Tài liệu Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THẾ NGHĨA SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THẾ NGHĨA SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Mã số : Phương pháp Toán sơ cấp : 60 46 01 13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN DANH NAM THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Trang LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2 1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa ..........................................................2 1.2. Chùm đƣờng thẳng và tứ giác toàn phần .............................................................5 1.3. Đƣờng tròn trực giao ............................................................................................9 1.4. Cực và đƣờng đối cực ..........................................................................................9 1.5. Cách xác định cực và đƣờng đối cực .................................................................15 Chương 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ..........................................................................................................19 2.1. Chứng minh hàng điểm điều hòa .......................................................................19 2.2. Chứng minh vuông góc ......................................................................................25 2.3. Chứng minh song song.......................................................................................31 2.4. Chứng minh thẳng hàng .....................................................................................33 2.5. Chứng minh đồng quy ........................................................................................40 2.6. Chứng minh điểm cố định ..................................................................................46 2.7. Chứng minh đẳng thức .......................................................................................56 2.8. Một số bài toán khác ..........................................................................................64 KẾT LUẬN ..............................................................................................................72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................73 1 LỜI MỞ ĐẦU Hình học phẳng là một chủ đề hấp dẫn trong các kì thi học sinh giỏi. Một bài toán hình học phẳng luôn có thể đƣợc giải bằng nhiều cách khác nhau, trong đó áp dụng các khái niệm “hàng điểm điều hòa”, “cực và đƣờng đối cực” đƣợc vận dụng để giải các bài toán sẽ cho lời giải một cách ngắn gọn và đẹp mắt. Đây là những công cụ mạnh và thú vị của hình học. Kiến thức về chùm đƣờng thẳng, phép chiếu xuyên tâm, đặc biệt là chùm đƣờng thẳng điều hòa, tứ giác toàn phần cũng đƣợc sử dụng để tìm kiếm các hàng điểm điều hòa. Khi xuất hiện các hàng điểm điều hòa, chúng ta dễ dàng sử dụng các kết quả liên quan nhƣ hệ thức Đề-các, hệ thức Niutơn và hệ thức Mácloranh trong giải bài toán hình học phẳng. Với hƣớng khai thác các hàng điểm điều hòa đơn giản và các hàng điểm điều hòa xuất hiện từ quan hệ giữa cực và đƣờng đối cực của một điểm đối với một cặp đƣờng thẳng cắt nhau hoặc đối với một đƣờng tròn nào đó để giải các dạng toán hình học nhƣ: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức, bài toán quỹ tích và bài toán dựng hình. Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến các bài toán có liên quan đến hàng điểm điều hòa xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi toán quốc gia và toán quốc tế. Các bài toán về hàng điểm điều hòa trong luận văn đã đƣợc lựa chọn với lời giải của có tính độc đáo và thú vị hơn so với các phƣơng pháp thƣờng gặp. Do vậy, có thể nói kết quả của luận văn cung cấp một công cụ mới cho học sinh trong việc tiếp cận và giải các bài toán hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán. Luận văn này đƣợc thực hiện tại Trƣờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Danh Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS và các thầy cô giảng viên của Trƣờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa 1.1.1. Độ dài đại số Trên đƣờng thẳng d chọn véctơ đơn vị 𝑒 thì ta có trục d và hƣớng của 𝑒 là hƣớng của trục d. Định nghĩa 1.1. Trên trục d, cho hai điểm A, B. Độ dài đại số của 𝐴𝐵 là một số có giá trị tuyệt đối bằng 𝐴𝐵 và số đó dƣơng nếu 𝐴𝐵 cùng hƣớng với 𝑒 và số đó âm nếu 𝐴𝐵 ngƣợc hƣớng với 𝑒. Kí hiệu: AB . Các tính chất. 1) AB   BA 2) AB  BC  AC . (A, B, C thẳng hàng). 3) A1 A 2  A 2 A 3  ...  A n  1 A n  A1 A n (với mọi A i , i  1, n thẳng hàng). 1.1.2. Tỉ số đơn Định nghĩa 1.2. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn của chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số CA . Kí hiệu: (ABC). CB Định lý 1.1. Cho hai điểm A, B và một số thực k  1 thì tồn tại duy nhất điểm C sao cho (ABC) = k. Chứng minh. Ta có (ABC) = k  CA   k  CA  kCB  CA  k CA  AB CB   CA  k AB  AC  CA  k AC  k AB  AC  Suy ra, tồn tại duy nhất điểm C sao cho (ABC) = k. k k 1  A B ( k  1) 3 1.1.3. Tỉ số kép Định nghĩa 1.3. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép của chúng lấy theo thứ tự đó là tỉ số CA CB Vậy  A B C D   CA CB : : DA . Kí hiệu: (ABCD). DB DA DB   ABC   ABD  . Các tính chất. 1) Tỉ số kép của bốn điểm là không thay đổi trong các trƣờng hợp sau: + Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB). + Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối: (ABCD) = (BADC) + Nếu viết chúng theo thứ tự ngƣợc lại: (ABCD) = (DCBA). 2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trƣờng hợp: + Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành số đảo ngƣợc của nó: (BACD) = (ABDC)  1  ABCD  + Nếu hoán vị hai điểm ở giữa hoặc hai điểm ở đầu và cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở thành phần bù của 1:  A B C D   1   A C B D   1   D B C A  . 1.1.4. Hàng điểm điều hoà Định nghĩa 1.4. Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều hoà đối với C, D. Các tính chất. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có: 1) Hệ thức Đề-các:  A B C D    1  2  AB 2) Hệ thức Niutơn:  A B C D   của đoạn thẳng AB). 1  AC  1  IA  IC . ID 2 1 . AD (trong đó I là trung điểm 4 3) Hệ thức Mácloranh: (trong đó J là trung điểm của đoạn A C . A D  A B .A J thẳng CD). Chứng minh. Trên đƣờng thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ. Đặt OA = a, OB = b, =d–a; Ta có  A B C D    1  = d, ta có: OD =a–c; CA  OA  OC DA  OD  OA = c, OC CB  OB  OC DB  OD  OB CA : CB DA a - c  =d-b   b - c DB =b-c a - d b - d  (a - c )(b - d )  - (a - d )(b - c )  2 ( a b + c d )  ( a + b )( c + d ) (1) + Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d. Từ (1) ta có 2cd = bc + bd  2  b + Chọn O  I thì ta có OA  OB 1  1 d 2  c  AB 1  AC 1 . AD hay a = - b. Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) = 0  a2 = cd  I A 2  I C .I D . Chứng minh tƣơng tự đối với hệ thức Macsloranh. Định lý 1.2. Nếu AD, AE lần lƣợt là phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác ABC (D, E thuộc đƣờng thẳng BC) thì (BCDE) = - 1. A B D C E Hình 1.1 Định lý 1.3. Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đƣờng thẳng chứa ba cạnh của tam giác. Các đƣờng thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P và BC cắt NP tại Q. Khi đó ta có (BCMQ) = - 1. 5 A P N O B M Q C Hình 1.2 Định lý 1.4. Từ điểm S nằm ngoài đƣờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA, SB tới (O) (A, B là các tiếp điểm ). Một đƣờng thẳng đi qua S và cắt (O) lần lƣợt tại M, N, và AB cắt MN tại I. Khi đó (SIMN) = - 1. Hình 1.3 1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác toàn phần 1.2.1. Chùm đường thẳng Định nghĩa 1.6. Trong mặt phẳng, cho tập hợp các đƣờng thẳng đồng quy tại điểm S thì chúng lập nên một chùm đƣờng thẳng và S đƣợc gọi là tâm của chùm. Tập hợp các đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với nhau lập nên một chùm đƣờng thẳng và có tâm tại vô tận. S Định lý 1.5. Một chùm bốn đƣờng thẳng N’ M’ cắt một đƣờng thẳng theo hàng điểm có tỉ số kép không thay đổi. B’ l’ N M D’ C’ A’ Chứng minh. * Trường hợp chùm đồng quy tại điểm S: A Gọi l là đƣờng thẳng cắt các đƣờng thẳng a, b, c, a B C D c b Hình 1.4 l d 6 d lần lƣợt tại A, B, C, D và l’ là đƣờng thẳng cắt các đƣờng thẳng a, b, c, d lần lƣợt tại A’, B’, C’, D’. Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’) (Hình 1.4). Qua điểm B kẻ đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng a và cắt đƣờng thẳng c tại N, cắt đƣờng thẳng d tại M. Ta có: CA CB  SA và MB DA  DB SA NB Từ đó suy ra:  ABCD   CA CB : DA  AB SA SA : MB NB  NB (1) MB Tƣơng tự, từ điểm B’ kẻ đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng a và cắt đƣờng thẳng c, d lần lƣợt tại M’, N’. Ta có  A ' B ' C ' D '   N 'B ' (2) M 'B ' Mặt khác, ta có: NB MB  N 'B ' (3) M 'B ' Từ (1), (2) và (3) ta có (ABCD) = (A’B’C’D’). * Trường hợp chùm song song: Nếu a // b // c // d thì ta luôn có đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’). Định nghĩa 1.7. Trong mặt phẳng cho chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d. Một đƣờng thẳng l bất kì cắt chùm đó tại A, B, C, D thì (ABCD) đƣợc gọi là tỉ số kép của chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d. Kí hiệu: (abcd) = (ABCD). Nếu chùm đồng quy tại S thì ta kí hiệu: S S(abcd) = (ABCD). l N Nếu (abcd) = - 1 thì ta có một chùm điều hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b B chia điều hoà c, d. Định lý 1.6. Trong mặt phẳng cho chùm bốn đƣờng thẳng đồng quy. Điều kiện cần và đủ M a c b Hình 1.5 d 7 để chùm đó lập thành một chùm điều hoà là: Một đường thẳng bất kì song song với một trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng còn lại chia thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Chứng minh. Kẻ đƣờng thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lƣợt tại M, B, N. Theo định lý trên, ta có: NB BCD  =   A(abcd) và (abcd) = -1 MB  NB  1  N B   M B MB  B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.5). Hệ quả 1. Trong một chùm điều hoà nếu có hai đƣờng liên hợp vuông góc với nhau thì hai đƣờng đó là các đƣờng phân giác của các góc tạo bởi hai