ [0, 1]
l nân lçi âng nhån trong C[0, 1].
9
1.4.2. T½nh li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà
Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i kh¡i ni»m li¶n töc cõa ¡nh x¤ ìn trà giúa c¡c khæng
gian tæpæ.
ành ngh¾a 1.4.4. Mët ¡nh x¤ ìn trà f
: X → Y tø khæng gian tæpæ
X v o khæng gian tæpæ Y ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u vîi måi tªp
mð V trong Y chùa f (x0 ), tçn t¤i l¥n cªn mð U trong X chùa x0 sao cho
f (U ) ⊆ V .
Trong tr÷íng hñp F : X → 2Y l ¡nh x¤ a trà tø khæng gian tæpæ X
v o khæng gian tæpæ Y , Berge ¢ ÷a ra kh¡i ni»m v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n
v nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a trà.
ành ngh¾a 1.4.5. nh x¤ a trà F : X → 2Y ÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n
(d÷îi) t¤i x0 n¸u vîi méi tªp mð V trong Y thäa m¢n F (x0 ) ⊆ V (t÷ìng
ùng, F (x0 ) ∩ V 6= ∅), tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V
(t÷ìng ùng, F (x) ∩ V 6= ∅) vîi måi x ∈ U .
Gi£ sû X, Y l hai khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh v C l nân tr¶n Y. Ta
nhc l¤i kh¡i ni»m li¶n töc theo nân cõa ¡nh x¤ a trà. Kh¡i ni»m n y l
mð rëng kh¡i ni»m cõa Berge v· t½nh nûa li¶n töc tr¶n v nûa li¶n töc d÷îi
cõa ¡nh x¤ a trà.
ành ngh¾a 1.4.6. Cho ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y .
(i) F ÷ñc gåi l C - li¶n töc tr¶n (d÷îi) t¤i x̄ ∈ dom F n¸u vîi méi l¥n
cªn V cõa gèc trong Y , tçn t¤i l¥n cªn U cõa x̄ trong X sao cho
F (x) ⊆ F (x̄) + V + C
(F (x̄) ⊆ F (x) + V − C, t÷ìng ùng)
vîi måi x ∈ U ∩ dom F .
(ii) N¸u F l C - li¶n töc tr¶n v C - li¶n töc d÷îi t¤i x̄ çng thíi, th¼ ta
nâi F l C - li¶n töc t¤i x̄.
10
(iii) N¸u F l C - li¶n töc tr¶n, C - li¶n töc d÷îi v C - li¶n töc t¤i måi
iºm trong dom F , ta nâi F l C - li¶n töc tr¶n, C - li¶n töc d÷îi v C - li¶n
töc trong X .
C¡c kh¡i ni»m nûa li¶n töc tr¶n v nûa li¶n töc d÷îi theo ngh¾a Berge
l ho n to n kh¡c nhau. Do â kh¡i ni»m li¶n töc tr¶n theo nân v li¶n töc
d÷îi theo nân công ho n to n kh¡c nhau. C¡c v½ dö d÷îi ¥y minh håa cho
i·u kh¯ng ành â.
V½ dö 1.4.7. Cho ¡nh x¤ a tràF : R → 2R x¡c ành bði cæng thùc
R, n¸u x = 0,
F (x) =
{0}, n¸u x 6= 0.
Khi â d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ a trà F l nûa li¶n töc tr¶n t¤i x0 = 0,
nh÷ng F khæng nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 = 0.
V½ dö 1.4.8. Cho ¡nh x¤ a trà F : R → 2R x¡c ành bði cæng thùc
{0}, n¸u x = 0,
F (x) =
R, trong tr÷íng hñp cán l¤i.
Khi â d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ a trà F l nûa li¶n töc d÷îi t¤i
x0 = 0, nh÷ng F khæng nûa li¶n töc tr¶n t¤i x0 = 0.
M»nh · sau ÷a ra i·u ki»n c¦n v õ º ¡nh x¤ a trà li¶n töc theo
nân.
M»nh · 1.4.9. Gi£ sû X l khæng gian tæpæ, Y
l khæng gian tæpæ tuy¸n
t½nh vîi thù tü sinh bði nân lçi C v ¡nh x¤ a trà F : X → 2Y vîi F (x0 )
l tªp compact trong Y . Khi â
(i) F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 n¸u v ch¿ n¸u vîi måi tªp mð V , F (x0 ) ⊆
V + C ·u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ⊆ V + C, vîi måi
x ∈ U ∩ dom F.
(ii) F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u v ch¿ n¸u vîi méi y ∈ F (x0 ) v l¥n
cªn V cõa y , tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vîi måi
x ∈ U ∩ dom F .
