Tài liệu Phương trình và bất phương trình chứa tham số

PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ A. PHƢƠNG PHÁP CHUNG Tư tưởng chung là cô lập m và xét hàm, thực hiện theo các bước: Cô lập m, đặt ẩn phụ và chặn miền giá trị K của ẩn phụ (có thể không cần đặt ẩn phụ), xét hàm, tìm lập BBT của hàm trên K, kết luận bài toán. B. CÁC DẠNG THƢỜNG GẶP 1.Tƣ duy cốt lõi và một số ví dụ cơ bản Thí dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất  1  3 1  x2  2 x3  2x2  1  m trên  ;1 2  Hƣớng dẫn giải.  1  Xét hàm số f  x   3 1  x 2  2 x 3  2 x 2  1 trên  ;1 . 2   3  3 x 3x 2  4 x 3x  4 '    x   Ta có f ( x)   2 1  x2 x3  2x2  1 x3  2x2  1   1 x g  x   x3  2x2  1 Xét hàm số Ta có g  x   3 x 2  4 x  0  x  0 Ta có bảng biến thiên 1  x 2 g '( x)  1  trên  ;1 . 2  0  1  0 g( x ) 1  1   1  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g( x)  1, x    ;1 và x    ;1 ta có  2   2  1 5 3(  )  4  3 x  4  3.1  4   3 x  4  7 . 2 2  1  3 3x  4   0, x    ;1 . Do đó f   x   0  x  0 Suy ra  2  1  x2 x3  2x2  1 Bảng biến thiên x  1 2  f '( x) f ( x) 0 3 3  22 2 0 1 1  4 3 3  22 hoặc m  1 . 2  m   min f  x  ; max f  x    f  0  ; f  4   2  15  12  ;12  . 0;4  0;4  Phương trình có nghiệm duy nhất khi 4  m  Thí dụ 2. Tìm m để bất phương trình: x3  3mx  2   13 nghiệm đúng x  1 x Hướng dẫn giải. BPT  3mx  x3  13  2, x  1  3m  x2  14  2  f  x  , x  1 . x x x   Ta có f   x   2 x  45  22  2 2 x 45  22  4 22 2  0 suy ra f  x  tăng. x x x x x YCBT  f  x   3m, x  1  min f  x   f  1  2  3m  2  m x 1 3     Thí dụ 3. Tìm m để bất phương trình 1  log 5 x 2  1  log 5 mx 2  4 x  m nghiệm đúng với mọi x . Hướng dẫn giải        Ta có 1  log 5 x 2  1  log 5 mx 2  4 x  m  log 5  5 x 2  1   log 5 mx 2  4 x  m    4 x m  x 2  1 mx 2  4 x  m  0 (*)   2 2   4 x 5 x  1  mx  4 x  m  m  5     2   x 1     4 x  m  max  2    x  1 Hệ bất phương trình (*) thỏa với mọi x   m  5  min  4 x   x2  1     4 x2  1  x  1 4 x 0 Xét hàm số f  x   2 trên . Ta có f   x   2 x 1 x  1 x2  1  Bảng biến thiên: x f  x f  x  + -1 0 - 1 0     + 2 -2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra min  f  x    2; m ax  f  x    2 . Vậy giá trị cần tìm là: 2  m  5  2  2  m  3 .  2.Đặt ẩn phụ Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( x2  2x)2  4m( x2  2x)  3m  1  0 (1) Lời giải Đặt t  x2  2x  ( x  1)2  1  t  1 Ta có phương trình theo t t 2  4 mt  3m  1  0  t 2  1  m  4t  3  3 không là nghiệm phương trình, do đó 4 3 t2  1 1;   \   Xét hàm số f (t )  trên   4t  3 4 t (2) (2)  t2  1 m 4t  3 2(2t 2  3t  2) 1 ; f '(t )  0  t    t  2 Đạo hàm f '(t )  2 2 (4t  3) Bảng biến thiên 3 1 2  x 1 4 2 f '( x) 0 0     1   4 f ( x) 2  1 7  (3)   3 (1) có nghiệm khi (3) có nghiệm t   1;   \  4  . Dựa vào bảng biến thiên ta có   1 Kết luận. m    m  1 . 