Tài liệu Sử dụng phép rời hình để giải một số dạng toán hình học

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN NGỌC SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Giáo viên hướng dẫn: TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2015 Mục lục Mở đầu 1 1 PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 1.5 Phép biến hình trong mặt phẳng . . . . Tích các phép biến hình . . . . . . . . . Các phần tử bất biến trong một phép hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số phép dời hình đặc biệt trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phép quay và đối xứng tâm . . . . . . . . . . . Sự xác định và dạng chính tắc của một phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số dạng toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 6 6 7 9 10 11 . . . . . . 11 1.5.1 Một số bài toán sử dụng phép quay 1.5.2 Một số bài toán sử dụng phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 3 biến . Phép dời hình trong mặt phẳng . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 3 27 1.5.3 Một số bài toán sử dụng phép tịnh tiến 2 PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Phép biến hình trong không gian . . . . . . . 2.1.2 Tích của các phép biến hình . . . . . . . . . 2.1.3 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động trong một phép biến hình . 2.2 2.3 2.4 . 47 . 47 . 48 . 48 Phép Phép Phép Phép Phép đối xứng trục . . . . . . . đối xứng tâm . . . . . . . . tịnh tiến . . . . . . . . . . . quay quanh một trục . . . đối xứng qua mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 49 49 49 50 51 52 Sự xác định và dạng chính tắc của một phép dời hình trong không gian . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2 2.5 47 Phép dời hình trong không gian . . . . . . . . Một số phép dời hình đặc biệt trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 36 53 Sự xác định một phép dời hình . . . . . . . . . 53 Dạng chính tắc của phép dời hình . . . . . . . 53 Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số dạng toán hình học trong không gian . . 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 Ứng dụng phép đối xứng trục trong giải toán Ứng dụng phép đối xứng tâm trong giải toán Ứng dụng phép tịnh tiến trong giải toán . . . Ứng dụng phép quay quanh một trục trong giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng của phép đối xứng qua mặt phẳng trong giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 54 54 56 58 60 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Mở đầu Phép dời hình chiếm một vị trí quan trọng trong hình học sơ cấp nói chung và các phép biến hình nói riêng. Việc sử dụng nó để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết; đặc biệt trong nhiều bài toán nếu không sử dụng phép dời hình thì việc tìm một lời giải trở nên khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép dời hình sẽ giúp cho bài giải trở lên ngắn gọn và súc tích hơn. Phép dời hình là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học- tư duy biến hình. Trong mỗi bài toán có sử dụng phép dời hình để giải thì nó là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suất trong quá trình tư duy. Ngoài ra, phép dời hình còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Ngoài phần mở đầu, phần kết luân, luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Chương này trình bày định nghĩa về phép dời hình trong mặt phẳng và các tính chất cơ bản của nó. Ngoài ra trong chương này trình bày các phép dời hình đặc biệt là: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay. Trình bày sự xác định và dạng chính tắc của một phép dời hình trong mặt phẳng. Vận dụng phép dời hình để giải toán hình học phẳng. Chương 2. Chương này trình bày kiến thức cơ bản về phép biến hình và dời hình trong không gian: Định nghĩa, Tích các phép biến hình, Các phần tử bất động của phép biến hình, các phép dời hình đặc biệt trong không gian. Vận dụng phép dời hình để giải toán không gian. Luận văn này đươc hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. TRẦN VIỆT 1 CƯỜNG, Trường ĐHSP Thái Nguyên. Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều từ thầy, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự tâm huyết chỉ bảo, hướng dẫn của thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K7N, Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD- ĐT tỉnh Nam Định, Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Trực Ninh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn này. Tuy nhiên, do năng lực bản thân và thời gian nghiên cứu có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng độc giả quan tâm đến luận văn này. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Văn Ngọc 2 Chương 1 PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 1.1.1 Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng Phép biến hình trong mặt phẳng Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P , khi đó mỗi hình H bất kỳ của P là một tập con của P và ta ký hiệu là H ⊂ P . Định nghĩa 1. Một song ánh f : P → P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng P . Phép biến hình biến mọi điểm M của P thành chính nó gọi là phép đồng nhất. Ký hiệu là e. Ví dụ 1. Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, ta xác đinh điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M lên d thì ta được một phép biến hình (gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d). 1.1.2 Tích các phép biến hình Một phép biến hình f : P → P biến một điểm M bất kỳ của P thành một điểm M 0 rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai g:P → P để biến M 0 thành M 00 . Ta có M 0 = f (M ) và M 00 = g(M 0 ). Khi đó phép biến hình h biến M thành M 00 gọi là tích của hai phép biến hình f và g và ký hiệu là h = g ◦ f . 3 Nhận xét 1. Tích của các phép biến hình không có tính chất giao hoán. 1.1.3 Các phần tử bất biến trong một phép biến hình Một điểm M thuộc P là điểm kép (điểm bất động) đối với phép biến hình f nếu f (M ) = M . 1.2 1.2.1 Phép dời hình trong mặt phẳng Định nghĩa Định nghĩa 2. Một phép biến hình f : P → P được gọi là một phép dời hình nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kỳ và hai ảnh của chúng là M 0 = f (M ), N 0 = f (N ) ta luôn luôn có M 0 N 0 = M N . Nhận xét 2. . - Phép đồng nhất e là một phép dời hình. -Đảo ngược của một phép dời hình là một phép dời hình. 1.2.2 Tính chất Theo định nghĩa thì phép dời hình có các tính chất sau. Tính chất 1. .Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A và C thành ba điểm A0 , B 0 , C 0 thẳng hàng với B 0 nằm giữa A0 và C 0. Hệ quả 1. Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó. Hệ quả 2. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một góc thành góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn cùng bán kính. Tính chất 2. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình. Chứng minh. Cho hai phép dời hình f và g . Ta hãy xét tính chất của phép biến hình g ◦ f . Giả sử A, B là hai điểm bất kỳ và ta có f (A) = 4 A0 , g(A0 ) = A”, f (B) = B 0 , g(B 0 ) = B”. Vì f và g đều là phép dời hình nên ta có AB = A0 B 0 , A0 B 0 = A”B”. Như vậy phép biến hình g ◦ f đã biến điểm A thành điểm A”, biến điểm B thành điểm B” thoả mãn điều kiện A”B” = AB . Do đó tích của hai phép dời hình g ◦ f là một phép dời hình. Hệ quả 3. Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. Hệ quả 4. Tích của một phép dời hình với phép đảo ngược của nó là một phép đồng nhất. Tính chất 3. Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp. Chứng minh. Giả sử g, h, f là các phép dời hình, ta cần chứng minh (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ) (hình 1.1). Thật vậy giả sử f biến M thành M 0 , h biến M 0 thành M ” và g biến M ” thành M 000 . Ta có g ◦ h là một phép dời hình biến M 0 thành M 000 và do đó (g ◦ h) ◦ f biến M thành M 000 . Mặt khác h ◦ f biến M thành M ” và g ◦ (h ◦ f ) biến M thành M 000 . Vậy (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ) và cả hai đều biến điểm M thành M 000 với mọi đểm M trong mặt phẳng. Hình 1.1: Tính chất 4. Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình. Ta có tích của hai phép dời hình là một phép dời hình. Do đó tích các phép dời hình đóng kín với phép toán đã cho. Mặt khác tập hợp các phép dời hình có tính chất kết hợp và trong tập hợp các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng có phép dời hình đảo ngược của nó. 5 Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép dời hình. 1.3 1.3.1 Một số phép dời hình đặc biệt trong mặt phẳng Phép đối xứng trục Định nghĩa 3. Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 sao cho đoạn thẳng M M 0 nhận đường thẳng d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Ta ký hiệu phép đối xứng trục này là Đd . Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M 0 trùng với M . Tính chất 5. Phép đối xứng trục là một phép dời hình. Chứng minh. Giả sử M, N là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và phép đối xứng trục Đd biến các điểm M, N thành các điểm M 0 , N 0 . Khi đó các đoạn thẳng M M 0 , N N 0 cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H, K của chúng (hình 1.2) . −−−→ −−→ −−→ −−→ Ta có M H = −M 0 H và KN = −KN 0 . −−→ −−→ −−→ −−→ Mặt khác ta có M N = M H + HK + KN . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Suy ra M N 2 = M H 2 + HK 2 + KN 2 + 2M H.KN (vì M H.HK = 0 −−→ −−→ và HK.KN = 0. Tương tự ta có −−− → −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ M 0 N 02 = M 0 H 2 + HK 2 + KN 02 + 2M 0 H.KN 0 −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ = (−M H 2 ) + (HK 2 ) + (−KN 2 ) + 2(−M H)(−KN ) −−→ = MN2 −−−→ −−→ Do đó M 0 N 0 | = |M N |. 6 Hình 1.2: Vậy phép đối xứng trục là một phép dời hình. Nhận xét 3. Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của phép dời hình. Từ đó ta có: - Nếu M 0 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M lại là ảnh của M 0 qua phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng trục với chính nó là phép đồng nhất. - Mọi điểm của trục đối xứng đều là điểm kép (điểm bất động). - Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó với chú ý rằng giao điểm của a với d là điểm kép các điểm khác của a đều không phải là điểm kép. - Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối xứng của nó. 1.3.2 Phép tịnh tiến − Định nghĩa 4. Trong mặt phẳng (P ) cho vectơ → v , phép biến hình biến −−−→0 → − mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M M = v gọi là phép tịnh tiến theo − − vectơ → v và được ký hiệu là T→ v. − − (M ) = M 0 . Vectơ → v gọi là vectơ tịnh tiến, ta có T→ v Phép tịnh tiến có các tính chất sau: Tính chất 6. Phép tịnh tiến là một phép dời hình. Chứng minh. Giả sử A, B là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và qua 0 0 − phép tịnh tiến T→ v chúng lần lượt biến thành các điểm A , B . 