Tài liệu Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KHOA SƢ PHẠM DƢƠNG LÊ THU TRANG Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông luËn v¨n th¹c sÜ GIÁO DỤC HỌC Hµ néi – 2008 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KHOA SƢ PHẠM DƢƠNG LÊ THU TRANG Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông Mã số : 60 14 10 luËn v¨n th¹c sÜ GIÁO DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lƣơng Hµ néi - 2008 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn Hội đồng đào tạo chuyên ngành Lý luận và phương pháp giảng dạy, Ban giám hiệu, các thầy cô giáo Khoa Sư Phạm, trường Đại học Quốc gia Hà Nội. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn. Dù đã cố gắng, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các chuyên gia và các bạn đồng nghiệp gần xa để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Một lần nữa xin chân thành cảm ơn. Tác giả Dương Lê Thu Trang 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT: trung học phổ thông CMR, cmr: chứng minh rằng đpcm: điều phải chứng minh BĐT: bất đẳng thức p/t: phương trình VP: vế phải HS: học sinh KL: kết luận TXĐ: tập xác định đvdt: đơn vị diện tích 2 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt Mục lục Mở đầu……………………………………………………………………… 5 Chương 1: Sử dụng kỹ năng giải toán-phương pháp hiệu quả nâng cao chất lượng giảng dạy 1.1. Kỹ năng giải toán và phân loại……...…………………..…………… 8 1.1.1. Kỹ năng giải toán………….……...……...…….……………… 8 1.1.2. Phân loại kỹ năng giải toán…………………………..………... 16 1.1.2.1. Kỹ năng giải toán cơ bản….……………………..………… 16 1.1.2.2. Kỹ năng giải toán tổng quát……………………..………… 17 1.1.2.3. Kỹ năng chính…………………………………..…………. 18 1.1.2.4. Kỹ năng đặc biệt……………………………..……………. 26 1.1.2.5. Kỹ năng trung gian…………………………..……………. 27 1.2. Kỹ năng giải toán là điều kiện cần cho một hoạt động giảng dạy có hiệu quả…………………………… 28 1.2.1. Nguyên nhân để hoạt động giảng dạy không có hiệu quả……... 28 1.2.2. Độ phức tạp của một bài toán………………...……...………… 30 1.2.3. Hàm năng lực tiếp thu của học sinh với bài toán có độ phức tạp cho trước……...………………...… 36 1.2.4. Phương pháp xác định hàm năng lực……...………..…………. 37 1.2.5. Hoạt động giảng dạy trợ giúp để tạo điều kiện cần cho một hoạt động giảng dạy hiệu quả……..……..…………… 38 1.3. Kỹ năng giải toán làm tăng hiệu quả của mọi phương pháp giảng dạy…….………...…...………………... 38 3 Chương 2: Một số phương pháp áp dụng kỹ năng giải toán trong hoạt động giảng dạy 2.1. Phương pháp dạy học sinh giải những bài toán khó…...…...……….. 41 2.2. Sử dụng các kết quả trung gian giải những bài toán khó….…………. 51 2.3. Sử dụng các kỹ năng chính giải các bài toán khó……………………. 66 Kết luận và khuyến nghị Tài liệu tham khảo 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Theo thống kê kết quả đào tạo của thực tiễn giáo dục Việt Nam chúng ta phát hiện ra nhiều nhược điểm và mâu thuẫn: 1. Số học sinh không đỗ tốt nghiệp THPT có tỷ lệ cao dù rằng các đề thi có phần dễ hơn so với hàng chục năm trước. 