Tài liệu Skkn rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán cực trị trong không gian

MỤC LỤC Nội dung Trang DANH MỤC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI ..................................................................... 3 PHẦN 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 4 PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 6 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN ........................................... 6 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN......................................................................................................... 1.1 Tư duy .................................................................................................................. 6 1.1.1 Khái niệm về tu duy ..................................................................................... 6 1.1.2 Đặc điểm tư duy ........................................................................................... 6 1.1.3 Các thao tác tư duy ....................................................................................... 7 1.1.4 Các loại hình tư duy ..................................................................................... 8 1.2 Một số định hướng giải bài toán cực trị trong không gian................................... 10 1.2.1 Giải bài toán cực trị bằng cách sử dụng các kết quả hình học.................... 10 1.2.2 Sử dụng phương pháp véctơ......................................................................... 10 1.2.3 Sử dụng phương pháp tọa độ........................................................................ 10 1.2.4 Sử dụng phương pháp đại số ....................................................................... 11 3.1 Tổng quan về đề tài nghiên cứu .......................................................................... 11 1.3.1 Trên thế giới ................................................................................................ 11 1.3.2 Ở Việt Nam. ................................................................................................. 12 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN................................................................................................ 13 2.1 Thực tiễn dạy học nội dung cực trị hình học không gian tại trường.................... 13 2.1.1 Điều tra giáo viên ......................................................................................... 13 2.1.2 Điều tra học sinh........................................................................................... 14 2.2 Thực tiễn dạy học nội dung cực trị hình học không gian tại một số trường trên địa bàn tỉnh ....................................................................................................................... 17 2.2.1 Điều tra giáo viên......................................................................................... 17 2.2.2 Điều tra học sinh........................................................................................... 19 CHƯƠNG II. GIẢI PHÁP ĐỂ RÈN LUYỆN TƯ DUY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ....... 21 1 6 I. GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY GIẢI TOAN CỰC TRỊ CHO HỌC SINH ....... 21 1.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ ....................................................................................... 21 1.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp ........................................................ 21 1.1.2 Rèn luyện tư duy tương tự hoá, trừu tượng hóa, khái quát hóa .................... 29 1.2 Rèn luyện tư duy phê phán ..................................................................... 39 1.2.1 Rèn luyện tư duy tự đặt câu hỏi liên quan đến bài toán ...................... 39 1.2.2 Học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả .................... 40 1.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo .......................................................................... 42 1.3.1. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải .................................... 42 1.3.2. Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán mới ................. 1.4 Tư duy sơ đồ......................................................................................................... 45 1.5 Trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng áp dụng vào đời sống. .............................................................................................................................. II. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM THEO HƯỚNG ĐỔI MỚI CTGD 2018............. 2.1 Rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian thông qua phương pháp dạy học nêu và GQVĐ....................................................................................................................... 2.2 Rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian thông qua phương pháp mô hình hóa toán học. ....................................................................................................................... 49 52 55 55 59 2.3 Rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian qua phương pháp dạy học tranh luận khoa học................................................................................................................................. 2.4 Rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian thông qua hoạt động trải nghiệm....... III. KẾT QUẢ ĐỀ TÀI................................................................................................ 3.1 Thực nghiệm Sư phạm ........................................................................................ 3.2 Xử lí kết quả thực nghiệm ................................................................................. 3..3 Kết luận thực nghiệm ......................................................................................... 61 62 64 64 67 68 PHẦN 3. KẾT LUẬN ....................................................................................................... 69 1. Quá trình nghiên cứu của đề tài ................................................................................. 69 2. Ý nghĩa của đề tài ....................................................................................................... 70 3. Kiến nghị đề xuất ....................................................................................................... 71 Tài liệu tham khảo .............................................................................................................. 72 Phụ Lục................................................................................................................................ 73 2 DANH MỤC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI Cụm từ TT Được viết tắt bằng 1 Giáo dục đào tạo GD&ĐT 2 Phương pháp dạy học 3 Dạy học DH 4 Kỹ năng KN 5 Sách giáo khoa SGK 6 Giáo viên GV 7 Học sinh HS 8 Trung học phổ thông 9 Mặt phẳng MP (mp) 10 Đại học – Cao đẳng ĐH - CĐ 11 Năng lực 12 Tốt nghiệp phổ thông TNPT 13 Bất đẳng thức BĐT 14 Phương trình PT (pt) 15 Tư duy TD 16 Chuyên môn CM 17 Cực trị hình học CTHH 18 Cực trị không gian CTKG 19 Chỉ số thông minh IQ 20 Giải quyết vấn đề GQVĐ 21 Chương trình giáo dục Phổ thông PPDH THPT NL 3 CTGD PT PHẦN 1. MỞ ĐẦU Đào tạo những người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng. Bởi vì toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển. Theo điều 7, mục 2 của Luật giáo dục năm 2019: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Trên quan điểm chung về phương pháp dạy học như vậy, việc dạy học Toán ở trường THPT hiện nay là làm cho học sinh học tập một cách tích cực, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, hình thành và phát triển được tư duy linh hoạt ở các em. Một trong những mục tiêu của chương trình THPT mới là “phát triển NL tư duy. Phát triển khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lí và suy luận lôgic; khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác; phát triển trí tưởng tượng không gian; các phẩm chất tư duy, đặc biệt là tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo”. Trong việc tiếp cận chương trình trung học phổ thông mới, việc rèn luyện tư duy, kỹ năng cho học học sinh có vai trò quan trọng vì đó là một trong