Tài liệu Phương trình vi phân với hệ số tuần hoàn

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HOÀN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG 2012 M CL C Trang M c l c……………………………………………………………... 1 M u……………...…………………………………………….... 2 L i c m n…………………………………………………………. 4 Ch 5 th ng 1 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân ng... 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th ng…………... 5 1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng..................... 13 ng 2 Lý thuy t Floquet trên thang th i gian ….......................... 17 Ch 2.1 M t s nh ngh a và tính ch t c b n v thang th i gian………..... 17 ng l c tuy n tính trên thang th i gian....................................... 27 2.3 Lý thuy t Floquet trên thang th i gian ….......................................... 29 2.4 Nhân t Floquet, m Floquet …........................................................ 42 2.5 Áp d ng c a lý thuy t Floquet…....................................................... 50 K t lu n…………………………………………………………… 57 Tài li u tham kh o………………………………………………… 58 2.2 H 2 M U Nhi u bài toán th c t nh các h c h c, các h th ng i n, h sinh thái, h ng l c,…, th tr ng c a ph hoàn. ng c mô t b i các ph ng trình vi phân. M t l p quan ng trình vi phân là l p các ph ng trình vi phân v i h s tu n nh lý Floquet là m t nh lý c b n nh t trong lý thuy t ph ng trình vi phân v i h s tu n hoàn. Nghiên c u các ph ng trình vi phân v i h s tu n hoàn nói chung và lý thuy t Floquet nói riêng là m t ch c các nhà nghiên c u quan tâm, vì ây là mô hình hay g p trong th c t , thí d , h th ng các hành tinh trong h m t tr i, các dao ng v t lý,..., là các h tu n hoàn. Song hành v i ph ng trình vi phân, lý thuy t ph c nghiên c u và phát tri n, Ph ng trình sai phân c ng c bi t trong nh ng n m g n ây (xem [5]). ng trình sai phân không ch là m t mô hình r i r c c a ph phân, mà còn là m t mô hình toán h c ng trình vi c l p, r t nhi u bài toán th c t (trong kinh t , trong k thu t,...) c ng có th mô t c b i h ph ng trình sai phân. N m 1988, nh!m th ng nh t nghiên c u các h r i r c và liên t c, Hilger [8] ã a ra khái ni m thang th i gian. Khái ni m thang th i gian c a Hilger không nh ng ch có ý ngh a toán h c, mà còn có ý ngh a tri t h c sâu s"c. Nó cho phép th ng nh t hai b n ch t c a chuy n r c. Sau khi Hilger ng, ó là tính liên t c và tính r i a ra khái ni m thang th i gian và nghiên c u h ng l c trên thang th i gian, m t s nhà toán h c ã quan tâm nghiên c u và xây d ng lý thuy t Floquet Lu n v n Ph iv ih ng trình vi phân v i h s tu n hoàn có m c ích trình bày lý thuy t Floquet cho h ph hoàn và h ng l c tu n hoàn trên thang th i gian. ng trình vi phân th ng tuy n tính v i h s tu n ng l c tuy n tính tu n hoàn trên thang th i gian tu n hoàn. Ngoài ph n m u, k t lu n, lu n v n g#m hai ch ng. 3 Ch ng 1: Lý thuy t Floquet cho ph Ch ng này trình bày các ng trình vi phân th ng. nh ngh a và tính ch t c b n c a h ph trình vi phân th ng, phát bi u và ch ng minh nh lý Floquet trình vi phân th ng. Các ki n th c