Tài liệu Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán học Mã ngành: 9460101 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TS. HÀ BÌNH MINH 2. TS. PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các thầy là TS. Hà Bình Minh và TS. Phan Xuân Thành. Tất cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào. Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2019 Thay mặt Tập thể hướng dẫn khoa học TS. Hà Bình Minh Tác giả Chu Bình Minh i LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hà Bình Minh, TS. Trần Xuân Tiếp và TS. Phan Xuân Thành, những người thầy mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học. Các thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy đam mê và thú vị. Các thầy luôn tạo cho tôi những thử thách, giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, và sáng tạo. Đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ những người thầy của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy. Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH. Đinh Nho Hào - chủ trì seminar Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh - chủ trì seminar Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy - chủ trì seminar Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và các thành viên của các seminar này đã tạo điều kiện cho tôi được báo cáo và đã nhận được nhiều góp ý quý báu. Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình viết luận án. Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn. Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . vi DANH SÁCH BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DANH SÁCH HÌNH VẼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9 1.1 Một số phép phân tích ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Hệ động lực tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Hàm truyền của hệ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Tính điều khiển được và tính quan sát được của hệ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Phương trình ma trận Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Hệ tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.1 Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính liên tục . . . . . . 19 1.5.2 Bài toán rút gọn mô hình cho hệ tuyến tính rời rạc . . . . . . . 21 1.3.4 Chương 2. BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI XỨNG 22 2.1 Phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Biểu diễn cân bằng của hệ tuyến tính liên tục ổn định . . . . . 22 2.1.2 Rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định theo phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 24 Rút gọn hệ tuyến tính rời rạc ổn định theo phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 25 2.2 2.3 So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt modal . . . 28 2.2.1 Biểu diễn modal của hệ tuyến tính liên tục ổn định . . . . . . 28 2.2.2 Rút gọn hệ tuyến tính liên tục theo phương pháp chặt modal . 29 2.2.3 Hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng SISO . . . . 29 2.2.4 So sánh phương pháp chặt cân bằng và phương pháp chặt modal 34 2.2.5 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt cân bằng từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Phương pháp chặt cân bằng từng phần . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 So sánh phương pháp chặt cân bằng và phương pháp chặt cân bằng từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 35 41 So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1 Ánh xạ phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2 Phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính . . 46 2.4.3 So sánh phương pháp chặt cân bằng với phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . 48 2.4.4 Phương pháp GSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.5 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Chương 3. BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG ỔN ĐỊNH 60 3.1 Hệ tuyến tính không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.2 Hệ tuyến tính liên tục β -ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Một số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính không ổn định . . . . . 64 3.2.1 Phương pháp phân rã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Phương pháp rút gọn Zhou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.3 Phương pháp chặt cân bằng cho hệ tuyến tính rời rạc không 3.2 ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 3.3 67 Phương pháp chặt cân bằng cho hệ tuyến tính liên tục không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Phương pháp BGSP cho hệ tuyến tính không ổn định . . . . . . . . . 72 3.3.1 73 Phương pháp α-BGSP cho hệ tuyến tính rời rạc không ổn định iv 3.3.2 Phương pháp β -BGSP cho hệ tuyến tính liên tục không ổn định 74 3.3.3 Phép biến đổi phân tuyến tính giữa hệ α-ổn định và hệ β -ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Sai số của các phương pháp BGSP . . . . . . . . . . . . . . . 81 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.4 3.4 Chương 4. BÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TẠI LÂN CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ 89 4.1 Bài toán rút gọn mô hình tại lân cận một tần số . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Phương pháp chặt cân bằng tại lân cận một tần số . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Giá trị kỳ dị Hankel tại lân cận một tần số . . . . . . . . . . . 91 4.2.2 Phương pháp chặt cân bằng tại lân cận một tần số . . . . . . . 91 4.2.3 Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2.4 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Rút gọn hệ tuyến tính tại lân cận một vài tần số . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.1 Thuật toán lặp rút gọn hệ tuyến tính tại lân cận một vài tần số 96 4.3.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . 106 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT j Đơn vị ảo, j 2 = −1 Z+ Tập các số nguyên không âm R Tập các số thực C Tập các số phức C+ Tập các số phức có phần thực dương α,d , z, D, h∞ Sử dụng cho trường hợp rời rạc β,c , s, C, H∞ Sử dụng cho trường hợp liên tục A, B, C, . . . Các ma trận hệ số I Ma trận đơn vị AT Ma trận chuyển vị của A A∗ Ma trận chuyển vị liên hợp phức của A A>0 A là ma trận đối xứng xác định dương At e At Ma trận mũ xác định bởi e = ∞ X (At)k k=0 k! λ(A) Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A σ(A) Tập hợp các giá trị kỳ dị của ma trận A σmax (A) Giá trị kỳ dị lớn nhất của ma trận A T race(A) Vết của ma trận A diag(a1 , . . . , an ) Ma trận đường chéo cỡ n với a1 , . . . , an là các phần tử trên đường chéo chính kAk = kAk2 Chuẩn Euclidean của ma trận A kAkF Chuẩn Frobenius của ma trận A x, y, b, c, . . . Các vectơ x≺w y Vectơ x yếu hơn vectơ y x≺y Vectơ x yếu hơn hẳn vectơ y vi L2 [0, ∞) Không gian Lebesgue bình phương khả tích trên [0, ∞) H2 Không gian các hàm giải tích trên C+ và bình phương khả tích trên trục ảo L∞ (j R) Không gian các hàm phức bị chặn trên trục ảo H∞ Các hàm L∞ (j R) giải tích trong miền Re(s) > 0 Dα Tập các hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định D Tập các hệ tuyến tính rời rạc ổn định Cβ Tập các hệ tuyến tính liên tục β -ổn định C Tập các hệ tuyến tính liên tục ổn định Gd (z) ∼ (Ad , Bd , Cd , Dd ) Biểu diễn (Ad , Bd , Cd , Dd ) của hệ rời rạc Gd (z) Gc (s) ∼ (Ac , Bc , Cc , Dc ) Biểu diễn (Ac , Bc , Cc , Dc ) của hệ liên tục Gc (s) G(s) ∼ (Ab , Bb , Cb , Db ) Biểu diễn cân bằng của hệ G(s) Gα (z) Hàm truyền của hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định