Tài liệu Sóng đàn hồi và ứng dụng trong địa chấn

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH SÓNG ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THÙY LINH SÓNG ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐỊA CHẤN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2014 i Mục lục Mở đầu 1 1 Thiết lập phương trình sóng đàn hồi 1.1 Biến dạng và ứng suất đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Trạng thái đàn hồi của vật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Khái niệm về ứng suất (Stress) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Khái niệm về sự biến dạng (Strain) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các hằng số đàn hồi và định luật Hooke suy rộng . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Các hằng số đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Định luật Hooke suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Mật độ năng lượng biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Phương trình cân bằng sóng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Lực tạo bởi ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Định luật hai Newton - Hệ phương trình cân bằng Navier Cauchy - Hệ phương trình Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Điều kiện đầu, điều kiện biên và các bài toán liên quan của các phương trình sóng đàn hồi. Định lý về duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Điều kiện đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Bài toán biên-giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Định lý về duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 2 Sóng điều hòa-Các sóng đàn hồi điều hòa cơ bản 2.1 Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Khái niệm về sóng điều hòa . . . . . . . . . 2.1.2 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm Heaviside 2.2 Biểu diễn nghiệm của phương trình sóng đàn hồi . 2.2.1 Hệ không có nguồn . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Hệ có nguồn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sóng P, sóng S, sóng SV, sóng SH và sóng PSV . . 2.3.1 Sóng P và sóng S (P-sóng và S-sóng) . . . . 2.3.2 Sóng SV, sóng SH và sóng PSV . . . . . . . 2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Vận tốc pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 15 15 17 19 19 20 20 20 ii 2.5 2.6 2.7 3 2.4.2 Vận tốc nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Vận tốc tốc pha và vận tốc nhóm của một số môi trường . . . . Sóng khối phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Bài toán giá trị ban đầu (Bài toán Cauchy)đối với sóng khối phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Bài toán giá trị biên đơn giản của sóng phẳng . . . . . . . . . . Sóng cầu đối xứng sinh bởi hệ thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . Sóng cầu được sinh bởi nguồn điểm đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Các thế vị của nguồn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Phương trình của các thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Công thức của các chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sự phản xạ và khúc xạ của các sóng đàn hồi 3.