Tài liệu Rèn luyện khả năng phát triển các bài toán mới cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐẮC HÀ RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Mãsố: 8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Châu Thái Nguyên, 2019 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất cứ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Đắc Hà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Hữu Châu, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giảng viên trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, khoa Toán, khoa sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn trường THPT Lý Nhân Tông – Bắc Ninh, Ban giám hiệu, giáo viên và các em học sinh đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện đề tài. Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, khích lệ tôi hoàn thành luận văn. Do thời gian có hạn và năng lực bản thân vẫn còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các nhà giáo, các nhà khoa học và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Đắc Hà Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ Lời cam đoan .......................................................................................................... i Lời cảm ơn............................................................................................................. ii Mục lục ................................................................................................................. iii Danh mục từ viết tắt ............................................................................................. iv MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1 2. Lịch sử nghiên cứu ............................................................................................ 2 3. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 3 4. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 3 5. Mẫu khảo sát ..................................................................................................... 3 6. Câu hỏi nghiên cứu ........................................................................................... 3 7. Giả thuyết nghiên cứu ....................................................................................... 3 8. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 3 9. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 4 10. Nội dung luận cứ ............................................................................................. 4 11. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 5 NỘI DUNG ........................................................................................................... 6 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................... 6 1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài ........................................................... 6 1.1.1. Kĩ năng phát triển bài toán mới ................................................................... 6 1.1.2. Những con đường phát triển bài toán mới .................................................. 9 1.1.3. Rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh ........................ 11 1.2. Thực trạng việc dạy học Bất đẳng thức ở trường THPT ............................. 16 1.2.1. Chương trình sách giáo khoa .................................................................... 16 1.2.2 Mục đích nghiên cứu thực trạng ................................................................ 16 1.2.3. Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường THPT ................................. 18 1.2.4. Thực trạng việc dạy Bất đẳng thức ở trường THPT ................................. 20 1.3. Kết luận chương 1 ........................................................................................ 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN MỚI CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC .................................................................................................... 24 2.1. Rèn luyện cho học sinh các kĩ năng chứng minh những bất đẳng thức cơ bản, sai lầm của học sinh khi chứng minh bất đẳng thức và hướng khắc phục.............. 24 2.1.1 Bất đẳng thức AM – GM cho n số thực không âm .................................... 25 2.1.2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ............................................................. 26 2.1.3. Tính chất cơ bản của Bất đẳng thức .......................................................... 27 2.1.4. Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng chứng minh những bất đẳng thức cơ bản ....................................................................................................................... 27 2.2. Cho học sinh tập luyện những bất đẳng thức từ dễ đến khó ........................ 38 2.3. Xây dựng hệ thống bài tập chú trọng phát triển bài toán mới ..................... 43 2.3.1. Phát triển bài toán mới từ Bất đẳng thức AM – GM ................................ 