Tài liệu Số bernoulli và đa thức bernoulli

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC THIÊM SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC THIÊM SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn 1 Một số quy ước và kí hiệu 2 Mở đầu 2 1 Số Bernoulli 1.1 Khái niệm về số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Khai triển của số Bernoulli và tính chất . . . . . . . 1.3 Phương pháp tính số Bernoulli . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tính số Bernoulli bằng định nghĩa . . . . . . 1.3.2 Tính số Bernoulli bằng phương pháp truy hồi 1.3.3 Tính số Bernoulli thông qua tổng kép . . . . . . . . . . . 2 Đa thức Bernoulli 2.1 Khái niệm về đa thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tính chất của đa thức Bernoulli và đa thức Bernoulli tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Tính chất của đa thức Bernoulli . . . . . . . . . 2.2.2 Tính chất của đa thức Bernoulli tổng quát . . . . . . . . . 4 4 4 12 12 13 13 15 . 15 . 16 . 16 . 20 3 Một số bài toán sơ cấp ứng dụng dãy số Bernoulli và đa thức Bernoulli 27 3.1 Ứng dụng trong tính tổng các phần tử của dãy số . . . . 27 3.1.1 Tổng các lũy thừa bậc k các số tự nhiên . . . . . 27 3.1.2 Tổng đan dấu lũy thừa các số tự nhiên . . . . . . 30 3.2 Ứng dụng trong tính tổng Euler-Maclaurin . . . . . . . . 32 3.3 Ứng dụng trong tổng của chuỗi điều hòa và hằng số Euler-Mascheroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.1 Tổng của chuỗi điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Tính hằng số Euler-Mascheroni . . . . . . . . . . 37 3.4 Ứng dụng trong tổng của chuỗi Zeta và hàm Zeta . . . . 38 i 3.4.1 3.4.2 Tổng của hàm Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Tính giá trị hàm Riemann Zeta . . . . . . . . . . 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 1 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi PGS.TS. Nông Quốc Chinh, người đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề... nhờ đó tôi mới có thể hoàn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin và đặc biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luân văn. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè và những người thân trong gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Những người luôn động viên, chia sẽ mọi khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thòi gian tôi theo học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Thiêm 2 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận văn, ta thống nhất một số kí hiệu như sau: • N là tập các số tự nhiên. • R là tập các số thực. • n! = 1.2.3...n. • n!! = n(n − 2)(n − 4)... • Cnk = n! k!