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Các phương trình liên quan tới hai nửa 3.1.2 Thế vị phẳng điều hòa . . . . . . . . . 3.2 Phản xạ và khúc xạ của sóng SH . . . . . . . 3.2.1 Hệ số phản xạ và khúc xạ . . . . . . . 3.2.2 Phản xạ toàn phần . . . . . . . . . . . 3.3 Phản xạ của sóng P tại một bề mặt tự do . . phẳng . . . . . . . không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 22 22 22 23 24 25 28 28 29 30 34 34 34 35 36 36 39 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 1 Mở đầu Dưới tác dụng của ngoại lực một vật rắn nào đó bị biến dạng. Nếu vật có thể khôi phục được hình dạng và kích thước ban đầu thì trạng thái biến dạng nói trên được gọi là trạng thái đàn hồi. Ngược lại, trạng thái biến dạng được gọi là dẻo, hay là dư. Lý thuyết đàn hồi (LTĐH) là môn học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong vật thể đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng, hay va chạm với các vật khác. Nội dung của LTĐH bao gồm các vấn đề chính sau đây: • Thiết lập quy luật vật lý cơ bản của LTĐH (Định luật Hooke) giữa ứng suất và biến dạng. • Thiết lập các phương trình cơ bản của LTĐH, các điều kiện biên và điều kiện đầu. • Năng lượng đàn hồi. • Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm, v.v.. Lý thuyết đàn hồi là cơ sở để tính toán độ bền biến dạng và ổn định trong kỹ thuật xây dựng, trong chế tạo máy, khai khoáng và các lĩnh vực khác của kỹ thuật, cũng như trong địa chấn v.v.. Một trong những ứng dụng quan trọng của việc nghiên cứu sóng đàn hồi là ứng dụng trong địa chấn học. Sóng địa chấn là những dạng sóng năng lượng hình thành và lan truyền bởi sự va chạm của lớp địa tầng khi xảy ra động đất. Sóng địa chấn có nhiều dạng với nhiều cách lan truyền khác nhau, trong đó có thể phân ra hai nhóm lớn là sóng khối và sóng bề mặt. Sóng khối có thể lan truyền trong các tầng đất phía sâu, còn sóng bề mặt chỉ lan truyền ở lớp đất phía trên của vỏ trái đất. Có hai dạng sóng khối chính là sóng P (premier wave-sóng sơ cấp) và sóng S (secondary wave-sóng thứ cấp). Thăm dò địa chấn là phương pháp địa vật lý nghiên cứu đặc điểm trường sóng dao động đàn hồi trong môi trường đất đá nhằm giải quyết các nhiệm vụ địa chất khác nhau, như nghiên cứu cấu trúc vỏ quả đất, tìm kiếm thăm dò dầu khí và tài nguyên khoáng sản, nghiên cứu nền móng công trình...Trong thăm dò 2 địa chấn, bằng các kích động nhân tạo như nổ mìn, rung, đập...người ta kích thích vào môi trường địa chất các xung lực. Sự kích thích lực làm đất đá rung động và làm xuất hiện sóng đàn hồi. Các sóng này truyền qua hay phản xạ trên các lớp đất đá và các máy thu sẽ ghi nhận thời gian các sóng phản xạ truyền đến ở dạng các băng địa chấn phản ánh các thông tin về lớp đất cần thăm dò. Luận văn tập trung nghiên cứu về bản chất của sóng đàn hồi, các loại sóng đàn hồi và một số ứng dụng trong các vấn đề của của địa chấn học. Bố cục luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Thiết lập phương trình sóng đàn hồi tuyến tính cổ điển. Trong chương này có trình bày một số kiến thức về biến dạng và ứng suất đàn hồi, định luật Hooke, mật độ năng lượng và vấn đề cơ bản nhất của chương