Tài liệu Sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng liên kết trượt​

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Ngọc Ánh SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ LỚP MỎNG LIÊN KẾT TRƯỢT Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Phạm Chí Vĩnh, thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ học và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học đã trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn. Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận ở xemina "Sóng và ứng dụng" tại bộ môn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin học. Em đã nhận được những góp ý bổ ích từ các thầy cô và các thành viên của xemina. Cuối cùng, em cảm ơn gia đình đã động viên và tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Vũ Thị Ngọc Ánh 1 Mục lục 1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được liên kết trượt 7 1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Dạng ma trận của các phương trình cơ bản . . . . . . . . . 8 1.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 1.3 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Trường hợp đẳng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được liên kết trượt 2.1 2.2 2.3 24 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Dạng ma trận các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . 27 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh . . . . . . . 29 2.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Trường hợp đẳng hướng ngang . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . 34 KẾT LUẬN 37 2 MỞ ĐẦU Cấu trúc gồm một lớp vật liệu mỏng gắn với một lớp vật liệu dày, mô hình hóa như một bán không gian bị phủ một lớp mỏng, đã và đang được sử dụng rộng rãi trong công nghệ hiện đại. Theo Makarov và cộng sự [9], sau khi phủ xong, tính chất cơ học của lớp vật liệu mỏng bị thay đổi. Vì thế, để sử dụng kết cấu này có hiệu quả cần đánh giá các tính chất cơ học của lớp mỏng sau khi phủ. Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương pháp sóng mặt được sử dụng rộng rãi nhất, vì nó không gây phá hủy vật liệu, thời gian kiểm tra ngắn. Trong số các sóng mặt được sử dụng, sóng mặt Rayleigh là một công cụ thuận tiện [6]. Vì phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh là cơ sở lý thuyết để từ đó xác định tính chất cơ học của lớp mỏng từ các số liệu thực nghiệm, nên nó là mục tiêu cơ bản khi nghiên cứu sóng Rayleigh truyền trong cấu trúc này. Sử dụng giả thiết lớp mỏng, các tác giả đã rút ra phương trình tán sắc xấp xỉ của sóng Rayleigh bằng cách sử dụng điều kiện biên hiệu dụng: thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp lên bán không gian bằng một điều kiện biên tại mặt biên phân chia. Điều kiện biên này có thể rút ra bằng cách thay thế lớp mỏng bằng một bản theo lý thuyết Kirchhoff như Tiersten [20], hay theo lý thuyết Mindlin như Achenbach [2], hoặc khai triển Taylor ứng suất tại mặt trên của lớp vật liệu theo độ dày h của lớp mỏng như Niklasson và cộng sự [13], Rokhlin & Huang [15, 16], Benveniste [3], Steigmann [17], Ting [22], Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]. Tiersten [20], Bovik [4], Trần Thanh Tuấn [24] giả thiết