11
(iii) F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¸u v ch¿ n¸u vîi måi tªp mð G
thäa m¢n F (x0 ) ∩ (G + C) 6= ∅, luæn tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho
F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
Chùng minh. (i) Gi£ sû F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 . L§y V l tªp mð trong
Y sao cho F (x0 ) ⊆ V + C . V¼ F (x0 ) compact n¶n tçn t¤i l¥n cªn V0 cõa 0
sao cho F (x0 ) + V0 ⊆ V + C. V¼ F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 n¶n tçn t¤i l¥n
cªn U cõa x0 sao cho
F (x) ⊆ F (x0 ) + V0 + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
Tø â suy ra
F (x) ⊆ V + C + C = V + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
Ng÷ñc l¤i, l§y W l l¥n cªn mð b§t ký cõa 0 trong Y . °t V = F (x0 ) + W .
Khi â V l tªp mð thäa m¢n F (x0 ) ⊆ V + C . Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i l¥n
cªn U cõa x0 trong X sao cho F (x) ⊆ V + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F. Tø
â suy ra
F (x) ⊆ F (x0 ) + W + C vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
i·u n y chùng tä F l C - li¶n töc tr¶n t¤i x0 .
(ii) Gi£ sû F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 . L§y y ∈ F (x0 ) tòy þ v V l l¥n
cªn cõa y b§t ký. °t W = y − V . Khi â W l l¥n cªn cõa 0 trong Y . V¼
F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 n¶n tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong X sao cho
F (x0 ) ⊆ F (x) + W − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
V¼ y ∈ F (x0 ) n¶n y ∈ F (x) + W − C . Ta câ thº vi¸t y = y ∗ + w − c, ð
¥y y ∗ ∈ F (x), w ∈ W v c ∈ C . Tø â k²o theo y ∗ = y − w + c ∈ V + C .
i·u n y chùng tä y ∗ ∈ F (x) ∩ (V + C). Vªy F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ vîi måi
x ∈ U ∩ dom F.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû V l l¥n cªn mð cõa 0 trong Y . Ta câ
[
F (x0 ) ⊆
(y + V ).
y∈F (x0 )
12
V¼ F (x0 ) compact n¶n tçn t¤i y1 , y2 , ..., yn ∈ F (x0 ) sao cho
F (x0 ) ⊆
n
[
(yi + V ).
i=1
Vîi i ∈ {1, 2, ..., n}, v¼ yi + V l l¥n cªn cõa yi ∈ F (x0 ) n¶n tçn t¤i l¥n cªn
Ui cõa x0 sao cho
F (x) ∩ (yi + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ Ui ∩ dom F.
°t U = ∩ni=1 Ui . Khi â U l l¥n cªn cõa x0 v
F (x) ∩ (yi + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F v i ∈ {1, 2, ..., n}.
Ta chùng minh
F (x0 ) ⊆ F (x) + V − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
Thªt vªy, l§y y0 ∈ F (x0 ) tòy þ. Tø â suy ra
y0 ∈
n
[
(yi + V ).
i=1
Do vªy tçn t¤i i0 ∈ {1, 2, ..., n} v v ∈ V sao cho y0 = yi0 + v . M°t kh¡c
bði F (x) ∩ (yi0 + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F n¶n tçn t¤i y ∈ F (x)
v v 0 ∈ V, c ∈ C sao cho y = yi0 + v 0 + c. Tø â suy ra y0 = y + v − v 0 − c ∈
F (x) + V − C . Vªy F (x0 ) ⊆ F (x) + V − C vîi måi x ∈ U ∩ dom F . Chùng
tä F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 .
(iii) Gi£ sû F l C - li¶n töc d÷îi t¤i x0 . L§y G l tªp mð b§t ký thäa m¢n
F (x0 ) ∩ (G + C) 6= ∅. Tø â suy ra tçn t¤i y0 ∈ F (x0 ) sao cho y0 = g + c,
ð ¥y g ∈ G v c ∈ C . V¼ G l mð n¶n tçn t¤i l¥n cªn mð V cõa 0 sao cho
g + V ⊆ G. Tø â suy ra g + c + V ⊆ G + C hay y0 + V ⊆ G + C . M°t
kh¡c y0 + V l l¥n cªn cõa y0 n¶n theo (ii), tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao
cho F (x) ∩ (y0 + V + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F . i·u n y k²o theo
F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ vîi måi x ∈ U ∩ dom F.
13
- Xem thêm -
.PDF 
46 
1 
62 