7 Hình 1.3: −−→ −−→ − −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ Ta có AA0 = BB 0 = → v ⇒ AA0 + A0 B = BB 0 + A0 B ⇔ AB = A0 B 0 . −−→ −→ −−→ −→ Vậy AB = A0 B 0 hay |AB| = |A0 B 0 | vì AB = A0 B 0 nên phép tịnh tiến là một phép dời hình. → − → − Nhận xét 4. Nếu vectơ tịnh tiến v 0 = 0 thì khi đó phép tịnh tiến trở − = e. thành phép đồng nhất. Ta có T→ 0 Hệ quả 5. Nếu một phép biến hình biến hai điểm A, B bất kỳ lần lượt −−→ −→ thành hai điểm A0 , B 0 sao cho AB = A0 B 0 thì nó là một phép tịnh tiến −−→ −−→ − theo vectơ → v = AA0 = BB 0 . Nhận xét 5. Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của một phép dời hình. → − − - Nếu phép tịnh tiến theo vectơ → v khác vectơ 0 biến điểm M thành điểm M’ thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M’ thành điểm M với − vectơ tịnh tiến là (−→ v ). −1 → −→ → − Như vậy ta có T→ = T− − −v , nên T−v .T v = e (là phép đồng nhất) . v → − → − - Qua phép tịnh tiến theo vectơ v khác 0 thì các đường thẳng nhận → − v làm vecto chỉ phương đều biến thành chính nó, chú ý rằng các điểm của đường thẳng này không phải là điểm kép. − −0 là một phép tịnh tiến với vectơ - Tích của hai phép tịnh tiến T→ v và T→ v → − → − 0 tịnh tiến bằng v + v . 8 - Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết được vectơ tịnh − tiến → v của nó. 1.3.3 Phép quay và đối xứng tâm Định nghĩa 5. Trong mặt phẳng (P ) đã được định hướng, cho một điểm O cố định và một góc lượng giác α. Một phép quay tâm O với góc quay α là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành điểm M 0 sao cho OM = OM 0 và ( OM, OM 0 )= α. Ta ký hiệu là Q(O,α) . Nhận xét 6. Nếu α = 0 thì phép quay là phép đồng nhất, còn nếu α = π hoặc α = −π thì phép quay được gọi là phép đối xứng tâm O, ký hiệu là ĐO Theo định nghĩa trên thì phép quay có các tính chất sau. Tính chất 7. Phép quay là một phép dời hình. Chứng minh. Giả sử M, N là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và Q(O,α) là phép quay biến M, N thành M’, N’ trong đó O, M, N không thẳng hàng. Theo định nghĩa phép quay, ta có OM = OM 0 , ON = ON 0 và (OM, OM 0 ) = (ON, ON 0 ) = α. Theo hệ thức Sa-lơ về góc lượng giác, ta có Hình 1.4: 9 (OM, ON ) = (OM, OM 0 ) + (OM 0 , ON ) = (ON, ON 0 ) + (OM 0 , ON ) = (OM 0 , ON 0 ) 0 ON 0 . Như vậy hai tam giác M ON và M 0 ON 0 bằng \ Suy ra M ON = M\ nhau, do đó M 0 N 0 = M N . Trường hợp O, M, N thẳng hàng, ta thấy ngay M 0 N 0 = M N . Nhận xét 7. Phép quay là một phép dời hình, nên nó có đầy đủ các tính chất của một phép dời hình. Trong phép quay tâm O với góc quay α khác 0 chỉ có tâm O là điểm kép duy nhất của phép quay đó và trong trường hợp này nếu đường thẳng a đi qua tâm O thì đường thẳng ảnh là a0 cũng đi qua điểm O. Nếu phép quay tâm O góc quay α biến điểm M thành M 0 thì phép quay tâm O với góc quay (−α) biến điểm M 0 thành điểm M nghĩa là nếu f = Q(O,α) thì f −1 = Q(O,−α) . Qua phép quay tâm O góc quay α nếu điểm A biến thành điểm A’, điểm B biến thành điểm B’ thì (AB, A0 B 0 )= α . Do đó hai đường thẳng AB và A’B’ cắt nhau tạo nên một góc bằng α và một góc bằng π - α. Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc quay α. 1.4 Sự xác định và dạng chính tắc của một phép dời hình Tính chất 8. Trong mặt phẳng, mọi phép dời hình bảo toàn hướng của mọi tam giác hoặc là phép tịnh tiến hoặc là phép quay quanh một điểm. Tính chất 9. Trong mặt phẳng mọi phép dời hình làm thay đổi hướng của mọi tam giác đều phân tích được thành tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng trục, có trục đối xứng song song với phương tịnh tiến. Như vậy chúng ta đã biết thế nào là một phép dời hình, và các tính chất của nó, sau đây ta sẽ sử dụng kiến thức về phép dời hình để giải toán hình học. 10 1.5 1.5.1 Vận dụng phép dời hình vào việc giải một số dạng toán hình học Một số bài toán sử dụng phép quay Dạng 1: Chứng minh, tính toán các đại lượng hình học Bài toán 1. Cho hình vuông có cạnh bằng 1. Gọi P, Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB, AD.Chứng minh rằng. \ bằng 450 . 