này, đó là phương trình cân bằng của sóng đàn hồi. Đã trình bày các điều kiện biên và điều kiện đầu đối với hệ phương trình sóng đàn hồi. Chương 2: Sóng điều hòa - Các sóng đàn hồi cơ bản. Nội dung chính của chương này gồm có các phần sau đây. • Phần thứ nhất trình bày cách tìm nghiệm của hệ phương trình sóng đàn hồi bằng phương pháp thế vị, đưa hệ phương trình đàn hồi về các phương trình sóng tuyến tính cấp hai thuộc lớp phương trình hyperbolic của lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng. • Phần thứ hai trình bày về sóng điều hòa và các loại sóng đàn hồi, như sóng P (sóng sơ cấp), sóng S (sóng thư cấp), các sóng thứ cấp đứng ( SV), thứ cấp ngang ( SH), sóng sơ-thứ cấp đứng (PSV), v.v.. • Phần thứ ba trình bày ba bài toán cơ bản của phương trình sóng. Đó là bài toán Cauchy và bài toán biên giá trị ban đầu đối với sóng khối phẳng; bài toán biên giá trị ban đầu đối với sóng cầu đối xứng thuần nhất khi biết các điều kiện đầu và các điều kiện biên trên một mặt cầu nhỏ cho trước; bài toán Cauchy đối với sóng cầu có nguồn điểm ở gốc tọa độ. Chương 3: Sự phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi phẳng. Chương này trình bày sự phản xạ và khúc xạ của sóng SH, sóng P và sóng SV trên bề mặt phân cách z = 0 cửa hai nửa không gian là những môi trường đàn hồi khác nhau. Các vấn đề được đề cập trong luận văn này có thể tìm thấy những ứng dụng của địa chấn học và chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] và [6]. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Nguyễn Văn Ngọc, người Thầy đã hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. 3 Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế , các bạn học viên lớp Cao học Toán K6B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 9 năm 2014 Học viên Phạm Thùy Linh 4 Chương 1 Thiết lập phương trình sóng đàn hồi Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, bao gồm Định luật Hooke suy rộng về mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng, các phương trình cân bằng, v.v.. Nội dung của chương này chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4]. 1.1 Biến dạng và ứng suất đàn hồi 1.1.1 Trạng thái đàn hồi của vật Dưới tác dụng của ngoại lực một vật rắn nào đó bị biến dạng. Nếu vật có thể khôi phục được hình dạng và kích thước ban đầu thì trạng thái biến dạng nói trên được gọi là trạng thái đàn hồi. Ngược lại, trạng thái biến dạng được gọi là dẻo, hay là dư. Xét ví dụ: Giả sử ta kéo nhẹ một lò xo khỏi vị trí cân bằng rồi buông thì chiếc lò xo vẫn có hình dạng và kích thước ban đầu, ta có trạng thái đàn hồi. Nếu ta kéo mạnh hoặc quá mạnh thì sau khi buông, chiếc lò xo không thể lấy lại được hình dạng và kích thước ban đầu nữa, thậm chí bị phá huỷ (hỏng) hoàn toàn, ta có trạng thái dẻo (dư), hoặc phá huỷ. 1.1.2 Khái niệm về ứng suất (Stress) Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất là một khái niệm quan trọng. Ta hình dung qua điểm x của môi trường vẽ một mặt đủ nhỏ ∆S. Lực đàn hồi giữa các phần của môi trường ở phía này của ∆S tác động lên các phần tử của môi trường ở phía bên kia. Hợp lực của các lực nói trên bằng nhau về độ lớn nhưng có chiều ngược nhau (lực trực