Gβ (s) Hàm truyền của hệ tuyến tính liên tục β -ổn định kGd kh∞ Chuẩn h∞ của Gd (z) ∈ D kGd kh∞,α Chuẩn h∞,α của Gd (z) ∈ Dα kGc kH∞ Chuẩn H∞ của Gc (s) ∈ C kGc kH∞,β  Chuẩn H∞,β của Gc (s) ∈ Cβ  A B  C D  Ký hiệu cho biểu thức C(sI − A)−1 B + D SISO Hệ tuyến tính một đầu vào, một đầu ra MIMO Hệ tuyến tính nhiều đầu vào, nhiều đầu ra GSP Nhiễu kỳ dị suy rộng BGSP Nhiễu kỳ dị suy rộng cân bằng vii DANH SÁCH BẢNG Bảng 1 Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng phương pháp chặt trực tiếp với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2 . . . . . . . Bảng 2 Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng phương pháp chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2. . . . Bảng 2.1 bi , σi của hệ đối xứng bậc 10. . . . . . . . . . . . . Bảng các giá trị R Bảng 2.2 Bảng so sánh sai số của Thuật toán 2 và Thuật toán 7 cho hệ Truyền nhiệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng 2.3 36 56 57 Bảng các ma trận hệ số của hệ tuyến tính bậc 50 với Ac = diag(λ1 , . . . , λ50 ), Bc và Cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng 3.2 4 Bảng so sánh sai số của Thuật toán 2 và Thuật toán 7 cho hệ Orr- Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bảng 3.1 2 84 Bảng chuẩn H∞,β của các hệ sai số của các phương pháp trong Thuật toán 9, Thuật toán 10, Thuật toán 12 và Thuật toán 14. . . . . . . . . . . . viii 86 DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình 1.1 Minh họa hệ động lực tuyến tính được biểu diễn bởi các biến trạng thái. 11 Hình 2.1 Đồ thị Bode của hệ gốc (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 4 thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 4 thu được theo phương pháp chặt modal (màu xanh lá cây). . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.2 37 Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt modal (màu xanh lá cây). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.3 Minh họa hệ tuyến tính được xây dựng từ hai hệ ghép song song. . . . Hình 2.4 Đồ thị Bode của hệ gốc (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 2 thu được theo 37 38 phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 2 thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.5 55 Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.6 55 Đồ thị Bode của hệ Truyền nhiệt (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 20 thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 20 thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.7 57 Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.8 57 Đồ thị Bode của hệ Orr-Sommerfeld (màu đỏ), hệ rút gọn bậc 10 thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ rút gọn bậc 10 thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 2.9 58 Đồ thị Bode của hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lam) và hệ sai số thu được theo phương pháp chặt cân bằng kết hợp ánh xạ phân tuyến tính (màu xanh lơ-cyan). . . . . . . . . . . . . . . . ix 58 Hình 3.1 Mối liên hệ giữa các phương pháp BGSP với phép biến đổi phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 3.2 80 Các cực của hệ SISO bậc 50. Các cực ổn định mầu xanh lam, các cực không ổn định màu đỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 3.3 Các giá trị kỳ dị Zhou’s/β -Hankel của hệ SISO bậc 50. . . . . . . . . Hình 3.4 Đồ thị Bode của hệ gốc (mầu đỏ), hệ rút gọn bậc 20 bằng phương pháp 85 85 Zhou (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc 20 bằng phương pháp β -chặt cân bằng (mầu xanh lá cây) và hệ rút gọn bậc 20 bằng phương pháp β -BGSP (mầu xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 3.5 87 Đồ thị Bode của hệ sai số của phương pháp Zhou (màu xanh lam), hệ sai số của phương pháp β -chặt cân bằng (mầu xanh lá cây) và hệ sai số của phương pháp β -BGSP (mầu xanh lơ - cyan). Hình 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . Đồ thị Bode của hệ gốc đã đưa về ổn định, và các hệ rút gọn đã đưa về ổn định với r = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 3.7 87 87 Đồ thị Bode của hệ gốc đã đưa về ổn định, và các hệ sai số đã đưa về ổn định với r = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 4.1 7 cực của hệ FOM-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 4.2 Các giá trị kỳ dị Hankel tại lân cận tần số ω0 = 0.7 (đỏ) và các giá 87 95 trị Hankel của phương pháp Gawronski-Juang trong [1] (xanh) khi áp dụng cho hệ FOM-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 4.3 95 Đồ thị Bode trên đoạn [10−1 , 2] của hệ gốc (xanh lam) và các hệ rút gọn bậc 3 thu được bằng Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 0.7 (xanh lá cây), bằng phương pháp chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 4.4 95 Đồ thị Bode trên đoạn [10−1 , 2] của các hệ sai số thu được bằng bằng Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 0.7 (xanh lá cây), bằng phương pháp chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 4.5 95 Đồ thị Bode của hệ CD player (xanh lam) và các hệ rút gọn bậc 6 thu được bằng Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh lá cây), bằng phương pháp chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp GawronskiJuang (màu xanh lơ - cyan). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 96 Hình 4.6 Đồ thị Bode trên đoạn [ω1 , ω2 ] của các hệ sai số thu được bằng Thuật toán 16 tại lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh lá cây), bằng phương pháp chặt cân bằng (màu đỏ) và bằng phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Đồ thị Bode của hệ CD player G(s) với bậc 120 (màu xanh lam) và hệ b 1 (s) bậc 128 thu được Thuật toán 17 sau bước lặp thứ nhất. . sai số G(s) − G 98 cyan) khi áp dụng cho hệ CD player. Hình 4.7 Hình 4.8 Đồ thị Bode của hệ CD player bậc 120 (mà xanh lam), của hệ rút gọn bậc 14 thu được bằng phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lá cây) và hệ rút gọn bậc 14 thu được bằng Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω2 = 2 × 105 } và {r1 = 8, r2 = 6} (màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hình 4.9 99 Đồ thị Bode của hệ sai số bậc 134 thu được bằng phương pháp chặt cân bằng (màu xanh lá cây) và hệ sai số bậc 134 thu được bằng Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω2 = 2 × 105 } và {r1 = 8, r2 = 6} sau lần lặp thứ hai. . . xi 99 MỞ ĐẦU 1. Một ví dụ về bài toán rút gọn mô hình Xét hệ động lực tuyến tính liên tục được cho bởi phương trình sau        ẋ1 (t)  ẋ2 (t)  =  −1 0 0 x1 (t)  −2 x2 (t)  y(t) = h 1 1  1 1  u(t), (1)  x1 (t) i + x2 (t) , (2) trong đó t ∈ [0, ∞) và u(t) ∈ R là tín hiệu đầu vào (tín hiệu điều khiển), y(t) ∈ R là tín hiệu đầu ra, x(t) = [x1 (t) x2 (t)]T ∈ R2 là biến trạng thái. Hệ (1)-(2) là hệ bậc 2 do biến trạng thái x(t) ∈ R2 . Bài toán rút gọn mô hình cho hệ (1)-(2) được phát biểu như sau: Tìm các hệ số â, b̂ và ĉ của hệ động lực tuyến tính bậc 1 cho bởi hệ phương trình sau ˙ x̂(t) = âx̂(t) + b̂u(t), (3) ŷ(t) = ĉx̂(t), (4) sao cho với cùng một tín hiệu đầu vào u ∈ L2 [0, ∞), ta thu được tín hiệu đầu ra y của hệ gốc (1)-(2) và tín hiệu ŷ của hệ rút gọn (3)-(4) thỏa mãn: Z ∞ ky − ŷkL2 [0,∞) = |y(t) − ŷ(t)|2 dt tương đối nhỏ. 0 Nghĩa là, ta sẽ đi tìm hệ động lực tuyến tính bậc 1 có dạng (3)-(4) sao cho: với cùng một tín hiệu đầu vào u ∈ L2 [0, ∞) tác động vào hai hệ, hệ gốc và hệ rút gọn, ta sẽ thu được hai tín hiệu đầu ra y và ŷ tương ứng không khác nhau nhiều. Có rất nhiều phương pháp được sử dụng để giải bài toán rút gọn mô hình. Sau đây là một số phương pháp cơ bản. Phương pháp chặt để giải bài toán rút gọn mô hình cho hệ (1)-(2): Với hệ động lực tuyến tính đã cho, ta sẽ thu được hệ động lực tuyến tính rút gọn bậc 1 bằng cách bỏ đi một số trạng thái của hệ gốc. Chẳng hạn, với hệ (1)-(2), nếu ta có thể bỏ đi trạng 1 thái x2 thì ta thu được hệ rút gọn sau: ẋ1 (t) = (−1)x1 (t) + u(t), (5) y1 (t) = x1 (t). (6) Tương tự, nếu ta bỏ đi trạng thái x1 thì ta thu được hệ rút gọn sau: ẋ2 (t) = (−2)x2 (t) + u(t), (7) y2 (t) = x2 (t). (8) Để đánh giá trong hai hệ rút gọn thu được ở trên, hệ nào cho lời giải tốt hơn, ta sử dụng cùng một tín hiệu đầu vào u(t) tác động vào cả ba hệ: hệ gốc (1)-(2), hệ rút gọn (5)-(6), và hệ rút gọn (7)-(8). Tín hiệu đầu vào u(t) lần lượt là các tín hiệu xung vuông, tín hiệu tam giác, tín hiệu parabol. Ta sẽ vẽ các tín hiệu đầu ra y(t), y1 (t), và y2 (t) của cả ba hệ trên cùng một trục tọa độ, được thể hiện trong Bảng 1. Tín hiệu đầu vào u(t) So sánh tín hiệu đầu ra y1 (t), y2 (t) với y(t) Bảng 1: Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng phương pháp chặt trực tiếp với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2 . Từ Bảng 1 ta thấy tín hiệu đầu ra của hệ (5)-(6) gần với tín hiệu đầu ra của hệ gốc 2 hơn so với tín hiệu đầu ra của hệ (7)-(8). Hệ (5)-(6) cho kết quả khá tốt theo như thể hiện trong Bảng 1. Tuy nhiên, ta vẫn có thể làm tốt hơn nhờ sử dụng phương pháp kết hợp sau đây. Phương pháp chặt kết hợp với đổi biến: Nếu ta thực hiện phép đổi biến z(t) = Sx(t) cho hệ (1)-(2), với S là ma trận không suy biến thì ta được một hệ tương đương, nghĩa là với cùng tín hiệu vào u(t) thì tín hiệu đầu ra y(t) không thay đổi. Do đó, ta có thể tìm các hệ động lực tuyến tính rút gọn khác bằng cách sau: Đầu tiên ta đổi biến trạng thái bằng phép biến đổi không suy biến, sau đó ta bỏ những trạng thái của hệ tương đương để thu được hệ rút gọn bậc 1. Nếu ta thực hiện phép đổi biến z(t) = Sx(t), với  S= −0.8219 −0.5696 −0.8219 0.5696  , ta sẽ thu được hệ tương đương với hệ (1)-(2) như sau:      ż1 (t)  ż2 (t)  =  −1.3245 −0.4682 −0.4682 −1.6755 z1 (t)  z2 (t)  y(t) = h −1.3916 −0.2523  + −1.3916 −0.2523   u(t), (9)  z1 (t) i  z2 (t) , t ∈ [0, ∞). (10) Nếu ta bỏ đi trạng thái z2 trong hệ trên, ta sẽ thu được hệ rút gọn bậc 1 sau: ż1 (t) = (−1.3245)z1 (t) + (−1.3916)u(t), (11) y3 (t) = (−1.3916)z1 (t). (12) Tương tự, nếu ta bỏ đi trạng thái z1 thì ta thu được hệ rút gọn sau: ż2 (t) = (−1.6755)z2 (t) + (−0.2523)u(t), (13) y4 (t) = (−0.2523)z2 (t). (14) Ta lần lượt cho tín hiệu vào u(t) là các tín hiệu xung vuông, tín hiệu tam giác và tín hiệu parabol và so sánh các tín hiệu đầu ra y3 (t), y4 (t) với y(t). Kết quả được thể hiện trong Bảng 2. Kết quả trong Bảng 2 cho thấy: trong cả ba trường hợp ứng với tín hiệu đầu vào u(t) khác nhau, tín hiệu đầu ra y3 (t) gần như trùng khít với tín hiệu y(t) của hệ gốc, trong khi tín hiệu đầu ra y4 (t) của hệ còn lại thì rất bé, gần như bằng không. 3 Tín hiệu vào u(t) So sánh tín hiệu ra y3 (t), y4 (t) với y(t) Bảng 2: Bảng so sánh tín hiệu đầu ra của các hệ rút gọn bậc 1 thu được bằng phương pháp chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu ra của hệ gốc bậc 2. Ta tiếp tục so sánh kết quả trong Bảng 1 và Bảng 2, ta thấy y3 (t) là tín hiệu đầu ra xấp xỉ tín hiệu y(t) tốt nhất trong bốn tín hiệu ra y1 (t), y2 (t), y3 (t), y4 (t) của bốn hệ rút gọn tương ứng. Như vậy, ta có thể tạm kết luận rằng, hệ (11)-(12) là hệ rút gọn bậc 1 xấp xỉ khá tốt hệ gốc (1)-(2). Từ ví dụ trên ta thấy rằng có nhiều phương pháp tìm hệ rút gọn cho hệ động lực tuyến tính cho trước và việc lựa chọn phương pháp thích hợp sẽ cho ta một hệ rút gọn xấp xỉ tốt cho hệ động lực tuyến tính gốc. Trong những phần sau của luận án, chúng tôi sẽ phát biểu bài toán rút gọn mô hình dưới dạng tổng quát, bài toán rút gọn mô hình cho những hệ động lực có tính chất đặc biệt, như hệ có tính đối xứng, hệ không ổn định, cùng với các thuật toán rút gọn tương ứng. 2. Lý do chọn đề tài Công việc thiết kế các bộ điều khiển cho một hệ thống kỹ thuật luôn đòi hỏi những hiểu biết về hệ thống đó. Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng những mô hình toán học để mô tả hệ thống. Những hệ thống phức tạp như máy 4 móc, ô tô, máy bay, robot, thường được mô tả bởi những mô hình toán học phức tạp và có bậc cao. Việc thiết kế hệ thống điều khiển cho những mô hình phức tạp này đòi hỏi một khối lượng lớn tính toán và đôi khi không khả thi. Bài toán rút gọn mô hình đã ra đời từ thập kỷ 70-80 của thế kỷ trước nhằm giải quyết vấn đề này. Cụ thể, các mô hình phức tạp, bậc cao, sẽ được xấp xỉ và thay thế bởi các mô hình đơn giản, có bậc thấp hơn, mà không làm mất đi những đặc điểm vật lý quan trọng của hệ thống, như tính ổn định, tính quan sát được, tính điều khiển được, v.v. . . . Ngày nay các phương pháp cho bài toán rút gọn mô hình trở nên hữu hiệu và thông dụng, được sử dụng rộng rãi trong việc mô hình hóa, thiết kế, chế tạo. Nhiều phương pháp đã được chuẩn hóa và được nhúng trong các phần mềm chuyên dụng, như phần mềm MATLAB, MATHEMATICA. Những hệ thống kỹ thuật hiện tại trở nên ngày càng phức tạp, do đó đòi hỏi những thuật toán rút gọn mô hình mới hiệu quả hơn, nhanh chóng hơn. Bên cạnh đó, đối với những hệ thống có tính chất đặc biệt thì cũng cần phải phát triển những thuật toán rút gọn mô hình chuyên biệt dành cho những hệ đó. Từ đó, những nghiên cứu mới về bài toán rút gọn mô hình vẫn còn đang, và sẽ là vấn đề thời sự. Chính vì những lý do trên mà chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là "Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính". 3. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là đề xuất các thuật toán rút gọn mới nhằm xấp xỉ hệ động lực tuyến tính cho trước. Đối tượng nghiên cứu là các hệ động lực tuyến tính liên tục hoặc rời rạc, có tính ổn định, hoặc không ổn định. Phạm vi nghiên cứu là các thuật toán rút gọn nhằm xấp xỉ một hệ cho trước trên toàn bộ dải tần số hoặc tại lân cận của một số tần số cho trước. Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng những công cụ mới cho mục đích nghiên cứu, như chuẩn H∞,β /h∞,α mới áp dụng cho các hệ có tính không ổn định, cũng như đưa ra công thức đánh giá cận trên của sai số theo các chuẩn đó. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu trong luận án là sử dụng các tính toán, lập luận, chứng minh toán học. Cơ sở toán học cho luận án đến từ những lĩnh vực khác nhau như Đại số tuyến tính, Giải tích hàm, Phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển. Các kết quả lý thuyết trong luận án đều được kiểm tra và chứng thực bằng những ví dụ số cụ thể. 5 5. Cấu trúc của luận án Luận án được chia làm 4 chương: - Chương 1 dành cho việc giới thiệu một số không gian hàm dùng trong luận án và các khái niệm cơ bản liên quan đến hệ động lực tuyến tính liên tục và hệ động lực tuyến tính rời rạc. - Chương 2 nghiên cứu các phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng, tức là A = AT , BT = C. Do các phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal và phương pháp chặt cân bằng từng phần khi áp dụng rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng có công thức tính chính xác sai số theo chuẩn H∞ nên chúng tôi tìm mối liên hệ giữa các công thức tính sai số và so sánh các sai số của các phương pháp này. Bên cạnh đó, dựa vào tính chất của ánh xạ phân tuyến tính, chúng tôi xây dựng sai số cho phương pháp chặt cân bằng kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính (là trường hợp mở rộng của phương pháp Nhiễu kỳ dị) và chứng minh phương pháp này cho kết quả tốt hơn phương pháp chặt cân bằng khi rút gọn cho các hệ động lực tuyến tính ổn định đối xứng. - Chương 3 tập trung nghiên cứu các phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính không ổn định. Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính không ổn định phổ biến là phương pháp phân rã trong [2], phương pháp được Zhou giới thiệu trong [3] và các phương pháp chuyển về miền ổn định trong [4, 5]. Dựa vào các tính chất của các phương pháp này và dựa vào tính chất của phương chặt cân bằng cho hệ không ổn định trong [4, 5] và phương pháp GSP (Nhiễu kỳ dị suy rộng) cho hệ ổn định trong [6, 7], chúng tôi xây dựng phương pháp mới rút gọn cho hệ tuyến tính không ổn định gọi là phương pháp BGSP (Nhiễu kỳ dị suy rộng cân bằng) là trường hợp tổng quát của các phương pháp [4, 5]. Để đánh giá cận trên sai số cho phương pháp mới chúng tôi xây dựng khái niệm chuẩn H∞,β /h∞,α và sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính giữa các hệ động lực tuyến tính liên tục không ổn định với hệ động lực tuyến tính rời rạc không ổn định. Để minh họa, chúng tôi áp dụng phương pháp mới này và các phương pháp trong [2, 3, 4, 5] cho hệ tuyến tính không ổn định bậc 50. - Chương 4 đề xuất một số phương pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính liên tục ổn định tại lân cận một tần số hoặc một vài tần số. Trong nhiều trường hợp, việc xấp xỉ hệ động lực tuyến tính trên toàn bộ tần số là không cần thiết. Bài toán đặt ra là tìm một hệ động lực tuyến tính rút gọn xấp xỉ hệ động lực tuyến tính gốc tại một tần số hoặc lân cận một vài tần số cho trước như trong [8, 9, 10]. Ý tưởng của phương 6 pháp chặt cân bằng cho hệ tuyến tính ổn định được mở rộng để giải quyết bài toán này gọi là các phương pháp chặt cân bằng trên lân cận một tần số như trong [8, 11, 1, 12]. Dựa vào việc nghiên cứu tính chất của phương pháp của Zhou trong [3] để rút gọn hệ động lực tuyến tính không ổn định, chúng tôi đề xuất phương pháp mới rút gọn cho hệ động lực tuyến tính ổn định tại lân cận một tần số bằng cách chuyển hệ này về miền không ổn định tương ứng với tần số cần xấp xỉ. Sau đó áp dụng phương pháp trong [3] cho hệ không ổn định này để được hệ rút gọn không ổn định. Cuối cùng, ta chuyển hệ rút gọn không ổn định về miền ổn đinh ta được hệ động lực tuyến tính rút gọn cần tìm. Phương pháp này cũng được mở rộng để rút gọn hệ động lực tuyến tính ổn định tại lân cận một vài tần số cho trước. 6. Kết quả mới của luận án Luận án được viết dựa trên hai bài báo [1] và [2] trong Danh mục công trình đã công bố của Luận án. Các kết quả của Luận án đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại: - Hội thảo Điện tử viễn thông, Đo lường, Điều khiển, tháng 5-2013 tại Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên. - Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 8, tháng 8-2013 tại Nha Trang. - Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, tháng 4-2014 tại Ba Vì, Hà Nội. - Hội thảo Toán học phối hợp giữa Trường Đại học Bách khoa Hà Nội với Trường Đại học Heidelberg, tháng 3-2015. - Seminar Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. - Seminar Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội. - Seminar Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Luận án đã đạt được một số kết quả sau đây: -Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, chúng tôi đưa ra các so sánh cho bốn phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương pháp chặt cân bằng từng phần và phương pháp chặt cân bằng kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính. 7 - Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính không ổn định, chúng tôi đưa ra các phương pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho các phương pháp này theo chuẩn H∞,β /h∞,α . - Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận của một vài tần số cho trước, chúng tôi đưa ra phương pháp mới, đồng thời đưa ra đánh giá sai số theo chuẩn L∞,ω0 . 8