Tài liệu Phương trình toán tử J-đơn điệu và phương pháp Newton - Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN-2015 1 Mục lục Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Phương trình toán tử phi tuyến 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn đều . . . . . . . . . Ánh xạ J -đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 1.1.3 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phương trình toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 8 9 1.2.1 1.2.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . 9 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . 10 1.2.3 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương pháp Newton–Kantorovich 15 2.1 Phương pháp Newton–Kantorovich và định lý hội tụ . . . . 15 2.1.1 2.1.2 2.2 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich . . . . . . . . 30 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 2 Bảng ký hiệu X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp của X D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động của toán tử T H không gian Hilbert C tập con lồi đóng của H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x 3 Mở đầu Cho X là một không gian Banach thực và X ∗ là không gian liên hợp của X. Để đơn giản, ta sẽ ký hiệu chuẩn của không gian X và X ∗ là k.k. Ta viết hx, x∗ i thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ và x ∈ X. Đề tài luận văn này nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (0.1) ở đây A : X → X là một toán tử J-đơn điệu trên X. Nếu không có thêm các điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính chất J-đơn điệu đều hoặc J-đơn điệu mạnh, thì phương trình (0.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Để giải loại bài toán này ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov dạng (xem [3]): A(x) + αn (x − x+ ) = fn , (0.2) với kfn − f k ≤ δn → 0 khi n → +∞, ở đây x+ là một phần tử cho trước và αn là dãy tham số dương đủ bé thỏa mãn αn → 0 khi n → +∞. Nếu A là một toán tử phi tuyến thì 4 phương trình hiệu chỉnh (0.2) là một bài toán phi tuyến. Để khắc phục khó khăn khi giải bài toán phi tuyến này, Bakushinskii đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich trong không gian Hilbert H giải phương trình (0.1) (xem [4]): x0 ∈ E, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn , (0.3) với A0 và A00 là ký hiệu đạo hàm Fréchet cấp một và cấp hai tương ứng của A, được giả thiết thỏa mãn các điều kiện: (C1) A0 liên tục Lipschitz, và (C2) kA00 (x)k ≤ M, ∀x ∈ H, M là một hằng số dương. Phương pháp (0.3) được phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach bởi Ryazantseva ở dạng (xem [11]): x0 ∈ E, A(xn ) + A0 (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn , với A là một ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ thỏa mãn điều kiện (C3) kA00 (x)k ≤ ϕ(kxk), (1) ở đây ϕ(t) là một hàm không âm, không giảm với mọi t ≥ 0. Năm 2008, Giáo sư Nguyễn Bường và học trò (xem [6]) đã cải tiến phương pháp (0.3) trong trường hợp A là toán tử m-J-đơn điệu trong không gian Banach và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp với việc sử dụng điều kiện trơn của nghiệm, nghĩa là tồn tại phần tử ω ∈ X sao cho A0 (x∗ )ω = x+ − x∗ , và điều kiện đặt lên ánh xạ đạo hàm A0 : kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k ∀x ∈ E, ở đây τ là hằng số dương và J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗ . Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp Newton– Kantorovich và phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương 5 trình toán tử J-đơn điệu (0.1) và trình bày một số định lý hội tụ của các phương pháp này. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 với tiêu đề "Phương trình toán tử phi tuyến" nhằm giới thiệu về phương trình toán tử phi tuyến J-đơn điệu đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh bài toán này. Phần cuối của chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến. Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1]-[9]. Chương 2 với tiêu đề "Phương pháp Newton–Kantorovich" nhằm giới thiệu phương pháp Newton–Kantorovich và phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu. Nội dung của chương này được viết từ bài báo [5], [8] và [10]. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới người cô kính mến TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này. Tôi cũng vô cùng biết ơn các thầy, cô giáo, đặc biệt là các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã dạy dỗ, đóng góp về nội dung cũng như về cách thức trình bày đề tài này. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 4 năm 2015 Nguyễn Văn Đạt 6 Chương 1 Phương trình toán tử phi tuyến Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất về không gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều, toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu. Phần thứ hai của chương giới thiệu về phương trình toán tử J-đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov. Phần cuối của chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[11]. 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach lồi đều, trơn đều Cho X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian liên hợp của X và hx∗ , xi là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ký hiệu 2X là một họ các tập con khác rỗng của X. Cho T là một ánh xạ với miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T , nghĩa là Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T (x) = x}. Ký hiệu mặt cầu đơn vị của X là SX , trong đó SX = {x ∈ X : kxk = 1}. Định nghĩa 1.1. Không gian Banach E được gọi là không gian 7 (i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SE , x 6= y thì k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε, tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho x + y ≤ 1 − δ. 2 Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản xạ và lồi chặt. Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn kx + tyk − kxk t→0 t lim tồn tại với mọi x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn trên tồn tại đều với x ∈ SX . Các không gian Lp , lp là các ví dụ về không gian trơn đều. 1.1.2 Ánh xạ J -đơn điệu Mục này trình bày định nghĩa ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ J-đơn điệu, J-đơn điệu mạnh, mối liên hệ với ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert và một số ví dụ. Định nghĩa 1.3. Cho X là một không gian Banach thực và X ∗ là không gian liên hợp của X. Với s ≥ 2, ánh xạ J s từ X vào X ∗ xác định bởi J s (y) = {g ∈ X ∗ : hy, gi = kykkgks−1 , kgk = kyk, ∀y ∈ X}, được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi s = 2, J 2 thường được ký hiệu là J, gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. 8 Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị, ta sẽ ký hiệu là j. Định nghĩa 1.4. Một ánh xạ A từ X vào X được gọi là ánh xạ (i) J-đơn điệu (accretive) nếu với mọi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho: hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0; (ii) m-J-đơn điệu (m-accretive) nếu A là J-đơn điệu và R(A+αI) = X với mỗi α > 0, ở đây I là ánh xạ đơn vị trong X; (iii) α-J-đơn điệu mạnh, nếu tồn tại một số α > 0, j(x−y) ∈ J(x−y) sao cho hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ αkx − yk2 ∀x, y ∈ D(A); (vi) L-liên tục Lipschitz, nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ D(A). Chú ý rằng nếu A là một ánh xạ J-đơn điệu trên X, D(A) = X, và L-liên tục Lipschitz thì A là ánh xạ m-J-đơn điệu. Nếu X ≡ H là một không gian Hilbert thực, thì ánh xạ J-đơn điệu và m-J-đơn điệu tương ứng là ánh xạ đơn điệu, đơn điệu cực đại. 