lớp và bán không gian là đẳng hướng và đã rút ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai (chúng không trùng nhau). Steigmann [17] giả thiết lớp mỏng là đẳng hướng ngang và có ứng suất dư, bán không gian là đẳng hướng. Tác giả đã tìm được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai của sóng. Trong khi đó, Wang và cộng sự [33] xét bán không gian là đẳng hướng phủ một lớp dẫn điện, và đã thu được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc một. Gần đây, trong [31] lớp và bán không gian được giả thiết là đàn hồi trực hướng, trong [32] chúng được giả thiết là đàn hồi trực hướng và có ứng suất trước. Các tác giả đã tìm được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho cả hai trường hợp này. 3 Trong tất cả các công trình nêu trên, lớp và bán không gian được giả thiết là gắn chặt. Trong thực tế, sau một thời gian sử dụng, lớp (mỏng) thường bị bóc tách khỏi bán không gian. Khi đó, liên kết giữa chúng là liên kết trượt. Cho đến nay, có duy nhất phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba tìm ra bởi Achenbach và Keshava [2] cho trường hợp liên kết trượt, trong đó lớp và bán không gian được giả thiết là đẳng hướng. Tuy nhiên, phương trình tán sắc này phụ thuộc vào hệ số trượt, có nguồn gốc từ lý thuyết bản Mindlin, mà việc sử dụng nó cần phải tránh như đã nhấn mạnh bởi Touratier [23], Muller và Touratier [12], Stephen [18]. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng các phương trình tán sắc xấp xỉ (bậc ba) của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng phủ một lớp mỏng trực hướng với liên kết trượt. Lớp và bán không gian được giả thiết hoặc cùng nén được hoặc cùng không nén được. Để đạt mục đích này, luận văn sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng: thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp lên bán không gian bằng điều kiện biên hiệu dụng (dạng ma trận). Nó liên kết (một cách tuyến tính) véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực tại mặt biên của bán không gian (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]). Sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian phủ lớp (mỏng) sau đó được xét như sóng Rayleigh truyền trong bán không gian, không bị phủ bởi lớp mỏng, mà biên của nó chịu điều kiện biên hiệu dụng thu được. Để thu được điều kiện biên hiệu dụng, cần thiết lập mối liên hệ (tuyến tính) giữa véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian, được gọi là "điều kiện biên tiền hiệu dụng". Điều kiện biên tiền hiệu dụng được rút ra bằng cách sử dụng phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi và khai triển Taylor véctơ chuyển dịch-ứng lực (thành lập từ véctơ chuyển dịch và véctơ ứng lực) tại biên trên của lớp (được giả thiết là tự do đối với ứng suất) theo độ dày của lớp (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]). Khi liên kết giữa bán không gian và lớp là gắn chặt, véctơ chuyển dịch-ứng lực liên tục qua biên phân chia giữa bán không gian và lớp. Điều kiện biên hiệu dụng khi đó được suy ra trực tiếp từ điều kiện biên tiền hiệu dụng bằng cách 4 thay các véctơ chuyển dịch, ứng lực của lớp tại biên dưới của nó bằng các véctơ chuyển dịch, ứng lực của bán không gian tại biên