Tài liệu Số cân bằng fibonacci và số cân bằng lucas

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THU GIANG SỐ CÂN BẰNG FIBONACCI VÀ SỐ CÂN BẰNG LUCAS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THU GIANG SỐ CÂN BẰNG FIBONACCI VÀ SỐ CÂN BẰNG LUCAS Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2016 Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1 . Số cân bằng và một số dãy số liên quan 4 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . . . . . . . . 4 1.2 Số cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Số Lucas-cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Một số tính chất của các số λ1 và λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Một số mối quan hệ giữa số cân bằng và số Lucas-cân bằng . . . . . . 14 Chương 2 . Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas 19 2.1 Số Fibonacci và số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Số cân bằng Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Các số cân bằng Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 i Danh sách kí hiệu Bn số cân bằng thứ n Cn số Lucas-cân bằng thứ n Fn số Fibonacci thứ n Ln số Lucas thứ n √ số vô tỷ 3 + 8 √ số vô tỷ 3 − 8 λ1 λ2 ii Mở đầu Một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nó là nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r). Khái niệm về số cân bằng được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda [4]. Sau đó rất nhiều tính chất đẹp của các số cân bằng được tìm ra bởi Panda [9], Ray [10, 11],... Một số tính chất này đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong [1]. Kí hiệu Bn , n = 0, 1, . . . , là số cân bằng thứ n, với quy ước B0 = 1. Khi đó các số Bn thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Bn+1 = 6Bn − Bn−1 . Sử dụng lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính ta có được công thức Binet cho các số cân bằng λn+1 − λn+1 1 2 Bn = , n = 0, 1, . . . , λ1 − λ2 √ √ trong đó λ1 = 3 + 8 và λ2 = 3 − 8. Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đã chứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2 . Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray. Một đặc trưng quan trọng của số cân bằng Bn là 8Bn2 + 1 là số chính phương. Số p Cn = 8Bn2 + 1 được gọi là số Lucas-cân bằng thứ n. Các số Lucas-cân bằng có liên quan chặt chẽ với các số cân bằng. Cụ thể là đã có nhiều đẳng thức được tìm ra liên quan đến các số này. Đặc biệt, gần đây, Ray [11] đã chứng minh được một số đẳng thức thú vị thể hiện mối quan hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng. Mục đích tiếp theo của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray. 1 Trong số các tính chất của các số cân bằng, có khá nhiều tính chất có tính tương đồng với tính chất của các số Fibinacci và các số Lucas. Một vấn đề tự nhiên được đặt ra: liệu có số nguyên nào vừa là số cân bằng vừa là số Fibonacci hay không? hoặc có tồn tại số cân bằng nào mà đồng thời là số Lucas hay không? Các số như vậy lần lượt được gọi là các số cân bằng Fibonacci và các số cân bằng Lucas. Các vấn đề này đã được Liptai trả lời hoàn chỉnh trong [7] và [8]. Cụ thể, trong [7], Liptai đã chỉ ra rằng chỉ có duy nhất một số cân bằng Fibonacci, đó là số 1. Bằng phương pháp chứng minh tương tự, Liptai [8] cũng chứng minh được rằng không tồn tại bất cứ số cân bằng Lucas nào. Mục đích cuối cùng của luận văn này là trình bày lại các câu trả lời này của Liptai. Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày thành 2 chương: • Chương 1: Số cân bằng và một số dãy số liên quan. Phần đầu tiên của chương này chúng tôi nhắc lại về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, nhắc lại khái niệm về số cân bằng. Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và một số tính chất của các số Lucas-cân bằng. Sau đó, chúng tôi trình bày về mối quan hệ giữa các số cân bằng với các số vô tỷ λ1 , λ2 . Cuối cùng, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng. • Chương 2: Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas. Mở đầu chương này, chúng tôi trình bày sơ lược khái niệm của các số Fibonacci và các số Lucas. Tiếp theo đó chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự tồn tại duy nhất số cân bằng Fibonacci. Cuối cùng, chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự không tồn tại số cân bằng Lucas. Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất lớn từ thầy giáo-TS Ngô Văn Định. Tôi xin gửi tới thầy lời tri ân sâu sắc nhất. Trong suốt quá trình làm luận văn, thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để chỉ bảo và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành đề tài. Một lần nữa xin được gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành nhất. 2 Đồng thời, trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Cảm ơn các thầy cô đã tạo điều kiện trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè, đồng nghiệp-những người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016 Tác giả luận văn Hà Thu Giang 3 Chương 1 Số cân bằng và một số dãy số liên quan Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về số cân bằng, số Lucas-cân bằng. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số tính chất thú vị về mối quan hệ giữa các số cân bằng với các giá trị λ1 , λ2 ; và về mối quan hệ giữa các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng. Tài liệu chính được sử dụng trong chương này là tài liệu [11] và Chương 5 của tài liệu [10]. 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Trước khi trình bày các nội dung chính của chương, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày về công thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt. Đây là những kiến thức cần thiết cho các nội dung sau. Định nghĩa 1.1.1. Phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, ..., (1.1) trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = 0. (1.2) Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai 4 phân (1.1). Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân (1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt. Định lý 1.1.2 ([6, Theorem 10.1]). Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β. Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, ..., (1.3) trong đó C1 và C2 là những số bất kì. Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các hằng số C1 và C2 hoàn toàn được xác định. Ví dụ 1.1.3. Tìm nghiệm của phương trình sai phân un+1 = 5un − 6un−1 (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7. Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là λ2 − 5λ + 6 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là un = C1 2n + C2 3n , n = 0, 1, ... Từ điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7 ta có hệ phương trình   C1 + C2 = 4,  2C1 + 3C2 = 7. Giải hệ phương trình này ta được C1 = 5, C2 = −1. Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7 là un = 5.2n − 3n , n = 0, 1, ... 