các mục tiêu dạy học. Đổi mới phương pháp giảng dạy để thích hợp với chương trình trung học phổ thông mới, là việc thay vì nặng về các kiến thức hàn lâm mà cần chú trọng đến việc giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Rèn luyện tư duy, kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo. Phát triển tư duy cho học sinh, để gây hứng thú học tập, từ đó yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu. Thực tế, không phải trẻ thông minh thì tự khắc tư duy giỏi; ngược lại, trẻ kém thông minh có thể không bao giờ tư duy giỏi; trẻ thông minh không cần kỹ năng tư duy... Tuy nhiên, tiến sĩ Robert Sternberg - chuyên gia trí tuệ con người nổi tiếng 4 thế giới với khái niệm “Trí tuệ thành công” khẳng định: “Chỉ số thông minh (IQ) cao, kết quả học tập tốt hoặc tấm bằng đại học danh giá vẫn chưa đủ. Nếu như bạn không có tư duy sáng tạo thì sẽ rất khó khăn để bạn thành công”. May mắn hơn trí thông minh thiên bẩm, kỹ năng tư duy có thể học được, thậm chí thành thục nếu kiên trì rèn luyện thông qua các phương pháp khoa học, trong đó Toán học là phương pháp gần gũi và hữu hiệu. Bài toán cực trị học sinh có thể gặp trong quá trình học tập, trong thực tế đời sống, trong các đề thi tuyển sinh, đề thi TNPT, đề thi dành cho học sinh giỏi. Đa phần học sinh thường ngại tiếp cận, giải quyết bài toán cực trị nói chung, bài toán cực trị hình học trong không gian nói riêng. Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản, thiếu tự tin khi học chủ đề này. Trong khi đó bài toán về cực trị lại là một vấn đề quan trọng không những trong chương trình học, trong các đề thi tốt nghiệm, thi học sinh giỏi hằng năm mà còn giải quyết rất nhiều các bài toán trong thực tế của đời sống đo đó cần có hướng ôn tập tốt vấn đề này. Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học không gian, đặc biệt là phần cực trị hình học người giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước, rèn luyện cho các em các kỹ năng để tìm ra hướng giải cho từng loại bài toán và để các em tự làm được chứ không áp đặt kết quả hoặc cách làm cho học sinh. Từ trước đến nay, đã có một số tài liệu, sách viết cũng như một số thầy cô giáo và học sinh đã nghiên cứu về phần “cực trị hình học không gian”. Tuy nhiên các tác giả đó chủ yếu đưa ra một số định hướng, một số phương pháp để tìm cực trị nhưng việc làm sao để hình thành và rèn luyện cho học sinh tư duy để giải toán cực trị, tức là việc rèn luyện cho học sinh có nhiều kỹ năng khác nhau để tìm cực trị, việc đưa ra hướng tiếp cậv, quy lạ về quen đối với bài toán này thì nhiều giáo viên và tác giả của các tài liệu đó vẫn chưa đáp ứng được cho người học và người đọc. Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán cực trị trong không gian.”. Việc đưa rèn luyện tư duy sẽ được phát triển và tự phát triển nhiều năng lực như năng lực giao tiếp; năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo,… Đó cũng là những năng lực chung và năng lực đặc thù của môn Toán mà giáo viên cần hình thành cho học sinh, nhằm đáp ứng được yêu cầu đặt ra của chương trình giáo dục phổ thông mới. Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi trình bày những kinh nghiệm cá nhân về rèn luyện cho học sinh tư duy, rèn các kỹ năng giải toán. Nhằm giúp học sinh phát huy được tính sáng tạo, phát huy được các năng lực và phẩm chất của mình. Qua đây, tôi mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng môn học Toán, hình thành cho học sinh những năng lực chung và năng lực chuyên biệt trong môn Toán nhằm đáp ứng yêu cầu định hướng của chương trình giáo dục phổ thông mới. 5 PHẦN II. NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tư duy 1.1.1 Khái niệm về tư duy Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”. 1.1.2 Đặc điểm tư duy Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau: + Tính có vấn đề của tư duy. Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề. Đó là những tình huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và những phương tiện, phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên không đủ để đạt được mục đích đó. Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân, nghĩa là phải xây dựng được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có nhu cầu tìm kiếm. + Tính gián tiếp của tư duy. Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ. Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc, các sự kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Mặt khác những phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh nghiệm cá nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúp 6 chúng ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giác chúng một cách trực tiếp được. + Tính trừu tượng và khái quát của tư duy. Tư duy có khả năng tách trừu tượng khỏi sự vật hiện tượng, những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại những thuộc tính thuộc bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ sở đó khái quát các sự vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộc tính bản chất vào một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chất trừu tượng hóa và khái quát hóa. Nhờ đặc điểm này mà con người có thể nhìn vào tương lai. + Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ. Tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện biểu đạt các quá trình và kết quả của tư duy. Tư duy của con người không thể tồn tại ngoài ngôn ngữ được, ngược lại ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào tư duy. Tư duy và ngôn ngữ thống nhất với nhau nhưng không đồng nhất với nhau không thể tách rời nhau được. + Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Mối quan hệ này là mối quan hệ hai chiều: Tư duy được tiến hành trên cơ sở những tài liệu nhận thức cảm tính mang lại, kết quả của tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thức trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính. Những đặc điểm trên đây cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triển lịch sử - xã hội mang bản chất xã hội. 1.1.3 Các thao tác của tư duy a. Các giai đoạn hoạt động của tư duy Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người. Tư duy là một hoạt động trí truệ có các giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra 7 b. Các thao tác tư duy Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy. Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ, thao tác tư duy là những quy luật bên trong của tư duy. Có các thao tác sau: + Phân tích và tổng hợp: Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. + So sánh và tương tự: So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng. Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối tượng kia. + Trừu tượng hóa: Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động). + Khái quát hóa và đặc biệt hóa: Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa. Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất. 1.1.4 Các loại hình tư duy Trong quá trình học thì cái mà học sinh lĩnh hội được đó là cách tư duy. Qua quá trình tư duy con người ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh hội, mục đích cần đạt được và con đường tối ưu đạt được mục đích đó. Khi có kỹ năng tư duy thì người học có thể vận dụng để nghiên cứu các đối tượng khác. Điều cần thiết trong tư duy là nắm được bản chất của sự vật, hiện tượng từ đó vận dụng vào các tình huống khác nhau một cách sáng tạo. Thông qua hoạt động tư duy người học có thể phát hiện ra vấn đề và đề xuất hướng giải quyết; biết phân tích, đánh giá các 8 quan điểm, các phương pháp của người khác đồng thời đưa ra ý kiến chủ quan, nêu ra lí do, nội dung để bảo vệ quan điểm của mình. Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy: + Tư duy độc lập. Trong quá trình học tập, học sinh có thể được rèn luyện tư duy độc lập khi được thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình. Từ đó gây hứng thú học tập cho học sinh đồng thời tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên theo đúng quy luật của quá trình nhận thức. Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. + Tư duy logic. Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật và hình thức, không phạm phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn. Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic. + Tư duy trừu tượng. Phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng. Tư duy trừu tượng được biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở việc nắm vững bản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một cách sáng tạo vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn. + Tư duy biện chứng. Tất cả các sự vật và hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện chứng. Do đó, cần xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng, có tính quy luật. Việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng là một nhiệm vụ của môn học. + Tư duy phê phán. Trong quá trình học tập, tư duy phê phán sẽ giúp cho người học luôn tìm được hướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh rập khuôn, máy móc. + Tư duy sáng tạo. Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất trong quá trình tư duy, việc tư duy sáng tạo giúp cho người học không bị gò bó trong không gian tri thức của người thầy đặt ra. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. 9 1.2 Một số định hướng giải bài toán cực trị trong không gian. Trong các bài toán hình học, có các loại bài toán có nội dung như sau: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích, thể tích ...) có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Đó là các bài toán cực trị hình học, nó hấp đẫn học sinh bởi vấn đề đặt ra mang tính thực tiễn: Đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất..., chính là những cái tối t̛u thường gặp trong đời sống và kĩ thuật. Đường lối tổng quát giải bài toán cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miềm D sao cho biểu thức có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta phải thực hiện 2 bước sau: Bước 1. Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f  m (hoặc f  m ), với m là hằng số. Bước 2. Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f  m . 1.2.1 Giải bài toán cực trị bằng cách sử dụng các kết quả hình học. Vận đụng các kết quả hình học cơ bản để so sánh trực tiếp f với một đại lượng không đổi cho trước. Sau đây là một vài kết quả cơ bản: a. A, B, C : AB  AC  BC . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi theo thứ tự đó. b. Nếu vuông tại thẳng hàng thì: AB  BC và AC  BC . c. Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại. d. Trong tất cả các đoạn thẳng vẽ từ một điểm đến mặt phẳng   (hoặc đường thẳng d) không chứa điểm thì đoạn vuông góc là đoạn thẳng ngẳn nhất. e. Đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn thẳng ngẳn nhất nối liền hai điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng đó. 1.2.2 Sử dụng phương pháp véctơ Một số bài toán cực trị hình học được giải gọn hơn nếu ta biết sử dụng công cụ vectơ thích hợp. Ngoài nhửng kiến thức quen thuộc đã học ở bậc THPT như các tính chất, các phép biến đổi vectơ, bất đẳng thức vectơ và các hệ thức vectơ trong tam giác..., chúng ta cần biết thêm khái niệm và các tính chất của trọng tâm một hệ điểm, công thức Lagrange Jacobi, tâm tỉ cự của một hệ điểm, định lí "con nhím " cho khối tứ diện... 1.2.3 Sử dụng phương pháp tọa độ Để giải bài toán cực trị trong hình học giải tích ta có thể xét chúng trong hệ trục tọa độ afin hoặc hệ tọa độ Descartes vuông góc để giải toán theo các bước sau: 10 Bước 1. Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết. Bước 2. Thiết lập biểu thức điều kiện (nếu có). Thiết lập biểu thức giải tích cho đối tượng cần tìm cực trị. Bước 3. Lựa chọn phương pháp tìm cực trị, thông thường là: + Sử dụng đánh giá biểu thức. + Phương pháp tam thức bậc hai. + Sử dụng bất đẳng thức như BĐT tam giác, BĐT Cauchy,... + Sử dụng đạo hàm. 1.2.4 Sử dụng phương pháp đại số Việc vận dụng phương pháp đại số vào giải bài toán cực trị thường theo các bước sau: Bước 1: Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn. Bước 2: Biểu thị các yếu tố hình học theo ẩn. Bước 3: Từ các mối quan hệ hình học lập pt (hệ pt). Bước 4: Lựa chọn phương pháp thích hợp để tìm cực trị như sử dụng các BĐT, đánh giá biểu thức, sử dụng đạo hàm... 1.3 Tổng quan về đề tài nghiên cứu 1.3.1 Trên thế giới Năm 1956, tại Hội nghị quốc tế lần thứ XIX về giáo dục toán học (từ 9 đên 17 tháng 7 năm 1956) do UNESCO triệu tập nêu rõ dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông phải đạt các mục tiêu: “Phát triển tư duy, nhận thức trực giác và trí tưởng tượng; Rèn luyện phẩm chất (khả năng tập trung chú ý, thói quen trật tự, ki luật trong thực hiện công việc, hình thành một tinh thần khoa học, hứng thú nghiên cứu, ...); Rèn luyện tư duy thuật toán để hiểu được các vấn đề kinh tế, kỹ thuật và đời sống xã hội; Cung cấp nền tảng văn hóa chung cơ bản của một con người hiện đại; Chuẩn bị cho việc học trong các trường đại học về các khoa học chính xác và khoa học kĩ thuật”. Trong Mục tiêu chương trình giáo dục môn toán trong giáo dục PT của các nước trên thế giới đều hướng tới rèn luyện tư duy toán học cho học sinh. Cụ thể: Mục tiêu giáo dục của Trung Quốc: Nhận ra các kết nối giữa các kiến thức toán học, giữa Toán học và các môn học khác, liên hệ giữa Toán học và đời sống, biết sử dụng các cách tư duy toán học để suy nghĩ, để nâng cao khả năng nêu vấn đề, phân tích và giải quyết vấn đề. 11 Mục tiêu giáo dục của Liên Bang Nga: Nắm vững hệ thống kiến thức Toán học cần thiết để nghiên cứu các môn học liên quan và hoạt động thực tiễn; Nhận biết Toán học như một phương thức mô tả và nhận thức hiện thực khách quan; Nắm vững kĩ năng tư duy logic và tư duy thuật toán. Mục tiêu giáo dục của New Zealand: Phát triển niềm tin vào giá trị và tính hữu dụng của Toán học, nuôi dưỡng niềm tin vào khả năng toán học của mình, khuyến khích sự quan tâm và sáng tạo trong Toán học; Phát triển các kĩ năng, khái niệm, sự hiểu biết và thái độ giúp học sinh tự tin đối phó với các tình huống toán học của cuộc sống hàng ngày; Phát triển một loạt các phương pháp tiếp cận để giải quyết vấn đề liên quan đến Toán học, phát triển khả năng suy nghĩ và đưa ra lý do hợp lý; Có nền tảng để có thể tiếp tục nghiên cứu trong Toán học hoặc các lĩnh vực học tập khác có liên quan nhiều đến Toán học; giúp nuôi dưỡng và phát triển tài năng toán học. Như vậy các nước trên thế giới đều chú trọng đến việc phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học toán. 1.3.2 Ở Việt Nam Một trong những mục tiêu giáo dục môn toán THPT ở Việt Nam là: Phát triên NL tu duy. Phát triển khả năng quan sát, dự đoán, suy luận hợp lí và suy luận lôgic; khả năng diễn đạt chính xác, rõ ràng ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác; phát triển trí tưởng tượng không gian; các phẩm chất tư duy, đặc biệt là tư duy linh hoạ, độc lâp và sáng tao. Việc phát triển và rèn luyện tư duy cho học sinh là điều không thể thiếu trong quá trình dạy học toán, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán cực trị trong không gian. Nếu học sinh biết vận dụng phần cực trị trong không gian vào toán học cũng như thực tế đời sống thì sẽ làm tăng thêm năng suất lao động, tiết kiệm chi phí. Tăng sự sáng tạo đáp ứng được yêu cầu về chất lượng lao động trong thời đại 4.0. Cũng do tầm quan trọng của việc ứng dụng của cực trị hình học do đó ở Việt Nam các đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh ĐH – CĐ môn toán thường có câu cực trị hình học không gian, trong các đề thi HSG các cấp thường cũng có có câu cực trị hình học không gian. Cũng có một số tác giả trong nước có đề cập đến các định hướng để giải về cực trị không gian tuy nhiên gần như chưa có tác giả nào đề cập đến hướng phát triển và rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán cực trị không gian. 12 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN 2.1 Thực tiễn dạy học nội dung cực trị hình học không gian tại trường 2.1.1 Điều tra giáo viên Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung cực trị hình học không gian tại trường THPT Anh Sơn 1. Tôi đã tiến hành khảo sát các GV dạy toán tại trường thông qua mẫu google. Với nội dung khảo sát về việc rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian (xem phụ lục 1). (https://docs.google.com/spreadsheets/d/1bY2NNFiyIJRQW126gHm5K3IA0XMbZ DAvTUhFHfESBFg/edit?usp=sharing) Quá trình điều tra thu được kết quả như sau: Bảng 1.1. Đội ngũ giáo viên toán của một số trường Số lượng Giáo viên 14 Tuổi nghề Hệ đào tạo 1 –10 10 –20 Trên 20 CĐ 1 8 5 ĐH 0 8 Trình độ chuyên môn Trên ĐH TB 7 học 2 Khá Giỏi 4 7 Qua điều tra trên cho thấy một số giáo viên có thâm niên công tác lâu năm nên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy. Do đó trình độ các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên, cũng có giáo viên trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. 