Tài liệu Phương trình toán tử đơn điệu nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60. 46. 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn non 1 Môc lôc Më ®Çu 5 Ch­¬ng 1. Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.1 8 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.1.2. Mét sè kiÕn thøc cña gi¶i tÝch hµm 1.1.3. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.2 Ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.3. Ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh Ch­¬ng 2. 2.1 NghiÖm hiÖu chØnh vµ tèc ®é héi tô HiÖu chØnh ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 22 . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . 26 Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1. HiÖu chØnh trong tr­êng hîp nhiÔu vÕ ph¶i 2.1.2. HiÖu chØnh trong tr­êng hîp tæng qu¸t 2.2 2.2.1. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh trong tr­êng hîp nhiÔu vÕ ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28 2.2.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh trong tr­êng hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 KÕt qu¶ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 tæng qu¸t 2.3 KÕt luËn 36 Tµi liÖu tham kh¶o 37 Phô lôc 38 3 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i Häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña c« gi¸o TiÕn Sü NguyÔn ThÞ Thu Thñy. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi C«. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n, th«ng qua c¸c bµi gi¶ng, t¸c gi¶ lu«n nhËn ®­îc sù quan t©m gióp ®ì vµ nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña c¸c gi¸o s­ cña ViÖn To¸n häc, ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin thuéc viÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, cña c¸c thÇy c« gi¸o trong §¹i häc Th¸i Nguyªn. Tõ ®¸y lßng m×nh, t¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c ThÇy C«. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu, phßng §µo t¹o Khoa häc vµ Quan hÖ Quèc tÕ, Khoa To¸n-Tin Tr­êng §¹i häc Khoa häc, §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· quan t©m vµ gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp t¹i Tr­êng. Cuèi cïng, t«i xin göi lêi c¶m ¬n tíi gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp ®· lu«n theo s¸t ®éng viªn t«i v­ît qua nh÷ng khã kh¨n trong cuéc sèng ®Ó cã ®­îc ®iÒu kiÖn tèt nhÊt khi nghiªn cøu. Th¸i Nguyªn, th¸ng 10 n¨m 2009 T¸c gi¶ NguyÔn ThÞ V©n 4 Më ®Çu RÊt nhiÒu bµi to¸n cña thùc tiÔn, khoa häc, c«ng nghÖ dÉn tíi bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed) theo nghÜa Hadamard, nghÜa lµ bµi to¸n (khi d÷ kiÖn thay ®æi nhá) hoÆc kh«ng tån t¹i nghiÖm, hoÆc nghiÖm kh«ng duy nhÊt, hoÆc nghiÖm kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Do tÝnh kh«ng æn ®Þnh nµy cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nªn viÖc gi¶i sè cña nã gÆp khã kh¨n. Lý do lµ mét sai sè nhá trong d÷ kiÖn cña bµi to¸n cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè bÊt kú trong lêi gi¶i. V× thÕ n¶y sinh vÊn ®Ò t×m c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh cho c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh sao cho khi sai sè cña d÷ kiÖn ®Çu vµo cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®­îc cµng gÇn tíi nghiÖm ®óng cña bµi to¸n ban ®Çu. Môc ®Ých cña ®Ò tµi nh»m nghiªn cøu ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh cho bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh d­íi d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö Ax = f trong ®ã A : X −→ X ∗ gian Banach ph¶n x¹ X (0.1) lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµo kh«ng gian liªn hîp X∗ h-liªn tôc tõ kh«ng cña X. Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ danh môc c¸c tµi liÖu tham kh¶o, néi dung cña ®Ò tµi ®­îc tr×nh bµy trong hai ch­¬ng. Ch­¬ng 1 giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu, c¸c ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý vµ c¸c bæ ®Ò quan träng cña gi¶i tÝch hµm cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. §ång thêi còng tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ to¸n tö hiÖu chØnh vµ ph­¬ng ph¸p hiÖu chØnh trong tr­êng hîp tæng qu¸t. Trong ch­¬ng 2 sÏ nghiªn cøu sù héi tô vµ tèc ®é héi tô cña nghiÖm 5 hiÖu chØnh cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®Æt kh«ng chØnh (0.1) trong hai tr­êng hîp: nhiÔu vÕ ph¶i f vµ nhiÔu c¶ to¸n tö A vµ vÕ ph¶i f. ë phÇn cuèi cña ch­¬ng lµ hai vÝ dô vµ kÕt qu¶ sè gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I. 6 Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t X kh«ng gian Banach thùc X∗ kh«ng gian liªn hîp cña Rn kh«ng gian Euclide ∅ tËp rçng x := y x ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng y ∀x víi mäi ∃x tån t¹i I ¸nh x¹ ®¬n vÞ AT ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn a∼b a t­¬ng ®­¬ng víi b A∗ to¸n tö liªn hîp cña to¸n tö D(A) miÒn x¸c ®Þnh cña to¸n tö R(A) miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö xk → x d·y {xk } héi tô m¹nh tíi x xk * x d·y {xk } héi tô yÕu tíi x X n chiÒu x x 7 A A A A Ch­¬ng 1 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh vµ ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.1 Bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh 1.1.1. Kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh trªn c¬ së xÐt mét bµi to¸n ë d¹ng ph­¬ng tr×nh to¸n tö A(x) = f, ë ®©y A:X→Y Banach Y,f (1.1) lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian Banach lµ phÇn tö thuéc X vµo kh«ng gian Y . Sau ®©y lµ mét ®Þnh nghÜa cña Hadamard (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn): §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho A lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian Y . Bµi to¸n (1.1) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt chØnh (well-posed) nÕu 1) ph­¬ng tr×nh A(x) = f cã nghiÖm víi mäi f ∈Y; 2) nghiÖm nµy duy nhÊt; 3) vµ nghiÖm phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. NÕu Ýt nhÊt mét trong c¸c ®iÒu kiÖn trªn kh«ng tho¶ m·n th× bµi to¸n (1.1) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh (ill-posed). §èi víi c¸c bµi to¸n phi tuyÕn th× ®iÒu kiÖn thø hai hÇu nh­ kh«ng tho¶ m·n. Do vËy hÇu hÕt 8 c¸c bµi to¸n phi tuyÕn ®Òu lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. H¬n n÷a ®iÒu kiÖn cuèi cïng còng khã thùc hiÖn ®­îc, v× vËy ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y. §Þnh nghÜa 1.1.2. Y. Cho A lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X vµo kh«ng gian Bµi to¸n (1.1) ®­îc gäi lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh nÕu nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1.1) kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Chó ý 1.1.1. Bµi to¸n t×m nghiÖm R(f ), x phô thuéc vµo d÷ kiÖn f , nghÜa lµ x = ®­îc gäi lµ æn ®Þnh trªn cÆp kh«ng gian tån t¹i mét sè (X, Y ) nÕu víi mçi ε>0 δ(ε) > 0 sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ë ®©y xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2. Chó ý 1.1.2. Mét bµi to¸n cã thÓ ®Æt chØnh trªn cÆp kh«ng gian nµy nh­ng l¹i ®Æt kh«ng chØnh trªn cÆp kh«ng gian kh¸c. Trong nhiÒu øng dông th× vÕ ph¶i cña (1.1) th­êng ®­îc cho bëi ®o ®¹c, nghÜa lµ thay cho gi¸ trÞ chÝnh x¸c m·n kfδ − f k ≤ δ . Gi¶ sö xδ thiÕt r»ng nghiÖm tån t¹i). Khi kh«ng chØnh th× xδ f , ta chØ biÕt xÊp xØ fδ lµ nghiÖm cña (1.1) víi δ→0 th× fδ → f nãi chung kh«ng héi tô ®Õn f cña nã tho¶ thay bëi fδ (gi¶ nh­ng víi bµi to¸n ®Æt x. 1.1.2. Mét sè kiÕn thøc cña gi¶i tÝch hµm Tr­íc khi tr×nh bµy mét sè vÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, trong môc nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch hµm cã liªn quan ®Õn néi dung nghiªn cøu cña ®Ò tµi. C¸c kh¸i niÖm nµy ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [2], [3] vµ [7]. • Kh«ng gian Banach: 9 X Kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh mçi phÇn tö x∈X ta cã mét sè trong ®ã øng víi kxk gäi lµ chuÈn cña x, tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: 1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X; (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c) 3) kαxk = |α|.kxk, ∀x ∈ X, α ∈ R. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn ®Çy ®ñ gäi lµ kh«ng gian Banach. VÝ dô 1.1.1. Kh«ng gian Lp [a, b] víi 1 ≤ p < ∞ lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn kϕk = Z b p |ϕ(x)| dx  p1 , ϕ ∈ Lp [a, b]. a • Sù héi tô trong kh«ng gian Banach: D·y c¸c phÇn tö phÇn tö x0 ∈ X khi xn trong kh«ng gian Banach n → ∞, nÕu X kxn − x0 k → 0 ®­îc gäi lµ héi tô ®Õn khi n → ∞, ký hiÖu lµ xn → x0 . Sù héi tô theo chuÈn ®­îc gäi lµ héi tô m¹nh. {xn } ⊂ X D·y nÕu víi ®­îc gäi lµ héi tô yÕu ®Õn ∀f ∈ X ∗ -kh«ng gian liªn hîp cña x0 ∈ X , ký hiÖu lµ xn * x0 , X, ta cã f (xn ) → f (x0 ), khi n → ∞. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã tÝnh chÊt sau: TÝnh chÊt 1.1.1. i) Tõ sù héi tô m¹nh cña mét d·y {xn } suy ra sù héi tô yÕu cña d·y ®ã. ii) Giíi h¹n yÕu cña mét d·y nÕu cã lµ duy nhÊt. iii) NÕu xn * x th× sup kxn k < ∞ vµ kxk ≤ limn→∞ kxn k. 1≤n<∞ NhËn xÐt 1.1.1. Mét sè tr­êng hîp tõ héi tô yÕu cã thÓ suy ra héi tô m¹nh lµ: 10 X i) ii) lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. {xn } ⊂ M víi M lµ mét tËp compact trong X. • Kh«ng gian ph¶n x¹: Gi¶ sö cña X X vµ gäi lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn trªn X ∗∗ = L(X ∗ , R) cho t­¬ng øng víi mçi X ∗∗ x∈X R, X ∗ lµ kh«ng gian liªn hîp lµ kh«ng gian liªn hîp thø hai cña mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc X. x∗∗ Ta trªn nhê hÖ thøc ë ®©y hf, xi   x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ , lµ kÝ hiÖu gi¸ trÞ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc x ∈ X . Ta cã kxk = kx∗∗ k. §Æt h(x) = x∗∗ , nÕu h : X → X ∗∗ th× kh«ng gian VÝ dô 1.1.2. X f ∈ X∗ t¹i lµ toµn ¸nh ®­îc gäi lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Kh«ng gian Lp [0, 1], p > 1 lµ kh«ng gian ph¶n