Tài liệu Phương trình và bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ VI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ VI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Định nghĩa và phân loại phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Phương trình hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Một vài dạng khác của phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . 14 1.3.3. Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 18 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình một ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hòa của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.4. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. 27 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình song ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 2.2.2. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hòa của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.4. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3. Bất phương trình hàm cơ bản chuyển đổi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ các phép tính số học của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 40 40 Bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều 3.3. hòa của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 MỞ ĐẦU Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đề phương trình hàm đóng một vai trò đặc biệt. Đó là dạng chuyên đề cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, nhưng lại chưa được dạy và học một cách cơ bản và hệ thống ở bậc đại học. Vì vậy việc tiếp cận tới lý thuyết cũng như thực hành phương pháp giải phương trình và bất phương trình hàm còn có những bất cập, cần được chú trọng nhiều hơn. Phương trình và bất phương trình hàm luôn là sự hấp dẫn đối với giáo viên và học sinh vì nó thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, olympic Toán khu vực và quốc tế. Mục tiêu của luận văn “Phương trình và bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình” nhằm trình bày một số vấn đề cơ bản của phương trình và bất phương trình hàm với cặp biến tự do liên quan đến các đại lượng trung bình cơ bản của cặp số dương là đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình bình phương. Từ đó, tạo ra một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông. Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương. Chương 1 trình bày về khái niệm phương trình hàm, mối liên hệ cơ bản giữa một số đại lượng trung bình và các đặc trưng hàm với cặp biến tự do tương ứng, phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm Jensen. Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình cơ bản một ẩn hàm và song ẩn hàm. Chương 3 trình bày một số một dạng bất phương trình hàm chuyển đổi 4 các đại lượng trung bình cơ bản trong lớp các hàm số liên tục. Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã giúp tôi hoàn thành tiểu luận về Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình để từ đó tôi có ý tưởng phát triển nó thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa 6 (2012 − 2014) đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thái Nguyên - Đại học Khoa Học đã tạo điều kiện cho tôi được học tập trong môi trường tốt nhất. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! 5 CHƯƠNG 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa và phân loại phương trình hàm Trong mục này trình bày lại một vài khái niệm cơ bản đã được giới thiệu trong bài báo của Kuczma [12] (xem [1]-[2]) về phương trình hàm. Trước khi định nghĩa phương trình hàm chúng ta nhắc lại khái niệm từ. Định nghĩa 1.1. Khái niệm từ được định nghĩa như sau đây: (1) Các biến độc lập được gọi là các từ. (2) Nếu t1 , · · · , tp là các từ và f (x1 , · · · , xp ) là một hàm p biến thì f (t1 , · · · , tp ) cũng là một từ. (3) Không tồn tại các loại từ khác. Sau khi có khái niệm từ, Phương trình hàm được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.2. Phương trình hàm là một phương trình dạng t1 = t2 giữa hai từ t1 , t2 , và hai từ đó phải chứa tối thiểu một hàm chưa biết và một số hữu hạn các biến số độc lập. Phương trình t1 = t2 sẽ phải thỏa mãn đối với tất cả các giá trị nhận được của các biến thuộc một tập xác định nào đấy. Nghiệm của phương trình hàm có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tập nào đó. Như vậy, một phương trình hàm được hiểu nôm na như