13 Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy cực trị hình học không gian của giáo viên trường chúng tôi thu được kết quả như sau: Bảng 1.2. Đánh giá về nội dung “cực trị hình học không gian” trong chương trình Tên TT Nội dung khảo sát Thường xuyên sử dụng Số lượng Tỉ lệ Thỉnh thoảng sử dụng Số lượng Tỉ lệ Ít sử dụng Số lượng Tỉ lệ Chưa bao giờ sử dụng Số lượng Tỉ lệ (người) (%) (người) (%) (người) (%) (người) (%) 1 2 3 4 Mối liên hệ giữa thực tiễn với cực trị hình học Rèn luyện tư duy toán học cho HS Tầm quan trọng của CTKG Giảng dạy CTKG 5 Áp dụng CTKG vào thực tế 6 Rèn luyện tư duy giải toán CTKG 7 50 5 36 2 14 0 0 12 86 2 14 0 0 0 0 7 50 5 36 1 7 1 7 7 50 2 14 3 21 2 14 7 50 3 21 5 36 2 14 7 50 5 36 1 7 1 7 Kết quả điều tra cho thấy phần lớn giáo viên biết được toán học có rất nhiều mối liên hệ với thực tiễn. Việc rèn luyện tư duy giải toán nói chung cho học sinh là rất cần thiết. Trong quá trình dạy học giáo viên cần phải phát triển và rèn luyện tư duy cho HS Tuy nhiên nhiều giáo viên chưa nhận thấy tầm quan trọng của phần cực trị hình học không gian cũng như nhiều giáo viên chưa nhận thấy được ứng dụng của cực trị không gian trong thực tiễn đời sống. Điều đó làm cho nhiều giáo viên khi 14 giảng dạy thường “e, ngại”, “không coi trọng” phần cực trị không gian qua đó không hình thành và rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian cho học sinh. 2.1.2 Điều tra học sinh Để thấy được thực trạng việc học nội dung cực trị hình học không gian trong các trường THPT ở Nghệ An, tôi khảo sát một số học sinh một số lớp trong trường thông qua biểu mẫu trên google. (phụ lục 2). (https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GmJIhPHOuenbKMctOAgICaXyJ M89KNzX8EYSuh-FRVU/edit?usp=sharing). Bảng 1.3. Thống kê kết quả học tập môn toán của học sinh Số thứ tự Lớp Sĩ số Kết quả học tập Khá – Giỏi Trung bình Yếu - Kém 1 12T1 42 42 0 0 2 11T1 38 38 0 0 Qua điều tra cho thấy học sinh trường phần lớn có lực học khá – giỏi. Bảng 1.4. Đánh giá môn Toán và nội dung “Cực trị hình học không gian” 15 Số thứ tự 1 2 3 4 5 Lớp Nội dung Tính hứng thú học tập Mức độ kiến thức Tầm quan trọng Thời lượng làm bài tập Áp dụng vào thực tế đời sống 12T1 11T1 Hứng thú 27 21 Bình thường 11 14 Không hứng thú 3 3 29 31 11 7 2 0 Rất quan trọng 14 7 Bình thường 26 28 Không quan trọng 2 3 Thường xuyên 20 12 Thỉnh thoảng 18 24 Không bao giờ 4 2 Thường xuyên 20 21 Thỉnh thoảng 18 14 Không bao giờ 4 3 Khó Bình thường Dễ Kết quả điều tra trên cho thấy học sinh có hứng thú học tập phần cực trị hình học không gian tuy nhiên mức độ kiến thức nội dung này được đánh giá là khó so với năng lực các em học sinh. Các em học sinh đã nhận thấy được “Cực trị không gian” có ứng dụng lớn trong thực tiễn. Qua hoạt động khảo sát và cho các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy các em học sinh phần lớn đang “ngại” giải các bài toán về cực trị trong không gian thuộc chương trình lớp 11. Một trong những lý do đó là phần lớn các em học “vẹt” thiếu 16 kiến thức cơ bản, thiếu sự tuy duy nên không nắm vững các phương pháp tìm cực trị, nhiều em chưa vẽ được hình nhiều em thiếu các kỹ năng để giải toán, nhiều em không nắm vững được các phương pháp tìm cực trị. Bên cạnh đó cũng nhiều em học sinh không thường xuyên áp dụng và giải các bài toán thực tế, do đó đối với bài toán thực tế gắn thêm yếu tố cực trị nữa làm cho các em gặp không ít khó khăn. 2.2 Thực tiễn dạy học nội dung cực trị hình học không gian tại một số trường trên địa bàn tỉnh 2.1.2 Điều tra giáo viên Để thấy rõ hơn thực trạng dạy và học nội dung cực trị hình học không gian trong các trường THPT ở Nghệ An, tôi khảo sát một số giáo viên dạy toán THPT trên địa bàn tỉnh thông qua biểu mẫu trên google. Với nội dung ở Phụ lục 1. (https://docs.google.com/spreadsheets/d/1bY2NNFiyIJRQW126gHm5K3IA0XMbZ DAvTUhFHfESBFg/edit?usp=sharing) Quá