trình bày trong Ch i v i ph ng ng ng này ch y u d a vào các tài li u [2], [3], [4]. Ch ng 2: Lý thuy t Floquet trên thang th i gian. Ch ng 2 trình bày m t s nh ngh a và tính ch t v thang th i gian, h ng l c tuy n tính trên thang th i gian, lý thuy t Floquet iv ih ng l c tuy n tính tu n hoàn trên thang th i gian tu n hoàn và m t s ví d áp d ng. N i dung c a Ch ng c trình bày theo các tài li u [6], [7], có tham kh o thêm tài li u [1]. Do th i gian và kh n ng còn nhi u h n ch nên lu n v n này không th tránh kh$i nh ng thi u sót. R t mong nh n c a các th y cô và các b n #ng nghi p. c nh ng ý ki n óng góp quí báu 4 L IC M Tác gi trân tr ng c m Tr ng i h c khoa h c, N n Ban Giám hi u, Phòng ào t o sau i h c, i h c Thái Nguyên ã quan tâm và t o i u ki n t t nh t cho tác gi hoàn thành khóa h c sau i h c. Tác gi xin trân tr ng c m n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Th y cùng các th y cô giáo tham gia gi ng d y l p cao h c K4B khóa 2010-2012 ã em h t nhi t tình và tâm huy t c a mình trang b cho tác gi nh ng ki n th c c s . Tác gi xin trân tr ng c m n tr Phòng ã t o nhi u i u ki n gi ng d y t i tr ng Ph& thông Hermann Gmeiner, H i tác gi có th i gian v'a hoàn thành nhi m v ng, #ng th i hoàn thành t t khóa h c Th c s . Lu n v n này PGS TS T Duy Ph c hoàn thành d is h ng d(n t n tình c a th y giáo ng, Vi n Toán h c. Tác gi xin trân tr ng bày t$ lòng bi t n sâu s"c t i Th y. Tác gi c ng xin g i l i c m n chân thành n các thành viên l p cao h c K4B ã luôn quan tâm, giúp ) tác gi trong su t quá trình h c t p. Xin chân thành c m n gia ình, b n bè ã ng h , tác gi trong su t quá trình h c cao h c và th c hi n ng viên và giúp ) tài lu n v n. Thái Nguyên, tháng 10 n m 2012. 5 CH NG 1 LÝ THUY T FLOQUET CHO H PH NG TRÌNH VI PHÂN TH 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th 1.1.1 H ph ng H ph ng trình vi phân th ng trình vi phân th ng là h ph NG ng ng trình d ng dxi = f i ( t , x1 , x2 ,..., xn ) , i = 1, 2,..., n, t ∈ I + , dt c l p (ch th i gian), I + = {t : t < t < ∞} v i t ∈ trong ó t là bi n t = −∞. Các hàm s G = I+ × D ⊂ ho c ph c n × (1.1.1) fi : G → n , i = 1,..., n cho tr c, xác ho c nh trong n a hình tr . D là t p m trong không gian véc t n chi u th c n . Các hàm kh vi x1 , x2 ,..., xn là các hàm s c n tìm, Kí hi u f1 ( t , x ) x1 x= x2 = column ( x1 ,..., xn ) ; f (t , x) = f2 (t, x ) = column ( f1 (t , x),..., f n (t , x) ). fn (t, x ) xn Khi ó (1.1.1) c vi t d i d ng ph ng trình vi phân vect : dx = f (t, x ) , t ∈ I + , dt Thông th ng, ta òi h$i nghi m c a ph i u ki n ban (1.1.2) ng trình vi phân (1.1.2) ph i th$a mãn u x(t0 ) = x0 v i ( t0 , x0 ) ∈ G cho tr (1.1.3) c. nh ngh a 1.1.1 Hàm véc t th c ho c ph c x = x(t ) thu c l p hàm kh vi C 1 xác nh trong kho ng ( a, b ) ⊂ I + và th$a mãn ph ng trình (1.1.2)-(1.1.3) v i 6 m i a < t < b, trong ó ( t0 , x0 ) ∈ ( a, b ) × D, vi phân (1.1.2), th$a mãn i u ki n ban D i ây nh"c l i Lipschitz ng trình u (1.1.3). nh lý c b n v t#n t i và duy nh t nghi m, là c s nghiên c u tính ch t &n Hàm s c g i là nghi m c a ph