đối). Để nói về chiều của các lực đó, ta vẽ pháp tuyến n đến mặt ∆S. Giả sử rằng, các lực tác dụng lên ∆S theo hướng của pháp tuyến n về tĩnh học 5 tương đương với hợp lực T và moment của cặp lực M. Xét các đại lượng τ = T/(∆S), µ = M/(∆S). Giả thiết rằng đối với các đại lượng này tồn tại giới hạn khi ∆S → 0. Các giới hạn này phụ thuộc vào điểm x và pháp tuyến n. Nếu chọn hướng ngược lại của n thì các giới hạn sẽ đổi dấu. Nếu qua điểm x ta chọn mặt khác ∆S 0 thì ta lại có hình ảnh khác. Ta giả thiết rằng các giới hạn trên đây không thay đổi đối với mọi mặt ∆S đi qua điểm x có cùng pháp tuyến n. Ký hiệu τ (n) = lim T/(∆S), ∆S→0 µ(n) = lim M/(∆S). ∆S→0 Các đại lượng τ (n) , µ(n) phụ thuộc vào điểm x và thời điểm t. Đại lượng τ (n) được gọi là ứng suất lực, còn đại lượng µ(n) đựợc gọi là ứng suất moment tại điểm x theo hướng của pháp tuyến n. Trong không gian ba chiều Oxyz , nếu tại điểm x = (x, y, z) xét các mặt đủ nhỏ đi qua x vuông góc với các trục toạ độ với pháp tuyến có hướng là hướng của các trục toạ độ, thì có các véctơ ứng suất: τ x = (τxx , τxy , τxz ), τ y = (τyx , τyy , τyz ), τ z = (τzx , τzy , τzz ), trong đó τxx , τxy , τxz tương ứng là toạ độ của vectơ τ x trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz. Tương tự đối với các véc tơ τ y và τ z . Ứng suất có tính chất τxy = τyx , τxz = τzx , . . . . Trong nhiều tài liệu dùng ký hiệu σx = τxx , σy = τyy , σz = τzz . 1.1.3 Khái niệm về sự biến dạng (Strain) • Chuyển vị. Ký hiệu rM là bán kính véctơ của điểm M và P (rM , t) là ứng suất, áp suất (trong chất lưu) tại điểm M của không gian Euclid Rn ở thời điểm t. Đơn vị của ứng suất là N/m2 , hay P a (Paxcan). Xét điểm M (x, y, z) ∈ R3 thuộc đối tượng nghiên cứu ở thời điểm t. Dưới sự tác dụng của các lực, ở trạng thái cân 6 bằng điểm M sẽ dịch chuyển (rất nhỏ) đến điểm M 0 (x0 , y 0 , z 0 ). Véc tơ uM = MM0 được gọi là véc tơ chuyển vị của điểm M : uM = u(x, y, z; t). Ta có hệ thức: rM 0 = rM + uM . • Biến dạng. Trong giới hạn đàn hồi có ba loại biến dạng cơ bản: 1) Biến dạng nén ( Compressional strain) = Thể tích thay đổi/ Thể tích ban đầu. 2) Biến dạng trượt đơn giản (Simple shear strain ) = Số gia của độ dài/ Độ dài ban đầu. 3) Biến dạng trượt thuần tuý (Pure shear strain)= Bị nén + Bị kéo (diện tích (area) không thay đổi, góc thay đổi). Giả sử dưới tác dụng của lực véc tơ chuyển vị của điểm (x, y, z) là u = (u1 , u2 , u3 ). • Độ biến dạng theo các phương Cauchy- Navier   1 ∂ui ∂uj εij = + , εij = εji . 2 ∂xj ∂xi (1.1) • Độ biến dạng giãn nở 1) Thể tích nguyên tố ban đầu (Original Volume): V = δxδyδz, 2) Thể tích nguyên tố biến dạng (Deformed Volume): V + δV = (1 + εxx )(1 + εyy )(1 + εzz )δxδyδz, 3) Biến dạng giãn (nở) của thể tích nguyên tố: δV = (1 + εxx )(1 + εyy )(1 + εzz ) − 1 V ≈ εii ( lấy tổng theo i từ 1 đến 3) = ∂i ui = ∇.u = divu. Vậy ta có công thức δV = V.