của bán không gian. Khi liên kết giữa bán không gian và lớp là trượt: các thành phần chuyển dịch pháp và ứng suất pháp (vuông góc với biên phân chia giữa lớp và bán không gian) liên tục qua biên phân chia, các thành phần ứng suất tiếp bằng không tại đó, các thành phần chuyển dịch ngang (song song với biên phân chia) bị gián đoạn. Khi đó véctơ chuyển dịch-ứng lực không liên tục qua biên phân chia và điều kiện biên hiệu dụng không được suy ra dễ dàng từ điều kiện biên tiền hiệu dụng như trường hợp liên kết gắn chặt. Để vượt qua khó khăn này, ta sử dụng biểu diễn nghiệm của sóng Rayleigh để khử các thành phần chuyển dịch ngang của lớp ra khỏi điều kiện biên tiền hiệu dụng. Cuối cùng ta thu được một hệ thức liên hệ (tuyến tính) thành phần chuyển dịch pháp với thành phần ứng suất pháp của lớp tại biên phân chia. Từ đó (cùng với điều kiện các thành phần ứng suất tiếp bằng không tại biên của bán không gian), ta thu được điều kiện biên hiệu dụng bằng cách thay thành phần chuyển dịch pháp và thành phần ứng suất pháp của lớp tại biên phân chia bằng các đại lượng tương ứng của bán không gian. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được liên kết trượt. Chương 2: Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được liên kết trượt. Các kết quả chính của luận văn là: 1. Thiết lập được phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi trực hướng, nén được và không nén được. 2. Tìm ra được điều kiện biên hiệu dụng bậc ba cho cả hai trường hợp: (i) lớp và bán không gian là đàn hồi trực hướng nén được, liên kết trượt với nhau . (ii) lớp và bán không gian là đàn hồi trực hướng không nén được, liên kết trượt với nhau. 3. Tìm ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho cả hai trường hợp nêu trên. 4. Xây dựng được các công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba. 5 5. Các ví dụ bằng số chỉ ra rằng các phương trình tán sắc và các công thức vận tốc sóng xấp xỉ thu được có độ chính xác cao. Các kết quả chính của chương 1 được công bố trên bài báo sau: Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Rayleigh waves in an orthotropic half-space coated by a thin orthotropic layer with sliding contact, International Journal of Engineering Science 75 (2014) 154–164. Cần nhấn mạnh rằng, phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi là một công cụ thuận tiện không những để rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng mà còn được sử dụng cho nhiều bài toán khác, chẳng hạn để rút ra biểu diễn Stroh [19], để nghiên cứu sự phản xạ và khúc xạ của sóng [1]. Khi môi trường là không nén được (hay nói chung chịu một ràng buộc trong nào đấy), để thu được phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi cần khử áp suất thủy tĩnh (các nhân tử Lagrange) ra khỏi các phương trình cơ bản. Do vậy quá trình đi đến phương trình dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi không nén được phức tạp và khó khăn hơn so với trường hợp nén được. 6 Chương 1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được liên kết trượt Trong chương này, ta nghiên cứu sự lan truyền của sóng Rayleigh theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 , trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được