nh nghi m c a h ph Lipschitz Cho t p G ⊂ iv i x × n ng trình vi phân th f :G → . Hàm s u theo t n u t#n t i s th c d ng. c g i là n ng L sao cho f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i (t , x1 ) ∈ G, (t , x2 ) ∈ G . Hàm f : G → iv i x n , G = ( a, b ) × D ⊂ × n c g i là hàm Lipschitz a ph ng u theo t n u v i m i i m x ∈ D t#n t i m t lân c n V ( x) ⊂ D c a x sao cho f là Lipschitz iv i x u theo t trong lân c n y, t c là f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i x1 , x2 ∈V ( x) và t ∈ ( a, b ) . nh lý 1.1.1 ( ph nh lý Picard-Lindelöp v s t#n t i và duy nh t nghi m c a ng trình vi phân) Gi s hàm f : G → n xác i u ki n Lipschitz theo x nh và liên t c trên t p m G⊂ × n , th a mãn u theo t trên G : f (t , x1 ) − f (t , x2 ) ≤ L x1 − x2 v i m i (t , x1 ) ∈ G, (t , x2 ) ∈ G. Khi (t 0 y v i m i (t0 , x0 ) ∈ G tìm − d , t0 + d ) , nghi m c a ph c m t s d > 0 sao cho trên kho ng ng trình vi phân (1.1.2) tho mãn i u ki n ban u (1.1.3) là t n t i và duy nh t. Chúng ta có khái ni m &n nh nghi m do Lyapunov a ra n m 1892 d i ây. 7 nh ngh a 1.1.2 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a h ph ng ε cho nh theo Lyapunov khi t → +∞, n u v i m i s d c g i là n tr ng trình (1.1.2)-(1.1.3) c và v i m i t0 ∈ ( t ; +∞ ) , t#n t i s d 1. M i nghi m x(t ) c a ph ng δ = δ (ε , t0 ) > 0 sao cho ng trình (1.1.2)-(1.1.3), k c nghi m η (t ), th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < δ , ph i kéo dài mãn (1.1.4) (1.1.4) c t i vô cùng, t c là m i nghi m x(t ) có i u ki n ban u xác u th$a nh trong kho ng t0 ≤ t < +∞, hay x(t ) ∈ D v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) . 2. Các nghi m ó th$a mãn b t *ng th c: x(t ) − η (t ) < ε v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) . (1.1.5) i u ki n (1.1.5) nói r!ng, các nghi m có i u ki n ban t i i m t0 ph i mãi mãi (v i m i t ≥ t0 ) d nh g n η ( t0 ) trong ε − ng có tr c là η ( t ) . nh ngh a 1.1.3 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph là n u x ( t0 ) u theo t0 khi t → +∞ n u v i m i s d ng trình (1.1.2) ng ε cho tr cg i c, t#n t i s ng δ = δ ( ε ) không ph thu c vào t0 , sao cho v i m i t0 ∈ ( a; +∞ ) , m i nghi m x(t ) c a ph x(t0 ) − η ( t0 ) < δ ng trình (1.1.2) th$a mãn u kéo dài c t i vô cùng (xác i u ki n ban u nh trong kho ng t0 ≤ t < +∞ ) và th$a mãn i u ki n (1.1.5). nh ngh a 1.1.4 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph là không n ng trình (1.1.2) cg i nh theo Lyapunov khi t → +∞ n u t#n t i m t s ε 0 > 0 và m t th i i m t0 ∈ I + sao cho, v i m i s δ > 0, t#n t i ít nh t m t nghi m x(t ) c a 8 ph ng trình (1.1.2) và t#n t i m t th i i m t1 > t0 sao cho x(t0 ) − η ( t0 ) < δ nh ng x(t1 ) − η ( t1 ) ≥ ε 0 . i u này có ngh a là, t#n t i m t th i i m t1 > t0 nghi m x(t ) v t ra kh$i ε − ng có tr c là η ( t ). nh ngh a 1.1.5 Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) c a ph là n ng trình (1.1.2) nh ti m c n khi t → +∞ n u: 1. Nghi m η (t ), ( t0 < t < +∞ ) là &n nh theo Lyapunov khi t → +∞ và 2. V i m+i t0 ∈ I + t#n t i ∆ = ∆ (t0 ) > 0 sao cho t t c x(t ), (t0 ≤ t < +∞) th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < ∆ lim x(t ) − η (t ) = 0. (1.1.6) B!ng phép &i bi n y (t ) = x(t ) − η (t ), ta có th a h ph ng trình (1.1.2) v ng trình d ng y (t ) = f ( t , y ) , v i f (t ,0) ≡ 0. Do ó ta luôn có th gi thi t f (t ,0) ≡ 0. Khi y (1.1.2) có nghi m t m th Các các nghi m u có tính ch t: t →+∞ ph cg i ng (nghi m cân b!ng) η (t ) ≡ 0. nh ngh a (1.1.2)-(1.1.5) có th phát bi u g n gàng h n cho nghi m η (t ) ≡ 0. Thí d , ta nói nghi m t m th f (t ,0) ≡ 0 là n ng η (t ) ≡ 0 c a ph nh ti m c n n u nó &n ng trình (1.1.2) v i nh theo Lyapunov và v i m+i t0 ∈ I + t#n t i ∆ = ∆ (t0 ) > 0 sao cho t t c các nghi m x(t ),(t0 ≤ t < +∞) th$a mãn i u ki n x(t0 ) < ∆ ta u có lim x(t ) = 0. V i m+i t0 cho tr c, hình c u x(t0 ) < ∆ t →+∞ c g i là mi n hút v v trí cân b!ng η (t ) ≡ 0 c a h (1.1.2). nh ngh a 1.1.6 Gi s ph G = I+ × n ng trình (1.1.2) xác nh trong n a không gian . Khi ó n u nghi m η (t ), ( t < t < +∞ ) c a ph ng trình (1.1.2) &n 9 nh ti m c n khi t → +∞ và m i nghi m x(t ), (t0 ≤ t < +∞) ki n lim x(t ) − η (t ) = 0 thì η (t ) c g i là n t →+∞ Nh v y nghi m η (t ) &n u th$a mãn i u nh ti m c n trong toàn th . nh ti m c n trong toàn th n u t i th i i m ban t0 tùy ý, mi n hút c a nghi m ó là toàn th không gian Cùng v i h (1.1.2) ta xét h có nhi%u tác ng th n u . ng xuyên: dx = f ( t , x ) + ϕ (t , x), dt (1.1.7) trong ó ta luôn gi thi t f (t , x) ∈ C 0,1 ( G ) , ϕ (t , x) ∈ C 0,1 ( G ) là các hàm liên t c theo bi n t và kh vi theo bi n x. nh ngh a 1.1.7 Nghi m η (t ), ( t < t < +∞ ) c a ph là n nh v i nhi u tác m i t 0 ∈ I + , t #n t i s ng th ng trình (1.1.2) cg i ng xuyên ϕ (t , x), n u v i m i ε > 0 và v i δ = δ ( t0 , ε ) > 0 sao cho khi ϕ ( t , x ) < δ , m i nghi m x(t ) c a h (1.1.7) th$a mãn i u ki n x(t0 ) − η ( t0 ) < δ c ng u xác nh trên kho ng ( t0 ≤ t < +∞ ) và th$a mãn i u ki n x(t ) − η (t ) < ε v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) . 1.1.2 H ph Xét h ph ng trình vi phân th ng trình vi phân th dxi = dt n k =1 ng tuy n tính ng tuy n tính d ng aik ( t )xk + f i ( t ) , i = 1, n, (1.1.8) trong ó aik (.) , f i (.) ∈ C ( I + ), t c là các h s aik (.) c a xk và các s h ng t do f i (.) c a h (1.1.8) là các hàm s liên t c trên kho ng I + = ( t ; +∞ ). N u không có chú thích gì khác, ta luôn gi thi t các hàm s aik ( t ) , f i ( t ) nh n giá tr th c và xi (t ), i = 1,..., n là các ,n hàm c n tìm c ng nh n các giá tr th c. N u a vào các kí hi u: 10 x ( t ) = column ( x1 ,..., xn ) , A ( t ) = aik ( t ) thì h (1.1.8) có th vi t d i =1,..., n k =1,..., n , f ( t ) = column ( f1 ( t ) ,..., f n ( t ) ) i d ng sau ây: dx = A(t ) x + f (t ), dt (1.1.9) trong ó A (.) , f (.) ∈ C ( I + ). N u f (t ) ≡ 0 thì h (1.1.9) c g i là h tuy n tính thu n nh t. nh lý 1.1.2 ( nh lý t#n t i duy nh t nghi m cho h tuy n tính) V i m i t0 ∈ I + và x0 = column ( x01 ,..., x0 n ) , h (1.1.9) có duy nh t nghi m x(t ) xác v i m i t ∈ I + và th a mãn i u ki n ban kéo dài nh u x ( t0 ) = x0 . H n n a, nghi