43 2.3.2. Phát triển bài toán mới thông qua Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz....... 69 2.4. Tăng cường cho học sinh làm bài tập có ứng dụng thực tế ......................... 87 2.5. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất đẳng thức. .............................................. 89 2.5.1. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất đẳng thức AM – GM .......................... 89 2.5.2. Xây dựng bài giảng vận dụng Bất dẳng thức Cauchy – Schwarz............. 95 Bài 2: Với a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng ...................................................................................................................... 99 2.6. Kết luận chương 2 ...................................................................................... 100 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .................................................. 102 3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ..................................... 102 3.2. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ............................................................. 102 3.3. Thời gian thực nghiệm ............................................................................... 102 3.4. Nội dung và tổ chức thực nghiệm .............................................................. 102 3.5. Kết quả dạy thực nghiệm ........................................................................... 103 3.6. Phân tích kết quả và đánh giá ..................................................................... 103 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 107 PHỤ LỤC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT BĐT Bất đẳng thức GTLN Giá trị lớn nhất GTNN Giá trị nhỏ nhất ĐPCM Điều phải chứng minh THPT Trung học phổ thông GV Giáo viên HS Học sinh KL Kết luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, ở Việt Nam cũng như nhiều nước trên thế giới đều coi giáo dục là quốc sách hàng đầu và là động lực để phát triển kinh tế - xã hội. Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn biết vận dụng kiến thức trong các tình huống xảy ra trong cuộc sống hàng ngày. Nghị quyết TW 2 khóa VIII nhận định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học…”. Với nhiệm vụ ấy thì việc giúp học sinh có tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng tư duy sáng tạo, tìm tòi và phát triển cái mới là nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Khi nói về tính sáng tạo GS-VS Nguyễn Cảnh Toàn có viết: “Một nguyên nhân sâu xa khiến chủ trương đổi mới cách dạy và học chưa đạt được nhiều hiệu quả là ở chỗ, chúng ta yêu cầu các giáo viên rèn óc thông minh sáng tạo cho học trò nhưng lại không trang bị cho người giáo viên khoa học về sự sáng tạo”. Học sinh được dạy phân tích, tổng hợp, suy diễn, được rèn luyện qua những bài tập đòi hỏi khả năng phân tích, tổng hợp nhưng thiếu những bài tập sáng tạo ra cái mới, dù chỉ là mới với các em. Thời đại ngày nay đòi hỏi sự sáng tạo ra cái mới, vậy giáo dục phổ thông phải làm gì để tạo ra được năng lực sáng tạo, khả năng phát triển ở học sinh? Trong toán học, khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh là yếu tố quyết định thành công của hoạt động giảng dạy. Nếu học sinh thiếu khả năng phát triển bài toán mới thì khả năng thực hành của các em sẽ bị yếu đi, thiếu sự sáng tạo trong học toán sẽ dẫn tới thụ động trong học tập, giảm đi sự sáng tạo, chủ động trong cuộc sống. Hiện nay sự quan tâm đến những hoạt động này chưa nhiều, chúng ta chỉ quan tâm đến việc có sẵn đề bài và tập trung tìm lời giải mà ít chú ý đến nguồn gốc và mục đích của bài toán. Cũng tương tự như việc chúng ta chỉ tập trung rèn cho học sinh giải các đề thi tuyển sinh đại học, làm sao để Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn học sinh thi đại học được điểm cao theo khuôn mẫu định trước mà xem nhẹ hoạt động phát triển bài toán mới trong các hoạt động học tập. Trong toán sơ cấp, nhiều người cho rằng khó có thể tìm ra hướng sáng tạo mới, nhất là từ các bất đẳng thức quen thuộc. Chúng ta thường quen với việc giải và cho học sinh các bài toán có sẵn mà chưa tìm mối liên hệ với các dạng toán liên quan, đặc biệt là sáng tạo thành bài toán mới. Mọi người đều biết việc rèn luyện khả năng phát triển các bài toán mới cho học sinh là công việc thực sự hiệu quả nhưng thực hiện bằng cách nào còn đòi hỏi khả năng sáng tạo, thời gian, công sức và hiệu quả lao động của người giáo viên kết hợp các lý thuyết khoa học về phát triển và sáng tạo thực hành của cá nhân. Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Rèn luyện khả năng phát triển các bài toán mới cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức”. 