vô hạn x2 ≥ 0 được phủ bởi lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén được có độ dày h. x2 = -h _ _ c, ij 0 c, ij x3 x1 x2 Hình 1.1: Mô hình bán không gian trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được. Ở đây, ta giả thiết các trục chính vật liệu của lớp và của bán không gian là trùng nhau. Một hệ tọa độ Descartes Ox1 x2 x3 được sử dụng sao cho các trục của nó trùng với các trục chính của vật liệu (hình 1.1). Giả thiết lớp mỏng và 7 bán không gian liên kết trượt với nhau. Chú ý rằng các đại lượng giống nhau của bán không gian và lớp có cùng ký hiệu nhưng được phân biệt bởi dấu gạch ngang ở trên nếu liên quan đến lớp. 1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 1.1.1 Các phương trình cơ bản Xét trạng thái biến dạng phẳng, các thành phần chuyển dịch có dạng sau: ui = ui (x1 , x2 , t), ūi = ūi (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 = ū3 ≡ 0 (1.1) trong đó ui , ūi là thành phần của vectơ chuyển dịch, t là thời gian. Do vật liệu là đàn hồi trực hướng nén được, mối liên hệ giữa các thành phần ứng suất σij và các thành phần của gradien chuyển dịch (ui,j = ∂ui /∂xj ) (xem [21]) là : σ̄11 = c̄11 ū1,1 + c̄12 ū2,2 , σ̄22 = c̄12 ū1,1 + c̄22 ū2,2 , (1.2) σ̄12 = c̄66 (ū1,2 + ū2,1 ) trong đó các hằng số đàn hồi c̄11 , c̄22 , c̄12 , c̄66 phải thỏa mãn các bất đẳng thức sau (điều kiện cần và đủ để năng lượng biến dạng xác định dương): c̄kk > 0, k = 1, 2, 6, c̄11 c̄22 − c̄212 > 0 (1.3) Bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động của lớp có dạng [21]: σ̄11,1 + σ̄12,2 = ρ̄ū¨1 , (1.4) σ̄12,1 + σ̄22,2 = ρ̄ū¨2 với ρ̄ là mật độ khối lượng của lớp, dấu chấm " . " biểu thị đạo hàm theo biến thời gian t . 1.1.2 Dạng ma trận của các phương trình cơ bản Từ (1.2)3 , ta có: ū1,2 = −ū2,1 + 8 1 σ̄12 . c̄66 (1.5) Từ (1.2)2 , suy ra: ū2,2 = − 1 c̄12 ū1,1 + σ̄22 . c̄22 c̄22 (1.6) Theo (1.4)1 thì : (1.7) σ̄12,2 = −σ̄11,1 + ρ̄ū¨1 . Đạo hàm (1.2)1 theo x1 , ta được: (1.8) σ̄11,1 = c̄11 ū1,11 + c̄12 ū2,21 . Đạo hàm (1.6) theo x1 và sử dụng kết quả vào (1.8), dẫn tới: σ̄11,1 = c̄11 c̄22 − c̄212 c̄12 ū1,11 + σ̄22,1 . c̄22 c̄22 (1.9) Thay (1.9) vào (1.7), ta có: σ̄12,2 = − c̄11 c̄22 − c̄212 c̄12 ū1,11 − σ̄22,1 + ρ̄ū¨1 c̄22 c̄22 (1.10) Theo (1.4)2 suy ra: (1.11) σ̄22,2 = −σ̄12,1 + ρ̄ū¨2 . Như vậy, ta đã biểu diễn được đạo hàm theo hướng vuông góc với lớp ū1,2 , ū2,2 , σ̄12,2 , σ̄22,2 qua đạo hàm theo hướng song song với lớp và đạo hàm theo t của 4 đại lượng ū1 , ū2 , σ̄12 , σ̄22 và các tham số vật liệu qua các phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11). Từ các phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) ta rút ra được phương trình ma trận (toán tử) sau: (1.12) ξ 0 = Mξ, trong đó  ξ= Ū = h Ū T̄   ,M =  ū1 ū2 iT , T̄ = 9 M1 M2 M3 M4 h  , σ̄12 σ̄22 iT với " T " là kí hiệu chuyển vị của ma trận, dấu phẩy " 0 " chỉ đạo hàm riêng theo x2 và  M1 =  0 c̄12 − ∂1 c̄22  1 −∂1  , M2 =   c̄66 0 0  0  1 , c̄22    c̄212 − c̄11 c̄22 2 ∂1 + ρ̄∂t2 0   T c̄ 22 M3 =   , M4 = M1 0 ρ̄∂t2 (1.13) Ở đây sử dụng các kí hiệu: ∂1 = ∂/∂x1 , ∂12 = ∂ 2 /∂x21 , ∂t 2 = ∂ 2 /∂t2 . Phương trình (1.12) còn được viết dưới dạng:     Ū 0 Từ (1.14) suy ra:    Ū (n)  T̄ (n) 1.1.3  = Mn   Ū T̄  T̄ 0 =  , M =  M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4  Ū T̄  ,   , n = 1, 2, 3, ..., x2 ∈ [−h, 0] (1.14) (1.15) Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba Vì lớp mỏng nên h nhỏ. Khai triển Taylor T̄ (−h) tại điểm x2 = 0 đến cấp 3, ta được: 1 000 1 00 T̄ (−h) = T̄ (0) + T̄ 0 (0)(−h) + T̄ (0)h2 − T̄ (0)h3 . 