m ó c t i vô cùng. Khái ni m ma tr n nghi m c b n Xét h ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t t ng ng v i h (1.1.9) dx = A(t ) x. dt Gi s (1.1.10) X ( t ) = [ x1 (t ),..., xn (t ) ], trong ó xi (t ) = column ( x1i (t ),..., xni (t ) ) , i = 1,..., n, là h g#m n nghi m c a h (1.1.10), c l p tuy n tính trên kho ng I + . Ma tr n vuông X ( t ) = [ x1 (t ),..., xn (t ) ], c p n, c l p nên b i n nghi m ó sao cho c t c a nghi m xi (t ), i = 1,..., n th i là c t t a c g i là ma tr n nghi m c b n c a h (1.1.10). N u X ( t0 ) = I n , trong ó I n là ma tr n c a h (1.1.10) c g i là chu n hóa t i t = t0 . 1.1.3 Các tính ch t n Xét h ph n v , thì ma tr n nghi m c b n X ( t ) nh c a h ph ng trình vi phân tuy n tính ng trình vi phân tuy n tính 11 dx = A(t ) x + f (t ) , dt (1.1.9) trong ó A ( t ) , f ( t ) ∈ C ( I + ) và gi s dx = A(t ) x dt là h thu n nh t t (1.1.10) ng ng. Tính ch t 1 T t c các nghi m c a h ph ng trình vi phân tuy n tính nh theo Lyapunov khi t → +∞. nh ho c không n T' tính ch t này, thay vì nói m t nghi m c th c a h ph &n nh, ta có th nói h ph không n u n ng trình vi phân là ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n nh hay nh. Chú ý 1.1.1 Tính ch t trên không úng cho h ph ng trình vi phân phi tuy n vì có ví d ch ra r!ng, h phi tuy n có th v'a có nghi m &n nghi m không &n nh. Tính ch t 2 H ph ng trình vi phân (1.1.9) n t do f (t ) khi và ch! khi nghi m t m th H qu 1.1.1 H ph n nh Lyapunov v i m i s h ng ng η ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t ng nh Lyapunov khi t → +∞. "ng (1.1.10) là n nghi m c a h nh v'a có ng trình vi phân tuy n tính n nh, không n H qu 1.1.2 H ph nh n u ít nh t m t nh n u có m t nghi m không n nh. ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n và ch! khi h tuy n tính thu n nh t t ng "ng n V i h qu trên, nghiên c u tính &n nghiên c u tính &n nh c a nghi m t m th nh khi nh. nh c a m t h tuy n tính ta ch c n ng c a h thu n nh t t ng ng. Chú ý 1.1.2 Dáng i u nghi m c a h tuy n tính không thu n nh t (1.1.9) v i s h ng t do tùy ý f (t ) theo ngh a &n nghi m c a h thu n nh t (1.1.10) t nh c ng t ng ng. ng ng dáng i u c a 12 Vì v y, sau này ta gi i h n vi c nghiên c u tính &n nh ch i v i h vi phân tuy n tính thu n nh t. Tính ch t 3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n khi nghi m t m th ng η ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t nh u khi và ch! ng "ng (1.1.10) là n u khi t → +∞. nh Tính ch t 4 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n ng x ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t nghi m t m th nh ti m c n n u ng "ng (1.1.10) n nh ti m c n khi t → +∞. H qu 1.1.3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) n ch! khi h tuy n tính thu n nh t t Tính ch t 5 H ph ng "ng (1.1.10) n ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) ch! khi m i nghi m x(t ), ( t0 ≤ t < +∞ ) c a h ud n nh ti m c n khi và nh ti m c n. n nh ti m c n khi và n 0 khi t → +∞, t"c là ta có lim x(t ) = 0. t →∞ H qu 1.1.4 H ph ng trình vi phân tuy n tính n nh ti m c n thì n nh ti m c n trong toàn th . Tính ch t 6 H ph ng trình vi phân (1.1.9) x(t ), ( t0 ≤ t < +∞ ) c a h H qu 1.1.5 N u h ph n nh khi và ch! khi m i nghi m u gi i n i trên n a tr c t0 ≤ t < +∞. ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n nh thì m i nghi m c a nó ho c b ch n ho c không b ch n khi t → +∞. 1.1.4 H kh quy Lý thuy t v h ph d ng t ph ng ng trình vi phân tuy n tính v i h s h!ng ã i tr n v-n. M t câu h$i t nhiên t ra là: Li u có th ng trình vi phân tuy n tính v i h s bi n thiên v h ph tuy n tính v i h s h!ng hay không?- Các h nh v y Ta có c xây am th ng trình vi phân c g i là h kh quy. 13 nh ngh a 1.1.8 Ma tr n vuông L (.) ∈ C 1 [t0 ; ∞ ) c p n × n Lyapunov n u các i u ki n sau c g i là ma tr n c th$a mãn: . 1) L(t ), L(t ) b ch n trên kho ng [t0 ; ∞ ) , t c là . sup L ( t ) < ∞,sup L ( t ) < ∞ v i m i t0 ≤ t < ∞. t t 2) det L ( t ) ≥ m > 0, trong ó m là h!ng s d Nh n xét Ma tr n L−1 (t ), ngh ch ng nào ó. o v i ma tr n Lyapunov L ( t ) c ng là ma tr n Lyapunov. nh ngh a 1.1.9 Phép bi n &i tuy n tính y = L(t ) x, (1.1.11) v i L(t ) là ( n × n ) − ma tr n Lyapunov, x và y là các ( n × 1) − véc t , là phép bi n cg i i Liapunov. nh ngh a 1.1.10 H ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t (1.1.10) g i là kh quy theo Lyapunov n u nó th a c v h ph c ng trình vi phân tuy n tính v i ma tr n h!ng dy = By dt (1.1.12) nh m t phép bi n &i Lyapunov y = L ( t ) x. nh lý 1.1.3 (Erugin, xem [2], [4]) H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.10) là kh quy khi và ch! khi m t ma tr n c b n X (t ) nào ó c a nó có th bi u di n c d ng X (t ) = L(t )etB , trong ó L ( t ) là ma tr n Lyapunov, B là ma tr n h#ng s . 1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph Xét h ph ng trình vi phân th ng trình vi phân tuy n tính ng 14 dx = A ( t ) x, t ≥ 0 dt (1.2.1) v i ma tr n A ( t ) có các h s là các hàm s liên t c (ho c liên t c t'ng khúc), và tu n hoàn, t c là A ( t + ω ) = A ( t ). Ta có (1.2.2) nh lý Floquet n&i ti ng sau ây. nh lý 1.2.1 ( nh lý Floquet, xem [2], [4]) Ma tr n nghi m c b n, chu n hóa t i t = 0 c a h tuy n tính (1.2.1) v i ma tr n A ( t ) là ω - tu n hoàn có d ng X (t ) = Φ (t )e Λt , (1.2.3) trong ó Φ (t ) là ma tr n không suy bi n, thu c l p hàm kh vi C 1 (ho c l p hàm liên t c t$ng khúc), ω - tu n hoàn và Φ(0) = I n , còn Λ là ma tr n h#ng. Ch ng minh Gi s X (t ) là ma tr n nghi m c b n chu,n hóa t i 0 c a h (1.2.1), t c là X (0) = I n . (1.2.4) Khi ó, ma tr n X (t + ω ) c ng là ma tr n nghi m c b n. Th t v y, nh #ng . nh t th c X (t ) ≡ A(t ) X (t ), ta có: d d [ X (t + ω )] = X (t + ω ) (t + ω ) = A(t + ω ) X (t + ω ) = A(t ) X (t + ω ). dt dt Nh v y, X (t + ω ) c ng là ma tr n nghi m c b n c b n c a h (1.2.1). Do tính ch t nghi m c a h ph ng trình vi phân tuy n tính, ta có X (t + ω ) = X (t )C , (1.2.5) trong ó C là ma tr n h!ng, không suy bi n. Trong #ng nh t th c (1.2.5), cho t = 0 và ý n i u ki n (1.2.2) ta có: C = X (ω ) V y X (t + ω ) = X (t ) X (ω ). (1.2.6) 15 Ma tr n X (ω ) c g i là ma tr n mônô rômi c a h tu n hoàn (1.2.1). Do X (t ) là ma tr n nghi m c b n nên det X (ω ) ≠ 0. 1 ω t LnX (ω ) = Λ. (1.2.7) Khi y ta có X (ω ) = e Λω . Bi u di%n X (t ) d (1.2.8) i d ng X ( t ) ≡ X (t )e − Λt e Λt = Φ (t )e Λt , (1.2.9) trong ó Φ (t ) = X (t )e − Λt . Ta có: Φ (t + ω ) = X (t + ω )e − Λ ( t +ω ) = X (t + ω )e − Λω e − Λt . ý n (1.2..6) và (1.2.8) ta suy ra: Φ (t + ω ) = X (t ) X (ω ) e − Λω e − Λt = X (t )e Λω .e − Λω .e − Λt = X (t )e − Λt = Φ (t ), ngh a là ma tr n Φ (t ) tu n hoàn v i chu kì ω . Ngoài ra, n u A(t ) ∈ C (−∞; +∞) thì t' (1.2.9) ta suy ra Φ (t ) = X (t ).e − Λt ∈ C 1 (−∞; +∞). H n n a, ta có Φ (0) = I n , det Φ (t ) = det X (t )det e − Λt ≠ 0. nh lý ch ng minh xong. nh ngh a 1.2.1 Các giá tr riêng λ j c a ma tr n Λ, t c các nghi m c a ph ng trình det(Λ − λ I ) = 0 c g i là các s m% c tr ng c a h (1.2.1). nh ngh a 1.2.2 Các giá tr riêng ρ j ( j = 1,…, n ) c a ma tr n C = X (ω ) , t c các nghi m c a ph ng trình c tr ng det[ X (ω ) − ρ I ] = 0 c g i là các nhân t c a h (1.2.1). (1.2.10) 16 nh lý 1.2.2 & i v i m i nhân t ρ , t n t i m t nghi m không t m th ng ξ (t ) c a h (1.2.1) th a mãn i u ki n ξ (t + ω ) = ρξ (t ). Ng c l i, n u i u ki n (1.2.11) th a mãn ng ξ (t ) nào ó thì ρ là nhân t c a h th (1.2.11) i v i m t nghi m không t m ã cho. Ch ng minh 1) Ch n véc t riêng c a ma tr n mônô rômi X (ω ) ng v i giá u ξ (0), ta có: tr riêng ρ làm i u ki n X (ω )ξ (0) = ρξ (0) và ξ (t ) = X (t )ξ (0). T' ó ta có: ξ (t + ω ) = X (t + ω )ξ (0) = X (t ) X (ω )ξ (0) = X (t ) ρξ (0) = ρξ (t ). Nh v y i u ki n (1.2.11) 2) Ng c l i, gi s c th$a mãn. i u ki n (1.2.11) th$a mãn ng ξ (t ) = X (t )ξ (0) nào ó. th t t = 0 ta i v i m t nghi m không t m c ξ (ω ) = ρξ (0), t c là X (ω )ξ (0) = ξ (ω ) = ρξ (0). V y ξ (0) là véc t riêng c a ma tr n mônô rômi X (ω ) và s ρ là nghi m c a ph ng trình det [ X (ω ) − ρ I ] = 0. Ngh a là ρ là nhân t c a h (1.2.1). H qu 1.2.1 H tuy n tính tu n hoàn (1.2.1) có nghi m không t m th ng tu n hoàn v i chu kì ω khi và ch! khi h có ít nh t m t nhân t b#ng 1. nh lý 1.2.3 H tuy n tính v i ma tr n tu n hoàn, liên t c là kh quy. nh lý 1.2.4 1) H tuy n tính thu n nh t tu n hoàn (1.2.1) là n khi m i nhân t ρ j c a nó ó các nhân t n#m trên nv ng tròn ρ = 1 cs c p c xem nh nh ng giá tr riêng c a ma tr n mônô rômi t 2) &i u ki n c n và n#m trong hình tròn óng ρ ≤ 1, trong u n#m trong hình tròn u có h tu n hoàn n n v ρ < 1. nh khi và ch! n n u chúng ng "ng. nh ti m c n là m i nhân t c a nó 17 CH NG 2 LÝ THUY T FLOQUET TRÊN THANG TH I GIAN Nh!m th ng nh t nghiên c u các h r i r c và liên t c, Hilger (1988, [8]) ã ra khái ni m thang th i gian. Ông và m t s ng i khác ã nghiên c u và phát tri n gi i tích (phép toán vi phân và tích phân) và h gian. Sau khi Hilger a ng l c trên thang th i a ra khái ni m thang th i gian và nghiên c u h ng l c trên thang th i gian, m t s nhà toán h c ã quan tâm nghiên c u và xây d ng lý thuy t Floquet Ch iv ih ng l c tu n hoàn trên thang th i gian. ng này trình bày các k t qu c a DaCunha [7] v h ng l c tu n hoàn trên thang th i gian. 2.1 M t s nh ngh a và tính ch t c b n v thang th i gian 2.1.1 Các nh ngh a c b n nh ngh a 2.1.1 Thang th i gian là m t t p con óng tùy ý khác r+ng c a t p các s th c , th ng c kí hi u là Thí d , các t p , , , nhiên khác 0), =h 0 (t p s th c, t p s nguyên, t p s t nhiên, t p s t v i h > 0 là m t s b t kì, là nh ng thang th i gian. T p a ,b = ∞ k =0 k ( a + b ) , k ( a + b ) + a , a, b > 0 là h p c a các kho ng óng xu t phát t' 0, có nhau m t o n có Các t p , dài b, là thang th i gian. \ , , [ 0;1) không ph i là thang th i gian. Ta luôn gi s r!ng, thang th i gian thông th dài a, và hai kho ng cách ng trên t p các s th c . c trang b m t tôpô c m sinh t' tôpô 18 là m t thang th i gian. V i m+i t ∈ nh ngh a 2.1.2 Cho ta nh ngh a toán t nh y ti n (forward jump) và toán t nh y lùi (backward jump) nh sau: 1. Toán t nh y ti n: σ : → σ ( t ) : = inf {s ∈ : s > t}. → , ρ (t ) : = sup {s ∈ : s < t}. 2. Toán t nh y lùi: ρ : nh ngh a 2.1.3 i m t ∈ c g i là i m cô l p ph i (right-scattered) n u σ ( t ) > t ; i m trù m t ph i (right-dense) n u t < sup và σ ( t ) = t ; i m cô l p trái (left-scattered) n u ρ ( t ) < t ; i m trù m t trái (left-dense) n u t > inf và ρ ( t ) = t. i m v'a là cô l p ph i v'a là cô l p trái c g i là i m cô l p (isolated); i m v'a là trù m t ph i v'a là trù m t trái g i là i m trù m t (dense). nh ngh a 2.1.4 Hàm s µ → xác + nh b i µ ( t ) := σ ( t ) − t , t ∈ g i là hàm h t (graininess) c a thang th i gian c tr ng s thay &i c a thang th i gian t i th i i m t. Hàm h t Ví d 2.1.1 1. Khi = thì σ (t ) = t = ρ (t ) và µ (t ) = 0. 2. Khi = thì σ (t ) = t + 1, ρ (t ) = t − 1, µ (t ) = 1. 3. Khi = h = {hz : z ∈ } = {..., −3h, −2h, −h,0, h, 2h,3h,...}, thì σ (t ) = t + h, ρ (t ) = t − h, µ (t ) = h. 4. Khi a ,b = ∞ k =0 k ( a + b ) , k ( a + b ) + a , a, b > 0 thì σ (t ) = t, t ∈ ∞ k =0 t + b, t ∈ k ( a + b ) , k ( a + b ) + a ); ∞ k =0 {k ( a + b ) + a}. h>0 c 19 ρ (t ) = t, t ∈ ∞ k =0 (k (a + b), k (a + b) + a ∞ t − b, t ∈ k =0 µ (t ) = 0, t ∈ ∞ k =0 b, t ∈ ∞ k =0 ; {k ( a + b )}. k ( a + b ) , k ( a + b ) + a ); {k ( a + b ) + a}. Ký hi u ( a, b ) = {t ∈ : a < t < b}. n gi n, khi thang th i gian ã cho, ta s. vi t ( a, b ) ;[ a, b ];[ a, b ) ; ( a; b ] thay cho ( a, b ) ; [ a, b ] ; [ a, b ) ; ( a; b ] . N u thang th i gian k = có ph n t l n nh t M là i m cô l p trái thì ta \ {M }. Trong các tr ng h p còn l i ( không có ph n t l n nh t ho c ph n t l n nh t M không ph i là i m cô l p trái) thì ta th c hi n ch ng minh các t t k = . nh lý trên thang th i gian, ta c n Nguyên lý quy n p trên thang th i gian V i t0 ∈ gi s {S ( t ) : t ∈ [t , ∞ )} 0 là m t h các phát bi u tho mãn: 1. Phát bi u S (t0 ) là úng, 2. N u t ∈ [t0 ; +∞ ) là i m cô l p ph i và S (t ) là úng thì S (σ (t )) c ng úng, 3. N u t ∈ [t0 ; +∞ ) là i m trù m t ph i và S (t ) là úng thì t#n t i m t lân c n U c a t sao cho S ( s ) là úng v i m i s ∈U ∩ ( t ; +∞ ) , 4. N u t ∈ [t0 ; +∞ ) là i m trù m t trái và S(s) là úng v i m i s ∈ [t0 , t ) thì S (t ) là úng. Khi ó, S (t ) là úng v i m i t ∈ [t0 ; +∞ ) . 2.1.2 Tính liên t c