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Cho X, Y là các không gian Banach, điểm x0 ∈ X và r > 0. Hình cầu mở (tương ứng đóng) tâm tại x0 với bán kính r được ký hiệu là B(x0 ; r) (tương ứng B(x0 ; r)). Ký hiệu L(X, Y ) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Cho Ω là một tập con mở của không gian X. Ánh xạ f : Ω ⊂ X → Y được gọi là khả vi tại điểm a ∈ Ω nếu có một phần tử f 0 (a) ∈ L(X, Y ) sao cho f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + δ(h) 9 với lim δ(h)/khk = 0 trong Y . Ánh xạ tuyến tính f 0 (a) ∈ L(X, Y ) xác h→0 định theo cách này là duy nhất và được gọi là đạo hàm Fréchet (hay đơn giản là đạo hàm) của ánh xạ f tại điểm a. Nếu ánh xạ f : Ω ⊂ X → Y khả vi tại tất cả các điểm của tập hợp mở Ω thì f được gọi là khả vi trong Ω. Nếu ánh xạ f 0 : Ω ⊂ X → L(X, Y ) liên tục, thì ánh xạ f được gọi là khả vi liên tục trong Ω, hay đơn giản là thuộc lớp C 1 trong Ω. Không gian của tất cả các ánh xạ khả vi liên tục từ Ω vào Y được biểu viết là C 1 (Ω; Y ), và C 1 (Ω) nếu Y = R. 1.2 1.2.1 Phương trình toán tử phi tuyến Phương trình toán tử đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, (1.1) trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định nghĩa của Hadamard. Định nghĩa 1.5. Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (wellposed) nếu 1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2) nghiệm này là duy nhất; và 3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). 10 Chú ý rằng, một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ. Giả sử xδ là nghiệm của bài toán (1.1) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh nên người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗ -chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn A(x0 ) = f, và kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : Ax = f }, trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.1), được giả thiết là khác rỗng. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ. 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X → X ∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s của X. Bằng phương pháp này, Alber (xem [3]) đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình A(x) + αJ s (x − x∗ ) = fδ . (1.2) 11 Sự tồn tại duy nhất nghiệm xδα với mỗi α > 0 và sự hội tụ của dãy nghiệm xδα về nghiệm của phương trình (1.1) được trình bày trong định lý dưới đây. Định lý 1.1. (xem [3]) Cho A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục. Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.2) có duy nhất nghiệm xδα . Ngoài ra nếu α, δ/α → 0 thì {xδα } hội tụ đến nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1). 1.2.3 Phương pháp Newton Trong mục này, ta giới thiệu phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến (xem [9], [10]): f (x) = 0, (1.3) ở đây f : R → R là một hàm phi tuyến. Ý tưởng cơ bản của phương pháp Newton là thay đường cong y = f (x) bằng đường tiếp tuyến gần đúng trong lân cận của nghiệm. Bắt đầu bằng điểm khởi đầu x0 , ta có thể xây dựng được phép xấp xỉ tuyến tính ở trong lân cận của x0 , nghĩa là, f (x0 + h) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )h và giải phương trình tuyến tính nhận được. Giả sử xk−1 là một xấp xỉ đã tính được của nghiệm đúng x∗ . Trong lân cận của x∗ ta thay đường cong y = f (x) bởi tiếp tuyến với nó tại điểm M (xk−1 , f (xk−1 )). Tiếp tuyến này có phương trình y = f 0 (xk−1 )(x − xk−1 ) + f (xk−1 ). Giả sử f 0 (xk−1 ) 6= 0. Ký hiệu hoành độ của điểm cắt của tiếp tuyến với trục hoành là xk , ta có 0 = f 0 (xk−1 )(xk − xk−1 ) + f (xk−1 ). (1.4) 12 Khi đó, ta nhận được dãy lặp xk = xk−1 − f 0 (xk−1 )−1 f (xk−1 ), k = 1, 2, . . . . (1.5) Dãy lặp (1.5) được gọi là phương pháp Newton, được Newton đề xuất năm 1669. Chính xác hơn là Newton đã giải quyết bài toán về đa thức: trong biểu thức f (x0 + h) ông loại bỏ số hạng bậc lớn hơn h. Phương pháp được minh họa ở ví dụ sau. Ví dụ 1.1. Giải phương trình f (x) = x3 − 2x − 5 = 0. Chọn xấp xỉ ban đầu x0 = 2, ta có f (2 + h) = h3 + 6h2 + 10h − 1 = 0. Giữ lại phương trình tuyến tính 10h − 1 = 0, ta được h = 0, 1. Số xấp xỉ tiếp theo