2 3! (1.16) Do tại x2 = −h lớp tự do với ứng suất nên ta có: (1.17) T̄ (−h) = 0. Sử dụng (1.17) vào (1.16) suy ra: T̄ (0) = hT̄ 0 (0) − h2 00 h3 T̄ (0) + T̄ 000 (0). 2 6 Từ (1.15) với n = 1, 2, 3 và (1.18) ta có: h 1 2 1 I − hM4 + h M6 − h3 M8 T̄ (0) 2 6 h i 1 2 1 3 = hM3 − h M5 + h M7 Ū (0) 2 6 10 i (1.18) (1.19) trong đó I là ma trận đơn vị cấp 2; M1 , M2 , M3 , M4 xác định bởi (1.13) và: M5 = M3 M1 + M4 M3 , M6 = M3 M2 + M42 , M7 = M3 M12 (1.20) + M4 M3 M1 + M3 M2 M3 + M42 M3 , M8 = M3 M1 M2 + M4 M3 M2 + M3 M2 M4 + M43 . Sử dụng (1.13) và (1.20) vào (1.19) ta được:   h2 h ρ̄ ¨12 − r3 ū2,111 − ρ̄(1 + r1 )ū¨2,1 σ̄ 2 c̄66   h3 ρ̄2 ¨22,1 − r6 ū1,1111 − ρ̄r7 ū¨1,11 − + r4 σ̄22,111 + ρ̄r5 σ̄ ū¨1,tt 6 c̄66 σ̄12 + h r1 σ̄22,1 − r3 ū1,11 − ρ̄ū¨1 + r2 σ̄12,11 + i = 0, tại x2 = 0 , (1.21) h h2 ρ̄ ¨22 − r3 ū1,111 − ρ̄(1 + r1 )ū¨1,1 σ̄ 2 c̄22 i h h3 ρ̄2 ¨12,1 − r3 ū2,1111 − ρ̄(1 + 2r1 )ū¨2,11 − + ū¨2,tt r2 σ̄12,111 + ρ̄r8 σ̄ 6 c̄22   σ̄22 + h σ̄12,1 − ρ̄ū¨2 + r1 σ̄22,11 + i (1.22) = 0, tại x2 = 0 . trong đó c̄2 − c̄11 c̄22 c̄12 r3 r3 , r2 = r1 + , r3 = 12 , r4 = r1 r2 + c̄22 c̄66 c̄22 c̄22 r1 1 + r1 1 1 + r1 + , r6 = (r1 + r2 )r3 , r7 = r12 + 2r2 , r8 = + r5 = c̄22 c̄66 c̄66 c̄22 r1 = (1.23) Nếu liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt, nhờ sự liên tục của chuyển dịch và ứng suất qua biên phân chia, ngay lập tức ta thu được điều kiện biên hiệu dụng từ phương trình (1.21) và (1.22) bằng cách thay ū1 , ū2 , σ̄12 , σ̄22 bởi u1 , u2 , σ12 , σ22 . Tuy nhiên, khi liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết trượt, tính liên tục của chuyển dịch tại mặt phân chia bị phá vỡ nên ta không nhận được ngay điều kiện biên hiệu dụng từ (1.21) và (1.22). Để giải quyết vấn đề này, ta xét sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 với vận tốc sóng c, số sóng k và tắt dần theo phương x2 . Chuyển dịch và ứng suất của sóng được xác định bởi các công thức sau: ū1 = Ū1 (y)eik(x1 −ct) , ū2 = Ū2 (y)eik(x1 −ct) , ik(x1 −ct) σ̄12 = −ik T̄1 (y)e ik(x1 −ct) , σ̄22 = −ik T̄2 (y)e 11 (1.24) cho lớp, và u1 = U1 (y)eik(x1 −ct) , u2 = U2 (y)eik(x1 −ct) , ik(x1 −ct) σ12 = −ikT1 (y)e (1.25) ik(x1 −ct) , σ22 = −ikT2 (y)e cho bán không gian, trong đó y = kx2 . Thế (1.24) vào (1.21) và (1.22), ta được:
ρ̄c2
ε3 ε2 r2 + − r4 − ρ̄c2 r5 + T̄2 (0) εr1 + iT̄1 (0) − 1 + 2 c̄66 6 h 2 c4
i 3
ρ̄ ε − r6 − ρ̄c2 r7 − +Ū1 (0) ε r3 + ρ̄c2 + 6 c̄66 n ε2  o  r3 + ρ̄c2 (1 + r1 ) = 0, +iŪ2 (0) 2 h h ε3 i h
i h i (1.26) i ρ̄c2
ε2 − r2 − ρ̄c2 r8 + iT̄2 (0) − 1 + r1 + 6 2 c̄22 n ε2  o  r3 + ρ̄c2 (1 + r1 ) +iŪ1 (0) o n 2 ρ̄2 c4  ε3  − r3 − ρ̄c2 (1 + 2r1 ) − =0 +Ū2 (0) ερ̄c2 + 6 c̄22 T̄1 (0) ε + với ε = kh là độ dày không thứ nguyên của lớp. Do liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt, nên ta có: σ12 = 0, σ̄12 = 0, u2 = ū2 , σ22 = σ̄22 tại x2 = 0 (1.27) hay tương đương: T1 (0) = 0, T̄1 (0) = 0, U2 (0) = Ū2 (0), T2 (0) = T̄2 (0) (1.28) Thay (1.28)2 vào (1.26) và khử Ū1 , ta được mối liên hệ giữa biên độ ứng suất pháp và biên độ chuyển dịch pháp là: iT̄2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = −(a3 ε + a4 ε3 )Ū2 (0) (1.29) trong đó

