Tài liệu Skkn rèn luyện khả năng tư duy thông qua giải các bài toán đếm bằng cách lập sơ đồ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ MÔN: TOÁN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ MÔN: TOÁN Họ và tên: Phan Hải Bằng - Trần Thị Thủy Tổ: Toán -Tin Điện thoại: 0973489668 Năm học 2021 – 2022 MỤC LỤC 1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài:…………………………………………………………... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu:……………………………………………………… 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu:…………………………………………………….. 2 1.4 Phương pháp nghiên cứu:…………………………………………………... 2 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:………………………………….. 2 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:… ………….. 4 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm trực tiếp…..4 2.3.2. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù…. 10 2.3.3. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp lấy trước rồi xếp sau………………………………………………………………………………..15 2.3.4. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp tạo vách ngăn…18 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:……………………………………………………… 22 3. Kết luận, kiến nghị…………………………………………………………… 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................... 24 1. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài: Toán đại số tổ hợp có vị trí quan trọng trong Toán học, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số, Lý thuyết số mà còn là công cụ đắc lực cho nhiều lĩnh vực toán học khác trong đó có Thống kê - Xác suất một trong ba mạch kiến thức chính của chương trình giáo dục phổ thông 2108. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh hay ngại làm bài tập phần này, đặc biệt là học sinh thuộc diện đại trà bởi khi làm xong một bài toán đếm nào đó các em hay có những đáp số khác nhau. Một phần là do học sinh thường nhầm lẫn giữa các khái niệm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ; phần nữa là khi đứng trước một bài toán đếm học sinh thường lúng túng, không biết giải quyết như thế nào dẫn đến các kết quả sai, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không giám chắc rằng mình đã làm đúng. Xuất phát từ mục đích dạy học phát huy tính tích cực của học sinh nhằm giúp học sinh xây dựng các kiến thức, kỹ năng tư duy tổng kết, hệ thống lại các kiến thức, vấn đề cơ bản vừa mới lĩnh hội. Thì việc sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng đặc biệt là phần Đại số tổ hợp sẽ giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, tư duy theo một sơ đồ cụ thể đối với từng bài toán. Đây là một hoạt động vừa mang tính phân tích, vừa mang tính nghệ thuật. Với mục đích gắn liền với thực tiễn, giáo dục toàn diện và hỗ trợ cho việc dạy và học các môn khác, Đại số tổ hợp đã được đưa vào chương trình lớp 11. Từ đó áp dụng các kiến thức toán học vào đời sống, về việc giải các bài toán về khoa học thực nghiệm. Sách giáo khoa, cũng như sách tham khảo chưa viết nhiều đến những bài toán này mà mới chỉ đưa ra một số bài tập bằng cách áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp…. Thực tế dạng toán này cũng có nhiều trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi …Trong khi đa số học sinh nói chung, học sinh THPT Nam Đàn 2 nói riêng không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ hầu hết các em đều cảm thấy khó khăn khi giải các bài toán này, hoặc là chỉ làm được những bài tập đơn giản còn khi thay đổi thì các em dường như chỉ giải theo cảm tính và cũng không biết kết quả mình tìm ra đúng hay sai. Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy, truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. Ý tưởng “ lập sơ đồ tư duy” hay ngắn gọn là “lập sơ đồ” trong giải bài toán tổ hợp được xây dựng theo quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau. Thông qua đó học sinh lĩnh hội kiến thức nhanh hơn, yêu thích môn Toán và phần Đại số tổ hợp hơn. Vì vậy chúng tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện khả năng tư duy thông qua giải các bài toán đếm bằng cách lập sơ đồ” 1.2. Mục đích nghiên cứu: + Đề xuất một số phương pháp lập sơ đồ trong giải toán tổ hợp để giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán tổ hợp, từ đó giải các bài toán xác 1 suất cũng dễ dàng hơn. Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần tổ hợp xác suất, giúp học sinh trường THPT Nam Đàn 2 yêu thích môn Toán hơn. + Nhằm hưởng ứng ngành giáo dục phát động sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học và đổi mới phương pháp dạy học. Thông qua cách sử dụng sơ đồ tư duy học sinh ghi chép ngắn gọn hơn, hiệu quả hơn. Đồng thời với bài toán tổ hợp cụ thể cũng hình thành “lối mòn” trong tư duy để giải bài toán tổ hợp của các em. 1.3. Đối tượng nghiên cứu: Lập sơ đồ khi dạy phần tổ hợp và giải các bài toán tổ hợp. 1.4. Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài này tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Thông qua các kiến thức trong sách giáo khoa, tôi sử dụng sơ đồ trong khi dạy phần quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Từ đó chia ra các cách tư duy lập sơ đồ để giải quyết các bài toán tổ hợp. 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1. Một số kí hiệu khi vẽ sơ đồ + Quan hệ giữa các trường hợp ngang hàng: + Quan hệ giữa các bước ngang hàng: + Quan hệ giữa bao hàm: 2.1.2. Quy tắc đếm - Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m  n cách thực hiện. Khi dạy ta có thể lập sơ đồ như sau để học sinh dễ hiểu và ghi chép dễ dàng: Từ đó ta có thể mở rộng quy tắc cộng ra nhiều phương án. - Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc 2 2.1.3 Hoán vị - chỉnh hợp- tổ hợp - Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một hoán vị của n phần tử đó. - Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. - Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 3 2.1.4 Nguyên lý bù trừ - Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó: A B  A  B  A B - Cho A , B , C là các tập hợp hữu hạn. Khi đó: A B C  A  B  C  A B  B C  AC  A B C 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: +Thực tế tài liệu viết về chủ đề tổ hợp, xác suất rất nhiều, tuy nhiên trong các tài liệu chủ yếu đưa ra ví dụ và lời giải, chưa hệ thống các dạng toán và phương pháp giải nên học sinh thường nhầm lẫn, khó phân biệt. Hơn nữa chủ đề này là một chủ đề khá khó, số giáo viên nghiên cứu sâu về đề tài này còn ít, nên hiệu quả khi dạy đến mảng kiến thức này chưa cao. Chính vì vậy, dẫn đến học sinh rất lúng túng khi gặp các bài tập này trong các kì thi. + Phần lớn học sinh khi gặp các bài toán tổ hợp kết quả các em làm ra còn theo cảm tính, chưa dám tự tin khẳng định cách làm của mình là đúng. 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề: Quy trình để giải một bài toán đếm bằng sơ đồ như sau: “Tìm hiểu và phân tích đề – Thiết kế công việc – Lập sơ đồ – Trình bày”. Ở bước tìm hiểu đề giáo viên cần phải tạo cho học sinh thói quen đặt câu hỏi “công việc”của bài toán là gì? Thực hiện như thế nào? Và để thiết kế được công việc theo một sơ đồ rõ ràng dễ hiểu thì học sinh phải trả lời được câu hỏi đã đặt ra ở bước tìm hiểu đề. Trong 4 bước trên thì 3 bước đầu là ba bước không chính thức, có thể làm ra giấy nháp hoặc nếu thành thạo có thể nhẩm trong đầu. Tuy nhiên 3 bước này lại đặc biệt quan trọng vì từ đó ta có thể suy luận và trình bày lời giải một cách chính xác. Vì vậy trong đề tài này tôi sẽ trình bày cách hướng dẫn học sinh thiết kế công việc bằng sơ đồ và tính toán để từ đó học sinh có thể trình bày và có lời giải chính xác, khoa học. 2.3.1. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm trực tiếp. Đây là hướng tư duy trong phần lớn các bài toán đếm, đặc điểm của phương pháp này là chúng ta chia nhỏ công việc cần thực hiện thành các phần nhỏ hơn để đếm. Ví dụ 1: Trường THPT Nam Đàn 2 có 47 học sinh giỏi trong đó có 32 học sinh giỏi lớp 12C1 và 15 học sinh giỏi lớp 12C6. Nhà trường cần 1 học sinh giỏi để xét danh hiệu “Học sinh 3 tốt” cấp trung ương. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn. Phân tích: Công việc chính là chọn 1 học sinh giỏi từ lớp 12C1 hoặc lớp 12C6. Sơ đồ của bài toán như sau: 4 Lời giải TH1: Học sinh được chọn ở lớp 12C1 có 32 cách TH2: Học sinh được chọn ở lớp 12C6 có 15 cách Vậy số cách chọn 1 học sinh giỏi là: 32  15  47 cách Ví dụ 2: Có ba hộp đựng bi, hộp thứ nhất đựng 10 viên bi màu xanh, hộp thứ hai đựng 6 viên bi màu đỏ, hộp thứ ba đựng 8 viên bi màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai viên bi có hai màu khác nhau? Phân tích: Công việc của bài toán là chọn ra 2 viên bi khác màu, mà lại có ba loại màu nên phân chia thành 3 nhóm màu: xanh và đỏ; xanh và vàng; đỏ và vàng sau đó ta chọn hai viên bi từ các nhóm màu đó, mỗi màu 1 viên. Sơ đồ của bài toán như sau: Lời giải TH1: Chọn 1 bi màu xanh, 1 bi màu đỏ có: C101 .C61 (cách). TH2: Chọn 1 bi màu xanh, 1 bi màu vàng có: C101 .C81 (cách). TH3: Chọn 1 bi màu đỏ, 1 bi màu vàng có: C61.C81 (cách). Vậy số cách chọn hai viên bi có C101 .C61  C101 .C81  C61.C81  188 (cách). hai màu khác nhau là: 5 Ví dụ 3: Có 6 học sinh gồm 2 học sinh trường A, 2 học sinh trường B và 2 học sinh trường C sắp xếp trên một hàng dọc. Có bao nhiêu cách sắp xếp mà hai học sinh trường C thì một em ngồi giữa hai học sinh trường A và một em ngồi giữa hai học sinh trường B? Phân tích: Ta thấy 6 em học sinh được sắp xếp thành hàng dọc thì 2 học sinh lớp C một em ngồi giữa 2 học sinh trường A, em còn lại ngồi giữa 2 học sinh trường B. Bởi vậy ta sắp xếp 2 em học sinh trường C vào hàng trước, khi đó sẽ tạo ra 4 vị trí được đánh số 1,2,3,4 như sau: 1 C 2 3 C 4 Tiếp đến sắp xếp 2 học sinh trường A vào hàng theo vị trí (1;2) hoặc (3;4), cuối cùng thì sắp xếp 2 học sinh trường B vào hai vị trí còn lại. Sơ đồ của bài toán như sau: Lời giải Xếp 2 học sinh trường C vào hàng có 2! Cách. Khi đó đánh số các vị trí như sau 1 C 2 3 C 4 Xếp 2 học sinh trường A vào hàng có 2.2! cách Xếp 2 học sinh trường B vào hàng có 2! Cách Theo quy tắc nhân có 2!.2.2!.2!16 cách Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 12 điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 9 điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm trên hai đường thẳng a và b đã cho? 6 Phân tích: Để tạo một tam giác cần có 3 điểm phân biệt không thẳng hàng cho nên lấy 1 điểm trên đường thẳng a thì 2 điểm phân biệt còn lại phải lấy trên đường thẳng b hoặc ngược lại Sơ đồ của bài toán như sau: Lời giải TH1: Chọn 1 điểm trên đường thẳng a và 2 điểm trên đường thẳng b có C121 .C92 tam giác TH2: Chọn 2 điểm trên đường thẳng a và 1 điểm trên đường thẳng b có C122 .C91 tam giác Vậy theo quy tắc cộng có C121 .C92  C91.C122  1026 tam giác Ví dụ 5: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3? Phân tích: Số cần tìm có 3 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp A  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 và chia hết cho 3 nên phân chia các số đó thành 3 nhóm: nhóm các chữ số chia hết cho 3 gồm các số 3, 6, 9; nhóm các chữ số