(n−k)! là tổ hợp chập k của n phần tử. • bxc là phần nguyên của số thực x. • dl f dxl = ∂lf dxl = f (l) (x) là đạo hàm cấp l của hàm f (x). 2 Mở đầu Một trong những bài toán rất lý thú trong toán sơ cấp là tính các tổng sau: 1k + 2k + ... + nk =? 1 1 1 + + ... + =? 1k 2k nk 1k − 2k + 3k − 4k + ... =?. Việc giải quyết các bài toán này cần sử dụng đến số Bernoulli. Vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài: Số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Jakob Bernoulli (còn được biết với tên là James hoặc Jacques) (27 tháng 12 năm 1954 – 16 tháng 8 năm 1705) là nhà Toán học người Thụy Sĩ. Cống hiến chủ yếu của ông là trong lĩnh vực hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính biến phân. Trong cuốn sách Ars Conjectandi (1713), ông nghiên cứu tổng lũy thừa cấp r của n số nguyên dương [1]: Sr (n) = 1r + 2r + 3r + ... + nr . Ông đã nghiên cứu các số đặc biệt có liên quan đến tổng này và đưa ra các công thức liên quan đến tổng các lũy thừa. Các số đặc biệt đó được gọi là số Bernoulli. Đồng thời với Bernoulli, đã có nhiều nhà toán học khác trên thế giới nghiên cứu và cùng đưa ra được kết quả tương tự như Bernoulli, ví dụ nhà toán học người Nhật Bản Seki Takakazu, đưa ra công thức và định nghĩa về số Bernoulli là hoàn toàn giống với của Bernoulli. Qiu-Ming Luo, Bai-Ni Guo, Feng Qi, and Lokenath Debnath [7], nghiên cứu về số Bernoulli, đa thức Bernoulli tổng quát và xây dựng các tính chất của nó. Muthukumar [9], nghiên cứu về tính tổng lũy thừa và ứng dụng trong tính hàm Zeta... Mục tiêu của luận văn này là trình bày khái quát về số Bernoulli, 3 đa thức Bernoulli và một số ứng dụng của nó. Cụ thể, luận văn gồm 3 chương như sau: Chương 1 giới thiệu về số Bernoulli, số Bernoulli tổng quát. Các tính chất và công thức tính của nó. Chương 2 giới thiệu về đa thức Bernoulli và đa thức Bernoulli tổng quát. Sau đó là các định lý và chứng minh các công thức liên quan. Chương 3 trình bày về một số ứng dụng của số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Trong đó có ứng dụng về tính tổng các phần tử của dãy số như tổng cấp số nhân, cấp số cộng, tổng lũy thừa các số tự nhiên, tổng đan dấu. Ứng dụng trong công thức tổng Euler–Maclaurin. Ứng dụng trong tổng của chuỗi điều hòa và hằng số Euler–Mascheroni. Cuối cùng là ứng dụng trong tổng của chuỗi Zeta và hàm Zeta. 4 Chương 1 Số Bernoulli 1.1 Khái niệm về số Bernoulli Định nghĩa 1.1.1 Số Bn , n ∈ N, được gọi là số Bernoulli nếu h dn t i Bn = , dtn et − 1 t=0 |t| < 2π. (1.1) Hoặc, thỏa mãn ∞ X Bn t = tn , φ(t) = t e − 1 n=0 n! |t| < 2π. (1.2) Từ (1.1) ta nhận được 1 B0 = 1; B1 = − . 