1 ēδ ēδ − 2ē2 ē3 + rv2 x ē22 ē23 + 2ē2 ē3 − 3ē1 ē2 − 2ēδ 6 o n h
c̄66 2 + rv4 x2 (1 + 3ē2 ) , a3 = c̄66 rv2 x(rv2 x − ēδ ), a4 = ēδ + rv2 x 2ēδ ē2 ē3 − ēδ − 1 12 a1 = xrv2 − ēδ , a2 = + rv2 x 1 − 2ē2 ē3 − n ē22 ē23 + 4ēδ + 2ē1 ē2
− 2rv4 x2 12 1 + ē2
io , (1.30) và x= c̄66 c̄12 c̄11 c2 , ē2 = , ē3 = , ēδ = ē1 − ē2 ē23 , , ē1 = 2 c̄66 c̄22 c̄66 c2 c̄66 c2 rµ = , rv = , c2 = c66 c̄2 r c66 , c̄2 = ρ r c̄66 . ρ̄ (1.31) Sử dụng điều kiện liên tục của biên độ chuyển dịch pháp và biên độ ứng suất pháp trong (1.28) vào (1.29) suy ra: T2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = i(a3 ε + a4 ε3 )U2 (0) (1.32) Như vậy, qua (1.28)1 và (1.32) ta thấy rằng tại mặt phẳng x2 = 0 của bán không gian được cho bởi điều kiện sau: T1 (0) = 0 , (1.33) T2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = iU2 (0)(a3 ε + a4 ε3 ) Phương trình (1.33)2 là điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc ba mà ta mong muốn. Nó thay thế toàn bộ ảnh hưởng của lớp lên bán không gian. 1.2 1.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba Phương trình tán sắc xấp xỉ Bây giờ ta có thể bỏ qua lớp và chỉ xét sự truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được mà mặt phẳng x2 = 0 chịu điều kiện biên (1.33). Theo các tác giả Phạm Chí Vinh & Ogden [26], các thành phần chuyển dịch của sóng truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 với vận tốc sóng c và số sóng k được xác định bởi (1.25)1,2 với U1 (y) và U2 (y) được cho bởi: U1 (y) = B1 e−b1 y + B2 e−b2 y , −b1 y U2 (y) = α1 B1 e (1.34) −b2 y + α2 B2 e trong đó B1 , B2 là những hằng số cần xác định còn b1 , b2 là nghiệm của phương trình sau: c22 c66 b4 +[(c12 +c66 )2 +c22 (ρc2 −c11 )+c66 (ρc2 −c66 )]b2 +(c11 −ρc2 )(c66 −ρc2 ) = 0 (1.35) 13 với b1 , b2 có phần thực dương để đảm bảo sự tắt dần khi x2 → +∞ và √ c11 − ρc2 − c66 b2k bk (c12 + c66 ) , k = 1, 2, i = −1 αk = iβk , βk = = (c12 + c66 )bk c22 b2k − c66 + ρc2 (1.36) Từ (1.35), ta có: (c12 + c66 )2 + c22 (X − c11 ) + c66 (X − c66 ) = S, c22 c66 (c11 − X)(c66 − X) =P b21 b22 = c22 c66 b21 + b22 = − (1.37) Dễ dàng thấy rằng, nếu sóng Rayleigh tồn tại (→ b1 , b2 có phần thực dương) thì: 0 < X < min{c11 , c66 } và b1 b2 = √ P , b1 + b2 = p (1.38) √ S+2 P (1.39) Sử dụng (1.25)1,2 và (1.34) vào mối quan hệ ứng suất - biến dạng khi bỏ dấu gạch ngang trong (1.2) thì biểu thức σ12 , σ22 cho bởi (1.25)3,4 với T1 (y) = −ic66 (b1 + β1 )B1 e−b1 y + (b2 + β2 )B2 e−b2 y ,   T2 (y) = − (c12 − c22 b1 β1 )B1 e−b1 y + (c12 − c22 b2 β2 )B2 e−b2 y  (1.40)  Thay (1.34) và (1.40) vào (1.33) ta được hệ phương trình tuyến tình thuần nhất cho B1 , B2 : trong đó    f (b1 )B1 + f (b2 )B2 = 0 (1.41)   F (b1 )B1 + F (b2 )B2 = 0 F (bn ) = (c12 − c22 bn βn )(−a1 + a2 ε2 ) − βn (a3 ε + a4 ε3 ), (1.42) f (bn ) = c66 (bn + βn ), n = 1, 2 Để hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ (1.41) phải bằng không, suy ra: f (b1 )F (b2 ) − f (b2 )F (b1 ) = 0 (1.43) Sử dụng (1.42) vào (1.43) dẫn tới phương trình tán sắc của sóng được cho dưới