những bài toán xác định những hàm số f (x) thỏa mãn một số tính chất T1 , . . . , Tn nào đó. Giải phương trình hàm tức là tìm tất cả những hàm f (x) thỏa mãn tất cả những tính chất T1 , . . . , Tn . Khi giải phương trình hàm, với mỗi tính chất Tk ta tìm cách tiến dần đến hàm số cần tìm. Với hàm số tìm được ta kiểm tra lại xem nó có thỏa mãn tất cả những tính chất Tk hay không? Thường giải phương trình hàm được đưa về giải một hệ phương trình hay một dãy 6 truy hồi. Từ những kết quả đã đạt được về đa thức hoặc hàm liên tục ta có thể dễ dàng giải được bài toán. Chúng tôi chỉ giới thiệu một vài dạng cơ bản về phương trình hàm. Một số hàm sau thường được sử dụng trong một vài bài toán về phương trình hàm: ex + e−x ex − e−x và cosh x = . (i) sinh x = 2 2 ex − e−x sinh x (ii) tanh x = x = . e + e−x cosh x Định nghĩa 1.3. Phương trình hàm trong đó mọi hàm chưa biết đều là những hàm một biến được gọi là phương trình hàm thông thường. Phương trình hàm trong đó ít nhất một trong các hàm chưa biết là hàm nhiều biến được gọi là phương trình hàm riêng. W. Maier còn đưa ra khái niệm hạng của phương trình trong bài báo của mình: Định nghĩa 1.4. Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm được gọi là hạng của phương trình ấy. Phân loại phương trình hàm Vấn đề phân loại phương trình hàm là rất khó và hiện nay vẫn chưa được giải quyết thỏa đáng. J. Aczel trong công trình của mình ông đã tuân theo các bước sau: một hoặc nhiều hàm ẩn một hoặc nhiều biến - tất cả bốn loại. Tất nhiên, việc phân loại là rất khó; cho dù là có ích. Định nghĩa 1.5. Phương trình hàm trong đó mọi hàm ẩn là hàm một biến được gọi là phương trình hàm đơn (một) biến (thông thường). Phương trình hàm trong đó ít nhất một trong các hàm ẩn là hàm một biến được gọi là phương trình hàm riêng. Lưu ý rằng hàm riêng có thể hoàn toàn được xác định bằng phương trình hàm đơn biến, ngược với phương pháp 7 trong phương trình vi phân. Mệnh đề về phân loại phương trình hàm thông thường được nêu trong tài liệu của Kuczma. Định nghĩa 1.6. Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm được gọi là bậc của phương trình này. Một vài hàm đặc biệt J. Aczel đã đưa ra các phương pháp tổng quát về giải phương trình hàm các cấp, ví dụ: ϕ(x + y) = F [ϕ(x), ϕ(y)], ϕ x + y  2 = F [ϕ(x), ϕ(y)] (1.1) (1.2) ϕ(ax + by + c) = F [ϕ(x), ϕ(y)], (1.3) G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = 0 (1.4) Ông cũng đưa ra các tiêu chí về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm. Kể từ đó, các phương pháp tổng quát đã được J. Aczel và các học trò của ông tìm ra. Trong luận văn này, ta xét bốn đại lượng trung bình cơ bản của các đối số (xem [2]): x+y ; x, y ∈ R. 2 √ 2. Trung bình nhân các đối số xy; x, y ∈ R+ . 1. Trung bình cộng các đối số 2xy ; x, y ∈ R+ . x+y q 2 2 + 4. Trung bình bình phương các đối số x +y 2 , ∀x ∈ R . 3. Trung bình điều hòa các đối số và các đại lượng trung bình của các hàm số 8 f (x) + f (y) ; f (x), f (y) ∈ R. 2 p 2. Trung bình nhân các hàm số f (x)f (y); f (x), f (y) ∈ R+ . 1. Trung bình cộng các hàm số 2f (x)f (y) ; f (x), f (y) ∈ R+ . f (x) + f (y) q 2 (y)]2 4. Trung bình bình phương các hàm số [f (x)] +[f , f (x), f (y) ∈ R. 2 3. Trung bình điều hòa các hàm số và xét các bài toán xác định hàm số chuyển đổi các đại lượng từ trung bình của các đối số sang các đại lượng trung bình của các hàm số. 1.2. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệm của các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất tiêu biểu của một số dạng hàm số quen biết. • Hàm tuyến tính f (x) = ax (a 6= 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. • Hàm bậc nhất f (x) = ax + b (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất  x + y  f (x) + f (y) = , ∀x, y ∈ R f 2 2 . • Hàm lũy thừa f (x) = |x|k , có tính chất f (xy) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}. • Hàm mũ f (x) = ax , (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R. 9 • Hàm logarit f (x) = loga |x|, (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}. • Hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R. b) Hàm f (x) = cos x có tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R và f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. c) Cặp hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất  f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. d) Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) 1 − f (x)f (y) (2k + 1)π π π , x 6= + kπ, y 6= + kπ (k ∈ Z). 