2 Định nghĩa 1.1.2 Cho a, b > 0 và a 6= b. Số Bernoulli tổng quát Bn (a, b) được định nghĩa bởi ∞ X Bn (a, b) t 2π n φ(t; a, b) = t = t , |t| < . b − at n! |lnb − lna| n=0 1.2 Khai triển của số Bernoulli và tính chất Từ (1.2) ta có thể viết ∞ X Bk k t = (e − 1)( t ). k! t k=0 (1.3) 5 Khai triển Taylor của hàm et − 1 ta có t e −1= ∞ j X t j=1 Khi đó j! . ∞ j X ∞ X t Bk k t=( )( t ). j! k! j=1 k=0 Suy ra ∞ j−1 X ∞ X t Bk k 1=( )( t ). j! k! j=1 k=0 Từ ∞ j−1 X t j=1 j! = ∞ X j=0 tj (j + 1)! nên ta có ∞ X 1=( j=0 ∞ X tj Bk k )( t ). (j + 1)! k! k=0 Ta sẽ xét tích của hai chuỗi lũy thừa ∞ ∞ ∞ X ∞ X X X k j ( aj t )( bk t ) = ( aj bk tj+k ). j=0 Ta có k=0 j=0 k=0 ∞ X ∞ ∞ X X X j+k ( aj bk t ) = ( aj bk tj+k ). j=0 k=0 j=0 j+k=r Từ j = r − k, 0 ≤ k ≤ r ta có ∞ X r ∞ X X X j+k ( aj bk t ) = ( ar−k bk tr ). r=0 k=0 j=0 j+k=r Do đó ∞ ∞ ∞ X r X X X j k ( aj t )( bk t ) = ( ar−k bk )tr . j=0 k=0 Vậy ta có thể viết dưới dạng r=0 k=0 (1.4) 6 ∞ ∞ ∞ X r X X aj j X bk k ar−k bk r ( t )( t ) = ( )t j! k! (r − k)! k! r=0 j=0 k=0 = ∞ X k=0 r X ( r=0 k=0 tr Crk ar−k bk ) . r! (1.5) Định lý 1.2.1 (i). Hệ số của tr trong tích ∞ ∞ X X j ( aj t )( b k tk ) j=0 bằng r X k=0 ar−k bk = k=0 (ii). Hệ số của r t r! r X br−k ak . k=0 trong tích ∞ ∞ X aj tj X bk tk ( )( ) j! k! j=0 k=0 bằng r X Crk ar−k bk = k=0 r X Crk br−k ak . (1.6) k=0 Chứng minh: Từ sự phân tích tích của tổng hai chuỗi lũy thừa ở trên, so sánh hệ số của số hạng hai vế ta có điều phải chứng minh.  Định lý 1.2.2 Số Bernoulli thỏa mãn Br = − r−1 X k=0 Crk Bk , r > 0. r−k+1 (1.7) 7 Chứng minh: Từ (1.4) và (1.6) ta có 1=( ∞ X j=0 ∞ 1 tj X Bk k )( t ). j + 1 j! k! k=0 Khi đó r X Crk Bk = 0, r 6= 0 r−k+1 Crk Bk = 1, r = 0. r−k+1 k=0 và r X k=0 Đánh giá Br ta được Br = − r−1 X k=0 Crk Bk . r−k+1 Định lý được chứng minh.  Hệ quả 1.2.3 Ta có  1 1 n−2 Bn−1 = − 1 + Cn B1 + ... + Cn Bn−2 , n (n = 2, 3, 4, ...). (1.8) Từ công thức trên ta có thể tính được những số Bernoulli B1 = − 1 X k=0 1 C1k Bk = − . 2 1 Tương tự ta có thể tính toán được B2 = 16 ; B3 = 0; B4 = − 30 ; B5 = 0; 1 5 1 B6 = 42 ; B7 = 0; B8 = − 30 ; B9 = 0; B10 = 66 ; ... Từ đây ta nhận thấy rằng các số Bernoulli ở vị trí lẻ thì bằng 0. Câu hỏi đặt ra là liệu rằng các số Bernoulli lẻ có thực sự bằng 0 hay không. Để trả lời câu hỏi này ta phát biểu định lý sau: Định lý 1.2.4 Cho n là số lẻ và n ≥ 3, khi đó số Bernoulli Bn bằng 8 không. Tức là B2k+1 = 0, ∀k ≥ 1. Chứng minh: Xét hàm G(t) = (1.9) t et và thay đổi nó để đánh giá số hạng tương ứng B1 . Xét hàm t t + et 2 1 1 = t( t + ) e 2 t t e +1 = ( t ) 2 e −1 G1 (t) = và et + 1 et/2 + 1 = . et − 1 et/2 − 1 Rõ ràng đây là một hàm số lẻ. Do đó hàm G1 (t) là một hàm chẵn. Ta có điều phải chứng minh.  