2. Chúng ta là một trong 10 nước trên thế giới đạt thành tích cao nhất trong các kỳ thi toán quốc tế (theo thống kê từ khi bắt đầu tham gia đến nay, năm 1974) nhưng cũng là nước có nền giáo dục đại trà không được xếp hạng. 3. Chúng ta nói nhiều đến cơ sở vật chất, học phí hơn là việc đầu tư vào nhân tố quyết định cho hiệu quả của hoạt động đào tạo là năng lực của giáo viên và học sinh. 4. Chúng ta nói nhiều đến lãng phí tiền của mà không hề biết rằng từ bao nhiêu năm qua chúng ta đã lãng phí tuổi trẻ của bao nhiêu thế hệ học sinh vì những hoạt động giảng dạy không hiệu quả. Và sự tổn thất này cho đất nước còn nặng nề hơn gấp nhiều lần khi các em học sinh trưởng thành, trở thành nguồn nhân lực không có khả năng tư duy và tri thức. 5. Ai cũng hiểu chỉ khi chúng ta giải những bài toán càng khó thì tư duy nhận thức ở mức độ cao càng được hình thành và rèn luyện trong khi hoạt động giảng dạy hiện nay đa số là từ chối những bài toán khó. Để giải quyết những mâu thuẫn này chúng ta phải đi tìm nguyên nhân chính và tìm cách giải quyết một cách khoa học. Công việc chính của một hoạt động giảng dạy là cung cấp các kiến thức cần thiết và rèn luyện tư duy nhân thức ở mức độ cao thông qua thực hành giải các bài toán. Hoạt động giảng dạy hoàn toàn không có hiệu quả nếu học sinh không có khả năng giải quyết vấn đề. Nhiều học sinh và ngay cả giáo viên không có 5 khả năng giải quyết vấn đề vì không có kỹ năng giải toán. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông”. Việc phát hiện các kỹ năng giải toán và áp dụng như thế nào vào hoạt động dạy và học chính là nội dung của luận văn. Sử dụng kỹ năng giải toán là một trong những xu hướng mới nhất trong giảng dạy môn toán ở THPT trên thế giới nên các tài liệu chưa nhiều, do đó việc tìm tòi tổng kết kinh nghiệm để thu được các kỹ năng giải toán là những kết quả ban đầu, chắc chắn sẽ không đầy đủ và còn nhiều thiếu sót, rất mong sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu xây dựng một số phương pháp dạy- học sử dụng kỹ năng giải toán trong giảng dạy môn toán ở trường THPT để nâng cao hiệu quả giảng dạy đồng thời rèn luyện cho học sinh khả năng nhận thức ở mức độ cao (đặc biệt là những học sinh khá, giỏi). Từ đó có thể điều chỉnh phương pháp dạy-học cho hợp lí nhằm nâng cao kết quả đào tạo. 3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu Đối tượng: Phương pháp dạy- học môn toán ở trường THPT. Khách thể nghiên cứu: Dạy-học môn toán THPT. 4. Giả thuyết khoa học Việc dạy-học môn toán ở trường THPT sẽ được nâng cao hiệu quả nếu xây dựng được phương pháp dạy học hợp lý, khoa học. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy-học môn toán. 5.2. Khảo sát thực trạng việc dạy-học môn toán ở trường THPT 5.4. Xây dựng cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. 5.3. Xây dựng một số phương pháp dạy-học môn toán ở trường THPT sử dụng kỹ năng giải toán. 6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu 6 Nội dung: Phương pháp dạy và học môn toán hệ THPT. Khách thể: Các trường THPT. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương pháp dạy-học. 7.2. Phương pháp quan sát Khảo sát việc dạy và học môn toán ở trường THPT để thấy được thực trạng của việc dạy và học môn toán THPT hiện nay. 8. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1. Sử dụng kỹ năng giải toán-phương pháp hiệu quả nâng cao chất lượng giảng dạy. Chương 2. Một số phương pháp áp dụng kỹ năng giải toán trong hoạt động giảng dạy. 7 Chƣơng 1: SỬ DỤNG KỸ NĂNG GIẢI TOÁN - PHƢƠNG PHÁP HIỆU QUẢ NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG GIẢNG DẠY 1.1. Kỹ năng giải toán và phân loại: Trong mục này sẽ trình bày khái niệm kỹ năng giải toán và một cách phân loại các dạng kỹ năng giải toán cùng với các ví dụ minh họa. 1.1.1. Kỹ năng giải toán: Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản. Ví dụ với dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta thường có các phương pháp giải sau: a) Sử dụng đạo hàm:  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là +∞) Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a;b) So sánh các giá trị cực trị với các giới hạn tại a và b Dựa vào bảng biến thiên để rút ra kết luận Đặc biệt: Trường hợp hàm số chỉ có một cực trị duy nhất trên (a;b), khi đó: - Nếu cực trị là cực đại thì giá trị cực trị là lớn nhất - Nếu cực trị là cực tiểu thì giá trị cực trị là nhỏ nhất  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a;b] Ta tiến hành như đối với trường hợp khoảng bằng cách lập bảng biến thiên, ngoài ra có thể áp dụng qui tắc: - Tìm các điểm cực trị: x1 , x2 ,..., xn trên [a;b]. - Tìm các giá trị f ( a ), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) . 8 - Số lớn nhất trong các số trên là M  max f ( x) , số nhỏ nhất trong các số [a;b] trên là m  min f ( x) . [a;b] Chú ý: (1) Chỉ tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b] khi hàm số đó liên tục trên [a;b] (2) Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên [a;b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b); số lớn là max, số nhỏ là min (3) Nếu không cho trước khoảng hay đoạn thì phải hiểu là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số. Ví dụ 1.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau 1 ( x  0) a ) y  ln x  x b) y  x 2  c) y  2sin 2 x  cos x  1 d ) y  x 3  3 x. x Bài giải: a) y  ln x  x y  D  (0; ) Bảng biến thiên x y 0 + y 1 x 1  1 x y  0  x  1 x 1 0 +∞ - -1 VËy max y  1 và không có min y . (0; ) (0; ) b) y  x  2 1 x ( x  0) Bảng biến thiên y  2 x  D  (0; ) x y 1 2 x3  1  x2 x2 1 2 0 0 1 3 2 +∞ 3 - y  0  x  + 9 y Vậy min y  (0; ) 2 3 4 2 và không có max y . 3 (0; ) 4 c) y  2sin 2 x  cos x  1 DR Nhận xét: Nếu ta tính y  4sin x cos x  sin x thì giải phương trình y  0 sẽ cho ta những nghiệm không đẹp dó đó việc tính giá trị cực trị sẽ khó khăn. Ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y thông qua một biến số phụ. Đặt t  cos x (1  t  1) ta có y  2(1  t 2 )  t  1  2t 2  t  3  y  4t  1 1 1 25 , mà y(1)  2, y(1)  0 y  0  t   [1;1]  y( )  4 4 8 Vậy min y  0 và max y  R R d ) y  x 3  3x 25 . 8 Bảng biến thiên y  0  x  1 y  3x2  3 DR x y 0 + -1 0 y - 1 0 2 -∞ +∞ + +∞ -2 Vậy không có min y và max y . R R Ví dụ 1.2. Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón có thể tích lớn nhất. Bài giải: S Gọi x là chiều cao hình nón (0  x  2 R ) Gọi H, AH lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của hình nón  AH 2  AO2  (SH  SO)2  R2  ( x  R)2  2Rx  x2 O Khi đó thể tích của hình nón là: 10 1 1 V ( x)   AH 2 x   (2Rx 2  x3 ) 3 3 AA H Lúc này bài toán ban đầu đưa về bài toán: Tìm x  (0;2 R) sao cho V(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có V ( x)   3 (4 Rx  3x 2 ); V ( x)  0  x  Bảng biến thiên 0 x V ( x ) V(x) Vậy chiều cao hình nón là + 4R 3 4R 3 0 2R - 32 R3 81 4R thì hình nón nội tiếp hình cầu có thể tích lớn nhất. 3 b) Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm phương trình: Cho hàm số y=f(x) có D là tập xác định, f(D) là tập giá trị tương ứng. Khi đó ta có y0  f ( D ) sẽ x0  D sao cho y0  f ( x0 ) Ta thực hiện theo 2 bước: + Xét phương trình f ( x0 )  y0 (1) với y0 là tham số + Tìm điều kiện tồn tại nghiệm x0 của phương trình (1) Ví dụ 1.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x)   x 2  3x  4 . Bài giải: Tập xác định D=[-1;4] Ta có y0  f ( D )  phương trình y0   x0 2  3x0  4 có nghiệm  y0  0  y0  0 có nghiệm  2   2 2 2  x0  3x0  y0  4  0   (3)  4( y0  4)  0 11  y0  0 5 5  0  y  max f ( x )  . Vậy và min f ( x)  0 .  