là x1 = 2 + 0, 1 = 2, 1 và quá trình này được lặp lại tại điểm x1 với f (2, 1 + q) = q 3 + 6, 3q 2 + 11, 23q + 0, 061 = 0. Giữ lại phương trình tuyến tính 11, 23q + 0, 061 = 0, ta được q ≈ −0, 0054. Tiếp tục quá trình này thêm một bước nữa ta được r ≈ 0, 00004853 và ta nhận được: x3 = x0 + h + q + r = 2, 09455147. Sự hội tụ của phương pháp (1.5) được trình bày trong định lý sau đây: Định lý 1.2. Giả sử hàm f thỏa mãn các điều kiện: (1) f ∈ C 2 [a, b], ở đây [a, b] là khoảng phân ly của nghiệm đúng x∗ của phương trình (1.3); (2) f 0 (x) và f 00 (x) không đổi dấu trên [a, b]; (3) Điểm xấp xỉ ban đầu x0 ∈ [a, b] là điểm Fourier, tức là x0 thỏa mãn điều kiện f (x0 ).f 00 (x0 ) > 0. 13 Khi đó phương pháp Newton (1.5) giải phương trình phi tuyến (1.1) hội tụ, đồng thời ta có các công thức đánh giá sai số: |f (xk )| ; m1 (1.6) M2 |xk − xk−1 |2 , 2m1 (1.7) |xk − x∗ | ≤ và |xk − x∗ | ≤ trong đó m1 và M2 là các hằng số thỏa mãn |f 00 (x)| ≤ M2 và |f 0 (x)| ≥ m1 > 0 với mọi x ∈ [a, b]. Chứng minh. Ta chứng minh trong trường hợp f 0 (x) > 0 và f 00 (x) > 0 với mọi x ∈ [a, b]. Trước hết ta có f 0 (x0 ) > 0, f (x0 ) > 0 vì x0 là điểm Fourier, nên x1 = x0 − f (x0 ) < x0 . f 0 (x0 ) Khai triển f (xk ) tại điểm xk−1 theo công thức Taylor, ta có: f (xk ) = f (xk−1 ) + f 0 (xk−1 )(xk − xk−1 ) + f 00 (ξk ) (xk − xk−1 )2 , 2 (1.8) trong đó ξk là điểm trung gian giữa xk và xk−1 . Kết hợp với (1.4) ta suy ra f 00 (ξk ) f (xk ) = (xk − xk−1 )2 > 0. 2 (1.9) k) Mặt khác xk+1 − xk = − ff0(x (xk ) < 0, tức là xk+1 < xk . Như vậy từ (1.5), ta đã xây dựng được một dãy số x0 > x1 > · · · > xk > xk+1 > . . . đơn điệu giảm. Dãy này bị chặn dưới bởi x∗ . Thật vậy, giả sử tồn tại xk sao cho xk < x∗ thì do f 0 (x) > 0 nên f (xk ) ≤ f (x∗ ) = 0. Điều này mâu thuẫn với (1.9). Suy ra tồn tại giới hạn lim xk = x̃. k→∞ 14 Mặt khác, |f (xk )| = |f 0 (xk )||xk+1 − xk | ≤ M |xk+1 − xk |, trong đó M = sup{|f 0 (x)| : x ∈ [a, b]}. Cho k → ∞ ta được f (x̃) = 0. Từ giả thiết phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên [a, b] ta suy ra x̃ = x∗ . Theo định lý số gia hữu hạn ta có, f (xk ) = f (xk ) − f (x∗ ) = f 0 (ηk )(xk − x∗ ), trong đó ηk là điểm trung gian giữa xk và x∗ . Từ đây suy ra |xk − x∗ | ≤ |f (xk )| . m1 (1.10) Mặt khác, sử dụng (1.4) và khai triển Taylor (1.8) ta nhận được f (xk ) = f 00 (ξk ) (xk − xk−1 )2 . 2 Từ bất đẳng thức này và (1.10) ta suy ra (1.7). Phương pháp Newton đặc biệt phù hợp cho việc giải hệ phương trình phi tuyến n phương trình n ẩn số, tương ứng với các ánh xạ f = (fi ) : Ω ⊂ Rn → Rn . Trong trường hợp này, mỗi bước lặp trong phương pháp Newton chủ yếu là để tìm nghiệm δxk ∈ Rn cho hệ tuyến tính f 0 (xk )δxk = −f (xk ), ở đây f 0 (xk ) biểu diễn ma trận (∂j fi (xk )) cấp n, và cho phép ta tính toán xk+1 := xk + δxk . 15 Chương 2 Phương pháp Newton–Kantorovich Chương này trình bày phương pháp Newton–Kantorovich giải phương trình phi tuyến F (x) = 0 trong không gian Banach. Trong phần đầu của chương, chúng tôi giới thiệu phương pháp của Kantorovich giải phương trình phi tuyến và định lý hội tụ Newton–Kantorovich. Phần thứ hai của chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach. Nội dung của chương này được viết từ bài báo [5], [8] và [10]. 2.1 2.1.1 Phương pháp Newton–Kantorovich và định lý hội tụ Phương pháp Vào năm 1948, L.V. Kantorovich [10] đã mở rộng phương pháp Newton (1.5) cho việc giải các phương trình phi tuyến với không gian các phiếm hàm và gọi là phương pháp Newton–Kantorovich. Đóng góp này của Kantorovich là một trong các kỹ thuật căn bản trong giải tích số và giải tích hàm. Kantorovich nghiên cứu phương trình giống như (1.3): F (x) = 0, (2.1) 16 ở đây F : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Phương pháp lặp được xây dựng như sau: xk+1 = xk − F 0 (xk )−1 F (xk ), k = 0, 1, . . . , (2.2) trong đó F 0 (xk ) là đạo hàm (Fréchet) của toán tử phi tuyến F tại điểm xk và F 0 (xk )−1 là toán tử nghịch đảo. 2.1.2 Định lý hội tụ Sự hội tụ của phương pháp (2.2) được trình bày trong định lý sau. Định lý 2.1. (xem [10]) Giả sử toán tử F xác định và khả vi liên tục đến cấp hai trên hình cầu B = {x : kx − x0 k ≤ r}, toán tử tuyến tính F 0 (x0 ) khả nghịch sao cho kF 0 (x0 )−1 F (x0 )k ≤ η, kF 0 (x0 )−1 F 00 (x0 )k ≤ K, ∀x ∈ B và √ 1 1 − 1 − 2h h = Kη < , r ≥ η. 2 h Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm x∗ ∈ B, và quá trình (2.2) xác định và hội tụ tới x∗ đồng thời ta có công thức đánh giá sai số: kxk − x∗ k ≤ η 2k (2h) . h2k Các giả thiết của định lý rất đơn giản. Đóng góp mới của Kantorovich là ở việc lập công thức tổng quát của dãy lặp và dùng kỹ thuật phù hợp của giải tích hàm, mà trước đó người ta không cho rằng giải tích số cần được xem xét trong khung giải tích hàm. Một nét riêng nữa của định lý Kantorovich là định lý không giả sử sự tồn tại của nghiệm của phương trình phi tuyến, nhằm cho định lý không chỉ là kết quả hội tụ đơn thuần cho một phương pháp cụ thể mà còn chỉ ra sự tồn tại của nghiệm của 17 phương trình phi tuyến. Một nét nổi bật nữa là các giả thiết của định lý này, về bản chất đều liên quan đến giá trị của hàm F và đạo hàm F 0 của nó tại điểm xuất phát ban đầu x0 và tác động của F 0 tới các điểm lân cận của x0 , vì thế, tất cả các giả thiết này về nguyên tắc là hoàn toàn có thể chứng minh được. Sau đó, Kantorovich đã chứng minh được cách khác cho Định lý 2.1 và các biến thể của nó dựa trên "phương pháp hàm trội". Ý tưởng của phương pháp là so sánh phép lặp (2.2) với các phép lặp vô hướng mà theo một nghĩa nào đó trội hóa chúng và có các đặc tính về hội tụ. Sau đây là một định lý của Mysovskikh. Định lý 2.2. Giả sử toán tử F xác định và khả vi liên tục đến cấp hai trên hình cầu B = {x : kx − x0 k ≤ r}, toán tử tuyến tính F 0 (x) khả nghịch trên B sao cho kF 0 (x)−1 k ≤ β, kF 00 (x)k ≤ K, ∀x ∈ B, kF (x0 )k ≤ η và 2 h = Kβ η < 2, r ≥ βη ∞ X (h/2)2 k −1 . n=0 Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm x∗ ∈ B và quá trình (2.2) hội tụ tới x∗ , đồng thời ta có đánh giá: k βη(h/2)2 −1 ∗ kxk − x k ≤ . 1 − (h/2)2k Định lý này khác biệt với Định lý 2.1 ở chỗ F 0 (x) khả nghịch trên B (còn Định lý 2.1 lại giả sử F 0 (x0 ) chỉ khả nghịch tại điểm khởi đầu x0 ) và một giả thiết yếu hơn với h < 2 chứ không phải h < 1/2. Định lý Newton–Kantorovich có vị thế đặc biệt vì nó vừa là kết quả của phân tích số học, như cung cấp phương pháp lặp cho việc tính toán 18 các không điểm của đa thức vừa là kết quả căn bản của phân tích hàm phi tuyến, như cho việc chứng minh phương trình phi tuyến trong không gian hàm có nghiệm. Chú ý rằng, định lý điểm bất động Banach nổi tiếng cung cấp cách đơn giản nhất để chứng tỏ rằng phương trình phi tuyến f (x) = x có nghiệm và tìm nghiệm bằng phương pháp lặp. Định lý Newton–Kantorovich cung cấp một cách khác để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến F (x) = 0, cùng với phương pháp lặp để tìm nghiệm của phương trình ấy. Cách chứng minh của nó đòi hỏi một vài phân tích hàm tuyến tính và phi tuyến tính trong không gian đủ (như không gian của định lý điểm bất động Banach) và là kết quả căn bản của phép vi phân trong không gian véctơ định chuẩn, nghĩa là, định lý giá trị trung bình của lớp hàm C 1 với giá trị trong không gian Banach. Định lý 2.3. (Định lý Newton–Kantorovich cổ điển với ba hằng số [8]) Cho X và Y là các không gian Banach, Ω là một tập con mở của X, điểm x0 ∈ Ω, và một ánh xạ f ∈ C 1 (Ω; Y ) sao cho f 0 (x0 ) ∈ L(X; Y ) là ánh xạ một-một và lên và f 0 (x0 )−1 ∈ L(Y ; X). Giả sử có ba hằng số λ, µ, ν sao cho 0 < λµν ≤ 1 2 và B(x0 ; r) ⊂ Ω, r := 1 µν kf 0 (x0 )−1 f (x0 )kX ≤ λ, kf 0 (x0 )−1 kL(Y ;X) ≤ µ, kf 0 (e x) − f 0 (x)kL(X;Y ) ≤ νke x − xkX ∀e x, x ∈ B(x0 ; r). Khi đó f 0 (x) ∈ L(X; Y ) là ánh xạ một-một và lên và f 0 (x)−1 ∈ L(Y ; X) tại mỗi x ∈ B(x0 ; r). Dãy {xk } xác định bởi xk+1 = xk − f 0 (xk )−1 f (xk ), k ≥ 0,