đƣờng còn lại (Hình 1.6a). Hệ quả 2. Hai đƣờng phân giác của hai góc kề bù chia điều hoà hai cạnh của góc đó (Hình 1.6b). Chùm đƣờng thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đƣờng phân giác của góc đó đƣợc gọi là chùm phân giác. S S b D c C A B d a a) b) Hình 1.6 Trong mặt phẳng, tập hợp các đƣờng thẳng đồng quy tại một điểm S, đƣợc gọi là một chùm đƣờng thẳng tâm S. Cho chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d. Một đƣờng thẳng  bất kỳ cắt a, b, c, d thứ tự tại A, B, C, D. Khi đó (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí của  .Giá trị 8 không đổi của tỉ số kép (ABCD) đƣợc gọi là tỉ số kép của chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d, ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến tâm của chùm. 1.2.2. Tứ giác toàn phần Định nghĩa 1.8. Trong mặt phẳng, cho bốn đƣờng thẳng cắt nhau từng đôi một và không có ba đƣờng nào đồng quy thì chúng lập thành một tứ giác toàn phần. - Các đƣờng thẳng là các cạnh (có bốn cạnh). - Giao của hai cạnh là đỉnh (có sáu đỉnh). - Hai đỉnh không thuộc một cạnh là hai đỉnh đối diện (có ba cặp đỉnh đối diện). - Đƣờng thẳng nối hai đỉnh đối diện là đƣờng chéo (có ba đƣờng chéo). Cho tứ giác toàn phần ABCA’B’C’. Khi đó, ta có cặp đỉnh đối diện là (A, A’), (B, B’), (C, C’); ba đƣờng chéo là AA’, BB’, CC’. Định lý 1.7. Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hoà hai giao điểm của đƣờng chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đƣờng chéo còn lại. Chứng minh. Gọi P = AA’BB’, Q = AA’CC’, R = BB’CC’. Ta chứng minh (AA’PQ) = (BB’PR) = (CC’QR) = - 1. Ta có: B(AA’PQ) = B’(AA’PQ) = B’(CC’RQ) = B(CC’RQ) = B(A’APQ).  (AA’PQ) = (A’APQ)   AA 'PQ   1  AA 'PQ    AA 'PQ  Nếu (AA’PQ) = 1 thì ta có (AA’P) = (AA’Q) hay P  Q (vô lý). Vậy (AA’PQ) = - 1. Các tỉ số kép khác đƣợc chứng minh một cách tƣơng tự. A B P A’ B’ C Q Hình 1.7 C’ R 2 1. 9 1.3. Đường tròn trực giao Định nghĩa 1.9. Hai đƣờng tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung của chúng nếu tại điểm đó hai tiếp tuyến của hai đƣờng tròn vuông góc với nhau. Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra đƣợc các kết quả sau: Định lý 1.8. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng tròn trực giao với nhau là bình phƣơng khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phƣơng các bán kính của chúng. Định lý 1.9. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng tròn trực giao với nhau là phƣơng tích của tâm của một trong hai đƣờng tròn đó đối với đƣờng tròn thứ hai bằng bình phƣơng bán kính của đƣờng tròn thứ nhất. Định lý 1.10. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng tròn trực giao với nhau là có một đƣờng kính nào đó của một trong hai đƣờng tròn bị đƣờng tròn kia chia điều hoà. Định nghĩa 1.10. Ngƣời ta gọi chùm đường tròn là một tập hợp các đƣờng tròn kể từng đôi một, nhận một đƣờng thẳng duy nhất làm trục đẳng phƣơng. Đƣờng thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, tâm các đƣờng tròn của một chùm phải nằm trên một đƣờng thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đƣờng thẳng này vuông góc với trục đẳng phƣơng của chùm. Từ định nghĩa của chùm đƣờng tròn, ta suy ra hai định lý sau đây: Định lý 1.11. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đƣờng tròn lập thành một chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phƣơng tích đối với tất cả các đƣờng tròn của tập hợp đó. Trục đẳng phƣơng của chùm là đƣờng thẳng nối hai điểm nói trên. Định lý 1.12. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đƣờng tròn có tâm thẳng hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phƣơng tích đối với tất cả các đƣờng tròn của tập hợp đó. Trục đẳng phƣơng của chùm là đƣờng thẳng đi qua điểm nói trên và vuông góc với đƣờng chứa tâm. 1.4. Cực và đường đối cực 1.4.1. Đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau 10 Định nghĩa 1.11. Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai đƣờng thẳng đồng quy Ox, Oy nếu đƣờng thẳng MN cắt hai đƣờng thẳng đó tại hai điểm A, B sao cho (MNAB) = -1. Nếu (MNAB) = -1 thì ta cũng suy ra (ABMN) = -1 và khi đó hai điểm A và B cũng liên hợp với nhau đối với hai đƣờng thẳng đồng quy OM, ON. Bài toán. Cho một điểm M không thuộc hai đƣờng thẳng Ox, Oy. Hãy tìm tập hợp các điểm N liên hợp với M đối với hai đƣờng thẳng đã cho. Lời giải. Qua M ta kẻ một đƣờng thẳng lần lƣợt cắt Ox, Oy tại A, B. Ta lấy trên đƣờng thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = -1 (Hình 2.1). P O A’ M B’ N’ N1 B A N x y Q z Hình 2.1 Nếu kẻ đƣờng thẳng Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, Oz, Ox, Oy) là một chùm điều hoà. Do đó, mọi điểm của đƣờng thẳng Oz (trừ hai điểm P và Q) đều liên hợp với điểm M đối với hai đƣờng thẳng đồng quy Ox, Oy (do hai điểm P và Q thuộc Oz mà MP // Ox và MQ // Oy ta phải loại ra vì lúc đó các đƣờng thẳng MP và MQ đều không cắt cả hai đƣờng thẳng Ox và Oy). Ngƣợc lại, nếu N1 là một điểm không thuộc đƣờng thẳng Oz nói trên thì không liên hợp với M vì khi đó nếu đƣờng thẳng MN1 cắt Ox, Oy, Oz lần lƣợt tại A’, B’, N’ thì ta có: (MN’A’B’) = -1 còn (MN1A’B’)  (MN’A’B’) nên (MN1A’B’)  -1. Do đó, điểm N1 không liên hợp với M đối với hai đƣờng thẳng Ox và Oy. 11 Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đƣờng thẳng Ox, Oy là đƣờng thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên. Định nghĩa 1.12. Đƣờng thẳng Oz trong bài toán trên gọi là đường đối cực của điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy. Điểm M gọi là cực của đường thẳng Oz đối với hai đường thẳng đó. Nhận xét. Muốn dựng đƣờng đối cực của một điểm M đối với hai đƣờng thẳng Ox, Oy cho trƣớc, dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần ta tìm hai điểm P và Q phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói trên. Ta có PQ là đƣờng đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ luôn đi qua điểm O (Hình 2.2a). O M P M x A Q N O B y a) b) Hình 2.2 1.4.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn Định nghĩa 1.13. Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường tròn (O), nếu đƣờng tròn đƣờng kính MN trực giao với đƣờng tròn (O) (Hình 2.2b). Nếu đƣờng thẳng MN cắt đƣờng tròn (O) tại hai điểm A và B thì điều kiện cần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đƣờng tròn (O) cho trƣớc là tỉ số kép (MNAB) = -1. Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đƣờng tròn (O) mà đƣờng thẳng MN không cắt đƣờng tròn này. Bài toán. Cho đƣờng tròn (O) và một điểm M không trùng với tâm O của đƣờng tròn đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đƣờng tròn (O) đã cho. 12 Lời giải. Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đƣờng tròn (O) thì theo định nghĩa, đƣờng tròn đƣờng kính MN trực giao với đƣờng tròn (O). Khi đó, đƣờng kính AB đi qua M của đƣờng tròn (O) bị đƣờng tròn đƣờng kính MN chia điều hoà. Gọi H là giao điểm thứ hai của đƣờng tròn đƣờng kính MN với đƣờng thẳng AB. Ta có (ABMH) = -1 (Hình 2.3). Trong hàng điểm điều hoà A, B, M và H, điểm H hoàn toàn đƣợc xác định vì ba điểm A, B, M đã đƣợc xác định. Mặt khác, do MN là đƣờng kính nên MH  HN. Nói cách khác, điểm N nằm trên đƣờng thẳng m vuông góc với đƣờng thẳng MO tại H. N Ngƣợc lại, nếu N’ là điểm bất kì của đƣờng thẳng m thì đƣờng tròn đƣờng kính MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đƣờng M A H O B tròn đƣờng kính MN’ trực giao với đƣờng tròn (O). Vậy điểm N’ liên hợp với M đối với đƣờng tròn (O). Hình 2.3 Vậy tập hợp điểm N liên hợp với điểm M đối với một đƣờng tròn (O) cho trƣớc là một đƣờng thẳng m vuông góc với đƣờng thẳng MO tại H với (MHAB) = -1, trong đó A, B là giao điểm của đƣờng thẳng MO với đƣờng tròn tâm O. Định nghĩa 1.14. Đƣờng thẳng m trong bài toán trên gọi là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O). Điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối với đường tròn (O) nói trên. Nhƣ vậy, mỗi điểm M không trùng với điểm O của đƣờng tròn tâm O có một đƣờng đối cực xác định và ngƣợc lại, mỗi đƣờng thẳng không đi qua O có một điểm cực xác định đối với một đƣờng tròn tâm O cho trƣớc. Vì (ABMH) = -1 nên đƣờng đối cực m của điểm M đối với đƣờng tròn (O) sẽ cắt, không cắt hay tiếp xúc với đƣờng tròn tâm O (Hình 2.4a,b,c). Muốn dựng đƣờng đối cực của một điểm M đối với một đƣờng tròn tâm O cho trƣớc, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 2.5). Gọi P và Q lần lƣợt là các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1. 13 m m m I A M H O R B H A M O B HM A O B S K a) b) c) Hình 2.4 Ta suy ra PQ là đƣờng đối cực của điểm M. Ta có thể dựa vào tính chất của hình tứ giác toàn phần để tìm các điểm P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D. H Đặc biệt, khi các cát tuyến đó trở thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng B trùng nhau. A Do đó, muốn dựng đƣờng đối cực của một điểm M ta thƣờng làm nhƣ sau: P O M - Nếu điểm M nằm ngoài C Q D đƣờng tròn (O) thì từ M ta vẽ hai đƣờng tiếp tuyến MI, MK với đƣờng Hình 2.5 tròn, trong đó I và K là hai tiếp điểm. Khi đó, đƣờng thẳng IK là đƣờng đối cực của điểm M cho trƣớc (Hình 2.4a). - Nếu điểm M nằm trong đƣờng tròn thì ta vẽ đƣờng thẳng vuông góc với MO tại M. Đƣờng thẳng này cắt đƣờng tròn tại hai điểm R và S (Hình 2.4b). Các tiếp tuyến của đƣờng tròn tại R và S cắt nhau tại H. Đƣờng thẳng m vuông góc với đƣờng thẳng MO tại H là đƣờng đối cực của điểm M cho trƣớc. - Nếu điểm M nằm trên đƣờng tròn thì tiếp tuyến tại M của đƣờng tròn chính là đƣờng đối cực của điểm M cho trƣớc (Hình 2.4c). 14 1.4.3. Các tính chất của cực và đường đối cực đối với một đường tròn 1) Đối với một đƣờng tròn cho trƣớc, nếu đƣờng đối cực của điểm A đi qua điểm B thì đƣờng đối cực của điểm B đi qua điểm A. Chứng minh. Nếu điểm B nằm trên đƣờng đối cực a của điểm A thì A và B là hai điểm liên hợp đối với đƣờng tròn cho trƣớc. Mặt khác ta biết rằng, tập hợp các điểm liên hợp của điểm B là đƣờng đối cực b của điểm B đó (Hình 2.6). Vậy điểm A B phải nằm trên đƣờng đối cực b của điểm B (vai trò của A và B là bình đẳng). Ta có: B  a  A  b. Định nghĩa 1.15. Hai đƣờng thẳng a, b đƣợc gọi là liên hợp với nhau đối với b