CHIA S TÀI LI U MI N PHÍ
TR N HOÀI THANH
GV: Nguyễn Thanh Tùng
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HOCMAI.VN
DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 1)
Cách ra đề 1: Cắt nghĩa được yếu tố điểm và véc tơ pháp tuyến
SƠ ĐỒ GIẢI
( Nghĩa là: Khi đứng trước một bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) ta sẽ đặt ra hai câu hỏi:
“ Bài toán đã cho điểm và véc tơ pháp tuyến chưa? Nếu chưa cho thì tìm bằng cách nào?” . Nếu câu trả lời cho
câu hỏi 1 là đã biết, thì ta chỉ việc áp dụng cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng để đưa ra đáp số. Nếu
GV: Nguyễn Thanh Tùng
phải trả lời câu hỏi 2 thì ta sẽ đi theo sơ đồ trên như sau:
Nếu là tìm điểm ta sẽ chuyển về bài toán tìm điểm (các bạn xem lại ở bài học trước).
Nếu muốn khai thác được véc tơ pháp tuyến thì đề bài sẽ cho theo ba hướng gián tiếp:
Hướng 1: Cho ( ) / /( ) ở đó ( ) đã biết phương trình khi đó n( ) n( ) (a; b; c ) .
Hướng 2: Cho phương trình đường thẳng d và biết d ( ) , lúc này n( ) ud (a; b; c ) .
Hướng 3: Đề bài cho 2 trong 3 yếu tố là “mặt vuông góc với mặt, đường song song với mặt,
đường nằm trên mặt” khi đó ta sẽ tìm được cặp véc tơ chỉ phương của ( ) là u1 , u2 và suy ra được
n( ) u1 , u2 (a; b; c) .
Sau khi đã trả lời được câu hỏi 2 thì việc viết phương trình mặt phẳng lúc này sẽ không có gì khó khăn
nhờ công thức: a( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 . )
Ví dụ minh họa
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1; 2; 0) và
1) song song với mặt phẳng ( ) : x y 2 z 7 0 .
2) vuông góc với đường thẳng AB với A(2; 3;1), B (3; 0; 2) .
3) vuông góc với các mặt phẳng ( P ) : x 2 y z 2 0 ; (Q ) : 2 x y z 0 .
4) song song đồng thời với trục Ox và đường thẳng :
x 1 y 1 z
.
2
1 1
x y 1 z 1
.
2
1
3
6) đi qua điểm N (2; 3;1) , đồng thời : a) song song với trục Oy . b) vuông góc với mặt phẳng xOy .
5) và chứa đường thẳng ' :
7) đi qua các điểm A(2; 1; 2), B ( 3;1; 1) .
8) vuông góc với mặt phẳng ( R ) : x y 3 z 1 0 và song song với đường thẳng d :
x 4 y 1 z 1
2
1
2
Giải
1) Do ( ) // ( ) nên n( ) n( ) (1; 1;2) là vectơ pháp tuyến của ( )
Mặt khác ( ) đi qua điểm M (1; 2; 0) nên suy ra phương trình ( ) :
x 1 ( y 2) z 0 hay x y z 3 0 (thỏa mãn song song với ( ) ).
2) Do AB ( ) n( ) AB (1;3; 3) là vectơ pháp tuyến của ( )
Mặt khác ( ) đi qua điểm M (1; 2; 0) nên suy ra phương trình ( ) : x 1 3( y 2) 3 z 0 hay x 3 y 3 z 5 0 .
3) Vectơ pháp tuyến của ( P ), (Q ) lần lượt là n( P ) (1; 2;1), n(Q ) (2;1; 1)
2 1 1 1 1 2
( ) ( P)
Do
n( ) n( P ) , n(Q )
;
;
(1;3;5) là vec tơ pháp tuyến của ( ) .
( ) (Q)
1 1 1 2 2 1
Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình: x 1 3( y 2) 5 z 0 hay x 3 y 5 z 5 0 .