5 Một cách tổng quát, phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u0 , u1 xác định một dãy số {un }∞ n=0 , kí hiệu bởi u(A, B, u0 , u1 ), với aαn − bβ n un = α−β (1.5) trong đó α, β là hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.2) và a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α. 1.2 Số cân bằng Trong mục này chúng tôi trình bày lại khái niệm về số cân bằng. Số cân bằng có rất nhiều tính chất thú vị. Các tính chất này đã được tìm ra và công bố trong các tài liệu [4], [9] và [10]. Đặc biệt một số kết quả trong các tài liệu này đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường. Ở đây chúng tôi không trình bày lại các kết quả này mà chỉ trình bày về khái niệm và một số đẳng thức cần thiết. Định nghĩa 1.2.1. Số nguyên m được gọi là số cân bằng nếu 1 + 2 + · · · + (m − 1) = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r) với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng của m. Ví dụ 6 và 35 là hai số cân bằng với hệ số lần lượt là 2 và 14. Khái niệm về số cân bằng được đưa ra năm 1999 bởi Behera và Panda [4]. Sau đó, rất nhiều tính chất thú vị của số cân bằng được Panda chứng minh trong [9]. Các kết quả này của Behera và Panda đã được trình bày lại trong luận văn của Hoàng Thị Hường [1]. Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n và đặt B0 = 1. Behera và Panda [4] đã chứng minh được dãy {Bn }∞ n=0 được xác định bởi phương trình sai phân Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, ..., (1.6) với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6. Như vậy, ta có {Bn }∞ n=0 = B(6, −1, 1, 6). 6 Phương trình đặc trưng của phương trình (1.6) là λ2 − 6λ + 1 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt √ √ λ1 = 3 + 2 2 và λ2 = 3 − 2 2. Áp dụng công thức (1.5) ta được Bn = λn+1 − λn+1 1 2 , n = 0, 1, 2, ... λ1 − λ2 (1.7) Công thức (1.7) được gọi là công thức Binet cho số cân bằng. 1.3 Số Lucas-cân bằng Như đã trình bày ở phần trước một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nó là nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r). Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n và với quy ước 1 cũng là số cân bằng ta đã thấy rằng dãy {Bn } thỏa mãn điều kiện Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, . . . . Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây cho đến hết chương này chúng ta đặt lại chỉ số sao cho B1 = 1 và B2 = 6. Như vậy dãy {Bn }∞ n=1 được xác định bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n > 2, (1.8) với điều kiện ban đầu là B1 = 1 và B2 = 6. Với chỉ số mới này, công thức Binet (1.7) cho các số cân bằng trở thành Bn = λn1 − λn2 , n = 1, 2, ... λ1 − λ2 (1.9) 7 với λ1 = 3 + √ √ 8 và λ2 = 3 − 8. Behera và Panda [4] cũng đã chỉ ra rằng số n là số cân bằng nếu và chỉ nếu n2 là số tam giác, tức là n2 có dạng 1 + 2 + · · · + m, với một số nguyên dương m nào đó, và điều này cũng tương đương với 8n2 + 1 là số chính phương (xem cụ thể trong [1, Mệnh đề 1.1.1]). Định nghĩa 1.3.1. Nếu Bn là số cân bằng thứ n thì số Cn = p 8Bn2 + 1 được gọi là số Lucas-cân bằng thứ n. Dựa vào định nghĩa của số Lucas-cân bằng ta dễ dàng chứng minh được công thức Binet cho các số này. Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 1.3.2 ([1, Mệnh đề 1.6.1]). Sử dụng các kí hiệu như trên ta có λn1 + λn2 Cn = , n = 1, 2, . . . . 2 (1.10) Sử dụng công thức Binet (1.10) ta có thể chứng minh được các số Lucas-cân bằng được xác định bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Cn+1 = 6Cn − Cn−1 , n > 2, (1.11) với điều kiện ban đầu là C1 = 3 và C2 = 17. Trước khi chứng minh điều này, ta chứng minh bổ đề sau đây: Bổ đề 1.3.3. Sử dụng các kí hiệu như trên ta có Cn Cn−1 = 8Bn Bn−1 + 3. (1.12) Chứng minh. Rõ ràng ta có λ1 + λ2 = 6, √ λ1 − λ2 = 2 8, λ1 λ2 = 1. (1.13) Với các đẳng thức này, biến đổi từng vế của (1.12) ta có Cn Cn−1 λn1 + λn2 λn−1 + λn−1 λ2n−1 + λ2n−1 +6 1 2 1 2 = = 2 2 4 8 và λn1 − λn2 λn−1 λ2n−1 − λn−1 + λ2n−1 +6 1 1 2 2 +3= . 