2 2 2 e) Hàm f (x) = cot x có tính chất với x, y ∈ R, x + y 6= f (x + y) = f (x)f (y) − 1 f (x) + f (y) với x, y ∈ R, x + y 6= kπ, x 6= kπ, y 6= kπ (k ∈ Z). • Hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất p p 2 f (x) + f (y) = f (x 1 − y + y 1 − x2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1]. 10 b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất p p g(x) + g(y) = g(xy − 1 − x2 1 − y 2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1]. c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất  x+y  h(x) + h(y) = h , ∀x, y : xy 6= 1. 1 − xy ex + e−x d) Hàm q(x) = coth x := x có tính chất e − e−x 1 + q(x)q(y) q(x + y) = , ∀x, y : x, y, x + y 6= 0. q(x) + q(y) • Các hàm hyperbolic 1 a) Hàm f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất 2 f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R. 1 b) Hàm g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất 2 g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R. ex − e−x có tính chất ex + e−x h(x) + h(y) h(x + y) = , ∀x, y ∈ R. 1 + h(x)h(y) c) Hàm h(x) = tanh x := ex + e−x d) Hàm q(x) = coth x := x có tính chất e − e−x 1 + q(x)q(y) q(x + y) = , ∀x, y : x, y, x + y 6= 0. q(x) + q(y) 1.3. Phương trình hàm cơ bản 1.3.1. Phương trình hàm Cauchy Phương trình f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.5) trong lớp hàm liên tục trên R được gọi là phương trình hàm Cauchy. 11 Bài toán 1.1. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. Lời giải. Vì f (0) = 0 nên f (−x) = −f (x). Với y = x có f (2x) = 2f (x). x Bằng quy nạp theo n ∈ N ta có f (nx) = nf (x). Thay x qua ta được n 1 x f ( ) = f (x). n n p p p Từ đó suy ra: Với mọi số hữu tỷ ta có f ( x) = f (x). q q q Giả sử α ∈ R và dãy số hữu tỷ (pn ) thỏa mãn lim pn = α. n→+∞ Do f là hàm liên tục nên   f (αx) = f lim pn x = lim f (pn x) = lim pn f (x) = αf (x). n→+∞ n→+∞ n→+∞ Vậy f (ax) = af (x) với mọi a, x ∈ R. Cho x = 1 có f (a) = af (1) hay f (x) = xf (1) với mọi x ∈ R. Đặt a = f (1) ta có f (x) = ax, ∀x ∈ R. Kết luận: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tùy ý. Bài toán 1.2. Tìm các hàm f (x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. (1.6) Lời giải. Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (1.6) ta được f (0) = 0, f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R. Suy ra f (x) > 0 khi x > 0 và f (mx) = mf (x), ∀x ∈ R, m ∈ N∗ . (1.7) 12 x vào (1.7) ta được m x 1 f = f (x), ∀x ∈ R, ∀m ∈ N∗ . m m Do f (x) đồng biến trên R nên     −1 1 1 −1 < f (x) < f ⇔ 0. Kết luận: f (x) = ax, ∀x ∈ R, a > 0 tùy ý. Bài toán 1.3. Cho c > 0, xác định các hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện  f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.8) |f (x)| ≤ c, ∀x ∈ [−1; 1]. Lời giải. Từ (1.8) ta suy ra f (qx) = qf (x), ∀q ∈ Q, ∀x ∈ R. Giả sử {xn } là dãy số thực và {qn } là dãy số hữu tỷ tùy ý sao cho lim xn = 0, lim qn = +∞; n→∞ n→∞ lim (qn xn ) = 0, xn , qn 6= 0, ∀n ∈ N. n→∞ (Để lập dãy {qn } thỏa mãn điều kiện trên, chỉ cần cho tương ứng với mỗi số tự nhiên n một số hữu tỷ qn sao cho 1 1 p < qn < p 3 |xn | |xn | 13 trong đó |f (qn xn )| ≤ M, ∀n ∈ Z+ ). Khi đó      1 1 qn xn  = |f (qn xn )|, ∀n ∈ N. |f (xn )| = f qn qn Do vậy lim f (xn ) = 0 = f (0). n→∞ Vậy f (x) liên tục tại x = 0 và lim[f (x + y) − f (x)] = lim f (y) = 0 y→0 y→0 Suy ra f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ R. Theo Bài toán 1.1 ta có f (x) = ax với a ∈ R và |a| ≤ c. Kết luận: f (x) = ax, với a ∈ R tùy ý sao cho |a| ≤ c. Bài toán 1.4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện  f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.9) f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 0. Lời giải. Từ (1.9) ta chứng minh được f (x) = xf (1), ∀x ∈ Q. Nếu x ≥ y thì x − y ≥ 0. Do đó f (x) = f ((x − y) + y) = f (x − y) + f (y) ≥ f (y) Suy ra f là hàm tăng. Với x ∈ R, do tính chất trù mật của tập các số hữu tỉ nên tồn tại {pn }, {qn } ⊂ Q sao cho  pn < x < q n {pn } tăng tới x, {qn } giảm xuống x. ⇒ pn f (1) = f (pn ) ≤ f (x) ≤ f (qn ) = qn f (1) ⇒ lim (pn f (1)) ≤ f (x) ≤ lim (qn f (1)) n→∞ n→∞ 14 ⇒ xf (1) ≤ f (x) ≤ xf (1) ⇒ f (x) = xf (1), ∀x ∈ R. Do đó f (x) = cx, c ≥ 0. Thử lại thấy hàm số f (x) thỏa mãn. Kết luận: f (x) = cx, c ≥ 0. 1.3.2. Một vài dạng khác của phương trình hàm Cauchy Ngoài các phương trình hàm Cauchy ở trên, những phương trình hàm sau có thể đưa về phương trình hàm Cauchy một cách dễ dàng. Người ta coi chúng là những dạng khác của phương trình hàm Cauchy. Bài toán 1.5 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. (1.10) Lời giải. Ta nhận thấy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của phương trình (1.10). Xét trường hợp f (x) 6≡ 0. Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) 6= 0. Ta có f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x).f (x0 − x) 6= 0, ∀x ∈ R. Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R và x  h  x i2 f (x) = f + = f > 0, ∀x ∈ R. 2 2 2 Đặt ln f (x) = g(x) (nghĩa là f (x) = eg(x) ). x Khi đó g(x) liên tục trên R và g(x + y) = ln f (x + y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x) + ln f (y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R. 15 Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì g(x) = bx, b ∈ R tùy ý. Do đó f (x) = ebx = ax với 0 < a 6= 1. Kết luận: f (x) ≡ 0 ; f (x) = ax , với 0 < a 6= 1. Bài toán 1.6 (Phương trình hàm Cauchy dạng logarit). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ . (1.11) Lời giải. Với x, y ∈ R+ . Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó phương trình (1.11) có dạng g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R. (1.12) Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì từ (1.12) ta có g(t) = bt và do đó f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+ , a ∈ R tùy ý . Thử lại, ta thấy hàm f (x) = b ln |x|, với b ∈ R tùy ý thỏa mãn điều kiện bài toán. Kết luận: f (x) = b ln |x|, ∀x ∈ R+ , với b ∈ R tùy ý. Bài toán 1.7 (Phương trình hàm Cauchy dạng lũy thừa). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ . (1.13) Lời giải. Thay y = 1 vào (1.13) ta được f (x)(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R+ . (1.14) 16 Nếu f (1) 6= 1 thì từ (1.15) suy ra f (x) ≡ 0 và nghiệm này thỏa mãn (1.13). Xét f (1) = 1, khi đó  1 f (1) = f x x    1 = f (x).f , ∀x ∈ R+ . x Suy ra f (x) 6= 0, ∀x ∈ R+ và do đó f (x2 ) = f (x)f (x) = [f (x)]2 > 0, ∀x ∈ R+ . Với x, y ∈ R+ , đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó ta có g(u + v) = g(u)g(v), ∀u, v ∈ R. Theo Bài toán 1.10 thì g(t) = at , ∀t ∈ R, a > 0 tùy ý. Do vậy f (x) = f (eu ) = g(u) = aln x = eln a
ln x = xln a = xα , ∀x ∈ R, α = ln a. Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn điều kiện bài ra. Kết luận: Nghiệm của bài toán là một trong các hàm số sau: 1) f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ . 2) f (x) = |x|α , x ∈ R+ , α tùy ý. 1.3.3. Phương trình hàm Jensen Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Jensen). Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện  x + y  f (x) + f (y) f = , ∀x, y ∈ R. 2 2 Lời giải. Đặt f (x) − f (0) = g(x), ta có g(x) liên tục trên R với g(x) = 0 và   x+y g(x) + g(y) g = , ∀x, y ∈ R. 2 2 (1.15) 17 Lần lượt cho y = 0 và x = 0 thì  x  g(x)  y  g(y) g = , g = , ∀x, y ∈ R. 2 2 2 2 Do vậy  g x+y 2  =g x 2 +g y  2 , ∀x, y ∈ R. hay g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R. (1.16) Vì g(x) liên tục trên R nên (1.16) là phương trình hàm Cauchy và do đó g(x) = ax. Suy ra f (x) = ax + b với a, b ∈ R. Thử lại nghiệm f (x) = ax + b thỏa mãn (1.15). Kết luận: f (x) = ax + b, a, b ∈ R tùy ý. 18 CHƯƠNG 2 Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể lập vô số các đại lượng trung bình.Trong chương này, chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung bình thường gặp trong chương trình toán ở bậc phổ thông như các đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa, trung bình bình phương. Những đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau : 2xy x+y √ ≤ xy ≤ ≤ min {x, y} ≤ x+y 2 s x2 + y 2 ≤ max {x, y}, (∀x, y > 0). 2 2.1. Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình một ẩn hàm 2.1.1. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của đối số Bài toán 2.1 (Hàm chuyển đổi từ trung bình cộng thành trung bình cộng). Tìm các hàm số f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f x + y  2 = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R. 2 (2.1) Lời giải. Đặt f (0) = b và f (x) = b + g(x). Khi đó g(0) = 0. Thế vào (2.1), ta được b+g x + y  ⇔g trong đó g(0) = 0. 2 = x + y  2 2b + g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R 2 = g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R, 2 (2.2)