x¹. Mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu ph¶n x¹. §Þnh lý 1.1.1. (xem [2]) NÕu X lµ kh«ng gian Banach th× c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng: 1) X ph¶n x¹; 2) Mäi d·y giíi néi lµ compact yÕu, nghÜa lµ ∀ {xn } ⊂ X : kxn k ≤ K ⇒ ∃ {xnk }, xnk * x ∈ X ; 3) H×nh cÇu ®¬n vÞ ®ãng trong X lµ compact yÕu; 4) Mçi tËp bÞ chÆn ®ãng yÕu trong 5) Mçi tËp låi ®ãng bÞ chÆn trong X X lµ compact yÕu; lµ compact yÕu. • §¹o hµm FrÐchet: Víi ¸nh x¹ r : X → Y, ta sÏ viÕt lµ r(x) = o(kxk), x → 0 r(x)/kxk → 0 khi x → 0. Gi¶ sö A : X → Y 11 nÕu lµ mét to¸n tö tõ kh«ng gian X Banach t¹i x∈X vµo kh«ng gian Banach Y . To¸n tö A ®­îc gäi lµ kh¶ vi FrÐchet nÕu tån t¹i mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc A(x + h) = A(x) + T h + o(khk), h thuéc víi mäi l©n cËn cña ®iÓm kh«ng. NÕu ®¹o hµm FrÐchet cña T :X→Y sao cho h→0 T tån t¹i th× nã ®­îc gäi lµ R. Mét tÝch v« h­íng trong A t¹i x vµ kÝ hiÖu lµ A0 (x) = T. • Kh«ng gian Hilbert: Cho X X lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn h., .i : X × X → R tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: lµ mét ¸nh x¹ hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0; i) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X ; ii) iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R; iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X . Kh«ng gian tuyÕn tÝnh X cïng víi tÝch v« h­íng h., .i ®­îc gäi lµ kh«ng gian tiÒn Hilbert. Kh«ng gian tiÒn Hilbert ®Çy ®ñ ®­îc gäi lµ kh«ng gian Hilbert. VÝ dô 1.1.3. C¸c kh«ng gian Rn , L2 [a, b] lµ c¸c kh«ng gian Hilbert víi tÝch v« h­íng ®­îc x¸c ®Þnh t­¬ng øng lµ hx, yi = n X ξi ηi , x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn i=1 b Z hϕ, ψi = ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b]. a • Kh«ng gian låi chÆt: Kh«ng gian Banach X ®­îc gäi lµ låi chÆt nÕu mÆt cÇu ®¬n vÞ 12 S = S(X) = {x ∈ X : kxk = 1} cña X lµ låi chÆt, tøc lµ tõ x, y ∈ S kÐo theo kx + yk < 2. Do ®ã mäi mÆt cÇu kh¸c còng låi chÆt. VÝ dô 1.1.4. Kh«ng gian Lp [a, b] lµ kh«ng gian låi chÆt. • Kh«ng gian E-S (Ephimov Stechkin): Kh«ng gian Banach X ®­îc gäi lµ kh«ng gian Ephimov Stechkin (hay kh«ng gian cã tÝnh chÊt E-S) nÕu phÇn tö tô m¹nh (xn * x) X ph¶n x¹ vµ trong (kxn k → kxk) vµ sù héi tô chuÈn X sù héi tô yÕu c¸c lu«n kÐo theo sù héi (kxn − xk → 0). VÝ dô 1.1.5. Kh«ng gian Hilbert cã tÝnh chÊt E-S. 1.1.3. VÝ dô vÒ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh Sau ®©y ta sÏ chØ ra mét vµi vÝ dô vÒ to¸n tö A mµ (1.1) lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Þnh nghÜa 1.1.3. (xem [7]) To¸n tö (phi tuyÕn) A ®­îc gäi lµ liªn tôc m¹nh, nÕu nã ¸nh x¹ mäi d·y héi tô yÕu thµnh d·y héi tô m¹nh tøc lµ nÕu xn * x suy ra Axn → Ax. MÖnh ®Ò 1.1.1. (xem [7]) Cho X vµ Y lµ c¸c kh«ng gian Banach thùc. NÕu A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact th× A liªn tôc m¹nh. VÝ dô 1.1.6. NÕu A lµ to¸n tö liªn tôc m¹nh th× bµi to¸n (1.1) (v« h¹n chiÒu) nãi chung lµ bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. ThËt vËy, gi¶ sö vµ {xn } lµ mét d·y chØ héi tô yÕu ®Õn x, xn * x, xn 6→ x yn = A(xn ), y = A(x). yn → y Khi ®ã, do tÝnh liªn tôc m¹nh cña vµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh A(x) = f vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. 