chia cho 3 dư 1 gồm các số 1, 4, 7 và nhóm các chữ số chia 3 dư 2 gồm các số 2, 5, 8. Sau đó chọn bộ ba số từ các nhóm trên sao cho tổng các số được chọn chia hết cho 3, rồi sắp xếp ba số đã được chọn thành một số có ba chữ số. Sơ đồ của bài toán như sau: 7 Lời giải Chia tập hợp A  1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm: Nhóm 1 các chữ số chia hết cho 3 gồm 3, 6, 9 Nhóm 2 các chữ số chia cho 3 dư 1 gồm 1, 4, 7 Nhóm 3 các chữ số chia cho 3 dư 2 gồm 2, 5, 8 TH1: Cả ba chữ số được chọn từ nhóm 1 có 3! số TH2: Cả ba chữ số được chọn từ nhóm 2 có 3! số TH3: Cả ba chữ số được chọn từ nhóm 3 có 3! số TH4: Mỗi chữ số được chọn từ mỗi nhóm có C31.C31.C31.3! số Vậy có 3! 3! 3! C31.C31.C31.3!  180 số. Ví dụ 6: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Phân tích: Công việc của bài toán là viết ra được số có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Do đó các số được lập phải lấy từ tập hợp 0;1;2;3;4;5 . Số cần tìm lại phải chia hết cho 15 suy ra nó phải đồng thời chia hết cho 3 và 5. Bởi vậy số cần tìm có dạng abc0 hoặc abc5  a  0  , khi đó từ dấu hiệu chia hết cho 3 ta chọn các bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán rồi viết ra số cần tìm. Lưu ý mỗi bộ ba số a, b, c chọn được để viết ra số cần tìm là một hoán vị của 3 phần tử. Sơ đồ của bài toán như sau: 8 Lời giải Mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Ta lập số từ tập hợp 0;1;2;3;4;5 Số chia hết cho 15 là số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. Do đó tận cùng nó là 0 hoặc 5. TH1: Số cần lập có dạng abc0 với a; b; c  1;2;3;4;5 Tổng a  b  c  0 phải chia hết cho 3  a  b  c chia hết cho 3. Có 4 tập hợp a; b; c có tổng các phần tử chia hết cho 3: 1;2;3;2;3;4;3;4;5;1;3;5 . Suy ra có 4.3!  24 số TH2: Số cần lập có dạng abc5 với a; b; c  0;1;2;3;4 Tổng a  b  c  5 phải chia hết cho 3  a  b  c chia cho 3 dư 1. Có 3 tập hợp a; b; c có tổng các phần tử chia 3 dư 1: 0;1;3;0;3;4;1;2;4 . Suy ra có 2.2.2! 3!  14 số. 9 Vậy có tất cả 24  14  38 số thỏa mãn đề bài. 2.3.2. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp đếm phần bù. Khi phương pháp đếm trực tiếp có nhiều phương án, nhiều công đoạn phức tạp thì người ta có thể sử dụng phương pháp đếm phần bù, nghĩa là bỏ bớt đi một giả thiết quan trọng  P  nào đó gây ra sự phức tạp. Cơ sở của phương pháp đếm này là thay vì đếm số phần tử của tập A trực tiếp thì ta sẽ đếm số phần tử của tập hợp A . Cụ thể bài toán yêu cầu đếm số phương án của một công việc thỏa mãn tính chất T ta thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Đếm số phương án thực hiện công việc (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án. Bước 2: Đếm số phương án thực hiện công việc không thỏa tính chất T ta được b phương án. Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a - b. Trong phương pháp này tôi sử dụng kí hiệu đếm phần bù. này để biểu thị phương pháp Ví dụ 1: Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Hỏi từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? Phân tích: Đây là một bài toán đếm số tự nhiên, ta gọi số cần lập là abcd  a  0  . Bài toán có thể giải trực tiếp bằng cách theo quy tắc nhân, tuy nhiên với điều kiện a  0 trong tất cả các bài toán đếm số tự nhiên thì ta có thể giải bài toán theo phương pháp lấy phần bù đó là đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán mà số 0 có thể đứng đầu và đếm số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán có số 0 đứng đầu. Phương pháp này thường dùng khi tập hợp các chữ số tự nhiên cho trước có chứa chữ số 0. Sơ đồ của bài toán như sau: 10 Lời giải Gọi số cần tìm là abcd ,  a  0  Số các số tự nhiên chẵn mà số 0 có thể đứng đầu là 4.A63 số