dạng sau: A0 + A1 ε + A2 ε2 + A3 ε3 = 0 14 (1.44) với   A0 = a1 (c12 + c22 β1 β2 )(b2 − b1 ) + (c12 + c22 b1 b2 )(β2 − β1 ) , A1 = a3 (β1 b2 − β2 b1 ), (1.45)   A2 = −a2 (c12 + c22 β1 β2 )(b2 − b1 ) + (c12 + c22 b1 b2 )(β2 − β1 ) , A3 = a4 (β1 b2 − β2 b1 ) Từ (1.36) dễ dàng suy ra: (c11 − X)(b1 + b2 ) (b2 − b1 ), (c12 + c66 )b1 b2 c11 − X + c66 b1 b2 c11 − X , β2 − β1 = − (b2 − b1 ) β1 β2 = c22 b1 b2 (c12 + c66 )b1 b2 β1 b2 − β2 b1 = Thế (1.46) vào (1.45) suy ra: Ak = θĀk , (k = 0, 1, 2, 3), θ = đó h (1.46) b2 − b1 trong b1 b2 (c12 + c66 ) i Ā0 = a1 (c212 − c11 c22 + c22 X)b1 b2 + (c11 − X)X , Ā1 = a3 (c11 − X)(b1 + b2 ), Ā2 = h −a2 (c212 i (1.47) − c11 c22 + c22 X)b1 b2 + (c11 − X)X , Ā3 = a4 (c11 − X)(b1 + b2 ) với b1 b2 và b1 + b2 xác định từ (1.39). Giản ước θ trong (1.44) phương trình này trở thành: Ā0 + Ā1 ε + Ā2 ε2 + Ā3 ε3 = 0 (1.48) Đây là phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cần tìm và nó hoàn toàn tường minh. Phương trình (1.48) được đưa về dạng không thứ nguyên như sau: E0 + E1 ε + E2 ε2 + E3 ε3 = 0 15 (1.49) trong đó E0 = xrv2 − ēδ
h

i e2 x − eδ b1 b2 + e1 − x x , E1 = rµ rv2 x xrv2 − ēδ


e1 − x b1 + b2 ,
1 E2 = − rv4 x2 1 + 3ē2 + rv2 x ē22 ē23 + 2ē2 ē3 − 2ēδ − 3ē1 ē2 6 n
i
oh e2 x − eδ b1 b2 + e1 − x x ,
io e1 − x b1 + b2 , − ēδ 2ē2 ē3 − ēδ E3 = h
i

1 rµ ē2δ + rv2 x 2ēδ ē2 ē3 − ēδ − 1 + rv2 x 1 − 2ē2 ē3 − ē22 ē23 + 4ēδ + 2ē1 ē2 12 n − 2rv4 x2 h 1 + ē2

√ (1 − x)(e1 − x) S + 2 P, P = , e2 e2 (e1 − x) + 1 − x − (1 + e3 )2 S= e2 b1 b2 = √ P , b1 + b2 = p (1.50) và e1 = c11 c22 c12 , e2 = , e3 = , eδ = e1 e2 − e23 . c66 c66 c66 (1.51) Từ (1.49) và (1.50), ta thấy rằng vận tốc sóng Rayleigh phụ thuộc vào 9 tham số không thứ nguyên là ek , ēk , (k = 1, 2, 3), rµ , rv và ε. Chú ý: Từ (1.3) ta có ek > 0, ēk > 0, (k = 1, 2), eδ > 0, ēδ > 0. Từ (1.49) và (1.50)1 , khi ε = 0 thì:  hoặc (e2 x − eδ )b1 b2 + (e1 − x)x = 0  hoặc x = ēδ c̄22 /c22 = x∗ (1.52) Như chúng ta đã biết, phương trình (1.52)1 được biết đến là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được (Chadwich [5], Phạm Chí Vĩnh và Odgen [26]) còn (1.52)2 là tốc độ sóng dọc của lớp. Vậy khi ε → 0 có hai mốt sóng xuất hiện, một mốt tiệm cận đến sóng Rayleigh cổ điển trong bán không gian đàn hồi trực hướng, mốt còn lại tiệm cận đến sóng dọc của lớp với vận tốc sóng xác định bởi (1.52)2 (xem [2] cho trường hợp đẳng hướng), với điều kiện x∗ < 1 . 16 1.2.2 Ví dụ số Phần trên, ta đã rút ra được phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được liên kết trượt. Sau đây, xét vật liệu cụ thể cho lớp và bán không gian và tiến hành giải số phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba (1.49), so sánh kết quả tìm được với kết quả giải từ phương trình chính xác. 0.8 0.7 0.6 x 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ε Hình 1.2: Đồ thị của vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương x(ε) trong đoạn [0,1] được tính dựa trên phương trình tán sắc chính xác (nét liền) và phương trình tán sắc xấp xỉ (1.49) (nét đứt). Với e1 = 2.5, e2 = 3, e3 = 1.5, ē1 = 1.8, ē2 = 1, ē3 = 0.6, rµ = 0.5, rv = 3. Hình 1.2 biểu diễn sự phụ thuộc vào ε = kh ∈ [0, 1] của x = c2 /c22 được xây dựng dựa trên: phương trình tán sắc chính xác (có