Nhận xét: Với kết quả của Định lý 1.2.4, ta có thể viết ∞ X t Bk k = t et − 1 k! k=0 ∞ t X B2k 2k = 1− + t . 2 (2k)! k=1 Bằng cách viết lại hàm sinh ta có định lý sau: Định lý 1.2.5 Số Bernoulli thỏa mãn biểu diễn B2s = − s−1 X j=1 với điều kiện ban đầu B0 = 1. 2j 2j 2 C2s 2s −1 B2j B2s−2j 2 −1 (1.10) 9 Chứng minh: Ta viết t t 2t = − . et + 1 et − 1 e2t − 1 Khai triển vế phải ta có ∞ ∞ X t 2t Bk k X Bk k k − = t − 2 .t et − 1 e2t − 1 k! k! k=0 k=0 ∞ X Bk = (1 − 2k ) tk k! k=0 ∞ X (2k − 1) = − k=0 Bk k t . k! (1.11) Nhân vế trái với t et −1 ta được t t t2 = 2t et + 1 et − 1 e −1 t 2t . = 2 e2t − 1 (1.12) Khi đó ∞ t2 t 2t t X Bk k k = . = 2 .t . e2t − 1 2 e2t − 1 2 k! k=0 Nhân hai vế với t et −1 ta được t e2t t t 2t . 2t = t .( t − 2t ), 2 e −1 e −1 e −1 e −1 do đó ∞ ∞ ∞ X X t X 2k .tk tj Bi Bk =( Bj )(− (2i − 1) ti .). 2 k! j! i! j=0 i=0 k=0 Áp dụng (1.6) với aj = Bj , bk = −(2k − 1)Bk 10 ta có, hệ số của tr r! cho tích ở vế phải là − r X Cri (2i − 1)Bi Br−i i=0 và vế trái hệ số bằng Br−1 2r−2 . Do đó, nếu r là số chẵn, r = 2s, s > 1 thì vế trái bằng 0 và ta có − 2s X i C2s (2i − 1)Bi B2s−i = 0. i=0 Số hạng với i = 0 là bằng không, số hạng cho i = 1 cũng bằng không vì B2s−1 = 0. Do đó tổng trên bắt đầu từ i = 2 và chỉ khác không khi i chẵn, vì Bi = 0 khi i là số lẻ. Cho i = 2j, khi đó biểu thức trên được viết dưới dạng s X 2j 2j C2s (2 − 1)B2j B2s−2j = 0. j=1 Số hạng khi cho j = s là (22s − 1)B2s . Do đó B2s = − s−1 X 2j C2s j=1 22j − 1 B2j B2s−2j . 22s − 1  Hệ quả 1.2.6 Với mọi n ∈ N, ta có (−1)n−1 B2n > 0. Chứng minh: Đặt bn = (−1)n−1 B2n . Từ (1.10) ta được bn = n−1 X j=1 2j C2n 22j − 1 bj nn−j . 22n − 1 11 Điều kiện ban đầu b1 = 1 6 > 0 suy ra bn > 0, ∀n ∈ N.  Định lý 1.2.7 Với r ≥ 0, số Bernoulli thỏa mãn (r + 2)Br+1 = −(r + 1)Br − r X j Cr+1 Bj Br+1−j . (1.13) j=1 Chứng minh: Đạo hàm của hàm sinh ta được 1 tet d t = − dt et − 1 et − 1 (et − 1)2 điều này cho ta f (t) f 2 (t) f (t) = − f (t) − . t t 0 Do đó ∞ X k=0 ∞ ∞ ∞ r tk−1 X tk−1 X tk X X j tr kBk = Bk − Bk − ( Cr Bj Br−j ). k! k! k! r=0 j=0 r! k=0 k=0 So sánh hệ số của tr ta được r+1 X j Br+1 Br+1 Br 1 = − − C Bj Br+1−j . r! (r + 1)! r! (r + 1)! j=0 r+1 Điều này cho ta rBr+1 = −(r + 1)Br − r+1 X j Cr+1 Bj Br+1−j j=0 và (r + 2)Br+1 = −(r + 1)Br − r X j Cr+1 Bj Br+1−j . j=1 Định lý được chứng minh.  12 Định lý 1.2.8 Số Bernoulli thỏa mãn (2u + 1)B2u = − 2u−1 X 2r C2u B2r B2u−2r . (1.14) j=1 Chứng minh: Định lý này được rút ra trực tiếp từ Định lý 1.2.7 khi thay r = 2u−1.  