1. Nếu chu vi 4AP Q bằng 2 thì góc QCP \ bằng 450 thì chu vi 4AP Q bằng 2. 2.Nếu góc QCP Lời giải: 1. Xét phép quay tâm C góc quay( −900 ) thì điểm D, A, Q lần lượt biến thành các điểm B, A1 , Q1 . \1 = 900 . Do đó DQ = BQ1 và QCQ Ta có AB + AD = 2 ⇒ AP + P B + AQ + QD = 2 (1). Nếu chu vi 4AP Q bằng 2 thì AP+PQ+QA =2 (2). Từ (1) và (2) ta có AP +PB+AQ+QD=AP+PQ+QA suy ra PQ=PB+QD do đó P Q = P B + P Q1 . Xét 4CP Q và 4CP Q1 . Hai tam giác này bằng 1\ 0 \ = P\ nhau (c-c-c) Suy ra QCP CQ1 = QCQ 1 = 45 . 2 Hình 1.5: \ = 450 thì P\ 2. Ngược lại, nếu QCP CQ1 = 450 . Khi đó ta có 4P CQ = 4P CQ1 suy ra P Q = P Q1 . Ta có chu vi của 4AP Q bằng AP + P Q + 11 AQ = AP + AQ + P Q1 = AP + P B + AQ + QD = AB + AD = 2. Nhận xét 8. Đây là bài toán khá hay ngoài cách giải trên còn có thể giải bằng phương pháp tổng hợp nhưng theo đánh giá của tác giả thì lời giải như trên rất tự nhiên và phù hợp với trình độ nhận thức của nhiều đối tượng. Nhận xét 9. Nếu xét bài toán trên trong hệ trục tọa độ Oxy thì ta có nhiều bài toán hay và khó phù hợp với bài thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Ví dụ ta có bài toán sau. Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB=AD. Điểm B(1;2), đường thẳng BD có phương trình y=2. Biết đường thẳng d có phương trình 7x-y-25=0 lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự tại M, N sao cho M B vuông góc với BC và tia BN là tia phân \ giác của góc M BC . Hãy tìm toạ độ đỉnh D biết điểm D có hoành độ dương. ( Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Nam Định năm học 2013- 2014) Thực tế bài toán này là một thách thức lớn đối với các em dự thi bằng chứng là có rất ít học sinh giải được và những em giải được bài này thì đạt giải cao trong kỳ thi đó. Ta sẽ thấy một ứng dụng " to lớn " khác của phép quay qua bài toán sau. Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3M D. Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại điểm I sao \ =M \ [ , điểm N thuộc cạnh cho ABM BI . Kẻ tia phân giác của góc IBC CD. Hãy tính diện tích 4BM N . Lời giải. (hình 1.6) Xét phép quay tâm B góc quay 900 khi đó các điểm A, D, C, M lần lượt biến thành các điểm C, D1 , C1 , M1 ,suy ra 4BM  N= 1 1 3 4BN M1 do đó SBM N = SBN M1 = BC.N M1 = a. a + N C . Đặt 2 2 4  2  2 3a 3a N C = x, ta có M N 2 = M D2 + DN 2 ⇔ x + = + (a − x)2 , 4 4 a suy ra x = 7 25 Vậy SBM N = a2 . 36 12 Hình 1.6: Nhận xét 10. Bài toán trên trở lên hết sức đơn giản và nhẹ nhàng qua phép quay. Nhưng nếu dùng cách giải khác thì sẽ mất nhiều thời gian và công sức hơn thậm chí không giải được. Bài toán 3. Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD, lần lượt lấy \= M \ các điểm M, K tương ứng sao cho BAM AK . Chứng minh rằng BM + KD = AK. Lời giải. Xét phép quay Q(A, −900 ) . Khi đó A 7→ A, B 7→ D, C 7→ C 0 ,D 7→ D0 , M 7→ M 0 với M’ thuộc cạnh CC’. Hình 1.7: 0 D (theo tính chất của phép quay). Mà AM \ \ \ Ta có AM B = AM B = 0 AK .Vậy M 0 K . Suy \ (so le trong). Ta có DAM \ =M \ \ \ DAM AK = AM 4AM 0 K cân tại K . Do đó AK = KM 0 = KD + DM 0 = KD + BM . Nhận xét 11. Nếu bài toán cho hình vuông và yêu cầu chứng minh tính chất về các đoạn thẳng thì ta nghĩ ngay đến phép quay để giải quyết bài toán này. 13 Bài toán 4. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O, R) sao cho AB = CD = EF = R. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm của BC, DE, FA và hai điểm P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD. −→ −−→ 1. Xác định phép biến hình biến AC thành BD và tính góc giữa hai −→ −−→ vectơ AC , BD. Chứng minh rằng tam giác 4IP Q là tam giác đều. 2. Chứng minh tam giác 4IJK là tam giác đều. (Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2010-2011) Lời giải. Ta có các tam giác 4OAB , 4OCD, 4OEF đều là các tam giác đều (có ba cạnh bằng R). −→ −−→ Phép quay Q(O,600 ) : A 7→ B ;C 7→ D, nên Q(O,600 ) : AC 7→ BD suy ra −→ −−→ AC = BD và góc giữa hai vectơ AC và BD bằng 600 . 1 1 [ Mặt khác IP = BD , QD = AC suy ra IP = QP và P IC = 2 2 _ \ = 1 DC= 300 , OI ⊥ BC (đường kính qua trung điểm của dây DBC 2 [ = 600 . BC), do đó QIP Hình 1.8: Vậy tam giác IP Q là tam giác đều vì tam giác IP Q cân và có một góc bằng 600 suy ra Q(I,600 ) : P 7→ Q. Tương tự Q(I,600 ) : C 7→ D; E 7→ F suy ra CE = DF và góc giữa hai − − → −−→ vectơ CE , DF bằng 600 . 14 −→ 1 − − → −−→ 1 −−→ −→ −−→ Ta lại có P J = CE ; QK = DF nên P J = QK và( P J ,QK) = 600 . 2 2 Giả sử Q(I,600 ) : J 7→ K 0 , ta đã có Q(I,600 ) : P 7→ Q nên P J = QK 0 và −→ −−→ (P J ,QK 0 ) = 600 ta suy ra K trùng với K’. −→ −−→ Do đó Q(I,600 ): J 7→ K suy ra IJ = IK ; (P J ,QK 0 ) = 600 nên 4IJK là tam giác đều. Bài toán 5. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF. 1. Chứng minh rằng BQ = CN và BQ ⊥ CN . 2. Gọi D là trung điểm của BC và K, H, G theo thứ tự là tâm các hình vuông ABM N, ACP Q, BCEF . Chứng minh rằng tam giác DKH là tam giác vuông cân và hai đoạn KH và AG bằng nhau và vuông góc với nhau. Lời giải. 1. Xét phép quay tâm A, góc quay 900 ta có N 7→ B , C 7→ Q. Do đó N C = P Q và N C ⊥ BQ. Hình 1.9: Các đoạn DK và DH là các đường trung bình các tam giác BCN và CBQ mà NC = BQ và N C ⊥ BQ nên ta suy ra DK = DH và DK ⊥ DH . 2. Với S là trung điểm của đoạn AB, chứng minh tương tự ta có tam giác SGH vuông cân tại S. Xét phép quay tâm S với góc quay 900 ta có A 7→ G, G 7→ H . Do đó AG = HK và AG ⊥ HK . Nhận xét 12. Ta đã biết, thường thì một bài toán có thể giải được bằng nhiều cách khác nhau, chí ít là một cách, phương pháp tổng hợp hay là 15 phương pháp tọa độ. Phương pháp biến hình cho ta lời giải ngắn gọn dễ hiểu và ta sẽ sử dụng đến phương pháp này trong dữ kiện của bài toán và (hoặc) trong tính chất của hình đòi hỏi phải thiết lập(chứng minh) hoặc trong điều kiện đòi hỏi ở hình cần dựng đã xuất hiện yếu tố có mối liên hệ đến một phép biến hình cụ thể nào đó. Ví dụ bài toán cho hình vuông hoặc cho tam giác vuông cân thì ta nghĩ đến phép quay,... sau đó vận dụng các tính chất của phép biến hình này mà tìm ra lời giải hay đáp số của bài toán được xét. Bài toán 6. Cho 4ABC . Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABM N , ACP Q. 1. Chứng minh: N C ⊥ BQ và N C = BQ. 2. Gọi M 0 là trung điểm của BC , chứng minh AM 0 ⊥ QN và 1 AM 0 = N Q. 2 Lời giải. 1. Với phép quay Q(A,900 ) thì điểm N , C lần lượt biến thành các điểm B , Q. Do đó đường thẳng N C biến thành đường thẳng BQ suy ra N C = BQ và N C ⊥ BQ. Hình 1.10: 2. Gọi B1 là điểm đối xứng với B qua tâm A ta có AM 0 //B1 C (do AM’ là đường trung bình của tam giác BCB1 ) . Qua phép quay Q(A,900 ) thì C 7→ Q, thì B1 7→ N . Do đó đường thẳng CB1 ⊥ QN và AM 0 ⊥ QN . 1 1 Vì N Q = CB1 mà AM 0 = CB1 nên AM 0 = N Q. 2 2 Bài toán 7. Cho 4ABC . Về phía ngoài tam giác dựng hai hình vuông ACM N, BCP Q. Chứng minh rằng AQ, BN và đường cao CH của tam giác ABC đồng quy. 16