εii = V (εxx + εyy + εzz ) = V ( 1.2 1.2.1 ∂u ∂v ∂w + + ). ∂x ∂y ∂z (1.2) Các hằng số đàn hồi và định luật Hooke suy rộng Các hằng số đàn hồi • Modun Young E mô tả đàn hồi dạng kéo, hoặc nén dọc theo trục(của thanh, hay lò xo) khi lực tác dụng đặt dọc theo trục đó, nó được định nghĩa bằng tỷ số 7 giữa ứng suất kéo (nén) cho độ biến dạng. Đơn vị của modun Young là N/m2 . • Modun đàn hồi trượt G miêu tả xu hướng một vật thể của một vật thể bị cắt(trượt, hình dạng biến dạng với thể tích không đổi) khi bị tác động bởi các lực ngược hướng, nó được định nghĩa bằng ứng suất cắt (trượt) chia cho biến dạng kéo. Đơn vị của modun trượt G là N/m2 . • Modun đàn hồi λ (hằng số Lame). Khi chịu sự tác động của một ứng suất kéo hoặc nén, một vật sẽ phản ứng bằng cách biến dạng theo tác dụng của lực. Trong một giới hạn biến dạng nhỏ, độ biến dạng này tỷ lệ thuận với ứng suất tác động. Hệ số tỷ lệ này được gọi là modun đàn hồi và được xác định theo công thức ứng suất (stress) λ= . biến dạng (strain) • Các hằng số Lame: λ, µ, thứ nguyên N/m2 , λ= νE E , µ= . (1 + ν)(1 − 2ν) 2(λ + µ) • Modun đàn hồi ( Modun Young): E, thứ nguyên N/m2 , E= 2µ(3λ + 2µ) . λ+µ • Hệ số Poison (Poisson’s ratio): ν, không thứ nguyên: ν= λ , 2(λ + µ) 0 < ν < 1/2. • Hệ số cứng hay modun đàn hồi trượt, thứ nguyên N/m2 : G= 1.2.2 E . 2(1 + ν) Định luật Hooke suy rộng Trong môi trường đồng nhất đẳng hướng ứng suất và biến dạng liên hệ nhau theo công thức τij = λδij εkk + 2µεij , (1.3) trong đó δij là ký hiệu Kronecker, (i, j = x, y, z); λ, µ được gọi là các hằng số Lame. 8 Trong hệ trục tọa độ Oxyz và với véctơ chuyển vị u = (u, v, w), công thức (1.3) có dạng  ∂u ∂v ∂w  ∂u τxx = λ + + +µ , (1.4) ∂x ∂y ∂z ∂x  ∂u ∂v  τxy = µ + , (1.5) ∂y ∂x  ∂u ∂w  τxz = µ + , (1.6) ∂z ∂x  ∂u ∂v ∂w  ∂v τyy = λ + + (1.7) +µ , ∂x ∂y ∂z ∂y  ∂v ∂u  τyx = µ + , (1.8) ∂x ∂y  ∂v ∂w  τyz = µ + , (1.9) ∂z ∂y  ∂u ∂v ∂w  ∂w τzz = λ + + +µ , (1.10) ∂x ∂y ∂z ∂z  ∂w ∂u  τzx = µ + , (1.11) ∂x ∂z  ∂w ∂v  + τzy = µ . (1.12) ∂y ∂z (1.13) 1.3 Mật độ năng lượng biến dạng Mật độ năng lượng biến dạng của vật đàn hồi được xác định bởi công thức 1 X E= τij εij (1.14) 2 1 = 2 i,j=x,y,z X (1.15) [λδij εkk + 2µεij ]εij i,j=x,y,z Nhận xét rằng, mật độ năng lượng biến dạng là một dạng toàn phương xác định dương đối với sáu đại lượng độc lập εij ; i, j = 1, 2, 3. 1.4 Phương trình cân bằng sóng đàn hồi 1.4.1 Lực tạo bởi ứng suất Xét thể tích nguyên tố δV đủ nhỏ. Hợp lực tác dụng lên δV là véc tơ F = (Fx , Fy , Fz ) = (F1 , F2 , F3 ), trong đó i h i h ∂τ ∂τ Fx = (τxx + xx ∂x δx) − τxx δyδz + (τxy + xy ∂y δx) − τxy δxδz 9 h + (τxz + ∂τxz δz) − τxz δxδz + fx δxδyδz = ∂z i  ∂τ xx ∂x +  ∂τxy ∂τxz + + fx δxδyδz. ∂y ∂z Vậy, với i = x, y, z thì Fi =  ∂τ ix ∂x +  ∂τiy ∂τiz + + fi δV, ∂y ∂z (1.16) trong đó fi là toạ độ của véc tơ mật độ lực khối f = (f1 , f2 , f3 ). 1.4.2 Định luật hai Newton - Hệ phương trình cân bằng Navier - Cauchy - Hệ phương trình Lame ρδV ∂ 2 ui = Fi , ∂t2 i = x, y, z = 1, 2, 3. (1.17) Thay (1.16) vào (1.17) ta được hệ phương trình cân bằng ứng suất - chuyển vị của lý thuyết đàn hồi động  2 ∂ u1 ∂τxx ∂τxy ∂τxz   ρ 2 = + + + f1 ,   ∂x ∂y ∂z   ∂t ∂τyx ∂τyy ∂τyz ∂ 2 u2 (1.18) ρ 2 = + + + f2 ,  ∂t ∂x ∂y ∂z    ∂τ ∂ 2u ∂τ ∂τ  ρ 23 = zx + zy + zz + f3 , ∂t ∂x ∂y ∂z trong đó τxy = τyx , τyz = τzy , τzx = τxz . (1.19) Chú ý (1.19), từ (1.3) và (1.18) ta có hệ 9 phương trình đối với 9 ẩn hàm là u1 , u2 , u3 , τxx , τxy , τxz , τyy , τyz , τzz . Hệ (1.18) được gọi là hệ phương trình cân bằng Navier - Cauchy. Đưa (1.16) vào (1.17), chú ý (1.1) và đưa các hệ thức (1.4)-(1.12) vào (1.18), ta được ρüi = (λ + µ) ∂(∇.u) + µ∇.