4) Ta có i (1;0;0), u (2; 1;1) lần lượt là vectơ chỉ phương của trục Ox và đường thẳng .
0 0 0 1 1 0
Ox / /( )
Do
n( ) i, u
;
;
(0; 1; 1) là vec tơ pháp tuyến của ( ) .
/ /( )
1 1 1 2 2 1
GV: Nguyễn Thanh Tùng
Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình: 0( x 1) ( y 2) z 0 hay y z 2 0 .
Ox / /( )
Kiểm tra kết quả: Chọn M 1 (1;0; 0) Ox và M 2 (1; 1; 0) . Ta có: M 1 ( ); M 2 ( )
(thỏa mãn)
/ /( )
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: y z 2 0
5) ' đi qua điểm N (0;1; 1) và có vectơ chỉ phương u ' (2;1; 3)
1 3 3 2 2 1
M ( )
Ta có MN ( 1;3; 1) Do
n( ) u ' , MN
;
;
(8;5; 7)
' ( )
3 1 1 1 1 3
là vec tơ pháp tuyến của ( ) . Suy ra mặt phẳng ( ) có phương trình:
8( x 1) 5( y 2) 7 z 0 hay 8 x 5 y 7 z 2 0 .
6) a) Ta có MN (1; 1;1) và j (0;1; 0) là vectơ chỉ phương của trục Oy .
Khi đó ( ) có vectơ pháp tuyến : n( ) MN , j (1;0;1) nên có phương trình :
1.( x 1) z 0 hay x z 1 0 (thỏa mãn song song với Oy )
b) Ta có MN (1; 1;1) , k (0; 0;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng xOy
MN ( )
Do
n( ) MN , k (1; 1; 0) là vectơ pháp tuyến của ( )
( xOy ) / /( )
Khi đó ( ) có phương trình: 1.( x 1) 1.( y 2) 0. z 0 hay x y 1 0 .
7) Ta có MA (1;1; 2) và MB ( 4;3; 1)
1 2 2 1 1 1
Khi đó vectơ pháp tuyến của ( ) được xác định như sau: n( ) MA, MB
;
;
(5;9; 7)
3 1 1 4 4 3
Suy ra phương trình mặt phẳng ( ) : 5( x 1) 9( y 2) 7 z 0 hay 5 x 9 y 7 z 13 0 .
8) Mặt phẳng ( R ) có vectơ pháp tuyến n( R ) (1;1; 3) . Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ud (2;1; 1)
1 3 3 1 1 1
( R) ( )
Do
n( ) n( R ) , ud
;
;
(2; 5; 1)
d / /( )
1 1 1 2 2 1
Suy ra phương trình ( ) : 2( x 1) 5( y 2) z 0 hay 2 x 5 y z 12 0 .
Kiểm tra kết quả: Chọn điểm M 0 (4; 1;1) d . Nhận thấy M 0 (4; 1;1) ( ) (do 2.4 5.( 1) 1 12 0 )
Suy ra d ( ) (không thỏa mãn vì theo đề bài d // ( ) )
Vậy không tồn tại mặt phẳng ( ) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Chú ý quan trọng : Trong các bài toán có yếu tố song song (như đường thẳng song song với mặt phẳng
hoặc hai mặt phẳng song song với nhau), khi sử dụng tính chất song song để tìm ra vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng cần lập, ta mới sử dụng điều kiện cần nhưng chưa đủ. Vì vậy trước khi kết luận phải có bước
kiểm tra lại điều kiện đủ (điều kiện song song) để đưa ra đáp số chính xác cho bài toán.
GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Phần 2)
Cách ra đề 2: Khai thác được véctơ pháp tuyến nhưng không có được yếu tố điểm
SƠ ĐỒ GIẢI
( Nghĩa là: Khi bài toán yêu cầu viết phương trình mặt phẳng ( ) mà ta chỉ khai thác được yếu tố véctơ pháp
tuyến (giống như Cách ra đề 1 ) mà không có được yếu tố điểm. Thì sau khi tìm được n( ) (a; b; c) ta sẽ gọi
phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: ax by cz m 0 . Tìm cách cắt nghĩa dữ kiện bài toán (thường là yếu tố
định lượng) để thiết lập phương trình f ( m) 0 , tìm m và suy ra phương trình ( ) ).
CHÚ Ý:
Nếu biết cả yếu tố điểm M 0 mà mặt phẳng ( ) đi qua ( đây là Cách ra đề 1 ) ta vẫn có thể đi
theo sơ đồ của Cách ra đề 2 này. Bởi ở Bước 2 trong khâu cắt nghĩa ta sẽ thay tọa độ độ điểm M 0 vào
phương trình ax by cz m 0 và dễ dàng tìm được m để có được phương trình mặt phẳng ( ) .
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng ( P ) : x y z 3 0 và (Q ) : x y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R )
vuông góc với ( P ) và (Q ) sao cho khoảng cách từ (O ) đến ( R ) bằng 2.
Giải
n( P ) (1;1;1) và n( Q ) (1; 1;1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của ( P ) và (Q )
Do ( R ) vuông góc đồng thời với ( P ) và (Q ) nên ( R ) có vectơ pháp tuyến:
n( R ) n( P ) , n( Q ) (2; 0; 2) 2.(1; 0; 1) . Vậy phương trình ( R ) có dạng: x z m 0
m
Ta có: d (O; ( R )) 2
2 m 2 2 m 2 2
12 12
Vậy phương trình của ( R ) : x z 2 2 0 hoặc x z 2 2 0 .
Ví dụ 2. Cho phương trình mặt phẳng ( P ) : 2 x y 2 z 10 0 , đường thẳng :
x 1 y z 2
và mặt
1
1
3
cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 3 0 . Viết phương trình:
1) mặt phẳng ( ) vuông góc với ( P ) , song song và cách một khoảng bằng
2) tiếp diện của ( S ) và song song với ( P ) .
2.
GV: Nguyễn Thanh Tùng
HOCMAI.VN
Giải
1) Ta có n( P ) (2; 1; 2) , u (1;1; 3) lần lượt là các vectơ pháp tuyến, chỉ phương của ( P ) và .
( ) ( P)
Vì
n( ) n( P ) , u (5; 4;3) là vectơ pháp tuyến của ( )
( ) / /
Khi đó mặt phẳng ( ) có dạng: 5 x 4 y 3 z m 0 .
m 11
m 1 10
52 4 2 3 2
m 9
Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình : 5 x 4 y 3z 11 0 hoặc 5 x 4 y 3z 9 0 .
2) Gọi ( ) là tiếp diện của ( S ) . Do ( ) / /( P ) n( ) n( P ) (2; 1;2)
Chọn M (1;0; 2) d , ( ) d M , ( ) ( vì // ( ) ) 2
56 m
Khi đó mặt phẳng ( ) có dạng : 2 x y 2 z m 0 với m 10
Với mặt cầu ( S ) ta có tâm I (1; 1; 2) và bán kính R 3 ( ) là tiếp diện của ( S )
d I , ( ) R
2 1 4 m
3 m 1 9 m 8 hoặc m 10 (loại)
22 12 22
Vậy tiếp diện của ( S ) là: 2 x y 2 z 8 0 .
Ph©n lo¹i bµi to¸n viÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bµi tËp tù luyÖn :
Bµi 1: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz. ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i
qua 3 ®iÓm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;;0;1)
( ®Ò thi ®¹i häc- cao ®¼ng khèi B n¨m 2008)
Bµi 2: a/Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 3 ®iÓm M(3;4;1), N(2;3;4),
E(1;0;2). ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm E vµ vu«ng gãc víi MN.