2. Lịch sử nghiên cứu 2.1. Trên thế giới Các ghi chép còn lại của nền toán học Hy Lạp đều sử dụng quy luật quy nạp, dựa trên kinh nghiệm tính toán hình thành quy luật toán học. Điều này cho thấy kỹ năng giải toán đã xuất hiện từ trước đó và ngày càng được phát triển. Hiện nay, trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ vị trí rất quan trọng. Những tri thức và kỹ năng toán học trở thành công cụ để nghiên cứu, vận dụng các môn khoa học khác. Ở các nước phát triển có nền giáo dục tiên tiến như Mỹ, Anh, Nga,… họ rất chú trọng đến khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh ngay từ cấp tiểu học, vì vậy học sinh của họ rất chủ động, sáng tạo, có khả năng tư duy và tự học, tự nghiên cứu rất tốt. 2.2. Ở Việt Nam Trong các tiếp cận dạy học truyền thống, người ta thường quan tâm đến kết quả của hoạt động dạy học cũng như kết quả của các kì thi mà xem nhẹ quá trình dẫn đến kết quả đó. Hiện nay trong xu thế hòa nhập với sự phát triển của nền giáo dục tiên tiến trên thế giới. Nền giáo dục Việt Nam đã và đang có nhiều bước chuyển biến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn mạnh mẽ. Chúng ta đã quan tâm hơn đến chất lượng sản phẩm của hoạt động giáo dục phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội. Trong dạy học giáo viên kết hợp nhiều phương pháp dạy học tích cực và chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng phát triển bài toán mới cho học sinh, tuy nhiên hiệu quả còn phụ thuộc nhiều vào trình độ của người thầy và ý thức của người học cũng như nhận thức của xã hội. Khả năng phát triển bài toán mới chưa được đề cập đến trong chương trình giáo dục phổ thông. 3. Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu của đề tài nhằm rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh thông qua dạy học bất đẳng thức. Xây dựng một số bài giảng về bất đẳng thức nhằm rèn luyện khả năng giải toán bất đẳng thức và phát triển bài toán mới cho học sinh. 4. Phạm vi nghiên cứu 4.1. Thời gian thực hiện: Từ tháng 9/2018 đến tháng 5/2019. 4.2. Nội dung nghiên cứu - Chỉ tập trung nghiên cứu vào bất đẳng thức AM – GM, Cauchy – Schwarz. - Khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức. 5. Mẫu khảo sát - Giáo viên dạy toán trường THPT Lý Nhân Tông – Bắc Ninh. - Các học sinh trường THPT Lý Nhân Tông – Bắc Ninh năm học 2018 – 2019. 6. Câu hỏi nghiên cứu Làm thế nào để rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức. 7. Giả thuyết nghiên cứu Thông qua nội dung bất đẳng thức sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển bài toán mới. 8. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu tham khảo, làm rõ khái niệm khả năng phát triển bài toán mới và rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh. -Tìm hiểu các bất đăng thức và một số bài toán vận dụng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn - Xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức theo hướng rèn luyện khả năng sáng tạo, phát triển bài toán mới cho học sinh cấp THPT. - Tổ chức thực nghiệm và đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài. 9. Phương pháp nghiên cứu 9.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận Nghiên cứu các sách, báo, tạp chí gồm 4 loại: - Các văn kiện của Đảng và Nhà nước, của Bộ Giáo dục – Đào tạo, các chủ trương có liên quan đến việc dạy và học toán ở trường phổ thông. - Các sách, báo khoa học có liên quan đến đề tài. - Các tài liệu Tâm lý học, Giáo dục học, Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, SGK Đại số và Giải tích lớp 10. - Các công trình nghiên cứu, các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài của luận văn. 9.2. Phương pháp quan sát - Quan sát điều kiện vật chất, điều kiện học tập của nhà trường. - Quan sát phương pháp giảng dạy của giáo viên và quá trình học tập của học sinh. 9.3. Phương pháp điều tra khảo sát, thực nghiệm sư phạm - Phiếu điều tra các ý kiến của giáo viên và học sinh về khả năng phát triển bài toán mới về bất đẳng thức trong chương trình toán 10. - Dạy thực nghiệm các lớp 10 Trường THPT Lý Nhân Tông – Bắc Ninh. 10. Nội dung luận cứ 10.1. Luận cứ lý thuyết - Đưa ra cơ sở lý luận về khả năng phát triển các bài toán mới thông qua nội dung bất đẳng thức. 10.2. Luận cứ thực tế - Đưa ra những đề xuất và xây dựng một số bài giảng về Bất đẳng thức nhằm rèn luyện khả năng giải và phát triển bài toán mới cho học sinh lớp 10. - Tổ chức thực nghiệm, kiểm tra đánh giá hiệu quả, tính khả thi của đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn 11. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn được dự kiến trình bày trong 3 chương. Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện khả năng phát triển các bài toán mới cho học sinh trong dạy học bất đẳng thức. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài 1.1.1. Kĩ năng phát triển bài toán mới 1.1.1.1. Khái niệm về sáng tạo Lecne cho rằng: “Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt”. Theo Solso R.L: “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống”. GS. TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra”. “Sáng tạo” trong từ điển bách khoa toàn thư được định nghĩa như sau: “Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất”. Theo từ điển Tiếng Việt: “Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần. Hay sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có”. Như vậy, nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Sự sáng tạo cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người. Trí sáng tạo là tổ hợp các năng lực cho phép con người tạo ra cái mới (sản phẩm, hành động hay những giải pháp mới) độc đáo, thích hợp, có ý nghĩa đối với sự phát triển của cá nhân (sáng tạo trên bình diện cá nhân). 