0 2 [ 1;4] [ 1;4] 2 2  4 y  25  0 0  Ví dụ 1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x  3cos x  1 . sin x  2 Bài giải: Tập xác định D=R y0  f ( D )  phương trình y0  2sin x0  3cos x0  1 có nghiệm sin x0  2  (2  y0 )sin x0  3cos x0  2 y0  1 có nghiệm  (2  y0 )2  32  (2 y0  1)2  3 y02  8 y0  12  0  4  2 13 4  2 13  y0  3 3 Vậy max f ( x)  R 4  2 13 4  2 13 và min f ( x)  . R 3 3 c) Sử dụng bất đẳng thức: Sử dụng các bất đẳng thức như Cauchy, Bunhiacopxki, tam thức bậc hai để đánh giá f(x) trên D. Ví dụ 1.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  log3 x2 ( x 2  1)  log x2 1 (3  x 2 ) . Bài giải: Tập xác định D  ( 3; 3) \ {0;  2} Áp dụng log b a  1 1 , ta có log 3 x2 ( x 2  1)  log x2 1 (3  x 2 ) log a b  log3 x2 ( x2  1) và log x2 1 (3  x2 ) cùng dấu  y  log 3 x2 ( x  1)  log x2 1 (3  x ) 2 2 Cauchy  2 log 3 x2 ( x 2  1) log x2 1 (3  x 2 )  2 12 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  x2  1  3  x2 log3 x2 ( x  1)  log x2 1 (3  x )   2  x  1 2 x 1  x  3 2 2 Vậy min y  2  x  1 . Ví dụ 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  5sin 2 x  6sin x cos x  3cos2 x  1. Bài giải: Tập xác định D=R Áp dụng công thức cos 2 a  1  cos 2a 1  cos 2a ; sin 2 a  ta thu được 2 2 y  3sin 2 x  cos 2 x  5 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có (3sin 2x  cos2x)2  (32  12 )(sin 2 2 x  cos2 2 x)  10   10  3sin 2 x  cos2 x  10   10  5  3sin 2 x  cos2 x  5  10  5 Dấu “=” xảy ra  sin 2 x cos2 x   tg 2 x  3 3 1 Vậy max y  10  5; min y   10  5 . R R d) Lượng giác hóa và đại số hóa hàm số (thực chất đây là trường hợp đặc biệt của phép đổi biến số): Ví dụ 1.7. Cho n  Z  , tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  (1  x)n  (1  x)n (1  x  1) . Bài giải: t  t   t  t  Đặt x  cos t , khi đó f (t )   2sin 2    2cos2   2n sin 2 n    cos2 n    2  2   2  2   n n 13  2n  t  2 t  sin    sin   t  2 2 Nhưng ta đã biết   2n  t  2 t  cos  2   cos  2  t  t t  Do đó ta có f (t )  2n  sin 2  cos 2   2n . 2 2  t Dấu “=” xảy ra  sin  1  cost  1 2 Vậy max f ( x)  2n tại x  1. Ví dụ 1.8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos x  2sin x  3 với x  ( ; ) . 2cos x  sin x  4 Bài giải: x Đặt t  tg , với x  ( ; )  t  (;  ) 2 2t 1 t2 t 2  2t  2 . Thay vào hàm số ta được y  2 sin x  , cos x  1 t2 1 t2 t t 3 Dùng phương pháp tồn tại nghiệm phương trình để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  t 2  2t  2 . t2  t  3 Tập xác định D=R có miền giá trị f(D) t02  2t0  2 Ta có y0  f ( D )  phương trình y0  2 có nghiệm t0  t0  3  ( y0  1)t02  ( y0  2)t0  3 y0  2  0 (1) có nghiệm Trường hợp1: y0  1  0  y0  1 1 P/t (1)  3t0  1  0  t0   R 3 14 Trường hợp 2: y0  1  0  y0  1 P/t (1) có nghiệm    ( y0  2) 2  4( y0  1)(3 y0  2)  0  11 y02  24 y0  4  0  Từ hai trường hợp trên ta suy ra max y  2 và min y  2  y0  2 11 2 . 11 e) Chọn phần tử lớn nhất: Khi cần giải bài toán mà các số (hay chữ) có vai trò bình đẳng (ngang nhau hay gần như thế) thì việc chọn trong các số đó một phần tử lớn nhất sẽ làm giả thiết bài toán được xác định rõ ràng hơn và giả thiết như được cho thêm để việc thực hiện lời giải ngắn gọn hơn. Ví dụ 1.9. Xác định a để hàm số y | 3x2  6 x  2a  1| đạt giá trị lớn nhất với mọi x [2;3] . Bài giải: Xét hàm số f ( x)  3x2  6x  2a  1 . Đặt M  max | f ( x ) | [ 2;3]  M  | f (2) |  2a  23 M  | f (1) |  2a  4 (chọn x0  1 để f '(1)  0 )  2 M  | f (2) |  | f (1) |  | f ( 2)  f (1) |  27  M  27 2 | f (2) |  |  f (1) |  M  27 2 Dấu “=” xảy ra    f (2).[ f (1)]  0  f (2)   f (1)   Kiểm tra lại với a   Vậy a   27 19 a 2 4 19 27 thì M  max  f (2) | ; | f (1) | ; | f (3) |   4 2 19 là giá trị cần tìm. 4 15 Ví dụ 1.10. Cho 3 số a, b, c [0;2] và a  b  c  3 . cmr: a 3  b3  c 3  9 . Bài giải: Vai trò của a, b, c là như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a  max{a, b, c} Khi đó: 3  a  b  c  a  a  a  3a 1  a  2 . Ta có a3  b3  c3  a3  b3  c3  3bc(b  c)  a3  b3  c3  a3  (b  c)3  a3  b3  c3  a3  (3  a)3  a3  b3  c3  27  27a  9a 2  a3  b3  c3  9  9(a  1)(a  2)  a3  b3  c3  9 vì (a  1)(a  2)  0 do a [1;2] Vậy a 3  b3  c3  9 (đpcm). Nhận xét: Như vậy để giải bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau hoặc có thể phải kết hợp giữa các phương pháp (ví dụ 1.8). Với từng bài toán cụ thể, chúng ta nên lựa chọn cách giải nào ngắn gọn nhất, đó chính là kỹ năng giải toán. 1.1.2. Phân loại kỹ năng giải toán: 1.1.2.1. Kỹ năng cơ bản: Trong toán học có những dạng bài toán cơ bản được giải bằng một cách giải chung gọi là kỹ năng cơ bản. Ví dụ 1.11. Hãy tìm giá trị của tham số m để phương trình x 2  2mx  m  2  0 có nghiệm thỏa mãn điều kiện 0  x  1 . Nhận xét: Kỹ năng cơ bản để giải bài toán này là sử dụng định lý đảo của tam thức bậc 2 để xác định thứ tự giữa nghiệm và hai giá trị 0 và 1. Bài giải: 16 Xét tam thức bậc hai f ( x)  x2  2mx  m  2 m  2 Ta có   m2  m  2  0   m  1 a. f (0)  m  2 ; a. f (1)  3  3m Trường hợp 1: m  2 , ta có    0  a. f (0)  0  x1  x2  0  1 (không thỏa mãn điều kiện bài toán) a. f (1)  0  Trường hợp 2: 1  m  2 , ta có a. f (1)  0  0  x1  1  x2 (thỏa mãn điều kiện bài toán)  a. f (0)  0 Trường hợp m  2 , ta có a. f (1)  0  x1  0  1  x2 (không thỏa mãn điều kiện bài toán)  a. f (0)  0 Vậy với 1  m  2 thì p/t x 2  2mx  m  2  0 có nghiệm nằm trong [0;1]. 1.1.2.2. Kỹ năng tổng quát: Kỹ năng tổng quát là những kỹ năng được dùng cho nhiều dạng bài toán thuộc tất cả các nội dung của toán học phổ thông. Chúng ta có thể liệt kê: a) Phương pháp phản chứng b) Phương pháp quy nạp c) Phương pháp gián tiếp d) Phương pháp so sánh Ví dụ 1.12. Giả sử những số 1, 2, 3,…, 81 được viết theo một thứ tự nào đó vào bảng (9  9) ô. Chứng minh rằng có tồn tại một bảng con (2  2) mà tổng 4 số của nó lớn hơn 137. 17 Nhận xét: Kỹ năng phản chứng thực chất là một cách lập luận giúp cho học sinh dễ vận dụng các kiến thức theo một trình tự hợp lý, sáng sủa nhất. Bài giải: Ta có 8  8  64 bảng con (2  2) , tổng các số trên bảng con được xếp theo thứ tự S1  S 2  .....  S64 Giả sử phản chứng “Không tồn tại bảng con nào mà tổng 4 số lớn hơn 137”. Từ giả thiết phản chứng suy ra S64  137 . Khi đó, ta có S1  S2  ...  S64  64.S64  64.137  8768 (1) Trong tổng S  S1  S 2  ...  S64 có những số được tính 1 lần, 2 lần, 4 lần tùy theo vị trí của ô chứa số đó trên bảng:  4 số ở góc được tính 1 lần  28 số ở các ô nằm dọc theo cạnh biên (trừ 4 ô góc) được tính 2 lần  49 ô trong được tính 4 lần Cho những số lớn xuất hiện ít lần ta thu được đánh giá S  (81  80  79  78)  2(77  76  ...  50)  4(49  48  ...  1)  8774 (2) Từ (1) và (2) suy ra 8774  S1  S 2  ...  S64  8768 (mâu thuẫn). 1.1.2.3. Kỹ năng chính: Kỹ năng chính là những kỹ năng giúp chúng ta giải một dạng lớn các bài toán. Những kỹ năng này thực sự có hiệu quả đối với học sinh khi giải các bài toán. Trong thuật ngữ hiện nay chúng ta thường gọi là các phương pháp giải. Việc tìm tòi các phương pháp giải là một công việc thực sự có giá trị và giàu tính sáng tạo. Ví dụ khi giải các phương trình nói chung (phương trình chứa căn nói riêng) chúng ta có các phương pháp giải chính. 18