trình điều tra thu được kết quả như sau: Bảng 1.1. Đội ngũ giáo viên toán của một số trường Số lượng Giáo viên 56 Trình độ chuyên môn Tuổi nghề Hệ đào tạo 1 –10 10 –20 Trên 20 CĐ ĐH Trên ĐH TB Khá Giỏi 5 37 14 0 34 22 họ 18 21 17 17 Qua điều tra trên cho thấy một số giáo viên có thâm niên công tác lâu năm nên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy. Do đó trình độ các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững. Tuy nhiên, cũng có giáo viên trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy cực trị hình học không gian của giáo viên trường chúng tôi thu được kết quả như sau: Bảng 1.2. Đánh giá về nội dung “cực trị hình học không gian” trong chương trình Tên TT Nội dung khảo sát Thường xuyên sử dụng Số lượng Tỉ lệ Thỉnh thoảng sử dụng Số lượng Tỉ lệ Ít Chưa bao giờ sử dụng sử dụng Số lượng Tỉ lệ (người) (%) (người) (%) (người) (%) 1 2 3 4 5 6 Mối liên hệ giữa thực tiễn với cực trị hình học Rèn luyện tư duy toán học cho HS Tầm quan trọng của CTKG Giảng dạy CTKG Áp dụng CTKG vào thực tế Rèn luyện tư duy giải toán CTKG Số lượng Tỉ lệ (người) (%) 34 61 22 39 0 0 0 0 36 64 20 36 0 0 0 0 8 14 14 25 22 39 12 22 4 7 14 25 26 46 12 22 8 14 14 25 22 39 12 22 8 14 14 25 22 39 12 22 Kết quả điều tra cho thấy phần lớn giáo viên biết được toán học có rất nhiều mối liên hệ với thực tiễn. Việc rèn luyện tư duy giải toán nói chung cho học sinh là rất cần thiết. Trong quá trình dạy học giáo viên cần phải phát triển và rèn luyện tư duy cho HS 18 Tuy nhiên nhiều giáo viên chưa nhận thấy tầm quan trọng của phần cực trị hình học không gian cũng như nhiều giáo viên chưa nhận thấy được ứng dụng của cực trị không gian trong thực tiễn đời sống. Điều đó làm cho nhiều giáo viên khi giảng dạy thường “e, ngại”, “không coi trọng” phần cực trị không gian qua đó không hình thành và rèn luyện tư duy giải toán cực trị không gian cho học sinh. 2.1.2 Điều tra học sinh Để thấy được thực trạng việc học nội dung cực trị hình học không gian trong các trường THPT ở Nghệ An, tôi khảo sát một số học sinh một số trường thông qua biểu mẫu trên google. (phụ lục 2). (https://docs.google.com/spreadsheets/d/1GmJIhPHOuenbKMctOAgICaXyJ M89KNzX8EYSuh-FRVU/edit?usp=sharing). Bảng 2.1 Điều tra từ google mẫu. Bảng 2.2. Đánh giá môn Toán và nội dung “Cực trị hình học không gian” TT 1 Nội Dung Tính hứng thú học tập Mức độ Số lượng Tỉ lệ (%) Hứng thú 27 66 Bình thường 11 27 Không hứng thú 3 7 19 Khó 2 Mức độ kiến thức Bình thường Dễ 3 4 5 Tầm quan trọng Thời lượng làm bài tập Áp dụng vào thực tế đời sống 29 71 10 24 2 5 Rất quan trọng 14 34 Bình thường 26 63 Không quan trọng 1 3 Thường xuyên 20 49 Thỉnh thoảng 18 44 Không bao giờ Thường xuyên Thỉnh thoảng 3 20 18 7 49 44 Không bao giờ 4 7 Kết quả điều tra trên cho thấy học sinh trường có hứng thú học tập phần cực trị hình học không gian tuy nhiên mức độ kiến thức nội dung này được đánh giá là khó so với năng lực các em học sinh. Các em học sinh đã nhận thấy được “Cực trị không gian” có ứng dụng lớn trong thực tiễn. Qua hoạt động khảo sát và cho các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy các em học sinh phần lớn đang “ngại” giải các bài toán về cực trị trong không gian thuộc chương trình lớp 11. Một trong những lý do đó là phần lớn các em học “vẹt” thiếu kiến thức cơ bản, thiếu sự tuy duy nên không nắm vững các phương pháp tìm cực trị, nhiều em chưa vẽ được hình nhiều em thiếu các kỹ năng để giải toán, nhiều em không nắm vững được các phương pháp tìm cực trị. Bên cạnh đó cũng nhiều em học sinh không thường xuyên áp dụng và giải các bài toán thực tế, do đó đối với bài toán thực tế gắn thêm yếu tố cực trị nữa làm cho các em gặp không ít khó khăn. Trong quá trình làm bài kiểm tra tôi nhận thấy một số em không vẽ được hình, một số em thì không biết cách chuyển đổi giả thiết từ các yếu tố thực tế, một số em khi chuyển đổi được đưa về được biểu thức thì không tìm được cực trị. Do đó nhiều em đã không giải được bài toán này. Sau khi có kết quả của sự khảo sát điều tra. Tôi đã đưa ra một số giải pháp để giúp các em tự tin hơn, qua đó rèn luyện tư duy giải toán cực trị hình học nói riêng cũng như tư duy nói chung. 20