8Bn Bn−1 + 3 = 8 λ1 − λ2 λ1 − λ2 4 Từ đây suy ra đẳng thức (1.12). Định lý 1.3.4. Dãy các số Lucas-cân bằng {Cn } thỏa mãn phương trình sai phân Cn+1 = 6Cn − Cn−1 , n > 2. Chứng minh. Ta có 2 2 Cn+1 = 8Bn+1 +1 = 8(6Bn − Bn−1 )2 + 1 2 +1 = 8.36Bn2 − 12.8Bn Bn−1 + 8Bn−1 2 = 36(8Bn2 + 1) − 12(8Bn Bn−1 + 3) + (8Bn−1 + 1). Sử dụng Bổ đề 1.3.3 ta thu được 2 2 Cn+1 = 36Cn2 − 12Cn Cn−1 + Cn−1 = (6Cn − Cn−1 )2 . Từ đó suy ra điều cần chứng minh. 1.4 Một số tính chất của các số λ1 và λ2 Như ở các phần trên ta đã thấy λ1 = 3 + √ 8 và λ2 = 3 − √ 8 là hai nghiệm của phương trình đặc trưng λ2 − 6λ + 1 = 0. Từ đó ta dễ dàng có được các hệ thức (1.13). Trong mục này, chúng ta sẽ thấy một số tính chất thú vị đối với hai số vô tỷ này và một số mối quan hệ giữa chúng và các số cân bằng cũng như các số Lucas-cân bằng. Trước tiên chúng ta sẽ thấy rằng hai số vô tỷ này cũng thỏa mãn một phương trình dạng hồi quy tương tự như phương trình sai phân xác định các số cân bằng. 9 Mệnh đề 1.4.1. Với mọi số nguyên dương n ta có λn+1 = 6λn1 − λn−1 và λn+1 = 6λn2 − λn−1 1 1 2 2 . Chứng minh. Do λ1 và λ2 là hai nghiệm của phương trình λ2 − 6λ + 1 = 0 nên ta có λ21 = 6λ1 − 1 và λ22 = 6λ2 − 1. Bằng cách nhân cả hai vế của các hệ thức này lần lượt với λn−1 và λn−1 ta thu được 1 2 điều cần phải chứng minh. Các định lý sau đây cho chúng ta các mối quan hệ giữa các số cân bằng với các số vô tỷ λ1 và λ2 . Mối quan hệ đầu tiên chính là công thức Binet cho các số cân bằng. Ở đây ta trình bày chứng minh trực tiếp bằng phương pháp quy nạp cho công thức này. Định lý 1.4.2. Với mọi số nguyên dương n ta có 1 Bn = √ (λn1 − λn2 ), n = 1, 2, . . . . 2 8 Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1 ta có √ √ i 1 1 h √ (λ1 − λ2 ) = √ (3 + 8) − (3 − 8) 2 8 2 8 = 1 = B1 . Giả sử ta có 1 Bi = √ (λi1 − λi2 ), 2 8 với mọi i = 1, 2, . . . , k. Khi đó ta có Bk+1 = 6Bk − Bk−1 10   1 1 k k = 6 √ (λ1 − λ2 ) − √ (λk−1 − λk−1 1 2 ) 2 8 2 8  1  k k−1 = √ (6λk1 − λk−1 ) − (6λ − λ ) 2 1 2 2 8 1 − λk+1 = √ (λk+1 1 2 ). 2 8 Vậy theo nguyên lý quy nạp định lý hoàn toàn được chứng minh. Ta thấy rằng 0 < λ2 < 0, 1716. Do đó, khi n càng lớn thì λn2 càng tiến dần về 0. 1 Điều này chứng tỏ rằng giá trị của Bn xấp xỉ với giá trị √ λn1 . Cụ thể ta có định lý 2 8 sau: Định lý 1.4.3. Với mọi số nguyên dương n, số cân bằng Bn là số nguyên gần nhất với 1 √ λn1 . 2 8 Chứng minh. Theo công thức Binet ta có 1 1 Bn = √ λn1 − √ λn2 . 2 8 2 8 Mặt khác ta có 1 1 1 0 < √ < và 0 < λ2 < . 4 4 2 8 Do đó ta có 1 1 √ λn2 < n+1 , n = 1, 2, . . . . 4 2 8 1 1 Vì n+1 < với mọi số nguyên dương n nên ta suy ra Bn là số nguyên gần nhất với 4 2 1 n 1 √ λ1 . Đặc biệt khi n đủ lớn thì Bn rất gần với √ λn1 . 2 8 2 8 1 Nhận xét 1.4.4. Theo định lý trên Bn là số nguyên gần nhất với √ λn1 . Mặt khác rõ 2 8 ràng 1 Bn < √ λn1 . 2 8 Do vậy ta có 1 Bn = b √ λn1 c, 2 8 trong đó b·c là kí hiệu hàm sàn. 11 Hoàn toàn tương tự, sử dụng công thức Binet của các số Lucas-cân bằng ta có định lý sau: Định lý 1.4.5. Với mọi số nguyên dương n, số Lucas-cân bằng Cn là số nguyên gần 1 nhất với λn1 . Hơn nữa ta có 2 λn Cn = d 1 e, 2 trong đó d·e là kí hiệu hàm trần. Định lý sau đây cho ta chặn trên và chặn dưới của λn1 biểu diễn bởi các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng tương ứng. Định lý 1.4.6. Với mọi số nguyên dương n ta có √ 4 2Bn < λn1 < 2Cn . Chứng minh. Sử dụng công thức Binet cho số cân bằng Bn ta có 1 1 Bn = √ λn1 − √ λn2 . 