1.1.1.2 Khái niệm khả năng phát triển Trước đây các học giả thường định nghĩa phát triển thông qua sản phẩm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn của sự phát triển. Ngày nay, tính phát triển thường được xem xét như là một quá trình phát triển. Nhà tâm lí học Henry Gleitman định nghĩa: “Phát triển là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích”. Nhà tâm lí học Karen Huffman cho rằng: “Người có khả năng phát triển là người tạo ra được những giải pháp mới mẻ và thích hợp để giải quyết vấn đề”. Có nhiều quan điểm khác nhau về khả năng phát triển nhưng qua những định nghĩa của những tác giả chúng ta đều nhận thấy nét phổ biến nhất của khả năng phát triển chính là sáng tạo ra cái mới. Nói đến khả năng phát triển là ta đang nói đến việc học sinh tự khám phá, tự tìm cách giải quyết một vấn đề trong giải toán. Bắt đầu từ tình huống có vấn đề, khả năng phát triển giải quyết các mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, có tính hợp lý và tạo ra cho học sinh một niềm tin, sự phấn khích sau khi tìm ra được giải pháp. Nói tóm lại, khả năng phát triển chính là tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới có tính độc đáo và hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Khả năng phát triển bài toán mới trong toán học có nghĩa là xuất phát từ các bài tập đã có, giáo viên hướng dẫn học sinh giải và tạo ra các bài toán mới phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh. Rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới tức là giúp học sinh chủ động trong học tập, tự đặt ra nhiệm vụ học tập cho mình và biết cách giải quyết nhiệm vụ đó. 1.1.1.3. Dấu hiệu của sự phát triển a) Tính mềm dẻo Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán. Tính mềm dẻo ấy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo có các đặc trưng nổi bật sau: + Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự. Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác. Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại. + Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc, áp dụng những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu tố thay đổi. Có khả năng thoát khỏi những ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước. + Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã quen biết. b) Tính nhuần nhuyễn Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng. Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau: + Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải bài toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu. + Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật, hiện tượng chứ không phải là cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. c) Tính độc đáo Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ hoặc duy nhất. Các đặc trưng của tính độc đáo: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn + Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới. + Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau. + Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết nhưng giải pháp khác. d) Tính hoàn thiện Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng. e) Tính nhạy cảm vấn đề Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, những sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu,... và từ đó đưa ra những đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới. Ngoài ra khả năng phát triển còn có những yếu tố quan trọng khác như: tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán. Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề,… Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên khả năng phát triển, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người. 1.1.2. Những con đường phát triển bài toán mới 1.1.2.1. Chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy và trang bị cho học sinh những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức Quan điểm này cho rằng để rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các tư duy, phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,… Trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý. Điều ấy giúp học sinh hiểu sâu sắc các khái niệm, các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được. 1.1.2.2. Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của khả năng phát triển cho học sinh Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng của khả năng phát triển cho học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính nhạy cảm vấn đề. Trên cơ sở đó để rèn luyện khả năng phát triển cho học sinh thì trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của khả năng phát triển. Có thể khai thác từng nội dung giảng dạy, đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo. Để rèn luyện khả năng phát triển bài toán cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận. 1.1.2.3. Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Để rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới GV cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả mới từ các bài toán đã giải. 1.1.2.4. Rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết các tiết học này sang các tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa. Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới trong việc toán học hóa các tình huống trong thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tương tự sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải. 1.1.3. Rèn luyện khả năng phát triển bài toán mới cho học sinh Từ trước đến nay việc dạy và học toán thường sa vào đọc chép áp đặt, bị động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập. Nhiều học sinh chỉ hiểu bài tập thầy cô giáo chữa mà không tự làm bài được. Việc phát triển bài toán mới ít được học sinh quan tâm đúng mức. Bởi vậy mà đa số học sinh cảm thấy môn Toán khô khan và thường sợ học toán. Để có kĩ năng giải bài tập thì phải trải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả thực sự nếu như ta biết khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó hay rèn luyện một phương pháp làm một dạng bài tập nào đó. Nếu người giáo viên biết phát huy một cách tích cực các phương pháp dạy học và hướng học sinh tới cách học chủ động thì học sinh không những không cảm thấy sợ toán mà các em còn có thêm hứng thú với môn học. Một trong những cách giúp giờ học trở nên sinh động, hấp dẫn, giúp giáo viên đạt hiệu quả cao trong quá trình dạy học và giúp học sinh phát huy tối đa tư duy sáng tạo Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn chính là việc các em có thể phát triển bài toán mới từ bài toán đã cho. Thực tế giảng dạy môn Toán THPT cho thấy từ những bài toán cơ bản chúng ta có thể phát triển thành các bài toán hay và khó, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, điều quan trọng là giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo và chủ động hơn trong học tập. Bằng kinh nghiệm giảng dạy và kiến thức chuyên môn của mình, người giáo viên hướng dẫn học sinh chủ động, sáng tạo, phát huy tối đa năng lực bản thân, khai thác cái đã có và phát triển hình thành cái mới một cách hiệu quả. Xin lấy một ví dụ cụ thể: Từ bài toán đơn giản Với mọi x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:  x  y  y  z  z  x   8xyz (*). Bài toán này có nhiều cách chứng minh, nhưng cách đơn giản nhất như sau: Ta có  x y  2  0  x  y  2 xy . Đẳng thức xảy ra khi: x  y. Tương tự ta có y  z  2 yz ; z  x  2 zx. Nhân các bất đẳng thức trên theo vế ta được:  x  y  y  z  z  x   8xyz (ĐPCM). Nếu chỉ dừng ở việc chứng minh bài toán như vậy thì chưa có sự sáng tạo trong học tập, học sinh mới chỉ thụ động giải quyết vấn đề mà giáo viên đặt ra và sẽ lúng túng trong giải quyết tình huống mới. Bởi vậy người giáo viên cần hướng dẫn học sinh chủ động đặt ra nhiệm vụ phù hợp cho mình và tích cực giải quyết nhiệm vụ đó. Cụ thể với bài toán này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát triển bài toán mới theo các hướng sau: Từ (*) khai triển vế trái ta được: x 2 y  x 2 z  y 2 x  y 2 z  z 2 x  z 2 y  2 xyz  8 xyz. Rút gọn, chia hai vế cho xyz ta được: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn x y yz zx   6 z x y x y   yz  zx    1    1    1  3  z   x   y  x yz yzx zx y     3. z x y Đặt: y  z  x  a; z  x  y  b; x  y  z  c  x y z abc x  Thay vào ta được: bc ca ab ; y ;z . 2 2 2 2a 2b 2c    3. Từ đó ta có bài toán sau: bc ca ab Bài 1: (Bất đẳng thức Nesbit) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a b c 3    bc ca ab 2 (1). Từ (*) chia hai vế cho tích xyz ta được:  x  y  y  z  z  x   8  1  y  1  z  1  x   8.   xyz  x    y    z z x y Đặt a  ; b  ; c   abc  1. y z x Ta có bài toán mới sau: Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  1. Chứng minh rằng: 1  a 1  b 1  c   8 (2). Từ (*) chia hai vế cho tích xyz và biến đổi theo hướng khác ta được: x y yz zx . .  8. z x y Đặt a  yz xz yx ;b ;c thì x y z a 1  x yz x yz x yz ;b  1  ;c 1  . x y z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn Ta có bài toán sau: Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1    1. a 1 b 1 c 1 Chứng minh rằng: abc  8 (3). Từ (1) nếu đặt: a  y  z; b  x  z; c  x  y  x  y  z  x abc ta được 2 bca a c b abc  0; y   0; z   0. 2 2 2 Từ đó ta có bài toán sau: Bài 4: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc (4). Từ (*) nếu thêm giả thiết x  y  z  1 thay vào ta có: 1  x 1  y 1  z   8xyz  1   x  y  z    xy  yz  zx   xyz  8 xyz. Từ đó ta có bài toán sau: Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: ab  bc  ca  9abc (5). Từ (4) chia cả hai vế cho tích abc ta được:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   1 abc  a b  b c  c a      1   1   1  1.  c c  a a  b b  b c a Nếu đặt: x  ; y  ; z   xyz  1 thì ta có c a b Bài 6: (IMO – 2000). Cho các số x, y, z  0 thỏa mãn xyz  1. Chứng minh rằng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn