Tài liệu Phương trình truyền nhiệt

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC MẬU PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI LÝ THUYẾT NỬA NHÓM VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . 1.2 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Toán tử sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt và nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . 1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . 1.3.3 Định lí Hille - Yosida với nửa nhóm truyền nhiệt . 1.3.4 Toán tử sinh của nửa nhóm truyền nhiệt . . . . . 5 2 Chuyển động Brown 2.1 Khái niệm chuyển động Brown . . . . . . . . 2.1.1 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . 2.1.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mối quan hệ của chuyển động Brown với lý nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên . . . . . . . . . . . . thuyết . . . . . . . . . . . . . nửa . . . http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 5 6 6 7 8 9 9 10 22 22 24 26 30 34 34 34 36 36 2 2.2.1 2.2.2 Chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm co . . . . Điều kiện để chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Lý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính trên không gian Banach xuất hiện đầu thế kỉ XX và phát triển mạnh vào những năm 1948 với định lý sinh Hille – Yosida, và đạt tới hoàn chỉnh vào những năm 1957 với sự ra đời cuốn “ Semigroups and Functional Analysis” của E. Hille và R. S. Philips. Vào những năm của thập kỉ 70, 80 thế kỉ XX nhờ vào sự cố gắng nghiên cứu của nhiều trường Đại học và nhiều trung tâm nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm đã đạt tới trạng thái hoàn hảo. Lý thuyết nửa nhóm trở thành một công cụ quan trọng trong toán học nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, trong vật lí lượng tử, cơ học . . . Trong Luận văn này tôi xin trình bày ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền nhiệt và chuyển động Brown dựa trên tài liệu [1]. Cấu trúc của đề tài gồm hai chương: Chương I: Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt. Trong phần này giới thiệu kiến thức chuẩn bị như : Hàm mũ và các tính chất của hàm mũ, biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất phương trình không thuần nhất qua hàm mũ. Khái niệm nửa nhóm liên tục của toán tử, toán tử sinh và các bổ đề liên quan, trình bày bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > 0 thỏa mãn phương trình truyền nhiệt. Chứng minh định lí Hille – Yosida cho toán tử A sinh duy nhất một nửa nhóm co. Chương II: Chuyển động Brown. Ta biết chuyển động Brown nói riêng và quá trình Markov đóng một vai trò quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên. Trong phần này xét các hạt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 chuyển động xung quanh một tập con đo được và các hạt này không có bộ nhớ, hay có tính Markov. Biểu diễn mối quan hệ giữa chuyển động Brown với lý thuyết nửa nhóm thông qua các Định lí 2.1 và Định lí 2.2. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết Luận văn nhưng do trình độ và thời gian hạn chế, điều kiện công tác ở miền núi xa xôi nên không tránh khỏi những thiếu sót về kiến thức cũng như việc sử lí văn bản. Tác giả Luận văn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để Luận văn được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS.Hà Tiến Ngoạn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm Luận văn. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại Học Khoa Học – Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Toán – Lí trường THCS Quang Minh – Bắc Quang – Hà Giang và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt Luận văn này. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Mậu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach 1.1.1 Ý tưởng Xét phương trình : u0 = au với a ∈ R, (1.1) trong đó ẩn hàm u = u(t) là hàm số biến số thực t ∈ R. Nghiệm tổng quát của phương trình là u(t) = Ceat , trong đó C là số thực bất kì và a e = ∞ X ak k=0 k! =1+ a a2 a3 + + + ... + . 1 2! 3! (1.2) Giả sử U là một không gian Banach, A ∈ L(U ) là không gian các toán tử tuyến tính và bị chặn trên U. Xuất phát từ (1.2) ta sẽ định nghĩa toán tử eA . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.1.2 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho A ∈ L(U ), với L(U) là không gian toán tử tuyến tính liên tục bị chặn xác định trên U. Ta định nghĩa A e = ∞ X Ak k=0 1.1.3 A A2 A3 =I+ + + + ...+ ∈ L(U ). k! 1 2! 3! Các tính chất Tính chất 1.1. Mọi A ⊂ L(U ) tồn tại eA ∈ L(U ). Tính chất 1.2. e0 = I. Tính chất 1.3. eI = e.I. . Tính chất 1.4. eA+B = eA .eB , nếu A và B giao hoán (A.B=B.A). Chứng minh eA+B = ∞ (A + B)k P k! k=0 k ∞ 1 P P k! . Al .B k−l k! l!(k − l)! k=0 l=0   ∞ ∞ P P 1 = .Al .B k−l l=0 k=1 l!(k − l)!   ∞ Al P ∞ P B k−l = . l=0 l! k=l (k − l)! = = eA .eB . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) 7 Tính chất 1.5. Với mọi A thuộc L(U) tồn tại (eA )−1 và (eA )−1 = e−A . Thật vậy : Ta có eA+(−A) = e0 = I suy ra (eA )−1 = e−A . Tính chất 1.6. Xét etA , etA = t ∈ R, ∞ k k X t A k! k=0 . (1.4) Khi đó etA : R → L(U ) detA = (etA )0 = AetA = etA .A. dt Chuỗi (1.4) hội tụ đều theo t trong mọi đoạn hữu hạn Chứng minh(1.5) Chuỗi (1.4) hội tụ đều theo t ∞  k k 0 X t A k! =A = k=0 ∞ k−1 X k=1 (1.5) ∞ X ktk−1 Ak k! k=1 ∞ h X t Ak−1 =A (k − 1)! h=0 t Ah h! = AetA = etA A. 1.1.4 Phương trình thuần nhất Xét phương trình vi phân thuần nhất u0 = Au, (1.6) trong đó A ∈ L(U ), u = u(t) là ẩn hàm nhận giá trị trong U. Định lý 1.1. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là u(t) = eAt C, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 trong đó C ∈ U là vectơ bất kì. Chứng minh a) Giả sử u(t) có dạng (1.7) khi đó u0 (t) = (etA C)0 = (etA )0 C = (AetA ).C = A(etA C) = Au. b) Giả sử u(t) là nghiệm nào đó của (1.6). Ta xét hàm số y(t) = e−tA u(t). (1.8) Từ phương trình (1.7) suy ra y 0 = (e−tA )0 u(t) + e−tA u0 (t) = −e−tA Au(x) + e−tA Au(t) = 0. Suy ra tồn tại C ∈ U sao cho y(t) ≡ C. Nhận xét : Xét bài toán Cauchy u0 = Au u(t0 ) = u0 . Nghiệm của bài toán trên là: u(t) = e(t−t0 )A u0 = etA (e−t0 A u0 ). 1.1.5 Phương trình không thuần nhất ( u0 = A(u) + g(t) (∗) u(t0 ) = u0 Ta giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số. Xuất phát từ phương trình (1.7) ta tìm nghiệm của phương trình (*) dưới dạng u(t) = etA C(t), Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.9) http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 trong đó C(t) là hàm số cần tìm. Từ phương trình (1.9) suy ra : u0 (t) = AetA C(t) + etA C 0 (t) thay vào phương trình (*) : AetA C(t) + etA C 0 (t) = AetA C(t) + g(t). Suy ra C 0 (t) = e−tA g(t). Từ phương trình (1.10) suy ra Z C(t) = e−tA g(t)dt + C1 ; (1.10) C1 ∈ U. Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: Z  u(t) = etA e−tA g(t)dt + C1 . 1.2 (1.11) Khái niệm nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ Định nghĩa 1.2. Cho B là không gian Banach, t > 0 , và Tt : B → B là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn: i) T0 = Id; ii) Tt1 +t2 = Tt2 Tt1 ∀t1 , t2 ≥ 0; iii) lim Tt v = Tt0 v với ∀t0 ≥ 0, ∀v ∈ B. t→t0 Khi đó, họ {Tt }t≥0 gọi là nửa nhóm liên tục của các toán tử tuyến tính bị chặn. Ví dụ 1.1. Cho B là không gian Banach của các hàm bị chặn liên tục đều trên [0, ∞), f ∈ Cb0 (R) Cho t ≥ 0 ta đặt Tt f (x) := f (x + t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Khi đó họ {Tt }t≥0 là nửa nhóm liên tục. Ví dụ 1.2. Với f ∈ B, Tt f = etA f , A ∈ L(B) khi đó {etA } là nửa nhóm liên tục của toán tử. Định nghĩa 1.3. Một nửa nhóm liên tục {Tt }t≥0 của toán tư tuyến tính liên tuc trong không gian Banach B với chuẩn ||.|| được gọi là co nếu ∀v ∈ B và ∀t ≥ 0, ||Tt v|| ≤ ||v|| (1.12). (Ở đây tính liên tục của nửa nhóm được hiểu là sự phụ thuộc liên tục của toán tử Tt vào t.) 1.2.2 Toán tử sinh. Nếu giá trị ban đầu f (x) = u(x, 0) của nghiệm u của phương trình nhiệt : ut (x, t) − ∆u(x, 0) = 0 (1.13) thuộc lớp C 2 , chúng ta mong đợi rằng u(x, t) − u(x, 0) = ut (x, 0) = ∆u(x, 0) = ∆f (x), t&0 t hoặc với kí hiệu u(x, t) = Pt f (u) lim (1.14) ta có, 1 (1.15) lim (Pt − Id)f = ∆f. t&0 t Tiếp theo ta nghiên cứu định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4. Cho {Tt }t≥0 là nửa nhóm liên tục trong không gian Banach B. Ta đặt 1 D(A) := {v ∈ B : lim (Tt − Id)v tồn tại } ⊂ B t&0 t (1.16) Và gọi toán tử tuyến tính A : D(A) → B, 1 Av := lim (Tt − Id)v, t&0 t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.17) 11 là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt }. Nhận xét: Khi đó D(A) là không rỗng vì chứa phần tử 0. Bổ đề 1.1. Với ∀v ∈ D(A) và ∀t ≥ 0, ta có Tt Av = ATt v. (1.18) Do đó A giao hoán với tất cả Tt . Chứng minh Cho v ∈ D(A) ta có 1 Tt Av = Tt lim (Tτ − Id)v t&0 τ 1 = lim (Tt Tτ − Tt )v (vì Tt liên tục và tuyến tính) τ &0 τ 1 = lim (Tτ Tt − Tt )v (theo tính chất nửa nhóm) τ &0 τ 1 = lim (Tτ − Id)Tt v τ &0 τ = ATt v.  Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu Z∞ Jλ v := λe−λs Ts vds với λ > 0 (1.19) 0 Tích phân ở đây là tích phân Riemann cho các hàm với giá trị trong không gian Banach. Sự hội tụ của tích phân được suy ra từ đánh giá sau ZM lim || K,M →∞ λe−λs Ts vds|| ≤ ZM lim K,M →∞ K λe−λs ||Ts v||ds K Z ≤ M lim ||v|| K,M →∞ λe−λs ds K = 0, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 có được từ tính chất co và đầy đủ của B. Và Z∞ λe−λs ds = 0 Z∞ − d −λs (e )ds = 1, ds (1.20) 0 Jλ v là trung bình có trọng số của nửa nhóm Tt được ứng dụng cho v. Do đó Z∞ ||Jλ v|| ≤ λe−λs ||Ts v||ds 0 Z∞ ≤ ||v|| λe−λs ds ≤ ||v|| (1.21) 0 do đó Jλ : B → B là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn ||Jλ || ≤ 1. Bổ đề 1.2. Với ∀v ∈ B ta có lim Jλ v = v. (1.22) λ→1 Chứng minh Theo (1.20), Z∞ Jλ v − v = λe−λs (Ts v − v)ds. với δ > 0. 0 Với δ > 0 đặt Iλ1 := || Iλ2 := || Zδ 0 Z∞ λe−λs (Ts v − v)ds||, λe−λs (Ts v − v)ds||. δ Bây giờ cho  > 0. Vì Ts v là liên tục theo s, tồn tại δ > 0 sao cho ||Ts v − v|| <  2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0≤s≤δ http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 và cũng do đó  Iλ1 ≤ 2 Z∞ λe−λs ds <  2 δ Theo (1.20) với mỗi δ > 0, tồn tại λ0 ∈ R sao cho ∀λ ≥ λ0 , Iλ2 ≤ Z∞ λe−λs (||Ts v|| + ||v||)ds δ Z∞ ≤ 2||v|| λe−λs ds (theo tính chất co) δ  < . 2 Điều đó dễ dàng suy ra từ (1.22).  Định lí 1.2. Cho {Tt }t≥0 là một nửa nhóm co với toán tử sinh A. Khi đó D(A) là trù mật trong B. Chứng minh Ta sẽ chỉ ra rằng ∀λ > 0 và ∀v ∈ B, Jλ v ∈ D(A). (1.23) vì theo Bổ đề 1.2, {Jλ v : λ > 0, v ∈ B} là trù mật trong B, điều đó sẽ kéo theo sự khẳng định. Ta có: 1 1 (Tt − Id)Jλ v = t t Z∞ λe−λs Tt+s vds − 0 1 t Z∞ λe−λs Ts vds, 0 vì Tt là tuyến tính và liên tục 1 = t Z∞ 1 λeλt e−λδ Tδ vdδ − t t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Z∞ λe−λs Ts vds 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 eλt − 1 = t Z∞ 1 λe−λδ Tδ vdδ − t t eλt − 1 = (Jλ v − t Zt λe−λs Ts vds 0 Zt 1 λe−λδ Tδ vdδ ) − t 0 Zt λe−λs Ts vds. 0 Số hạng cuối cùng tích phân là liên tục trên s khi t → 0 và tiến đến −λT0 v = −λv, trong khi số hạng đầu tiên trong dòng cuối dần đến λJλ v. Điều này suy ra AJλ v = λ(Jλ − Id)v ∀v ∈ B, (1.24) Do đó suy ra (1.23).  Cho nửa nhóm co {Tt }t≥0 bây giờ ta sẽ định nghĩa toán tử Dt Tt : D(Dt Tt )(⊂ B) → B xác định bởi 1 (1.25) Dt Tt v := lim (Tt+h − Tt )v, h→0 h trong đó D(Dt Tt ) là nửa không gian của B và giới hạn đó tồn tại. Bổ đề 1.3. v ∈ D(A) kéo theo v ∈ D(Dt Tt ) và ta có Dt Tt v = ATt v = Tt Av, t ≥ 0. (1.26) Chứng minh Phương trình thứ hai đã được thiết lập trong Bổ đề 1.1 do đó ta có với v ∈ D(A) 1 lim (Tt+h − Tt )v = ATt v = Tt Av. h&0 h (1.27) Phương trình (1.27) có nghĩa rằng đạo hàm phải của Tt v theo t tồn tại với ∀v ∈ D(A) và là liên tục theo t. Khi đó theo bổ đề được phát biểu và chứng minh dưới đây thì đạo hàm trái tồn tại và trùng với đạo hàm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 phải, kéo theo tính khả vi. Bổ đề 1.4. Cho f : [0, +∞) → B là liên tục và giả sử rằng ∀t ≥ 0, đạo 1 hàm phải d+ f (t) := lim (f (t + h) − f (t)) tồn tại và liên tục. (Tính liên h&0 h + tục của d f có nghĩa rằng trên mỗi khoảng [0, T ] giới hạn đều theo t). Khi đó f là khả vi với đạo hàm bằng d+ f . Chứng minh 1 lim || (f (t) − f (t − h)) − d+ f (t)|| h&0 h 1 ≤ lim || (f ((t − h) + h) − f (t − h) − d+ f (t − h)|| h&0 h + lim ||(d+ f (t − h) − d+ f (t)|| t&0 = 0.)  Định lí 1.3. Cho λ > 0. Toán tử (λId − A) : D(A) → B là khả nghịch, và ta có (λId − A)−1 = R(λ, A) := tức là (λId − A)−1 v = R(λ, A)v = Z∞ 1 Jλ , λ e−λs Ts vds. (1.28) (1.29) 0 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh (λId − A) là khả nghịch, thứ nhất ta chỉ ra rằng (λId − A) là đơn ánh. Do đó ta cần loại trừ rằng có tồn tại v0 ∈ D(A), v0 6= 0, với λv0 = Av0 . (1.30) Với v0 như vậy, chúng ta sẽ có (1.26) Dt Tt v0 = Tt Av0 = λTt v0 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.31) 16 và do đó Tt v0 = eλt v0 . (1.32) vì λ > 0, cho v0 6= 0 điều này vi phạm tính chất co ||Tt v0 || ≤ ||v0 || Dễ thấy (λId − A) là toàn ánh do đó (λId − A) là khả nghịch, λ > 0. Để có được (1.28) ta bắt đầu với (1.24) tức là AJλ v = λ(Jλ − Id)v, và nhận được (λId − A)Jλ v = λv. (1.33) Do ánh xạ (λId − A) ảnh của Jλ song ánh lên B. Vì ảnh đó là trù mật trong D(A) bởi (1.23) và do (λId − A) là đơn ánh sau đó có ánh xạ D(A) song ánh lên B. Do đó D(A) trùng với ảnh của Jλ và (1.33) kéo theo (1.28).  Bổ đề 1.5. (Phương trình giải thức) Với các giả thiết của Định lí 1.3, và λ, µ > 0, R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A). (1.34) Chứng minh Ta có: R(λ, A) = R(λ, A)(µId − A)R(µ, A) = R(λ, A)((µ − λ)Id + (λId − A))R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) + R(µ, A).  Tiếp theo ta tính toán tử sinh của hai ví dụ, ta bắt đầu với nửa nhóm tịnh tiến: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 B là không gian Banach của các hàm liên tục và bị chặn đều trên [0, ∞] và Tt f (x) = f (x + t), f ∈ B, x, t ≥ 0. Khi đó ta có: Z∞ Z∞ (Jλ f )(x) = λe−λs f (x + s)ds = xe−λ(s−x) f (s)ds, (1.35) x 0 và do đó d (Jλ f )(x) = −λf (x) + λ(Jλ f )(x). dx (1.36) Theo (1.24),toán tử sinh A thỏa mãn AJλ f (x) = λ(Jλ f − f )(x), (1.37) và kết quả d Jλ f. (1.38) dx Tại bước chứng minh cuối của Định lí 1.3 ta có thể nhìn thấy rằng ảnh của Jλ trùng với D(A) và do đó ta có: AJλ f = Ag = d g dx g ∈ D(A). (1.39) Bây giờ ta có ý định chỉ ra rằng D(A) chứa một cách chính xác g ∈ B d mà g cũng ∈ B. Cho g, ta xác định f ∈ B bởi dx d g(x) − λg(x) = −λf (x). (1.40) dx Theo (1.36 ), khi đó ta có: d (Jλ f )(x) − λJλ f (x) = −λf (x). dx (1.41) Do đó ϕ(x) := g(x) − Jλ f (x) thỏa mãn d ϕ(x) = λϕ(x), dx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.42) http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 từ ϕ(x) = Ce−λx và ϕ ∈ B, nhất thiết C = 0 và do đó g = Jλ f. Vậy ta có được toán tử sinh A theo (1.39) với D(A) chứa một cách chính d xác g ∈ B mà g ∈ B. dx Bây giờ chúng ta nghiên cứu nửa nhóm truyền nhiệt. Cho B là không gian Banach các hàm liên tục đều, bị chặn trên Rd và Z 2 1 − |x−y| 4t f (y)dy; t > 0. (1.43) Pt f (x) = e d (4πt) 2 Ta có: Z Z∞ Jλ f (x) = λ 2 −λt− |x−y| 4t e d (4πt) 2 Rd 0 dtf (y)dy. (1.44) Ta tính toán: Z Z∞ ∆Jλ f (x) = Rd 0 Z Z∞ = λ −λt− d ∆x e |x−y|2 4t (4πt) 2 λ e−λt ∂ ∂t Rd 0 1 (4πt) Z Z∞ = −λf (x) − Rd 0 d 2 dtf (y)dy e− |x−y|2 ! 4t dtf (y)dy 2 1 ∂ − |x−y| 4t dtf (y)dy (λe−λt ) e d ∂t (4πt) 2 = −λf (x) + λJλ f (x). Trước đó AJλ f = ∆Jλ f, (1.45) Ag = ∆g, ∀g ∈ D(A). (1.46) và từ đó Tiếp theo ta chỉ ra rằng D(A) chứa g ∈ B mà ∆g cũng chứa trong B. Cho g, ta xác định f ∈ B từ ∆g(x) − λg(x) = −λf (x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.47) 19 và so sánh điều này với ∆Jλ f (x) − λJλ f (x) = −λf (x). (1.48) Do đó ϕ := g − Jλ f là bị chặn và thỏa mãn ∆ϕ − λϕ = 0 , λ > 0. (1.49)  Bổ đề tiếp theo sẽ bao hàm ϕ ≡ 0 đòi hỏi g = Jλ f . Bổ đề 1.6. Cho λ > 0. Không tồn tại ϕ 6= 0 với ∆ϕ(x) = λϕ(x) ∀x ∈ Rd . (1.50) Chứng minh Cho một nghiệm của (1.50) ta tính toàn ∆ϕ2 = 2|∇ϕ|2 + 2ϕ∆ϕ với ∇ϕ = ( = 2|∇ϕ|2 + 2λϕ2 ∂ ∂ ϕ, ..., ) ∂x1 ∂xd theo (1.50). (1.51) Cho x0 ∈ Rd . Chọn hàm ηR với R ≥ 1, ηR ∈ C 2 0 ≤ ηR (x) ≤ 1 ∀x ∈ Rd , (1.52) ηR (x) = 0 |x − x0 | ≥ R + 1, (1.53) ηR (x) = 1 |x − x0 | ≤ R, (1.54) |∇ηR (x)| + |∆ηR (x)| ≤ C0 (1.55) với hằng số C0 không phụ thuộc vào x và R. Ta tính toán. ∆(ηR2 ϕ2 ) = ηR2 ∆ϕ2 + ϕ2 ∆ηR2 + 8ηR ϕ∇ηR .∇ϕ ≥ 2ηR2 |∇ϕ|2 + 2ληR2 ϕ2 + (∆ηR2 )ϕ2 − 2ηR2 |∇ϕ|2 − 8|∇ηR |2 ϕ2 Từ (1.51) và bất đẳng thức Schwarz = 2ληR2 ϕ2 + (∆ηR2 − 8|∇ηR |2 )ϕ2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.56)