A một đường tròn cho trước nếu đƣờng này đi qua cực của đƣờng kia. 2) Đối với một đƣờng tròn cho trƣớc, các đƣờng đối cực của các điểm thẳng hàng a Hình 2.6 thì đồng quy và các cực của các đƣờng thẳng đồng quy thì thẳng hàng. Chứng minh. Theo tính chất 1, giả sử các điểm A1, A2…, An nằm trên đƣờng thẳng b nghĩa là các điểm Ai  b với i = 1, 2…, n thì điểm B thuộc các đƣờng thẳng b và ai là các đƣờng đối cực của các điểm Ai. Vậy các đƣờng đối cực của các điểm Ai đều đồng quy tại B. Phần còn lại chứng minh tƣơng tự. 1.4.4. Phép đối cực Trên mặt phẳng cho một đƣờng tròn cơ sở (C). Giả sử có một hình H gồm các điểm và các đƣờng thẳng. Với mỗi điểm của hình H đều có các đƣờng đối cực của nó đối với đƣờng tròn (C), với mỗi đƣờng thẳng của hình H có các điểm là cực của nó. Hình H' là tập hợp các đƣờng thẳng (gồm các đƣờng đối cực của các điểm thuộc hình H) và các điểm (gồm các cực của các đƣờng thẳng thuộc hình H). Khi đó, ta nói có một phép đối cực với đƣờng tròn cơ sở (C) biến hình H thành hình H'. 15 Rõ ràng muốn chứng minh tính thẳng hàng của các điểm trên hình H ta chỉ việc chứng minh tính đồng quy của các đƣờng thẳng tƣơng ứng trên hình H'. Ví dụ 1.1. (Định lý Bri-ăng-xông) Ba đƣờng thẳng nối các cặp đỉnh đối diện của một lục giác ngoại tiếp một đƣờng tròn đồng quy tại một điểm. Lời giải. Giả sử ABCDEF là lục giác ngoại tiếp đƣờng tròn (O). Gọi M, N, P, Q, K, I lần lƣợt là các tiếp điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA với đƣờng tròn (C). Khi đó, theo định lý Pát-xcan: B MNKQ =  QP IM =  M , ,  thẳng hàng. N C A PNIK =  Hiển nhiên,  là cực của BE,  là cực của AD,  là cực của CF. Vì , ,  thẳng hàng nên BE, P I F D Q K AD, CF đồng quy tại một điểm. Ta có phép đối cực E biến ba điểm , ,  thành ba đƣờng thẳng BE, AD, Hình 2.7 CF (Hình 2.7). Định lý 1.13. Phép đối cực bảo tồn tỉ số kép, nghĩa là qua phép đối cực, một chùm bốn đƣờng thẳng (đồng quy) biến thành bốn điểm và tỉ số kép của bốn điểm này bằng tỉ số kép của bốn đƣờng thẳng đó. Hệ quả. Phép đối cực biến một chùm đƣờng thẳng điều hoà thành một hàng điểm điều hoà và ngƣợc lại. Nhƣ vậy, phép đối cực là một công cụ tƣơng đối hiệu quả trong việc chuyển đổi hai dạng bài toán chứng minh đồng quy và chứng minh thẳng hàng, chuyển từ chùm đƣờng thẳng điều hòa sang hàng điểm điều hòa và ngƣợc lại. 1.5. Cách xác định cực và đường đối cực * Trường hợp 1: Khi cực S ở ngoài đƣờng tròn (O). Ta có 2 cách dựng sau: - Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm). Khi đó đƣờng đối cực của S đối với (O) là AB. 16 A S . O B Hình 2.8 - Cách 2: Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD. Giả sử AD cắt BC ở F, AC cắt BD ở E. Khi đó đƣờng đối cực của điểm S đối với (O) là đƣờng thẳng EF. F B A E S D C Hình 2.9 * Trường hợp 2: Khi điểm S nằm trong đƣờng tròn (O). Ta có 2 cách dựng sau đây: - Cách 1: Qua điểm S dựng đƣờng vuông góc với OS, đƣờng này cắt (O) tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau ở điểm P. Khi đó đƣờng đối cực của điểm S đối với đƣờng tròn (O) là đƣờng thẳng qua P vuông góc với OS. 17 A S P O B Hình 2.10 - Cách 2: Qua điểm S dựng hai dây cung AB và CD. Giả sử AD cắt BC ở E, AC cắt BD ở F. Khi đó đƣờng đối cực của điểm S đối với (O) là EF. E C A S .O F D B Hình 2.11 * Trường hợp 3: Điểm S nằm trên đƣờng tròn (O). Khi đó, tiếp tuyến của (O) tại S chính là đƣờng đối cực của S đối với (O).