( ®Ò thi tèt nghiÖp BTTHPT lÇn 2 n¨m 2007)
b/ ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua K(1;-2;1) vµ vu«ng gãc víi
x 1 t
®-êng th¼ng d: y 1 2t .
z 1 3t
( ®Ò thi tèt nghiÖp THPT lÇn 2 n¨m 2007)
Bµi 3: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm M(-1;-1;0) vµ mÆt ph¼ng (P)
cã ph-¬ng tr×nh: x + y - 2z - 4 = 0.
Hoµng V¨n T-¬i - gi¸o viªn TTGDTX Mü §øc - TP Hµ Néi
14
Ph©n lo¹i bµi to¸n viÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua M vµ song song víi (P)
( ®Ò thi tèt nghiÖp THPT hÖ ph©n ban n¨m 2007)
Bµi 4: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®ia qua ®iÓm M(2;-1;2), song song víi
trôc Oy vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng 2x - y + 3z + 4 = 0 .
( S¸ch bµi tËp n©ng cao h×nh häc 12 )
Bµi 5: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M(-2;3;1) vµ vu«ng gãc víi
hai mÆt ph¼ng (P): 2x + y + 2z + 5 = 0 vµ (Q): 3x + 2y + z - 3 = 0
( S¸ch bµi tËp n©ng cao h×nh häc 12 )
Bµi 6: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M(2;1;-1) vµ qua giao tuyÕn
cña hai mÆt ph¼ng: x - y + z - 4 = 0 vµ 3x - y + z - 1 = 0.
( S¸ch bµi tËp n©ng cao h×nh häc 12 )
Bµi 7: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(0;1;2) vµ hai ®-êng
th¼ng
x 1 t
x y 1 z 1
, d ': y 1 2t
d:
2
1
1
z 2 t
ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua A ®ång thíi song song víi d vµ d’
( ®Ò thi ®¹i häc- cao ®¼ng khèi B n¨m 2006)
Bµi 8: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®ia qua hai ®iÓm M(1;2;3), N(2;-2;4) vµ
song song víi Oy.
(Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp n¨m 2009)
Bµi 9: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho mÆt ph¼ng (P) cã ph-¬ng tr×nh
-2x + 3y - z + 7 = 0. ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua A(1;1;0), B(-1;2;7) vµ
vu«ng gãc víi (P).
(Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp n¨m 2009)
Bµi 10 : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®-êng th¼ng
x 1 t
x 2 y z 4 0
d:
vµ d’: y 2 t
x 2 y 2z 4 0
z 1 2t
ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) chøa d vµ song song víi d’
( ®Ò thi ®¹i häc- cao ®¼ng n¨m 2002)
Hoµng V¨n T-¬i - gi¸o viªn TTGDTX Mü §øc - TP Hµ Néi
15
Ph©n lo¹i bµi to¸n viÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®-êng th¼ng d cã ph-¬ng tr×nh
x 2 y 1 z 1
1
2
3
vµ mÆt ph¼ng (P) : x - y + 3z +2 =0
ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) chøa d vµ vu«ng gãc víi (P).
( ®Ò thi tèt nghiÖp THPT n¨m 2007)
Bµi 12: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho 2 ®iÓm E(1;-4;5), F(3;2;7)
ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) lµ trung trùc cña ®o¹n th¼ng EF.
( ®Ò thi tèt nghiÖp THPT hÖ ph©n ban lÇn 2 n¨m 2007)
Bµi 13: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) //(P): 2x - 2y + z + 4 =0 vµ tiÕp xóc víi
mÆt cÇu (S) cã ph-¬ng tr×nh: x2 + y2 + z2 + 2x -2y + 4z - 3 = 0
Bµi 14: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) tiÕp xóc víi mÆt cÇu
x 1 t
(S): (x - 2) + (y + 1) + (z - 1) = 9 vµ vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng d: y 1 2t .
z 1 3t
2
2
2
Bµi 15: ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) song song víi Oz, vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (P): x + y + z = 0 vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) :
x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z - 3 = 0
(Tµi liÖu «n thi tèt nghiÖp n¨m 2009)
Bµi 16 : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho mÆt cÇu (S)
x - y z - 4 0
vµ
3x - y z - 1 0
x2 + y2+ z2 + 4x - 2y - 4z -7 = 0 vµ hai ®-êng th¼ng d:
d’ :
x 1 y 2
z
. ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (
1
2
2
) lµ tiÕp diÖn cña (S) ®ång
thêi song song víi d vµ d’.
®¸p ¸n:
Bµi 1: x + 2y - 4z + 6 = 0
Bµi 2:a/ x + y - 3z + 5 = 0,
b/ x - 2y + 3z - 8 = 0
Bµi 3 : x + y - 2z + 2 = 0
Bµi 4 : 3x - 2z - 2 = 0
Bµi 5 : 3x - 4y - z + 19 = 0
Hoµng V¨n T-¬i - gi¸o viªn TTGDTX Mü §øc - TP Hµ Néi
16
Ph©n lo¹i bµi to¸n viÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Bµi 6 : 15x - 7y + 7 z - 16 = 0
Bµi 7: x + 3y + 5z - 13 = 0
Bµi 8 : x - z + 2 = 0
Bµi 9: 11x + 8y + 2z - 19 = 0
Bµi 10 : 2x - z = 0
Bµi 11 : 3x - z - 5 = 0
Bµi 12: x + 3y + z - 5 = 0
Bµi 13:
2x - 2y + z + 17 = 0
vµ 2x - 2y + z -1 = 0
Bµi 14:
x - 2y + 3z - 7 + 3 14 = 0
Bµi 15 :
x - y - 2 + 3 2 = 0 vµ x - y - 2 - 3 2 = 0
vµ
x - 2y + 3z - 7 - 3 14 = 0
Bµi 16 : - 4x + y - z - 7 + 12 2 = 0 vµ - 4x + y - z - 7 - 12 2 = 0
e- kÕt qu¶ thùc hiÖn
Lµ d¹ng to¸n hay c¸c em tá ra rÊt say mª, høng thó häc tËp. ®ã cã thÓ coi lµ
mét thµnh c«ng cña ng-êi gi¸o viªn. KÕt thóc ®Ò tµi nµy t«i ®· tæ chøc cho c¸c em
häc sinh líp 12B1 lµm mét ®Ò kiÓm tra 45 phót víi néi dung lµ c¸c bµi to¸n viÕt
ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng thuéc d¹ng cã trong ®Ò tµi . §ång thêi lÊy líp 12A1 ®Ó
lµm líp ®èi chøng còng víi ®Ò kiÓm tra ®ã. KÕt qu¶ rÊt kh¶ quan, cô thÓ nh- sau:
Líp 12B1( Thùc nghiÖm)
Líp 12B2( Thùc nghiÖm)
Líp 12B3( Thùc nghiÖm)
Líp 12A1( §èi chøng)
Giái
14%
10%
12%
0%
Kh¸
50%
50%
48%
15%
Trung b×nh
30%
32%
32%
55%
YÕu
6%
8%
8%
30%
Râ rµng lµ ®· cã sù kh¸c biÖt gi÷a hai ®èi t-îng häc sinh. Nh- vËy ch¾c ch¾n
ph-¬ng ph¸p mµ t«i nªu ra trong ®Ò tµi ®· gióp c¸c em phËn lo¹i ®-îc bµi tËp vµ
n¾m kh¸ v÷ng ph-¬ng ph¸p lµm vµ tr×nh bÇy bµi gióp c¸c em tù tin h¬n trong häc
tËp còng nh- khi ®i thi .
Hoµng V¨n T-¬i - gi¸o viªn TTGDTX Mü §øc - TP Hµ Néi
17
- Xem thêm -
.PDF 
9 
358 
98 