Nhận xét: Ta có br = (−1)r−1 Br . Khi đó (r + 2)b2r+1 = (r + 1)br + r X j Cr+1 bj br+1−j . j=1 Đây là một chứng minh khác của Hệ quả 1.2.6. Trong (1.13) ta thay r + 1 bởi n ta được (n + 1)Bn = −nBn−1 − n−1 X Cnj Bj Bn−j n ≥ 1. j=1 Ta có n−1 X Cnj Bj Bn−j = j=1 n−2 X Cnj Bj Bn−j + 2nB1 Bn−1 j=2 = n−2 X Cnj Bj Bn−j − nBn−1 . j=2 Khi đó (n + 1)Bn = − n−2 X Cnj Bj Bn−j . j=2 1.3 1.3.1 Phương pháp tính số Bernoulli Tính số Bernoulli bằng định nghĩa Sử dụng định nghĩa h dn t i Bn = dtn et − 1 t=0 13 ta có thể tính được các số Bernoulli. Ví dụ 1.3.1 B0 = lim t−→0 et t =1 −1 d t et − 1 − tet 1 = lim = − . t−→0 dt et − 1 t−→0 (et − 1)2 2 B1 = lim Tuy nhiên, cách tính này rất mất thời gian và công sức vì khi n càng lớn thì khối lượng các phép toán là rất lớn. 1.3.2 Tính số Bernoulli bằng phương pháp truy hồi Ta sẽ tính số Bernoulli thông qua công thức (1.7) Br = − r−1 X k=0 Crk Bk r−k+1 bằng cách thay r lần lượt bằng 2, 3, 4,... Tuy nhiên cách tính này chỉ phù hợp khi tính các số Bernoulli nhỏ, còn với các số Bernoulli lớn thì số lượng quá trình tính sẽ mất nhiều công sức. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng (1.8) để tính truy hồi số Bernoulli một cách đơn giản hơn  1 1 n−2 Bn−1 = − 1 + Cn B1 + ... + Cn Bn−2 , (n = 2, 3, 4, ...). n Ví dụ 1.3.2 1 B1 = − . 2 1 1 B2 = − (1 + 3B1 ) = . 3 6 1 B3 = − (1 + 4B1 + 6B2 ) = 0. 4 1 1 B4 = − (1 + 5B1 + 10B2 + 10B3 ) = . 5 30 1.3.3 Tính số Bernoulli thông qua tổng kép Từ công thức (xem [5]) n k X 1 X Bn = ( (−1)r Ckr rn ). k + 1 r=0 k=0 14 Ví dụ 1.3.3 6  k  X 1 X 1 r r 6 B6 = (−1) Ck r = . k + 1 r=0 42 k=0 B12 k 12   X 691 1 X r r 12 =− (−1) Ck r . = k + 1 r=0 2730 k=0 B16 16  k  X 3617 1 X r r 16 = (−1) Ck r =− . k + 1 r=0 510 k=0 Ta có thể tính trực tiếp một số Bernoulli bất kỳ. Nhưng nói chung khi n lớn dần thì khối lượng các phép tính cũng tăng lên gấp bội. 15 Chương 2 Đa thức Bernoulli 2.1 Khái niệm về đa thức Bernoulli Định nghĩa 2.1.1 Đa thức Bn (x) được gọi là đa thức Bernoulli nếu Bn (x) = h ∂ n text i ∂tn et − 1 t=0 (n = 0, 1, 2, ...), (2.1) Hoặc, thỏa mãn ∞ X Bn (x) text = tn , |t| < 2π, x ∈ R. φ(x, t) = t e − 1 n=0 n! (2.2) Ta có một vài đa thức Bernoulli đầu tiên B0 (x) = 1, B1 (x) = x − 21 , B2 (x) = x2 − x + 16 , B3 (x) = x3 − 32 x2 + 12 x, 1 B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 − 30 , 5 4 5 3 1 5 B5 (x) = x − 2 x + 3 x − 6 x, 1 B6 (x) = x6 − 3x5 + 52 x4 − 12 x2 + 42 . Định nghĩa 2.1.2 Cho a, b, c >0, a 6= b. Đa thức Bn (x; a, b, c) được gọi là đa thức Bernoulli tổng quát nếu h ∂n tcxt i Bn (x; a, b, c) = . ∂tn bt − at t=0 (2.3)