∇(ui ) + fi , i = 1(x), 2(y), 3(z), ∂xi (1.20) hay là ta có phương trình sóng đàn hồi đối với chuyển vị ở dạng véc tơ ρü = (λ + µ)∇(∇.u) + µ∇.∇u + f . (1.21) Hệ phương trình cân bằng ở dạng chuyển vị (1.21) được gọi là hệ phương trình Lame. 10 1.4.3 Tọa độ trụ Trong tọa độ trụ r, θ, z ta có các phương trình sau đây. • Hệ thức giữa biến dạng và chuyển vị    ∂uz 1 ∂uθ 1 ∂ur ∂ur εrr = εrθ , εθθ = + ur , εzz = , εzr = ∂r r ∂θ ∂z r ∂z     1 1 ∂ur ∂uθ uθ 1 ∂uθ 1 ∂uz = + − , εθz = + . r r ∂θ ∂r r r ∂z r ∂θ + ∂uz , ∂r  (1.22) (1.23) • Phương trình cân bằng ứng suất-chuyển vị ∂ 2 ur ∂τrr 1 ∂τrθ ∂τrz 1 + + + (τrr − τθθ ) + fr = ρ 2 , ∂r r ∂θ ∂z r ∂t ∂ 2 uθ ∂τθr 1 ∂τθθ ∂τθz 2 + + + τθr + fθ = ρ 2 , ∂r r ∂θ ∂z r ∂t ∂τzr 1 ∂τzθ ∂τzz 1 ∂ 2 uz + + + τzr + fz = ρ 2 . ∂r r ∂θ ∂z r ∂t 1.4.4 (1.24) (1.25) (1.26) Tọa độ cầu Trong tọa độ cầu r, θ, φ ta có các phương trình sau đây • Hệ thức giữa biến dạng và chuyển vị     ∂u 1 ∂uθ 1 ∂ur φ , εθθ = + ur , εφφ = + ur sin θ + uθ cos θ , εrr = ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ     1 ∂u ∂uφ 1 1 ∂ur ∂uθ uθ 1 θ εrθ = + − + − uφ cot θ , , εθφ = r r ∂θ ∂r r 2r sin θ ∂φ ∂θ  1 ∂u ∂uφ uφ  1 r εφr = + − . r r sin θ ∂φ ∂r r (1.27) (1.28) (1.29) • Phương trình cân bằng ứng suất-chuyển vị ∂τrr 1 ∂τrθ 1 ∂τrφ 1 ∂ 2 ur + + + (2τrr − τθθ − τφφ + τrθ cot θ) + fr = ρ 2 , (1.30) ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r ∂t h i ∂τθr 1 ∂τθθ 1 ∂τθφ 1 ∂ 2 uθ + + + (τθθ − τφφ ) cot θ + 3τrθ + fθ = ρ 2 , (1.31) ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r ∂t   ∂τφr 1 ∂τφθ ∂ 2 uφ 1 ∂τφφ 1 + + + 2τφθ cot θ + 3τφr + fφ = ρ 2 . (1.32) ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r ∂t 11 1.5 1.5.1 Điều kiện đầu, điều kiện biên và các bài toán liên quan của các phương trình sóng đàn hồi. Định lý về duy nhất nghiệm Điều kiện đầu Với phương trình đàn hồi ở dạng chuyển vị thì các điều kiện đầu sẽ là ui (x, y, z; 0) = ϕi (x, y, z), ∂ui (x, y, z; 0) = ψi (x, y, z), i = 1, 2, 3. ∂t (1.33) Điều kiện thứ nhất trong (1.33) biểu thị chuyển vị ban đầu của các điểm, còn điều kiện thứ hai biểu thị vận tốc ban đầu các chất điểm của môi trường. 1.5.2 Điều kiện biên Giả sử phương trình cân bằng đàn hồi được cho trong miền Ω ⊂ R3 với biên là ∂Ω. • Điều kiện biên loại một. Trên ∂Ω cho biết giá trị của các chuyển vị  ui (x, y, z; t)∂Ω = g(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω; t = 1, 2, 3. (1.34) Ý nghĩa vật lý của các điều kiện trong (1.34) là cho biết chuyển vị trên biên của miền mà ta quan tâm. • Điều kiện biên loại hai. Trên ∂Ω cho biết giá trị của các ứng suất. Để minh họa xét các ví dụ đơn giản sau đây. Ví dụ 1.1. Một khối bao gồm 2 nửa không gian, ngăn cách bởi một mặt phẳng tại z = 0. Các chuyển vị là ux , uy , uz , và các ứng suất là pxx , pxy , pxz , pyy , pyz , pzz Điều kiện biên z = 0 cho các kết hợp khác nhau của nửa không gian được: rắn - rắn: ux , uy , uz , pxz , pyz , pzz liên tục, rắn - lỏng: uz , pzz liên tục; pxz = pyz = 0, lỏng - lỏng: uz , pzz liên tục, rắn - cứng: ux = uy = uz = 0, lỏng - cứng: uz = 0, chân không - rắn: pxz = pyz = pzz = 0, lỏng - chân không: pzz = 0. Nếu tại một bề mặt với vector pháp tuyến ni , ứng suất không phải là không (vector ứng suất Pi ), vector ứng suất trong khối có được giá trị biên này. 12 (r) pij nj = Pi , (1.35) (r) pij là những giá trị biên của các thành phần của ứng suất tensor ở bề mặt, và nó có thể được tính từ (1.35). Ví dụ 1.2. P (t) trên một mặt phẳng. Đối với trường hợp áp lực Hình 1.1: Áp lực lên một bề mặt phẳng → − n = (−1, 0, 0) = (n1 , n2 , n3 ), → − P = (P (t), 0, 0) = (P1 , P2 , P3 ). Tương tự như vậy, sự dịch chuyển có thể được quy định trên bề mặt của khối. • Điều kiện biên loại ba (hỗn hợp). Giả sử ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , Γ1 ∩ Γ1 = ∅ và trên Γ1 cho biết giá trị của các chuyển vị, còn trên Γ2 thì cho điều kiện về ứng suất. 1.5.3 Bài toán Cauchy • Các phương trình được cho trong toàn bộ không gian Rn . • Chỉ có các điều kiện ban đầu. 1.5.4 Bài toán biên-giá trị ban đầu • Các phương trình được cho trong miền Ω ⊂ Rn . • Các điều kiện ban đầu. • Các điều kiện biên tương ứng trên biên ∂Ω của miền Ω. 1.5.5 Định lý về duy nhất nghiệm Một vấn đề đặt ra là nghiệm của các bài toán của lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có duy nhất không? Người ta đã chứng minh được Định lý về duy nhất nghiệm bằng nhiều phương pháp khác nhau. Định lý 1.1. Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và định luật về độc lập tác dụng của các lực thì nghiệm của các bài toán biên cơ bản thứ nhất và thứ hai của lý thuyết đàn hồi là duy nhất. 13 Chương 2 Sóng điều hòa-Các sóng đàn hồi điều hòa cơ bản Chương này trình bày cách giải của hệ phương trình cân bằng của sóng đàn hồi đã thiết lập được trong Chương 1 bằng cách đưa ra các hàm thế vị để biến đổi hệ phương trình sóng đàn hồi về các phương trình sóng cấp hai độc lâp. Trên cơ sở đó đã trình bày khái niệm về sóng điều hòa và các loại sóng P, sóng S và một số loại sóng khác. Xét một số bài toán về sóng khối phẳng và sóng khối cầu. Nội dung chủ yếu của chương này được hình thành từ các tài liệu [2],[3], [4], [5] và [6]. 2.1 Một số kiến thức bổ trợ 2.1.1 Khái niệm về sóng điều hòa Để đơn giản, xét phương trình sóng một chiều không gian ∂ 2u 1 ∂ 2u = . c2 ∂t2 ∂x2 (2.1) Ở đây x là biến không gian, còn t là biến thời gian, c là hằng số dương, có thứ nguyên m/s, nếu u = u(x, t) có đơn vị là mét. Nghiệm tổng quát của phương trình sóng (2.1) được cho bởi công thức d’Alambert u(x, t) = F (x − ct) + G(x + ct), (2.2) trong đó F (x) và G(x) là những hàm tùy ý hai lần khả vi liên tục. Định nghĩa 2.1. Nếu nghiệm của phương trình sóng có dạng u(x, t) = A(x, t) cos(ωt − kx + φ) hoặc = A(x, t) sin(ωt − kx + φ), (2.3) 14 thì nó được gọi là sóng điều hòa, trong đó • A là biên độ, • ω = kc là tần số góc, • k = ω/c là số sóng, • φ = const được gọi là pha ban đầu ở gốc tọa độ, • Đại lượng ωt − kx + φ được gọi là pha của sóng ở thời điểm t tại điểm x. Nếu A(x, t) = A(x), nghĩa là nếu biên độ của sóng không phụ thuộc vào thời gian, thì sóng được gọi là sóng dừng. Một số đại lượng khác đặc trưng cho sóng điều hòa. • f = ω/(2π) là tần số: số dao động toàn phần trong một giây, • T = 1/f là chu kỳ: thời gian thực hiện một dao động toàn phần, • λ = 2π/k là bước sóng: khoảng cách ngắn nhất giữa hai dao động đồng pha. Nói chung, sóng điều hòa có thể được biểu diễn ở dạng h i x u(x, t) = Aexp iω(t − ) = Aexp[i(ωt − kx)], c trong đó biên độ A có thể thực hoặc phức. Biểu diễn sóng điều hòa ở dạng mũ đôi khi rất thuận tiện cho tính toán. 2.1.2 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm Heaviside H(x) δ hàm Dirac là hàm suy rộng quan trọng do nhà vật lý người Anh đưa ra vào khoảng 1926. Có thể hiểu δ hàm Dirac một cách hình thức như sau: δ hàm là một " hàm " có các tính chất 1. δ(0) = ∞, 2. δ(x) Z = 0, x 6= 0, δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) đối với mọi hàm liên tục ϕ(x). 3. Rn Tính chất thứ 3 thông thường được lấy làm định nghĩa hàm suy rộng Dirac như là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm cơ bản, được xác định theo công thức [6] < δ, ϕ >:= ϕ(0). (2.4) Các tính chất 1 và 2 nói lên rằng, giá của hàm Dirac tập trung tại gốc toạ độ x = 0, tức là δ - hàm có giá compact. Chú ý rằng, tính chất 3 tương đương với Z Z δ(x − a)ϕ(x)dx = δ(x)ϕ(x − a)dx = ϕ(a). (2.5) Rn Rn 15 Cùng với delta hàm, hàm Heaviside θ(x) là những hàm suy rộng cơ bản. Hàm Heaviside được định nghĩa như sau  1, x > 0, θ(x) = (2.6) 0, x < 0. Trong định nghĩa các hàm suy rộng, delta hàm là đạo hàm của hàm Heaviside θ0 (x) = dθ(x) = δ(x). dx (2.7) Đạo hàm theo nghĩa suy rộng được xác định theo công thức (Dα f, ϕ) = (−1)|α| (f, Dα ϕ), 2.2 2.2.1 ϕ ∈ Co∞ . (2.8) Biểu diễn nghiệm của phương trình sóng đàn hồi Hệ không có nguồn • Phương pháp thứ nhất [4]. Để đơn giản xét trường hợp f = 0. Ta có phương trình thuần nhất ρü = (λ + µ)∇(∇.u) + µ∇.∇u = 0. (2.9) Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (2.9)(véc tơ chuyển vị) ở dạng u = ∇Φ + ∇ × Ψ, (2.10) trong đó Φ là thế vô hướng (scalar potential), còn Ψ là véc tơ thế. Đối với véc tơ Ψ có thêm điều kiện [4]: ∇.Ψ = ∂Ψ1 ∂Ψ2 ∂Ψ3 + + = 0. ∂x ∂y ∂x (2.11) Đặt (2.10) vào các vế của (2.9) ta được ρ(∇Φ̈ + ∇ × Ψ̈) = (λ + µ)∇(∇.[∇Φ + ∇ × Ψ]) + µ∇.∇[∇Φ + ∇ × Ψ]. (2.12) Chú ý rằng ∇.∇ × Ψ = 0, (2.13) ρ(∇Φ̈ + ∇ × Ψ̈) = (λ + µ)∇[∇2 Φ] + µ∇2 [∇Φ + ∇ × Ψ]. (2.14) từ (2.12) ta được 16 Nhân bên trái của (2.12) với ∇.(tích vô hướng) và chú ý tới (2.13) ta có ρ∇2 Φ̈ = (λ + µ)∇2 [∇2 Φ] + µ∇2 ∇2 Φ. (2.15) Do đó ∇2 [ρΦ̈ − (λ + µ)∇2 Φ] = 0. suy ra phương trình sóng ρΦ̈ − (λ + µ)∇2 Φ = 0, (2.16) Φ̈ − c2p ∇2 Φ = 0, (2.17) hay là trong đó r cp = λ + 2µ , ρ (2.18) là vận tốc của sóng sơ cấp (premary wave). Để tìm véc tơ thế vị Ψ, ta nhân hai vế của (2.14)với ∇×(nhân véc tơ) và chú ý tính chất ∇ × ∇Φ = 0, (2.19) ta được phương trình sóng ρΨ̈ − µ∇2 Ψ = 0, (2.20) Ψ̈ − c2s ∇2 Ψ = 0, (2.21) hay là trong đó r cs = µ , ρ (2.22) là vận tốc của sóng thứ cấp (second wave) • Phương pháp thứ hai [3]. Trong hệ tọa độ Cartesian, ta có các hệ thức − − − (∇2 u1 , ∇2 u2 , ∇2 u3 ) = ∇2 → u = ∇∇.→ u −∇×∇×→ u. (2.23) Sử dụng công thức (2.23), chúng ta viết lại hệ phương trình (2.9) ở dạng ρ − ∂ 2→ u − − − (λ + 2µ)∇∇.→ u + µ∇ × ∇ × → u = 0. ∂t2 (2.24) Đặt (2.10) vào (2.24) ta được hệ phương trình → − → − ∂ 2Φ ∂2 Ψ ρ∇ 2 + ρ∇ × − (λ + 2µ)∇∇2 Φ + µ∇ × ∇ × ∇ × Ψ = 0. 2 ∂t ∂t (2.25)