2 8 2 8 1 Do √ λn2 là số dương nên ta suy ra 2 8 1 Bn < √ λn1 2 8 hay √ 4 2Bn < λn1 . (1.14) Bây giờ sử dụng công thức Binet cho số Lucas-cân bằng Cn ta có Cn = Do λn λn1 + 2. 2 2 λn2 dương nên ta suy ra 2 λn1 < 2Cn . (1.15) Từ các bất đẳng thức (1.14) và (1.15) ta suy ra điều cần phải chứng minh. 12 Trong tài liệu [10], Ray đã chỉ ra các bất đẳng thức √ 4 2Bn < λn1 < Bn+1 . Ở đây, chúng tôi đã chỉ ra cận trên tốt hơn (xấp xỉ hơn) cho λn1 theo số Lucas-cân bằng. Từ các bất đẳng thức này ta thu được hệ quả sau: Hệ quả 1.4.7. Với mọi số nguyên dương n ta có λn−1 1 λn1 λn1 λn+1 1 . < Bn < √ và < Cn < √ 2 4 2 8 2 Dựa vào công thức truy hồi của các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng ta có các chặn khác của Bn và Cn . Cụ thể ta có định lý sau đây: Định lý 1.4.8. Với mọi số nguyên n ≥ 3 ta có 5n−1 < Bn < 6n−1 . Chứng minh. Với n ≥ 2 công thức truy hồi Bn+1 = 6Bn − Bn−1 cho ta Bn+1 < 6Bn . Từ đây suy ra Bn+1 < 6n B1 = 6n . Do đó, với n ≥ 3, ta có Bn < 6n−1 . Mặt khác, với n ≥ 2, ta lại có Bn+1 = 6Bn − Bn−1 = 5Bn + (Bn − Bn−1 ) > 5Bn . 13 Suy ra Bn+1 > 5n B1 = 5n . Do đó, với n ≥ 3, ta có Bn > 5n−1 . Bằng phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự, với chú ý rằng C1 = 3, ta có đánh giá đối với các số Lucas-cân bằng. Định lý 1.4.9. Với mọi số nguyên dương n ≥ 3 ta có 3.5n−1 < Cn < 3.6n−1 . 1.5 Một số mối quan hệ giữa số cân bằng và số Lucas-cân bằng Trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường, tác giả đã trình bày một số đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng. Trong mục này, chúng tôi trình bày lại các kết quả của Ray trong [11] về một số mối quan hệ khác giữa các số này. Định lý 1.5.1. Với mọi n ≥ 1 đẳng thức sau là đúng: B4n − 6 = 2B2n−1 C2n+1 Chứng minh. Sử dụng các đẳng thức (1.13) ta có 2B2n−1 C2n+1 λ2n−1 − λ2n−1 λ2n+1 + λ2n+1 2 1 2 1 =2 λ1 − λ2 2 λ4n − λ4n λ2 − λ22 2 = 1 − 1 λ1 − λ2 λ1 − λ2 = B4n − 6. 14 Định lý 1.5.2. Với n ≥ 1 đẳng thức sau là đúng: B4n+1 + 1 = 2B2n+1 C2n Chứng minh. Sử dụng các đẳng thức (1.13) ta có 2n λ2n+1 − λ2n+1 λ2n 1 + λ2 1 2 λ1 − λ2 2 4n+1 4n+1 λ (λ1 λ2 )n λ1 − (λ1 λ2 )n λ2 − λ2 = 1 + λ1 − λ2 λ1 − λ2 2B2n+1 C2n = 2 = B4n+1 + 1. Định lý 1.5.3. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng: B4n+2 + 6 = 2B2n+2 C2n Chứng minh. Từ (1.13) ta có 2n λ2n+2 − λ2n+2 λ2n 1 + λ2 1 2 λ1 − λ2 2 4n+2 4n+2 2 2 λ1 − λ2 2n λ1 − λ2 = + (λ1 λ2 ) λ1 − λ2 λ1 − λ2 2B2n+2 C2n = 2 = B4n+2 + 6. Hoàn toàn tương tự ta cũng có kết quả sau: Định lý 1.5.4. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng: B4n+3 − 1 = 2B2n+1 C2n+2 . Bổ đề 1.5.5. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng: B2n = 2Bn Cn . 15 Chứng minh. Từ (1.13) ta có λn1 − λn2 λn1 + λn2 λ1 − λ2 2 2n 2n λ − λ2 = 1 λ1 − λ2 2Bn Cn = 2 = B2n . Bổ đề 1.5.6. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng: B4n+1 − 1 = 2B2n C2n+1 . Chứng minh. Tương tự cách chứng minh các kết quả trước, ta có 2n 2n+1 λ2n + λ2n+1 1 − λ2 λ1 2 =2 λ1 − λ2 2 λ1 − λ2 λ4n+1 − λ4n+1 1 2 + (λ1 λ2 )2n = λ1 − λ2 λ1 − λ2 2B2n C2n+1 = B4n+1 − 1. Kết hợp các Bổ đề 1.5.5 và 1.5.6 ta thu được kết quả sau. Hệ quả 1.5.7. Với n ≥ 1 ta có B4n+1 − 1 = 2Bn Cn C2n+1 . Bổ đề 1.5.8. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng: C4n+1 − 3 = 16B2n B2n+1 . Chứng minh. Vì (λ1 − λ2 )2 = 32, ta có 16B2n B2n+1 2n 2n+1 + λ2n+1 λ2n 1 − λ2 λ1 2 = 16 λ1 − λ2 2 4n+1 4n+1 λ − λ2 λ1 + λ2 = 1 + (λ1 λ2 )2n λ1 − λ2 λ1 − λ2 = C4n+1 − 3. 16