Số các số tự nhiên chẵn có số 0 đứng đầu là 3.A52 số Vậy số các số tự nhiên cần tìm là 4. A63  3. A52  420 số Ví dụ 2: Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho mà không có cạnh nào là cạnh của đa giác đó. Phân tích: Đây là một bài toán mà nếu ta đếm trực tiếp thì phức tạp và khó thực hiện hơn nhiều khi ta đếm số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác. Sơ đồ của bài toán như sau: Lời giải Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác: C143 tam giác TH 1: Nếu tam giác được chọn có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì có 14 tam giác thỏa mãn. TH 2: Nếu tam giác được chọn có đúng một cạnh là cạnh của đa giác thì có 14.10  140 tam giác thỏa mãn. Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C143  14  14.10   210 tam giác 11 Ví dụ 3: Trong đoàn tình nguyện tham gia hỗ trợ phòng chống dịch COVID-19 tại thành phố Hồ Chí Minh có sự tham gia của 7 bác sỹ tỉnh Nghệ An trong đó có 5 nam và 2 nữ; 8 bác sỹ tỉnh Hà Tĩnh trong đó có 5 nam và 3 nữ và 6 bác sỹ tỉnh Thanh Hóa trong đó có 3 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm 4 bác sỹ đi bệnh viện Chợ Rẫy với yêu cầu phải có đủ ba tỉnh và có cả nam lẫn nữ để tham gia hỗ trợ phòng chống dịch, biết rằng bác sỹ nào cũng có thể tham gia. Phân tích: Trước hết ta đếm trực tiếp số cách chọn nhóm có đủ ba tỉnh. Tiếp đến để đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” ta lại dùng phương pháp đếm phần bù của trường hợp cần đếm là các trường hợp “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh toàn nam” và “4 bác sỹ có đủ ba tỉnh toàn nữ”. Sơ đồ của bài toán như sau: Lời giải Để chọn ra được 4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh Nghệ An, Hà Tĩnh và Thanh Hóa. 12 Số cách chọn 2 bác sỹ N.An, 1 bác sỹ H.Tĩnh , 1 bác sỹ T.Hóa là: C72 .C81.C61 . Số cách chọn 1 bác sỹ N.An, 2 bác sỹ H.Tĩnh , 1 bác sỹ T.Hóa là: C71 .C82 .C61 Số cách chọn 1 bác sỹ N.An, 1 bác sỹ H.Tĩnh , 2 bác sỹ T.Hóa là: C71.C81.C62 Có C72 .C81.C61  C71.C82 .C61  C71.C81.C62  3024 cách. Ta chọn ra được 4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh mà trong đó chỉ có nam hoặc chỉ có nữ. Số cách chọn chỉ có nam: C52 .C51.C31  C51.C52 .C31  C51.C51.C32  375 cách. Số cách chọn chỉ có nữ : C22 .C31.C31  C21.C32 .C31  C21.C31.C32  45 cách. Có 375  45  420 cách. Vậy số cách chọn ra được 4 bác sỹ có đầy đủ cả 3 tỉnh và có cả nam lẫ nữ là: 3024  420  2604 (cách). Ví dụ 4: Có 5 cuốn sách Toán, 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa đôi một khác nhau. Xếp ngẫu nhiêu tám cuốn sách nằm ngang trên một cái kệ. Số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý. Phân tích: Thay vì đi đếm số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý, ta đếm số cách sắp xếp để cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý theo kĩ thuật “buộc” các phần tử và sắp xếp. Cụ thể là xem 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa là một phần tử, 5 cuốn sách Toán là năm phần tử và sắp xếp 6 phần tử, tiếp đến “mở” phần tử đã buộc và hoán vị sao cho sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý. Sơ đồ của bài toán như sau: 13 Lời giải + Xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách khác nhau vào 8 vị trí ta có 8! cách. + Ta xem 2 sách Lý và 1 sách Hóa là 1 phần tử, 5 sách Toán là 5 phần tử thì số hoán vị 6 phần tử là 6! tiếp đến hoán vị 2 sách Lý có 2! . Vậy số cách xếp 8 sách sao cho sách Hóa nằm giữa liền kề hai sách Lý là 6!.2! cách + Số cách sắp xếp 8 cuốn sách thỏa yêu cầu bài toán là: 8! 6!.2!  