Tài liệu Phương trình với toán tử loại đơn điệu

Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 1 Môc lôc .. Më ®Çu 1 Ch­¬ng 1. 1.1. 1.2. 1.3. To¸n tö ®¬n ®iÖu 2.2. 2.3. 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu To¸n tö accretive . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1. To¸n tö accretive 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . 18 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . 19 1.3.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . 20 Ch­¬ng 2. 2.1. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö accretive HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö accretive 23 HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö víi to¸n tö ®¬n ®iÖu . . . . . 23 2.1.1. Sù héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 27 HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö accretive . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. Sù héi tô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . 33 2.2.3. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh h÷u h¹n chiÒu . . 35 VÝ dô KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tµi liÖu tham kh¶o Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 2 lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh t¹i tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña TiÕn sü NguyÔn ThÞ Thu Thñy. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c vÒ sù tËn t©m vµ nhiÖt t×nh cña cña c« trong suèt qu¸ tr×nh t¸c gi¶ thùc hiÖn luËn v¨n. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n, th«ng qua c¸c bµi gi¶ng, t¸c gi¶ lu«n nhËn ®­îc sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c Gi¸o s­ c«ng t¸c t¹i ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin thuéc ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, cña c¸c thÇy c« trong §¹i häc Th¸i Nguyªn. Tõ ®¸y lßng m×nh, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng c¶m ¬n s©u s¾c tíi c¸c ThÇy C«. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, phßng §µo t¹o Khoa häc vµ Quan hÖ quèc tÕ, Khoa To¸n - Tin tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· quan t©m vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp t¹i tr­êng. Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi gia ®×nh, b¹n bÌ vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®· ®éng viªn t«i v­ît qua nh÷ng khã kh¨n trong cuéc sèng ®Ó t«i cã ®­îc ®iÒu kiÖn tèt nhÊt khi nghiªn cøu. T¸c gi¶ NguyÔn Xu©n B¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 3 Më ®Çu RÊt nhiÒu bµi to¸n cña thùc tiÔn, khoa häc, c«ng nghÖ dÉn tíi bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed) theo nghÜa Hadamard [8], nghÜa lµ bµi to¸n (khi d÷ kiÖn thay ®æi nhá) hoÆc kh«ng tån t¹i nghiÖm, hoÆc nghiÖm kh«ng duy nhÊt, hoÆc nghiÖm kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh nµy cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. Trong luËn v¨n nµy chóng t«i nghiªn cøu bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh d­íi d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1) A(x) = f, trong ®ã x¹ A : X −→ X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n trÞ tõ kh«ng gian Banach ph¶n X vµo kh«ng gian liªn hîp X ∗ cña X . §Ó gi¶i lo¹i bµi to¸n nµy, ng­êi ta sö dông nh÷ng ph­¬ng ph¸p æn ®Þnh sao cho khi sai sè cña c¸c d÷ kiÖn cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®­îc cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n xuÊt ph¸t. N¨m 1963, A. N. Tikhonov [9] ®­a ra ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh næi tiÕng vµ kÓ tõ ®ã lý thuyÕt c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ®­îc ph¸t triÓn hÕt søc s«i ®éng vµ cã mÆt ë hÇu hÕt c¸c bµi to¸n thùc tÕ. Néi dung chñ yÕu cña ph­¬ng ph¸p nµy lµ x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö (0.1) trong kh«ng gian Hilbert thùc H dùa trªn viÖc t×m phÇn tö cùc tiÓu xh,δ α cña phiÕm hµm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + αkx − x∗ k2 trong ®ã (2) α > 0 lµ tham sè hiÖu chØnh phô thuéc vµo h vµ δ , x∗ lµ phÇn tö cho tr­íc ®ãng vai trß lµ tiªu chuÈn chän vµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (Ah , fδ ) lµ xÊp xØ cña (A, f ). http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 4 Hai vÊn ®Ò cÇn ®­îc gi¶i quyÕt ë ®©y lµ t×m phÇn tö cùc tiÓu cña phiÕm hµm Tikhonov vµ chän tham sè hiÖu chØnh tiÓu α = α(h, δ) thÝch hîp ®Ó phÇn tö cùc xh,δ α(h,δ) dÇn tíi nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n (0.1) khi h vµ δ dÇn tíi kh«ng. ViÖc t×m phÇn tö cùc tiÓu cña phiÕm hµm Tikhonov sÏ gÆp nhiÒu khã kh¨n trong tr­êng hîp bµi to¸n phi tuyÕn. §èi víi líp bµi to¸n phi tuyÕn víi to¸n tö ®¬n ®iÖu A : X → X ∗ , F. Browder ®­a ra mét d¹ng kh¸c cña ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov. T­ t­ëng chñ yÕu cña ph­¬ng ph¸p do F. Browder ®Ò xuÊt lµ sö dông mét to¸n tö M : X → X ∗ cã tÝnh chÊt h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu m¹nh lµm thµnh phÇn hiÖu chØnh. J s , ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña X , lµ mét to¸n tö cã tÝnh chÊt nh­ vËy. B»ng ph­¬ng ph¸p nµy, Ya. I. Alber [1] nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh hiÖu chØnh Ah (x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ cho bµi to¸n (0.1) khi Ah : X → X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu. ViÖc chän tham sè hiÖu chØnh chØnh (0.3) khi (3) α = α(δ) thÝch hîp cho ph­¬ng tr×nh hiÖu Ah ≡ A ®· ®­îc ®¸nh gi¸ bëi ®¼ng thøc ρ(α) = K̃δ p , 0 < p < 1, K̃ ≥ 1, víi ρ(α) = αkxδα k. Ph­¬ng tr×nh hiÖu chØnh (0.3) cïng c¸ch chän tham sè α = α(δ) nh­ trªn lµ mét thuËt to¸n hiÖu chØnh Tikhonov cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö kh«ng chØnh (0.1). N¨m 2005, NguyÔn B­êng [5] ®· nghiªn cøu viÖc chän gi¸ trÞ cña tham sè hiÖu chØnh theo nguyªn lÝ ®é lÖch suy réng trªn c¬ së gi¶i ph­¬ng tr×nh ρ(α) = δ p α−q , 0 < p ≤ q cho bµi to¸n (0.1) khi xÐt ph­¬ng tr×nh hiÖu chØnh (0.3) trong tr­êng hîp Ah ≡ A. Trong tr­êng hîp A : X → X lµ mét to¸n tö accretive, ng­êi ta sö dông ph­¬ng tr×nh hiÖu chØnh [2] Ah (x) + αx = fδ , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 5 trong ®ã Ah : X −→ X còng lµ mét to¸n tö accretive víi D(Ah ) = D(A). Môc ®Ých cña luËn v¨n nh»m tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö (0.1) víi to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ to¸n tö accretive. Chó ý r»ng, trong kh«ng gian Hilbert th× tÝnh ®¬n ®iÖu vµ accretive cña to¸n tö lµ trïng nhau [3]. C¸c vÊn ®Ò ®­îc ®Ò cËp trong luËn v¨n lµ: 1. HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö (0.1) víi to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ to¸n tö accretive; 2. Sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh; 3. VÝ dô sè. Néi dung luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy trong hai ch­¬ng. Ch­¬ng 1 giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ to¸n tö accretive. Trong ch­¬ng 2 tr×nh bµy ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ to¸n tö accretive cña Ya. I. Alber [1] vµ [2], tr×nh bµy tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh øng víi tham sè hiÖu chØnh chän tiªn nghiÖm cña NguyÔn B­êng [5] vµ [6]. Cuèi cïng lµ mét vÝ dô sè minh häa. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 6 Mét sè kÝ hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t H kh«ng gian Hilbert thùc X kh«ng gian Banach thùc X∗ kh«ng gian liªn hîp cña Rn kh«ng gian Euclide ∅ tËp rçng X n chiÒu x := y x ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng y ∀x víi mäi ∃x tån t¹i inf F (x) x∈X x x infimum cña tËp {F (x) : x ∈ X} I ¸nh x¹ ®¬n vÞ AT ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn a∼b a t­¬ng ®­¬ng víi b A∗ to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö D(A) miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö R(A) miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö xk → x xk * x d·y A A A A {xk } héi tô m¹nh tíi x d·y {xk } héi tô yÕu tíi x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 7 Ch­¬ng 1 Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö accretive 1.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu 1.1.1. Cho To¸n tö ®¬n ®iÖu X lµ kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö víi miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) = X vµ miÒn ¶nh R(A) n»m trong X ∗ . C¸c kh¸i niÖm trong môc nµy ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [3], [4] vµ [7]. §Þnh nghÜa 1.1 To¸n tö A ®­îc gäi lµ (i) to¸n tö ®¬n ®iÖu (monotone) nÕu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (1.1) (ii) to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt (strictly monotone) nÕu trong bÊt ®¼ng thøc (1.1) dÊu b»ng chØ ®¹t ®­îc khi x = y; (iii) to¸n tö ®¬n ®iÖu ®Òu (uniformly monotone) nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m δ(t) kh«ng gi¶m víi t ≥ 0, δ(0) = 0 vµ
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk , ∀x, y ∈ D(A); NÕu δ(t) = cA t2 víi cA lµ mét h»ng sè d­¬ng th× to¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu m¹nh (strongly monotone); (iv) kh«ng gi·n nÕu kA(x) − A(y)k ≤ kx − yk. NhËn xÐt 1.1. NÕu A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh th× tÝnh ®¬n ®iÖu t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh kh«ng ©m cña to¸n tö. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 8 VÝ dô 1.1 To¸n tö tuyÕn tÝnh A : RM → RM ®­îc x¸c ®Þnh bëi A = B T B, víi B lµ mét ma trËn vu«ng cÊp M , lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. §Þnh nghÜa 1.2 nÕu To¸n tö A ®­îc gäi lµ h-liªn tôc trªn X A(x + ty) * A(x) khi t → 0 víi mäi x, y ∈ X vµ ®­îc gäi lµ d-liªn tôc (demicontinuous) VÝ dô 1.2 trªn X nÕu tõ xn → x suy ra A(xn ) * A(x) khi n → ∞. Hµm hai biÕn: ϕ(x, y) =    xy nÕu (x, y) 6= (0, 0) (x2 + y 2 )  0 lµ (hemicontinuous) nÕu (x, y) = (0, 0) h-liªn tôc. §Þnh nghÜa 1.3 To¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö bøc (coercive) nÕu  A(x), x lim = +∞, ∀x ∈ X. ||x|| ||x||→+∞ §Þnh nghÜa 1.4 Kh«ng gian Banach X ®­îc gäi lµ kh«ng gian Ephimov Stechkin (hay kh«ng gian cã tÝnh chÊt E-S) nÕu héi tô yÕu tô m¹nh X ph¶n x¹ vµ trong X tõ sù (xn * x) vµ sù héi tô chuÈn (kxn k → kxk) lu«n kÐo theo sù héi (kxn − xk → 0). VÝ dô 1.3 Kh«ng gian Hilbert lµ kh«ng gian cã tÝnh chÊt E-S. §Þnh nghÜa 1.5 Víi ∗ s ≥ 2, ¸nh x¹ J s : X −→ 2X (nãi chung lµ ®a trÞ) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi: J s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , xi = kx∗ kkxk; kx∗ k = kxks−1 }, ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña kh«ng gian ®­îc viÕt lµ (1.2) X . Khi s = 2 th× J s J vµ ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña kh«ng gian X . TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®­îc cho trong mÖnh ®Ò sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 9 MÖnh ®Ò 1.1 X lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, 1) J(x) lµ tËp låi, J(λx) = λJ(x), víi mäi λ > 0; 2) J lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi tr­êng hîp ¸ (xem [4]) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Hilbert th× X∗ lµ kh«ng gian låi chÆt. Trong J = I -to¸n tö ®¬n vÞ trong X. nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach. §Þnh lÝ 1.1 (xem [4]) NÕu ngÉu chuÈn t¾c n÷a, nÕu X X∗ J : X → X∗ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹ ®èi lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ J lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× d-liªn lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt. Kh¸i niÖm to¸n tö ®¬n ®iÖu cßn ®­îc m« t¶ dùa trªn ®å thÞ to¸n tö tôc. H¬n Gr(A) cña A trong kh«ng gian tÝch X × X ∗ , trong ®ã Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X}. §Þnh nghÜa 1.6 To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y). TËp Gr(A) ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu nã tháa m·n bÊt ®¼ng thøc trªn. NÕu Gr(A) kh«ng ®­îc chøa thùc sù trong mét tËp ®¬n ®iÖu nµo kh¸c trong X × X ∗ th× to¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Tõ ®Þnh nghÜa nµy ta suy ra kÕt qu¶ sau (xem [4]). MÖnh ®Ò 1.2 To¸n tö ®¬n ®iÖu A : X → X∗ lµ ®¬n ®iÖu cùc ®¹i khi vµ chØ khi tõ bÊt ®¼ng thøc hg − f, y − x0 i ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A), suy ra x0 ∈ D(A) vµ f ∈ A(x0 ). Mét vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i lµ d­íi vi ph©n cña mét hµm låi. §Þnh nghÜa 1.7 Hµm F : X → R ®­îc gäi lµ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 10 (i) låi trªn X nÕu víi mäi x, y ∈ X ta cã F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1]; (ii) låi chÆt trªn (1.3) X nÕu bÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng x¶y ra dÊu b»ng víi x 6= y ; (iii) nöa liªn tôc d­íi trªn X nÕu lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X; y→x (iv) nöa liªn tôc d­íi yÕu trªn X nÕu víi mäi d·y {xn } : xn * x th× lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X. n→∞ §Þnh nghÜa 1.8 Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, F : X → R lµ mét phiÕm hµm låi, chÝnh th­êng trªn X . Ta ®Þnh nghÜa ∂F (x) bëi  ∂F (x) = x∗ ∈ X ∗ : F (x) − F (y) ≤ hx − y, x∗ i, ∀y ∈ X , ∀x ∈ X, (1.4) PhÇn tö x∗ ∈ X ∗ ®­îc gäi lµ d­íi Gradient cña hµm F t¹i x vµ ∂F (x) ®­îc gäi lµ d­íi vi ph©n cña F t¹i x. (xem [4]) Cho §Þnh lÝ 1.2 X lµ kh«ng gian liªn hîp cña nöa liªn tôc d­íi trªn cùc ®¹i tõ X To¸n tö vµo lµ mét kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, X. NÕu F :X →R X∗ lµ hµm låi chÝnh th­êng, X , th× ¸nh x¹ d­íi vi ph©n ∂F lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu X ∗. A ®¬n ®iÖu cùc ®¹i khi vµ chØ khi miÒn ¶nh cña A + λJ lµ toµn bé kh«ng gian X ∗ , ®ã lµ néi dung cña ®Þnh lý sau. §Þnh lÝ 1.3 (xem [4]) Cho vµ låi chÆt, J : X → X∗ X vµ lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. Khi ®ã nÕu víi mäi X ∗ lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹ A X, A : X → X∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i nÕu vµ chØ λ > 0, R(A + λJ) lµ toµn bé X ∗ . §Þnh lý sau ®©y chØ ra r»ng bÊt cø mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, chÆn nµo tõ h-liªn tôc vµ bÞ X vµo X ∗ còng ®Òu lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 11 §Þnh lÝ 1.4 X → X∗ (xem [4]) Cho X lµ mét kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, h-liªn lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Khi ®ã A+B tôc vµ bÞ chÆn, B: A : X → X∗ lµ còng lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. TÝnh bÞ chÆn cña to¸n tö nã lµ toµn bé kh«ng gian §Þnh lÝ 1.5 A sÏ lµ kh«ng cÇn thiÕt nÕu miÒn x¸c ®Þnh cña X . Ta cã kÕt qu¶ sau. (xem [4]) Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹, vµ A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu, h-liªn tôc víi D(A) ≡ X . Khi ®ã A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i. Ngoµi ra, nÕu 1.1.2. A lµ to¸n tö bøc th× ta cã R(A) = X ∗ . Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu XÐt ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.5) A(x) = f, víi A : X → X ∗ lµ mét to¸n tö cho tr­íc, f ∈ X ∗ . Sù tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.5) ®­îc cho trong ®Þnh lý sau. §Þnh lÝ 1.6 (xem [3]) Cho kh«ng gian Banach ph¶n x¹ A(x) = f A X cã nghiÖm víi mäi Chøng minh: lµ mét to¸n tö vµo h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ bøc tõ X ∗ , víi D(A) = X . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh f ∈ X ∗. Theo §Þnh lý 1.5, A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i vµ do ®ã tõ §Þnh lý 1.3 suy ra tån t¹i mét phÇn tö xα ∈ D(A) sao cho yα + αJxα = f, yα ∈ A(xα ). Suy ra kf kkxα k ≥ hf, xα i = hyα , xα i + αkxα k2 ≥ hyα , xα i. Do ®ã hyα , xα i ≤ kf k, yα ∈ A(xα ). kxα k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.6) Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 12 V× A lµ to¸n tö bøc nªn tõ bÊt ®¼ng thøc nµy suy ra d·y {xα } bÞ chÆn. Do ®ã xα * x̄ ∈ X khi α → 0. Tõ (1.6) ta suy ra yα = f − αJ(xα ) ®ång thêi sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña to¸n tö A ta suy ra hf − αJ(xα ) − y, xα − xi ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A) Cho α → 0 ta nhËn ®­îc hf − y, x̄ − xi ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Gr(A). V× A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i, nªn tõ bÊt ®¼ng thøc nµy vµ MÖnh ®Ò 1.2 ta suy ra f ∈ A(x̄). §Þnh lý ®­îc chøng minh. 2 Ký hiÖu S0 lµ tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.5), gi¶ thiÕt nghiÖm tån t¹i. Ta cã ®Þnh lý sau (xem [7]). §Þnh lÝ 1.7 NÕu vµ ®ãng trong A : X −→ X ∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu cùc ®¹i th× S0 lµ tËp låi X. Chøng minh:LÊy f1 , f2 ∈ A(x). V× A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu nªn ta cã: hf1 − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A), (1.7) hf2 − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ Gr(A). (1.8) vµ §Æt f = tf1 + (1 − t)f2 víi t ∈ [0, 1]. Nh©n (1.7) víi t, (1.8) víi (1 − t) råi céng hai bÊt ®¼ng thøc t­¬ng øng ta ®­îc: thf1 − g, x − yi + (1 − t)hf2 − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA ⇔ hf − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA. VËy f ∈ A(x) hay S0 lµ tËp låi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 13 LÊy fn ∈ Ax, fn → f ∗ . Ta chøng minh f ∗ ∈ A(x). ThËt vËy, hfn − g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA. Cho n → ∞ ta ®­îc hf ∗ − g, x − yi ≥ 0. Suy ra f ∗ ∈ A(x). VËy S0 lµ tËp ®ãng. 2 §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.5) cßn ®­îc nghiªn cøu trong bæ ®Ò sau. Bæ ®Ò 1.1 (xem [3]) Cho liªn hîp cña nÕu tån t¹i X, f ∈ X ∗ x0 ∈ X X vµ lµ kh«ng gian Banach thùc. A : X −→ X ∗ lµ mét to¸n tö X∗ lµ kh«ng gian h-liªn tôc. Khi ®ã tháa m·n bÊt ®¼ng thøc: (1.9) hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X th× x0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh §Æc biÖt nÕu A A(x) = f . lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu trªn X th× (1.9) trªn t­¬ng ®­¬ng víi: (1.10) hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Chøng minh:Gi¶ lµ sö x0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh A(x) = f tøc A(x0 ) 6= f . Khi ®ã theo ®Þnh nghÜa vÒ chuÈn, tån t¹i mét vect¬ z 6= 0 sao cho: 1 hA(x0 ) − f, zi > kzkkA(x0 ) − f k > 0. 