dạng định thức tương tự phương trình (30) trong [2]) (nét liền) , phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba (1.49) (nét đứt). Ở đây, ta lấy e1 = 2.5, e2 = 3, e3 = 1.5, ē1 = 1.8, ē2 = 1, ē3 = 0.6, rµ = 0.5, rv = 3. Từ hình 1.2, ta thấy: đường cong xấp xỉ bậc ba bám rất sát đường cong vận tốc chính xác. Điều này chứng tỏ rằng phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba là xấp xỉ có độ chính xác cao. 17 1.2.3 Trường hợp đẳng hướng Khi cả lớp và bán không gian là đẳng hướng, ta có: c11 = c22 = λ + 2µ, c12 = λ, c66 = µ, c̄11 = c̄22 = λ̄ + 2µ̄, c̄12 = λ̄, c̄66 = µ̄ (1.53) Từ (1.36), (1.37) và (1.53), ta suy ra: p √ 1 − γx, b2 = b1 = với c2 = r 1 − x, β1 = b1 , β2 = 1 b2 (1.54) µ µ c2 , x = 2, γ = ρ λ + 2µ c2 (1.55) Sử dụng (1.30), (1.53) và (1.54) vào (1.45), sau một số tính toán phương trình (1.44) trong trường hợp này là: (1.56) Â0 + Â1 ε + Â2 ε2 + Â3 ε3 = 0 trong đó  Â0 = rv2 x − 4(1 − γ̄) (x − 2)2 − 4b1 b2 , Â1 = rµ rv2 x2 b1 rv2 x − 4(1 − γ̄) , Â2 = −   1 8(1 − γ̄) + 4rv2 x(γ̄ 2 − 2) + rv4 x2 (1 + 3γ̄) 6 h ih  i (x − 2)2 − 4b1 b2 ,  1 Â3 = rµ xb1 8(1 − γ̄)2 + rv2 x 8(−2 + 3γ̄ − γ̄ 2 ) + 2rv2 x(4 − 2γ̄ − γ̄ 2 ) 6 n − rv4 x2 (1 + γ̄) o  (1.57) , ở đây rµ = µ̄/µ, rv = c2 /c̄2 , γ̄ = µ̄/(λ̄ + 2µ̄). Phương trình (1.56) là phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho trường hợp đẳng hướng. Ta thấy rằng với trường hợp này, vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương x = c2 /c22 phụ thuộc vào 4 tham số γ , γ̄ , rµ và rv . Nhờ (1.50)- (1.54), không khó để chỉ ra rằng Ek = Ē0 = 4(γ̄ − 1) + rv2 x   Ē2 = − [4(γ − 1) + x]b1 b2 + (1 − γx)x , Ē1 = rµ rv2 x 4(γ̄ − 1) + rv2 x (1 − γx)(b1 + b2 ),  Ēk , (k = 0, 1, 2, 3), trong đó γ   1 8(1 − γ̄) + 4rv2 x(γ̄ 2 − 2) + rv4 x2 (1 + 3γ̄) [4(γ − 1) + x]b1 b2 6 + (1 − γx)x ,  1 Ē3 = rµ 8(1 − γ̄)2 + rv2 x 8(−2 + 3γ̄ − γ̄ 2 ) + 2rv2 x(4 − 2γ̄ − γ̄ 2 ) 6 n − rv4 x2 (1 + γ̄) o (1 − γx)(b1 + b2 ) 18 (1.58) Do vậy, ta đi đến phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba dạng thứ hai cho trường hợp đẳng hướng như sau: (1.59) Ē0 + Ē1 ε + Ē2 ε2 + Ē3 ε3 = 0 với Ēk , (k = 0, 1, 2, 3) được xác định bởi (1.58). 1.3 Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba Trong phần này, chúng ta đi thiết lập công thức xấp xỉ bậc ba cho vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương x(ε) mà nó có dạng sau: x(ε) = x(0) + x0 (0) ε + x00 (0) 2 x000 (0) 3 ε + ε + O(ε4 ) 2 6 (1.60) trong đó x(0) là vận tốc sóng Rayleigh không thứ nguyên bình phương truyền trong bán không gian đàn hồi trực hướng xác định bởi [26] h√ p p √ √ 3 3 x(0) = trong đó s1 = s1 s2 s3 / ( s1 /3)(s2 s3 + 2) + R+ D+ √ i R− D (1.61) e2 e2 , s2 = 1 − 3 , s3 = e1 và R, D xác định như sau: e1 e1 e2 1 h(s1 , s2 , s3 ), 54 1 √ [2 s1 (1 − s2 )h(s1 , s2 , s3 ) + 27s1 (1 − s2 )2 + s1 (1 − s2 s3 )2 + 4] D=− 108 R=− (1.62) với h(s1 , s2 , s3 ) = √ s1 [2s1 (1 − s2 s3 )3 + 9(3s2 − s2 s3 − 2)] (1.63) ở đây các căn thức trong (1.49) lấy giá trị chính. Từ (1.49) suy ra:   2 − 2E E E + E 2 2E2 E0x E1  0x 1 1x 0xx E1  0 00 , x (0) = − , x (0) = − 3  E0x x=x(0) E0x x=x(0) h  x000 (0) = − 6E3 + 6E2x x0 (0) + 3E1xx x02 (0) + 3E1x x00 (0)  i  + 3E0xx x0 (0)x00 (0) + E0xxx x03 (0) /E0x  19 x=x(0) (1.64)