38880 cách Ví dụ 5: Đội tình nguyện của trường THPT Nam Đàn 2 có 15 người gồm 9 học sinh nam trong đó có Long và 6 học sinh nữ trong đó có Hà. Đoàn trường cần chọn ra một nhóm 5 người tham gia Ngày chủ nhật xanh do huyện đoàn tổ chức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong nhóm có cả nam lẫn nữ đồng thời có Long hoặc Hà. Phân tích: Trong bài này trước hết ta đếm số cách chọn 5 người có cả nam và nữ theo phương pháp đếm phần bù, tức là chọn 5 người toàn nam hoặc 5 người toàn nữ. Tiếp đến đếm 5 người có cả nam lẫn nữ và không có Long và Hà cũng theo phương pháp đếm phần bù. Đây là bài toán có thể giải bằng cách đếm trực tiếp nhưng phép tính sẽ dài hơn và phức tạp hơn. Sơ đồ của bài toán như sau: 14 Lời giải TH1: Chọn nhóm 5 người có cả nam và nữ. - Chọn 5 người bất kì có C155 cách - Chọn 5 người toàn là nam có C95 cách - Chọn 5 người toàn là nữ có C65 cách Suy ra số cách chọn 5 người có cả nam lẫn nữ là C155   C95  C65   2871 cách TH2: Chọn nhóm 5 người có cả nam và nữ, đồng thời không có mặt Long và Hà. - Chọn 5 người bất kì không có Long và Hà là C135 cách - Chọn 5 người toàn nam và không có Long là C85 cách - Chọn 5 người toàn nữ và không có Hà là C55 cách Suy ra số cách chọn 5 người có cả nam lẫn nữ nhưng không có Long và Hà là C135   C85  C55   1230 cách Vậy số cách cần tìm là 2871  1230  1641 cách 2.3.3. Sử dụng sơ đồ để giải bài toán tổ hợp theo phương pháp lấy trước rồi xếp sau. Dùng cho những bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt….Trong những dạng toán này có những điều kiện mà ta phải chọn tập hợp đối tượng thoả mãn một vài điều kiện trước rồi mới sắp xếp để đạt được kết quả sau. Cụ thể: Bước 1: Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính chất mà bài toán yêu cầu. Bước 2: Sắp xếp. Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ? Phân tích: Điều kiện cuả bài toán là: “ 4chữ số” “khác nhau” “khác 0” “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Điều kiện: “ 4chữ số” “khác nhau” không có gì đáng chú ý. Điều kiện “khác 0”chỉ đơn giản giúp ta không phải nghĩ đến trường hợp rắc rối khi số 0 đứng ở vị trí đầu. Điều kịên chủ chôt trong bài toán là: “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ rồi xếp vị trí cho các chữ số đó. Sơ đồ của bài toán là: 15 Lời giải Gọi số cần tìm là abcd ,  a  0  Chọn 2 chữ số chẵn khác 0 có C42 cách, chọn 2 chữ số lẻ có C52 cách và xếp 4 chữ số đã chọn có 4! cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có: C42 . C52 .4! = 1440 số Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau mà trong mỗi số có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ ( các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 đều là số lẻ)? Phân tích: Điều kiện chủ chốt trong bài toán là: “ có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa 2 chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 4 chữ số lẻ, rồi ưu tiên xếp vị trí cho chữ số 0, chọn 2 số lẻ xếp trước và sau chữ số 0, rồi ta xếp vị trí cho 6 số còn lại. Sơ đồ của bài toán như sau: 16 Lời giải Chọn 4 số lẻ có C54 cách. Do các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 đều là số lẻ nên xếp số 0 vào có 7 cách (trừ vị trí đầu và cuối). Chọn 2 số lẻ trong 4 số lẻ đã chọn và xếp đứng hai bên số 0 có A42 cách. Xếp 6 số còn lại có 6! cách. Vậy có C54 .7. A42 .6! = 302400 cách Ví dụ 3: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ? Phân tích: Điều kiện chủ chốt trong bài toán là: “ có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ”, ở bài toán này ta dùng phương pháp lấy trước rồi xếp sau. Mặt khác các số đề bài cho có cả số 0 nên ta sử dụng kết hợp thêm phương pháp đếm phần bù Sơ đồ của bài toán như sau: Lời giải Gọi số cần tìm là abcde,  a  0  TH1: Số cần tìm bao gồm cả số 0 đứng đầu Chọn 2 chữ số chẵn có C42 cách Chọn 3 chữ số lẻ có C43 cách 17