2 MÆt kh¸c, do A lµ to¸n tö h-liªn tôc nªn víi t > 0 kh¸ bÐ ta cã:   1   hA(x0 − tz) − A(x0 ), zi ≤ kzk.kA(x0 ) − f k. 3 Tõ ®iÒu kiÖn cña bæ ®Ò, thay (1.11) x bëi x0 − tz ta cã: hA(x0 − tz) − f, (x0 − tz) − x0 i ≥ 0. hay hA(x0 − tz) − Ax0 , −tzi + hA(x0 ) − f, −tzi ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 14 BÊt ®¼ng thøc nµy t­¬ng ®­¬ng víi hA(x0 − tz) − A(x0 ), −zi ≥ hA(x0 ) − f, zi. Do ®ã  1    hA(x0 − tz) − A(x0 ), zi > .kzk.kA(x0 ) − f k > 0. 2 §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1.11). VËy x0 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö A(x) = f . B©y giê, gi¶ sö A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, khi ®ã hA(x) − A(x0 ), x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X, x0 ∈ X. BÊt ®¼ng thøc nµy t­¬ng ®­¬ng víi 0 ≤ hA(x) − A(x0 ), x − x0 i = h(A(x) − f ) − (A(x0 ) − f ), x − x0 i hay hA(x) − f, x − x0 i ≥ hA(x0 ) − f, x − x0 i. Tõ (1.10) vµ bÊt ®¼ng thøc nµy ta suy ra (1.9). Ng­îc l¹i gi¶ sö ta cã (1.9), khi ®ã víi mäi t ∈ (0, 1) suy ra hA[(1 − t)x0 + tx] − f, (1 − t)x0 + tx − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X, suy ra thA[(1 − t)x0 + tx] − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Chia c¶ hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc nµy cho chÊt t sau ®ã cho t → 0 vµ sö dông tÝnh h-liªn tôc cña to¸n tö A ta ®­îc bÊt ®¼ng thøc (1.10). 2 Bæ ®Ò 1.1 cã tªn lµ bæ ®Ò Minty, tªn mét nhµ to¸n häc Mü, ng­êi ®· chøng minh kÕt qu¶ trªn trong tr­êng hîp kh«ng gian Hilbert vµ sau nµy chÝnh «ng vµ Browder ®· chøng minh mét c¸ch ®éc lËp trong kh«ng gian Banach. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 15 1.2. To¸n tö accretive 1.2.1. To¸n tö accretive Cho X lµ mét kh«ng gian Banach ph¶n x¹ thùc, X ∗ lµ kh«ng gian liªn hîp cña X , X vµ X ∗ lµ c¸c kh«ng gian låi chÆt, A : D(A) = X → X lµ mét to¸n tö. §Þnh nghÜa 1.9 To¸n tö A ®­îc gäi lµ (i) to¸n tö accretive nÕu hJ(x − y), A(x) − A(y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); (ii) to¸n tö accretive ngÆt nÕu dÊu b»ng ë bÊt ®¼ng thøc trªn chØ ®¹t ®­îc khi x = y; (iii) to¸n tö accretive ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm t¨ng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, sao cho hJ(x − y), A(x) − A(yi ≥ γ(||x − y||), ∀x, y ∈ D(A); (iv) accretive m¹nh nÕu (v) to¸n tö accretive γ(t) = ct2 , c > 0; A ®­îc gäi lµ bøc (coercive) nÕu hJ(x), A(x)i ≥ c(||x||).||x||, ∀x ∈ D(A), trong ®ã c(t) → +∞ khi t → +∞. (vi) to¸n tö accretive mäi A ®­îc gäi lµ m-accretive nÕu R(A + αI) = X, víi α > 0, I lµ to¸n tö ®¬n vÞ trong X . Kh¸i niÖm to¸n tö accretive cßn ®­îc m« t¶ dùa trªn ®å thÞ kh«ng gian tÝch Gr(A) trong X × X ∗. §Þnh nghÜa 1.10 To¸n tö A ®­îc gäi lµ (i) to¸n tö accretive nÕu hJ(x1 − x2 ), y1 − y2 i ≥ 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 16 víi mäi x1 , x2 ∈ D(A), y1 ∈ A(x1 ), y2 ∈ A(x2 ). (ii) accretive cùc ®¹i nÕu ®å thÞ cña nã kh«ng thùc sù chøa trong ®å thÞ cña bÊt k× mét to¸n tö accretive nµo kh¸c. MÖnh ®Ò 1.3 (xem [3]) Cho A : X −→ X lµ mét to¸n tö. Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: A lµ to¸n tö accretive. i) ii) Víi mäi λ > 0 vµ ∀x1 , x2 ∈ D(A) ||x1 − x2 || ≤ ||x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||. (1.12) Chøng minh: i) ⇒ ii) Gi¶ sö A lµ to¸n tö accretive, khi ®ã víi mäi λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A) ta cã hJ(x1 − x2 ), x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))i = hJ(x1 − x2 ), x1 − x2 i + λhJ(x1 − x2 ), A(x1 ) − A(x2 )i ≥ ||x1 − x2 ||2 . Tõ bÊt ®¼ng thøc nµy vµ tÝnh chÊt cña J ta suy ra (1.12). ii) ⇒ i) V× tÝnh låi cña hµm ||x||2 , ta cã thÓ viÕt ||x1 − x2 ||2 ≥ ||x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||2 − 2λhJ(x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))), A(x1 ) − A(x2 )i. Tõ (1.12) vµ bÊt ®¼ng thøc cuèi cïng suy ra hJ(x1 − x2 + λ(A(x1 ) − A(x2 ))), A(x1 ) − A(x2 )i ≥ 0. Cho λ → 0 vµ sö dông tÝnh h-liªn tôc cña J ta suy ra A lµ to¸n tö accretive. 2 MÖnh ®Ò 1.4 X vµo (xem [3]) Cho A:X →X lµ to¸n tö tõ kh«ng gian Hilbert X . Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 17 A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu. i) ii) A lµ to¸n tö accretive. Chøng minh: i)⇒ ii) Víi mäi λ > 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A). Ta cã ||(x1 − x2 ) + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||2 = ||x1 − x2 ||2 + 2λhA(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 i (1.13) + λ2 ||A(x1 ) − A(x2 )||2 . V× A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu nªn hA(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 i ≥ 0. Do ®ã tõ (1.13) suy ra, ||(x1 − x2 ) + λ(A(x1 ) − A(x2 ))||2 ≥ ||x1 − x2 ||2 , ∀x1 , x2 ∈ D(A). Theo MÖnh ®Ò 1.3 suy ra ii)⇒ i) V× A lµ to¸n tö accretive. A lµ to¸n tö accretive vµ (1.13) suy ra 2λhA(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 i + λ2 ||A(x1 ) − A(x2 )||2 ≥ 0. Chia c¶ hai vÕ cña (1.14) cho (1.14) λ råi cho λ → 0+ ta ®­îc hA(x1 ) − A(x2 ), x1 − x2 i ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ D(A). VËy A lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu. 2 Bæ ®Ò 1.2 (xem [3]) NÕu T :X→X lµ to¸n tö kh«ng gi·n th× A=I −T lµ to¸n tö accretive. Chøng minh: Víi mäi x, y ∈ D(A) ta cã hJ(x − y), A(x) − A(y)i = −hJ(x − y), T (x) − T (y)i + hJ(x − y), x − yi ≥ kx − yk2 − kT (x) − T (y)kkx − yk ≥ kx − yk2 − kx − yk2 = 0. 2 §Þnh lÝ 1.8 (xem [3]) Cho A : X −→ X lµ to¸n tö accretive, h-liªn tôc víi D(A) = X . Khi ®ã A lµ to¸n tö accretive cùc ®¹i. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 18 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö accretive §Þnh nghÜa 1.11 ¸nh x¹ ®èi ngÉu J : X −→ X ∗ ®­îc gäi lµ (w-to-w) nÕu víi bÊt k× d·y continuous weak-to-weak xn ⊂ D(J) sao cho xn * x0 th× J(xn ) * J(x0 ). §Þnh nghÜa 1.12 tö ®¬n vÞ trong Kh«ng gian Banach X ®­îc gäi lµ cã tÝnh xÊp xØ nÕu to¸n X cã thÓ xÊp xØ ®Òu trªn mét tËp con compact cña X bëi mét to¸n tö tuyÕn tÝnh cã h¹ng h÷u h¹n. Bæ ®Ò 1.3 Xn (xem [3]) Gi¶ sö lµ to¸n tö chiÕu Pn∗ : X ∗ −→ Xn∗ X Xn lµ kh«ng gian Banach lªn kh«ng gian con lµ to¸n tö liªn hîp cña Xn cña n X chiÒu, víi Pn : X −→ kPn k = 1 vµ Pn . Khi ®ã Pn∗ J(x) = J(x) víi mäi x ∈ Xn . Chøng minh: DÔ thÊy, víi ∀x ∈ Xn ta cã hPn∗ J(x), xi = hJ(x), Pn (x)i = hJ(x), xi (1.15) = kJxkkxk = kxk2 . V× kPn∗ k = kPn k = 1 nªn kPn∗ J(x)k ≤ kPn∗ k.kJ(x)k = kJ(x)k = kxk. MÆt kh¸c tõ hîp víi (1.16) (1.15) suy ra kxk2 ≤ kPn∗ J(x)kkxk hay kxk ≤ kPn∗ J(x)k. KÕt (1.16) ta cã kxk = kPn∗ J(x)k. V× J lµ to¸n tö ®¬n trÞ nªn Pn∗ J lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu trong X vµ Pn∗ J(x) = J(x), ∀x ∈ Xn . 2 §Þnh lÝ 1.9 (xem [3]) Cho cã tÝnh xÊp xØ, ngÉu J X A : X −→ X vµ X∗ lµ to¸n tö accretive víi lµ w-to-w. NÕu tån t¹i sè mét phÇn tö lµ c¸c kh«ng gian Banach låi chÆt, r>0 D(A) = X, ¸nh x¹ ®èi sao cho víi mäi x mµ ||x|| = r y = A(x) sao cho hJ(x), A(x) − f i ≥ 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên X http://www.lrc-tnu.edu.vn cã Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 19 th× ph­¬ng tr×nh (1.5) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm Chó ý 1.1. TÊt c¶ c¸c ®iÒu kiÖn nªu trong §Þnh lý 1.9 ®Òu tháa m·n víi kh«ng gian Banach Chó ý 1.2. x tháa m·n ||x|| ≤ r. X = lp , p > 1. NÕu to¸n tö A trong §Þnh lý 1.9 lµ to¸n tö accretive ngÆt th× ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.5) cã nghiÖm duy nhÊt. 1.3. 1.3.1. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh trªn c¬ së xÐt mét bµi to¸n ë d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.5) víi tö tõ kh«ng gian Banach A : X → Y lµ mét to¸n X vµo kh«ng gian Banach Y , f lµ phÇn tö thuéc Y . Sau ®©y lµ mét ®Þnh nghÜa cña Hadamard (xem [8]). §Þnh nghÜa 1.13 Cho A lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian Y . Bµi to¸n (1.5) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh (well-posed) nÕu 1) ph­¬ng tr×nh A(x) = f cã nghiÖm víi mäi f ∈ Y ; 2) nghiÖm nµy duy nhÊt; 3) vµ nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. NÕu Ýt nhÊt mét trong c¸c ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tháa m·n th× bµi to¸n (1.5) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed). §èi víi c¸c bµi to¸n phi tuyÕn th× ®iÒu kiÖn thø hai hÇu nh­ kh«ng tháa m·n. Do vËy hÇu hÕt c¸c bµi to¸n phi tuyÕn ®Òu lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. H¬n n÷a ®iÒu kiÖn cuèi cïng còng khã thùc hiÖn ®­îc, v× vËy ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y. §Þnh nghÜa 1.14 Bµi to¸n Cho A lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian Y . (1.5) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nÕu nghiÖm cña bµi to¸n nµy kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Bµi to¸n t×m nghiÖm x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = R(f ), ®­îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian (X, Y ) nÕu víi mçi ε > 0 tån t¹i mét sè Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình với Toán tử loại đơn điệu 20 δ(ε) > 0 sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ë ®©y xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chó ý 1.1 Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nh­ng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.5) th­êng ®­îc cho bëi ®o ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c f , ta chØ biÕt xÊp xØ fδ cña nã tháa m·n kfδ − f k ≤ δ . Gi¶ sö xδ lµ nghiÖm cña (1.5) víi f thay bëi fδ (gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi th× δ → 0 th× fδ → f nh­ng víi bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh xδ nãi chung kh«ng héi tô ®Õn x. 1.3.2. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh XÐt ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.5) víi A lµ mét ma trËn vu«ng cÊp M = 8 ®­îc x¸c ®Þnh bëi  1 1 1 1 1 1 1  1 1.0001 1 1 1 1 1   1 1 1.0001 1 1 1 1   1 1 1 1.0001 1 1 1 A=  1 1 1 1.0001 1 1 1  1 1 1 1 1 1.0001 1   1 1 1 1 1 1 1.0001  1 1 1 1 1 1 1 1      1    1    1   1    1   1.0001 1 vµ vÕ ph¶i T f = 8 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 8.0001 ∈ R8 .  Khi ®ã ph­¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm T x = 1 1 1 1 1 1 1 1 ∈ R8 .  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn