Tài liệu Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 10 thông qua các bài toán vectơ trong mặt phẳng

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................. 3 1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán .............................................................. 3 1.1.1. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học ............. 3 1.1.2. Phát triển năng lực trí tuệ ........................................................................... 5 1.1.3. Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học 8 1.1.4. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động .. 11 1.2. Tổng quan về các hoạt động trí tuệ ................................................................. 12 1.2.1. Hoạt động trí tuệ chung trong môn Toán ................................................. 12 1.2.2. Hoạt động trí tuệ phổ biến ........................................................................ 20 1.3. Định hướng chung rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh.......................... 21 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ....................................................................................... 23 CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH LỚP 10 QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ Ở TRONG MẶT PHẲNG ........... 24 2.1. Nội dung và mục đích dạy học chương vectơ lớp 10 ở THPT ....................... 24 2.1.1. Nội dung dạy học chương vectơ hình học cơ bản lớp 10 ở THPT .......... 24 2.1.2. Mục đích dạy học chương vectơ lớp 10 ở THPT ..................................... 25 2.1.3. Tiềm năng rèn luyện cho học sinh trong chương vectơ ........................... 27 2.2. Rèn luyện hoạt động trí tuệ qua các bài toán vectơ ở trong mặt phẳng ......... 29 2.2.1. Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ ............................................... 29 2.2.2. Dạng 2: Chứng minh hai điểm trùng nhau ............................................... 37 2.2.3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cho trước .................. 40 2.2.4. Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song .... 43 2.2.5. Dạng 5: Tìm tập hợp điểm........................................................................ 48 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ....................................................................................... 55 KẾT LUẬN ........................................................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 57 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông CMR : Chứng minh rằng HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản VT : Vế trái VP : Vế phải ĐPCM : Điều phải chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết Trung Ương 2 Khóa VIII, Ban chấp hành Trung Ương Đảng cộng sản Việt Nam đã chỉ rõ “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở trường phổ thông…áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. (Chương 1 điều 4) Trước nhu cầu đó, đáng tiếc là trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn có những nhược điểm phổ biến thầy thuyết trình tràn lan; kiến thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện; thầy áp đặt, trò thụ động; thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của người học. Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Vectơ là một nội dung quan trọng trong môn toán ở trường phổ thông. Bài tập về vectơ đa dạng và khá khó, đòi hỏi học sinh suy nghĩ, tìm tòi cùng với việc nắm vững các khái niệm các quy tắc thì mới có thể giải quyết được. Và cũng do học sinh lớp 10 lần đầu được tiếp xúc với kiến thức vectơ nên còn khá bỡ ngỡ, lúng túng. Khi đứng trước một bài toán vectơ các em chưa biết phải bắt đầu từ đâu, suy nghĩ theo hướng nào để tìm ra lời giải. 1 Chính vì các lý do trên nên đề tài khoá luận tốt nghiệp được chọn là “Rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 10 thông qua các bài toán vectơ trong mặt phẳng”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh thông qua giảng dạy chương vectơ trong chương trình hình học lớp 10. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý luận và một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh trong giảng dạy môn toán. Trên cơ sở lý luận và một số biện pháp đã được xác định, đề xuất phương án rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán vectơ. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Phương pháp nghiên cứu lí luận. Phương pháp quan sát – điều tra. Phương pháp thực nghiệm giáo dục. 5. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh lớp 10 qua các bài toán vectơ ở trong mặt phẳng. 2 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán 1.1.1. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học Môn Toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực. (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26) Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các phương diện khác. Để đạt được mục tiêu quan trọng này, môn Toán cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ đồng thời bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật. Việc thực hiện mục tiêu này được cụ thể hóa như sau: Thứ nhất, cần tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác nhau. Người ta thường phân biệt 4 dạng tri thức:  Tri thức sự vật;  Tri thức phương pháp;  Tri thức chuẩn;  Tri thức giá trị. Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm vectơ), một định lý (chẳng hạn định lý hàm số sin), cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng toán học. Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất : những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng quát của Polya để giải bài tập toán học). Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn quy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần đúng. 3 Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá chẳng hạn “Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học và công nghệ cũng như trong đời sống”, “Khái quát hóa là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”. Trong dạy học Toán, người thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng tri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt, tri thức phương pháp ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá trị liên hệ mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế giới quan. Thứ hai, do sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho học sinh những kĩ năng trên những kĩ năng trên những bình diện khác nhau :  Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán;  Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau;  Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống. Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức toán học. Không thể hình dung một người hiểu những tri thức toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán. Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện công cụ thứ hai thể hiện vai trò công cụ của toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn. Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối quan hệ giữa toán học và đời sống. Thứ ba, dựa vào sự phân tích các mục tiêu dạy học của Benjamin Bloom và các cộng sự [7, tr.53], cần có ý thức để học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao:  Biết: ghi nhớ và tái hiện thông tin;  Thông hiểu: giao tiếp sử dụng các thông tin đã có;  Vận dụng: áp dụng các thông tin (quy tắc, phương pháp, khái niệm,…) vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý; 4  Phân tích: chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng;  Tổng hợp: cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu mới;  Đánh giá: phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào đó. Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình, chẳng hạn:  Các tập hợp số;  Các phép biến đổi đồng nhất;  Phương trình và bất phương trình;  Hàm số và đồ thị;  Những yếu tố của phép tính vi tích phân;  Vectơ và tọa độ;  Những yếu tố tổ hợp và xác suất;  Định nghĩa và chứng minh toán học. Cách làm này giúp học sinh thấy được cái bộ phận trong cái toàn thể, tránh tình trạng thấy cây mà không thấy rừng. 1.1.2. Phát triển năng lực trí tuệ Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống. (Chương trình 2002, tr.2 và trang 26) Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, một cách có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải là tự phát. Muốn vậy người thầy giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây: Thứ nhất, rèn luyện tư duy và ngôn ngữ chính xác. Do đặc điểm của khoa học toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách 5 rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác. Việc phát triển tư duy logic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn toán có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau:  Làm cho học sinh nắm vững hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,...  Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.  Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh. Thứ hai, phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:  Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen,... Những suy đoán có thể rất táo bạo, nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò càng không phải là nghĩ liều.  Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống. Thứ ba, là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa v.v… do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ này. Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. 6 Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp. Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động. Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật lên một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hóa là một điều kiện cần của khái quát hóa. Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong môn Toán, học sinh còn thường phải thường xuyên thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, … do đó có điều kiện rèn luyện những hoạt động trí tuệ này. Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ. Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống. Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng. – Tính linh hoạt: Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư duy. Trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. – Tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy. Tính chất sau thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc những ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?”v.v… đúng chỗ, đúng lúc. 7 – Tính sáng tạo: Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ nhìn cách cũ như thế nào. Tính sáng tạo có thể dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận. 1.1.3. Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học Môn Toán cần góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên. (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26) Để thực hiện mục tiêu này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm chất và phong cách lao động khoa học của người lao động mới trong học tập và sản xuất như làm việc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận, chính xác, kỷ luật, tiết kiệm, sáng tạo, dám nghĩ dám làm, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học, có óc thẩm mĩ, có sức khỏe, dũng cảm bảo vệ chân lí, xây dựng và bảo vệ tổ quốc. Cũng như ở các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là một quá trình thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Để làm được việc này, người thầy giáo Toán một mặt phải thực hiện phần nhiệm vụ chung giống như giáo viên các bộ môn khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể học sinh, phối hợp với giáo viên chủ nhiệm,… nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của nội dung môn Toán để đóng góp phần riêng của bộ môn vào việc thực hiện mục tiêu này. Nhìn chung, cần chống hai khuynh hướng:  Khuynh hướng thứ nhất phủ nhận nhiệm vụ giáo dục tư thưởng chính trị của môn Toán, hay nhẹ hơn một chút là chỉ hạn chế tác dụng giáo dục của môn này ở chỗ ra một số bài tập ứng dụng. 8  Khuynh hướng thứ hai muốn ôm đồm thực hiện tất cả các nhiệm vụ giáo dục toàn diện của nhà trường mà không căn cứ vào đặc điểm bộ môn. Vấn đề đặt ra là phải khai thác tiềm năng đặc thù của nội dung môn Toán với tư cách là một thành phần trong tất cả các môn học, góp phần giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học và thẩm mĩ. Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội. Trong phạm vi môn Toán, có thể thực hiện mục tiêu này theo các cách sau:  Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những đề toán trong những trường hợp có thể được, chẳng hạn những bài toán có nội dung thực tế giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.  Khai thác một số sự kiện về lịch sử toán học liên quan tới truyền thống dân tộc, chẳng hạn việc tính gần đúng số pi theo quy tắc: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”.  Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng toán học của dân tộc ta. Tiềm năng này bộc lộ rõ ràng đến mức thế giới đã thừa nhận rằng có một nền toán học Việt Nam. Việc dùng tiếng mẹ đẻ trong dạy học và nghiên cứu Toán cũng là một niềm tự hào dân tộc. Thứ hai, cần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng. Môn Toán có nhiều tiềm năng có thể khai thác để thực hiện mục tiêu này, điều đó được cụ thể hóa như sau:  Làm cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tế, cụ thể là thấy rõ toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, thấy rõ nguồn gốc, đối tượng và công cụ của toán học, qua đó hiểu được bản chất của những sự trừu tượng toán học.  Làm cho học sinh ý thức được những yếu tố của phép biện chứng, chẳng hạn sự tương quan và vận động của các sự vật và hiện tượng, sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập, sự chuyển hóa từ thay đổi số lượng sang chất lượng, sự biện chứng của cái chung và cái riêng, của cái cụ thể và cái trừu tượng, của tất nhiên và ngẫu nhiên v.v… 9 Cần chú ý là ta thực hiện những điều này thông qua việc dạy học Toán chứ không phải là dạy môn triết học trong môn Toán. Thứ ba, cần rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học cho học sinh. Môn Toán có tiềm năng rất lớn đối với việc bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức và phong cách lao động khoa học của con người mới, bởi vì bản thân lao động toán học cũng đòi hỏi những phẩm chất và phong cách như thế. Những phẩm chất và phong cách này thể hiện ở tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, kỉ luật, tính kiên trì, vượt khó, ý chí tiến công, tinh thần trách nhiệm, khả năng hợp tác lao động, ý chí và thói quen học hỏi, rút kinh nghiệm, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra v.v… Trong khi việc giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, việc bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng chỉ có thể thực hiện ở những cơ hội nhất định thì việc rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách khoa học cho học sinh diễn ra hàng ngày, hàng giờ trong môn Toán. Điều quan trọng là thầy giáo không nên vì thế mà ôm đồm, muốn bồi dưỡng cho học sinh quá nhiều phẩm chất, phong cách một cách dàn trải trong cùng một tiết học. Phải căn cứ vào đặc thù của nội dung, vào tình hình cụ thể của học sinh về mặt đạo đức mà lúc thì tập trung vào phẩm chất, phong cách kia một cách có trọng tâm, trọng điểm. Như vậy mới có thể đạt được hiệu quả giáo dục mong muốn. Thứ tư, là việc giáo dục thẩm mĩ qua môn Toán. Để giáo dục văn hóa thẩm mĩ cho học sinh, cần chú ý phát triển đồng thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm mĩ, quan niệm và thị hiếu thẩm mĩ, tình cảm và năng lực thẩm mĩ. Môn Toán cũng có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho học sinh về một số phương diện như sau: Môn Toán có những cơ hội để học sinh cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa thông thường trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, cách trình bày bảng sáng sủa của thầy, cô giáo, những trang hình màu sắc hòa hợp trên máy vi tính, những hình cân đối, hài hòa mà nhiều khi đã được người ta sử dụng trong kiến trúc và trong nghệ thuật tạo hình v.v… có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho 10 học sinh biết thưởng thức cái đẹp. Việc yêu cầu học sinh giữ vở sạch, viết chữ đẹp, vẽ hình rõ ràng, sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép tính ngắn gọn, chặt chẽ, chính xác,… sẽ góp phần giáo dục họ biết thể hiện và sáng tạo cái đẹp. Toán học có một vẻ đẹp rất đặc sắc thể hiện ở tính logic, chính xác của nó. Nhà bác học Nga N.E.Giucopxki (1847-1921) đã nhận xét: “Toán học cũng có vẻ đẹp riêng giống như hội họa và thi ca. Vẻ đẹp này thường hiện ra qua những tư tưởng rõ ràng, khi mọi chi tiết của các suy lí như bày ra trước mắt ta, nhưng có khi nó làm ta phải sửng sốt vì những ý đồ rộng lớn chứa điều gì đó chưa được nói ra hết nhưng đầy hứa hẹn” [3]. Như vậy, cùng với tri thức toán học quy định trong chương trình, môn Toán còn có tiềm tàng những khả năng không nhỏ để giáo dục thẩm mĩ. Giáo viên có thể dạy cho học sinh thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận logic chặt chẽ, trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc, trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gọn, chính xác, trong những lời giải bất ngờ, độc đáo, trong những ứng dụng phong phú đa dạng,… của toán học và đời sống. Toán học có tác dụng phát triển ở người học nhiều phẩm chất, giúp họ biết thưởng thức và sáng tạo cái đẹp. Một công trình nghệ thuật giá trị nào mà không có sự sáng tạo. Con người phải có óc sáng tạo thì mới tạo ra được cái đẹp. Như vậy, óc thẩm mĩ gắn liền với óc sáng tạo. Việc thưởng thức và tạo ra cái đẹp cũng thường liên hệ với tư duy hình tượng. Toán học góp phần phát triển năng lực sáng tạo và tư duy hình tượng, cho nên môn Toán có tác dụng giáo dục thẩm mĩ. 1.1.4. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động Môn Toán cần tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hướng phân ban: ban Khoa học tự nhiên và ban Khoa học xã hội và nhân văn. (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26) Để đạt được mục tiêu này, các yếu tố nhân cách nêu trong các mục đích thành phần phải được hình thành và củng cố tạo nên tiềm lực để người học có thể thích ứng với những con đường sự nghiệp khác nhau, với những hoàn cảnh khác nhau, và 11 có thể thực hiện giáo dục suốt đời dựa trên bốn trụ cột có rất nhiều mối quan hệ, liên hệ, tác động giữa chúng với nhau và làm thành một thể thống nhất [12, tr.71 và tr.82]:  Học để biết là nắm được những công cụ để “hiểu”;  Học để làm là phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào môi trường của mình;  Học để cùng chung sống là tham gia và hợp tác với những người khác trong mọi hoạt động của con người;  Học để làm người là sự tiến triển quan trọng nảy sinh từ ba loại hình học tập trên, nhằm phát huy tốt hơn nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả năng ngày càng gia tăng về các mặt tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân. 1.2. Tổng quan về các hoạt động trí tuệ 1.2.1. Hoạt động trí tuệ chung trong môn Toán Theo Nguyễn Bá Kim thì nội dung dạy học môn Toán có mối liên hệ chặt chẽ với các hoạt động của học sinh. Mỗi nội dung môn học đều liên hệ với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó [9]. Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động trên những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học. Nội dung môn Toán ở trường phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động. Trong đó có các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cụ thể hóa. a) Phân tích và tổng hợp: Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Trái lại, tổng hợp là dùng trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể. 12 Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Ví dụ 1.1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Bài toán 1.1. Cho 4 điểm A,B, C, D. Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 Phân tích: Để chứng minh 2 vế của đẳng thức bằng nhau ta có nhiều hướng giải quyết biến đổi VT thành VP, VP thành VT hoặc biến đổi cả hai vế. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ta sẽ chèn thêm Nếu làm theo hướng thứ nhất ta phải làm xuất hiện ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 , 𝐶𝐵 điểm D vào ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , chèn điểm B vào ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 . Hướng thứ hai biến đổi VT thành VP ta cũng có ý tưởng giải quyết theo hướng thứ nhất. Hướng thứ ba biến đổi cả hai vế, ta sẽ chuyển ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 về 1 vế ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 về 1 vế sau đó dùng quy tắc trừ sẽ ra điều phải chứng minh. Tổng hợp: Cách 1: VT= ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 =VP(đpcm) Cách 2: ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ VP=𝐴𝐷 𝐶𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 = 𝑉𝑇(đpcm) Cách 3: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 𝐷𝐵 𝐷𝐵 (đpcm) b) So sánh: So sánh là sự xác định giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu của chúng, đối chiếu các dấu hiệu thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì giống và khác nhau. Ví dụ 1.2 Bài toán 1.2.1. Cho tam giác ABC; M, N, P là các điểm thỏa mãn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =  𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ (, ,  ≠ 0, ≠ -1). Chứng minh rằng M, N, P 𝑀𝐵 𝑁𝐶 =  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 =  𝑃𝐵 thẳng hàng khi và chỉ khi  =1. 13 Giải A N P M C B Hình 1.1 ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = (𝐴𝐶 𝐴𝑀 )  (1 − )⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 (1)  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐶 =  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑁 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − )𝐴𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  𝐴𝐶 (2) ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 =  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 = (𝐴𝐵 𝐴𝑃 ) ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ( − 1)𝐴𝑃 (3) Từ (1), (2), (3) rút ra: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − )𝐴𝑀 −1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 − (1 − )𝐴𝑁  M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: 1−= −1 − (1 − )  −  =  − 1 −  +    = 1  Bài toán 1.2.2. Cho tam giác ABC. Ba điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑀𝐵 𝑁𝐶 𝑃𝐴 . . =1 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 ̅̅̅̅ 𝑁𝐴 ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 (1) Giải Giả sử M, N, P thẳng hàng. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt đường thẳng qua M, N, P tại D. Áp dụng định lí Ta lét, ta có: ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵 ̅̅̅̅ 𝑁𝐶 ̅̅̅̅ 𝑃𝐴 ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ 𝑃𝐴 . . = . . =1 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 ̅̅̅̅ 𝑁𝐴 ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ 𝑃𝐴 ̅̅̅̅ 𝑃𝐵 Ngược lại, giả sử có hệ thức (1). Gọi P’ là giao điểm của các đường thẳng MN và AB. Vì M, N, P’ thẳng hàng nên theo chứng minh trên: 14 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑀𝐵 𝑁𝐶 ̅̅̅̅̅ 𝑃′𝐴 . . =1 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝐶 ̅̅̅̅ 𝑁𝐴 ̅̅̅̅̅ 𝑃′𝐵 (2) Từ (1), (2) rút ra: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ PA P′A =  P trùng P′ ̅̅̅̅ PB ̅̅̅̅̅ P′B Vậy M, N, P thẳng hàng. Ta thấy hai ví dụ đều là định lý Mê–nê-la-uýt nhưng được viết dưới dạng khác nhau, ví dụ 1 là dạng vectơ của định lý còn ví dụ 2 là dạng thông thường của định lí. Bằng so sánh ta có thể thấy cùng chứng minh 1 định lý nhưng có các chứng minh khác nhau, học sinh có thể chọn cách chứng minh phù hợp. c) Tương tự: Theo Polya: Hai hệ được gọi là tương tự nhau nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa các bộ phận tương ứng. Kết luận dựa theo sự tương tự có thể mô tả như sau: A có tính chất a, b, c B có tính chất a, b Thế thì B có tính chất c. Người ta thường xét sự tương tự trong toán học theo các khía cạnh sau: – Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau. – Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng có quan hệ giống nhau. – Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự. Chẳng hạn: Tam giác trong hình học phẳng được xem tương tự với tứ diện trong hình học không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới hạn bởi một số đường 15 thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn bởi một số mặt phẳng tối thiểu. Tính chất đường cao của tam giác tương tự với các tính chất các đường cao của đường tứ diện. Với ý nghĩa đó từ các đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác có thể đề xuất và chứng minh các tính chất tương tự của đường cao, mặt phẳng trung trực, mặt phẳng phân giác của tứ diện. Từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông có thể xây dựng các hệ thức tương tự trong tứ diện vuông. Vai trò của tương tự trong nghiên cứu trong nghiên cứu khoa học đã đưa G.Polya nhận định: “Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh”. [13] Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tưởng, giả thuyết có được nhờ sự tương tự với một kết quả đã được công nhận trước đó. Đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo của người học. Để giải một một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bài toán tương tự dễ hơn và tìm cách giải bài toán ấy. Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình. Ví dụ 1.3 Bài toán 1.3.1. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 = ⃗0 Giải Vì O là trung điểm của AB nên ta có: 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎươ𝑛𝑔, 𝑛𝑔ượ𝑐 ℎướ𝑛𝑔  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 = ⃗0 (đpcm) Bài toán 1.3.2. (Trang 21, Bài 1.11, Bài tập Hình học 10) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐶 = ⃗0. Giải Gọi M là trung điểm của BC. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (quy tắc trung điểm) Khi đó ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐶 = 2𝐺𝑀 𝐺𝐴 = 2𝐺𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 Ta có: {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴 + 2𝐺𝑀 𝐺𝐴, 𝐺𝑀 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎươ𝑛𝑔, 𝑛𝑔ượ𝑐 ℎướ𝑛𝑔 16 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗ . (đpcm) Khi đó: 𝐺𝐴 Bài toán 1.3.3. (Trang 21, Bài 1.12, Bài tập Hình học 10) ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗ Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 𝑂𝐶 + 𝑂𝐷 Giải ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 ⃗ Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 𝑂𝐶 + 𝑂𝐷 𝑂𝐶 ) + (𝑂𝐵 Các bài toán trong ví dụ 1.3 đều xuất phát từ bài toán tổng quát sau : Cho điểm O (G) là tâm của n–giác. Chứng minh tổng các vectơ nối từ tâm đến các đỉnh của n–giác bằng ⃗0. Ví dụ 1.4 Bài toán 1.4.1. M là trung điểm của đoạn thẳng AB, O là điểm bất kỳ. CMR: 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = ( ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ) 2 Phân tích Từ vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 để xuất hiện các vectơ có điểm cuối là A, B ta dùng quy tắc tam giác để xen điểm A, B vào và có cách phân tích vectơ dưới đây: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑀 Cộng vế với vế, từ điều kiện M là trung điểm của đoạn thẳng AB (phân tích) ta có hệ thức: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 = ⃗0 Từ đó ta có hệ thức cần tìm. Cho học sinh trình bày lại lời giải của bài toán (tổng hợp) Cho học sinh giải bài toán tương tự với G là trọng tâm của tam giác (tương tự). Bài toán 1.4.2. Cho  ABC với trọng tâm G. CMR với điểm O bất kỳ ta có: 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺 = (𝑂𝐴 𝑂𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 ) 3 Phân tích Từ vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺 , để xuất hiện các vectơ có điểm cuối là A, B, C, ta dùng quy tắc tam giác để “xen điểm” A, B, C vào và có cách phân tích vectơ dưới đây: 17 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 + 𝐴𝐺 𝑂𝐺 = 𝑂𝐵 𝑂𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶 + 𝐶𝐺 Tiếp đó cộng vế với vế, sử dụng điều kiện của đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐺𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⃗ ta suy ra đẳng thức đc chứng minh 𝐺𝐴 +𝐺𝐵 Cho học sinh hoàn thiện bài toán (tổng hợp) Sự tương tự giữa các bài toán trong ví dụ 1.4. Mô hình của bài toán vẫn giữ nguyên. d) Khái quát hóa và đặc biệt hóa: Khái quát hóa theo Polya là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu.[13] Ngược lại, đặc biệt hóa theo Polya là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập đã cho.[13] Khái quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất. Ví dụ 1.5 Cho học sinh giải bài toán khái quát phát triển từ bài toán 1.3.1, bài toán 1.3.2 và bài toán 1.3.3.(khái quát hóa) Bài toán 1.5. Cho n điểm 𝐴1 , 𝐴2 , …, 𝐴𝑛 . CMR có duy nhất 1 điểm G sao cho: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴2 +…+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴𝑛 = ⃗0 thì ta gọi G là trọng tâm của hệ n-điểm. Giải Lấy O cố định. ⃗ Khi đó ta có được ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴2 +…+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺𝐴𝑛 = 0 Chèn O vào ta phân tích các vectơ được kết quả: 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛 ) 𝑂𝐺 = (𝑂𝐴 𝑂𝐴2 +…+𝑂𝐴 𝑛 Vậy G hoàn toàn xác định. Giả sử có G’ cũng thỏa mãn điều kiện đề bài. 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛 ) Khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐺′ = (𝑂𝐴 𝑂𝐴2 +…+𝑂𝐴 𝑛 18