4 Thí dụ 5. Tìm m để bất phương trình m( x 2  2 x  2  1)  x(2  x)  0 (1) có nghiệm thuộc đoạn  0;1  3    Lời giải ( Đề dự bị ĐH Khối A 2007 ) Vì x2  2x  2   x  1  1  1 , nên bất phương trình xác định với mọi x 2 Bất phương trình được viết lại dạng m( x 2  2 x  2  1)  ( x 2  2 x  2)  2 Đặt t  x2  2x  2 , t  1 ; x   0;1  3   t  1; 2    Ta có bất phương trình theo t t2  2 (2) m(t  1)  t 2  2  m  t 1 t2  2 Xét hàm số f (t )  trên đoạn 1; 2  t 1 t 2  2t  2 (t  1)2  1   0, t  f(t) đồng biến trên đoạn 1; 2  Ta có f '(t )  (t  1)2 (t  1)2 Phương trình (1) có nghiệm trên  0;1  3   (2) có nghiệm trên đoạn 1; 2    2 Kết luận. m  . 3 Thí dụ 6. Tìm điều kiện của m để phương trình nghiệm thực. Lời giải Điều kiện: x  1 . x  1 : (5) vô nghiệm. x  1  m x  1  2 4 x2  1  0 có x1 x 1  m4 2 0. x 1 x1 x1 4 2 Đặt t  4  1  t  (1; ) , phương trình trở thành x 1 x 1 x  1 : (5)  4 m  2  0  t 2  2t  m điều kiện t  (1; ) t Xét hàm số f  t   t 2  2t ; t  1; f '  t   2t  2; f '  t   0  t  1  l  t Giới hạn : lim f  t   3; lim f  t    t 1 t  Bảng biến thiên :  t 1 f ' t  +  f t  3 Kết luận: m  3 . Thí dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m . Lời giải Điều kiện xác định của phương trình : 3  x  6 Đặt t  x  3  6  x Vì t là hàm số theo x , nên ngoài cách tìm điều kiện của t qua đánh giá chúng ta có thể sử dung đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của t 3 6x  x3 Ta có t '( x)  ; trên đoạn  3; 6  , t '( x)  0  3  x  2 2 ( x  3)(6  x) Bảng biến thiên x 3  t '( x) 3 2 0 6  3 2 t( x ) 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện t 3 3t3 2 1 9 t  x  3  6  x  ( x  3)(6  x)  t 2  2 2 1 9 Ta có phương trình theo t:  t 2  t   m (2) 2 2 1 9 Xét hàm số f (t )   t 2  t  trên đoạn  3; 3 2    2 2 f '( x)  t  1  f '( x)  0, t   3; 3 2  do đó hàm số nghịch biên trên đoạn  3; 3 2  ;      max f (t )  f (3)  3; min f (t)  f (3 2)  3;3 2     3;3 2    6 2 9 2 Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm trên đoạn  3; 3 2      1  0 (2)  x  1  x  1  16  m  x  1  1  . Điều đó có khi  x 1  h  x x 1 x 1   Thí dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( 1  x 2  1  x 2  2)  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2 Nhận xét. Bài toán chứa hiệu và tích của hiệu, tích hoàn toàn có thể biểu diễn qua hiệu. Điều kiện: 1  x  1 1  x 2 ; 1  x 2 . Do đó có thể đặt t bằng Đặt t  1  x2  1  x2 ; t  0 t 2  2  2 1  x 2  2  t  2; 2 1  x 2  2  t 2 Vậy điều kiện theo t : 0  t  2 Ta có phương trình theo t : m  t  2   2  t 2  t t 2  t  2 m t2 t 2  t  2 * Xét f (t )  , trên đoạn t2 t 2  4t f '(t )   trên 0; 2 , 2 t  2   (2)  0; 2  . Hàm số liên tục    f ’  t   0 , hàm số nghịch biến trên 0; 2  min f (t)  f ( 2)  2  1; max f (t)  f (0)  1 0; 2    0; 2    Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn  0; 2  . Điều đó có khi min f (t)  m  max f (t )  2  1  m  1   0; 2  0; 2   Thí dụ 9. Tìm m để Lời giải    3  x  6  x  18  3x  x2  m2  m  1 nghiệm đúng... Đặt t  3  x  6  x  0  t 2   3  x  6  x   9  2  3  x  6  x  2  9  t 2  9  2  3  x  6  x   9   3  x    6  x   18  18  3x  x 2   3  x  6  x   1  t 2  9  ; t   3; 3 2  2 Xét f  t    1 t 2  t  9 ; f   t   1  t  0; t   3; 3 2   max f  t   f  3   3 2 2  3;3 2  ycbt  max f  t   3  m2  m  1  m2  m  2  0  m  1 V m  2 3;3 2  Thí dụ 10. Tìm m để bất phương trình  4  x  6  x   x mọi x   4; 6  . Lời giải: Đặt t  x2  2x  24  x2  2x  24  t 2 2 x  2 t'  , t'  0  x  1 2 2  x  2 x  24 2  2x  m nghiệm đúng với 4 x 1  t '( x) 0 5 6  t( x ) 0 0 Do đó 0  t  5 Bất phương trình (1) trở thành t  24  t 2  m  m  t 2  t  24 (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   4; 6   Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t  0; 5   m  max f ( t) 0;5  Ta có f (t )  t 2  t  24 , f ' (t )  2t  1 , f ' (t )  0  t   Tính f(0) = -24, f(5) = 6. Do đó max f (t )  6 1 ( l) 2 0;5 Kết luận. m  6 . Thí dụ 11. Tìm m để bất phương trình m 2x2  9  x  m có nghiệm với mọi x . Lời giải x Ta có m 2 x 2  9  x  m  m  , vì 2 x2  9  1  0, x 2 2x  9  1   x Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi x  m  min   2  2x  9  1  x Xét hàm số f  x   trên . 2x2  9  1 9  2 x2  9 Ta có f   x   2x2  9   2x2  9  1 2  x  6  0  9  2x2  9  0   x  6 Bảng biến thiên x 6  f '( x)   6  0 1 2  0 3 4 f ( x)  3 Suy ra min  f  x     4 3 Kết luận. m   . 4 3 4 1 2 Thí dụ 12. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực. x  1  (16  m) x  1  ( m  1) x 2  1 Hướng dẫn giải ĐK. | x | 1. Phương trình đã cho tương đương: x  1  16 x  1  x 2  1  m   x 2  1  x  1 (2) Ta có x = 1 không phải là nghiệm của phương trình mới mọi m. Do đó:  x1  x1 x1 (2)    16  m   1  x 1  x 1 x 1   Đặt t  x1 , t  0, t  1 (do điều kiện | x | 1 ). Từ đó ta có phương trình ẩn t, với m là x 1 t2  t  6 tham số: m  (3) t 1 t2  t  6 16 Xét hàm f (t )  trên [0; ]\{1} , ta đạo hàm hoặc sử dụng Cosi tìm t t 1 t 1 được: min1t 0 f (t )  f (3)  7 . Ta có: Phương trình đã cho có nghiệm thỏa | x | 1 khi và chỉ khi (3) có nghiệm thỏa t  0, t  1 . Điều này tương đương với m  7 . Vậy m  7 thỏa yêu cầu. Bài tập tƣơng tự. Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình sau có nghiệm. ( x 2  2 m  1) x 2  4  16  0 . 9 . 2 3.Dạng f(x).g(x) = m, trong đó f(x) và g(x) tăng và làm các hàm dƣơng Đáp số. m  Thí dụ 13. Tìm m để phương trình: x x  x  12  m  5  x  4  x  có nghiệm. Lời giải Điều kiện 0  x  4 . Phương trình đã chο tương đương với pt f  x   x x  x  12  m . 5x  4x 1 0 Đặt g  x   x x  x  12  0  g  x   3 x  2 2 x  12 1 h  x   5  x  4  x  0  h  x   1  0 2 5x 2 4x Suy ra: g  x   0 và tăng; h  x  > 0 và giảm hay 1  0 và tăng h  x g  x  f  x  h  x tăng. Suy ra f  x   m có nghiệm  m   min f  x  ; max f  x    f  0  ; f  4   2  15  12 ;12  0;4  0;4  Thí dụ 14. Tìm m để bất phương trình: x 3  3x 2  1  m  x  x  1  có nghiệm. 3 Lời giải Điều kiện x  1 . Nhân cả hai vế BPT với phương trình  x  x  1   0 ta nhận được bất 3  x 3  3x 2  1  x  x  1   m 3 Đặt g  x   x3  3x2  1 ; h  x    x  x  1  3 1   0. Ta có g  x   3x 2  6 x  0, x  1; h  x   3  x  x  1   1    2 x 2 x 1  Do g  x   0 và tăng . x  1 .; h  x   0 và tăng nên f  x   g  x  .h  x  tăng x  1 2 Khi đó bất phương trình f  x   m có nghiệm  min f  x   f 1  3  m . x1 4.Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất (không cô lập m để xét hàm được)