13 A suy ra kh«ng phô thuéc liªn tôc Tuy nhiªn, còng cã mét vµi tr­êng hîp ®Æc biÖt cho ph­¬ng tr×nh to¸n tö víi to¸n tö liªn tôc m¹nh. Ch¼ng h¹n, nÕu miÒn x¸c ®Þnh to¸n tö A D(A) cña lµ h÷u h¹n chiÒu th× mäi d·y héi tô yÕu ®Òu héi tô m¹nh, do ®ã chøng minh trªn kh«ng ¸p dông ®­îc. Vµ nÕu ta xÐt mét to¸n tö tuyÕn tÝnh compact víi miÒn ¶nh R(A) h÷u h¹n chiÒu th× to¸n tö ng­îc A−1 nãi chung lµ liªn tôc vµ khi ®ã bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh A(x) = f lµ bµi to¸n ®Æt chØnh. VÝ dô 1.1.7. (xem [1]) XÐt ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n Fredholm lo¹i I Z b K(x, s)ϕ(s)ds = f0 (x), x ∈ [a, b], (1.2) a ϕ(x), vÕ ph¶i f0 (x) lµ mét hµm cho tr­íc, K(x, s) ∂K(x, s) lµ h¹ch cña tÝch ph©n. Gi¶ thiÕt h¹ch K(x, s) cïng víi liªn tôc ∂x trªn h×nh vu«ng [a, b] × [a, b]. Ta xÐt hai tr­êng hîp sau: ë ®©y nghiÖm lµ mét hµm • Tr­êng hîp 1 A: C[a, b] → L2 [a, b] Z ϕ(x) 7→ f0 (x) = b K(x, s)ϕ(s)ds. a Sù thay ®æi cña vÕ ph¶i ®­îc ®o b»ng ®é lÖch trong kh«ng gian L2 [a, b], tøc f0 (x) vµ f1 (x) trong L2 [a, b] ®­îc cho bëi Z b  21 2 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |f0 (x) − f1 (x)| dx . lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm a Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (1.2) cã nghiÖm lµ Z f1 (x) = f0 (x) + N ϕ0 (x). Khi ®ã víi vÕ ph¶i b K(x, s)sin(ωs)ds a th× ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ωx). 14 Víi N bÊt k× vµ kh«ng gian ω ®ñ lín th× kho¶ng c¸ch gi÷a hai hµm f0 vµ f1 trong L2 [a, b] lµ Z bZ b 2  21 ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N | K(x, s)sin(ωs)ds dx a a cã thÓ lµm nhá tuú ý. ThËt vËy, ®Æt Kmax = |K(x, s)|, max x∈[a,b],s∈[a,b] ta tÝnh ®­îc Z ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N | d c ≤ ë ®©y c0 b 1 Kmax cos(ωs)a ω  12 2 dx |N |Kmax c0 , ω lµ mét h»ng sè d­¬ng. Ta chän N vµ ω lín tuú ý nh­ng N/ω l¹i nhá. Trong khi ®ã ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N | x∈[a,b] cã thÓ lín bÊt k×. • Tr­êng hîp 2 A: L2 [a, b] → L2 [a, b] Z ϕ(x) 7→ f0 (x) = b K(x, s)ϕ(s)ds. a T­¬ng tù, ta còng chØ ra kho¶ng c¸ch gi÷a hai nghiÖm ϕ0 vµ ϕ1 trong kh«ng L2 [a, b] cã thÓ lín bÊt k×. ThËt vËy, Z b  12 Z b  21 sin2 (ωx)dx ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx = |N | a a r b−a 1 = |N | − sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)). 2 2ω DÔ dµng nhËn thÊy r»ng hai sè N vµ ω cã thÓ chän sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) gian rÊt nhá nh­ng ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) l¹i rÊt lín. 15 V× tÝnh kh«ng duy nhÊt cña nghiÖm cña bµi to¸n (1.1), nªn ng­êi ta th­êng cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cña nghiÖm. nghiÖm x0 cã Ta sÏ sö dông x∗ - chuÈn nhá nhÊt, nghÜa lµ ta t×m nghiÖm tho¶ m·n A(x0 ) = f, vµ kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : A(x) = f }. x∗ , ta cã thÓ cã ®­îc nghiÖm mµ ta muèn xÊp xØ. B»ng c¸ch chän 1.2 Ph­¬ng tr×nh to¸n tö ®¬n ®iÖu 1.2.1. To¸n tö ®¬n ®iÖu Cho X lµ kh«ng gian Banach thùc, miÒn x¸c ®Þnh lµ D(A) = X A : D(A) → X ∗ vµ miÒn ¶nh R(A) lµ mét to¸n tö víi n»m trong X ∗. C¸c kh¸i niÖm trong môc nµy ®­îc tham kh¶o trong c¸c tµi liÖu [1], [3] vµ [7]. • To¸n tö ®¬n ®iÖu: To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu (monotone) nÕu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). To¸n tö A (1.3) ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu chÆt (strictly monotone) nÕu dÊu b»ng chØ x = y. x¶y ra khi Trong tr­êng hîp A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh th× tÝnh ®¬n ®iÖu t­¬ng ®­¬ng víi tÝnh kh«ng ©m cña to¸n tö. To¸n tö A ®­îc gäi lµ ®¬n ®iÖu ®Òu nÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m kh«ng gi¶m víi δ(t) t ≤ 0, δ(t) = 0 vµ
hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk , ∀x, y ∈ D(A). NÕu δ(t) = cA t2 víi cA lµ mét h»ng sè d­¬ng th× to¸n tö ®iÖu m¹nh. 16 A ®­îc gäi lµ ®¬n VÝ dô 1.2.1. A : R M → RM To¸n tö tuyÕn tÝnh ®­îc x¸c ®Þnh bëi A = B T B, víi • B lµ mét ma trËn vu«ng cÊp To¸n tö h-liªn continuous) trªn A ®­îc gäi lµ tôc, X d-liªn nÕu d-liªn M , lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu. tôc: To¸n tö A A(x + ty) * Ax ®­îc gäi lµ khi t→0 tôc (demicontinuous) trªn X h-liªn víi mäi nÕu tõ tôc (hemi- x, y ∈ X xn → x vµ suy ra Axn * Ax khi n → ∞. VÝ dô 1.2.2. Hµm hai biÕn liªn tôc theo tõng biÕn t¹i ϕ(x, y) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 kh«ng liªn tôc, nh­ng (0, 0) do ®ã nã h-liªn tôc t¹i (0, 0). • To¸n tö bøc: To¸n tö A ®­îc gäi lµ to¸n tö bøc (coercive) nÕu  Ax, x lim = +∞, ∀x ∈ X. ||x||→+∞ ||x|| Sù tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh to¸n tö (1.1) ®­îc cho trong ®Þnh lý sau. §Þnh lý 1.2.1. (xem [1]) Cho A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc, ®¬n ®iÖu vµ bøc tõ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ cã nghiÖm víi mäi X vµo X ∗. Khi ®ã ph­¬ng tr×nh A(x) = f f ∈ X ∗. • ¸nh x¹ ®èi ngÉu: ¸nh x¹ U s : X → X ∗ ®­îc ®Þnh nghÜa bëi  U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }, s ≥ 2 ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu tæng qu¸t cña viÕt lµ U X. Trong tr­êng hîp vµ gäi lµ ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c cña (1.4) s=2 ta X. TÝnh ®¬n trÞ cña ¸nh x¹ ®èi ngÉu chuÈn t¾c ®­îc cho trong mÖnh ®Ò sau. 17 MÖnh ®Ò 1.2.1. (xem [7]) Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian Banach. Khi ®ã, 1) U (x) lµ tËp låi, U (λx) = λU (x) víi mäi λ ∈ R; 2) U lµ ¸nh x¹ ®¬n trÞ khi vµ chØ khi tr­êng hîp X lµ kh«ng gian Hilbert th× X∗ lµ kh«ng gian låi chÆt. Trong U = I -to¸n tö ®¬n vÞ trong X . ¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ mét trong nh÷ng vÝ dô vÒ to¸n tö ®¬n ®iÖu, nã tån t¹i trong mäi kh«ng gian Banach. §Þnh lý 1.2.2. (xem [7]) NÕu ®èi ngÉu chuÈn t¾c H¬n n÷a, nÕu X X∗ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× ¸nh x¹ U : X → X∗ lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu, bøc vµ lµ kh«ng gian Banach låi chÆt th× U d-liªn tôc. lµ to¸n tö ®¬n ®iÖu chÆt. Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ cña lý thuyÕt to¸n tö ®¬n ®iÖu ®­îc sö dông trong phÇn sau. Bæ ®Ò 1.2.1. thùc, f ∈ X∗ (xem [1] vµ tµi liÖu dÉn) Cho vµ lµ mét kh«ng gian Banach A lµ mét to¸n tö h-liªn tôc tõ X hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, th× X vµo X ∗ . Khi ®ã, nÕu ∀x ∈ X A(x0 ) = f. NÕu A lµ mét to¸n tö ®¬n ®iÖu trªn X th× ®iÒu kiÖn trªn t­¬ng ®­¬ng víi hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Bæ ®Ò 1.2.1 cã tªn lµ bæ ®Ò Minty, tªn mét nhµ to¸n häc Mü, ng­êi ®· chøng minh kÕt qu¶ trªn trong tr­êng hîp kh«ng gian Hilbert vµ sau nµy chÝnh «ng vµ Browder ®· chøng minh mét c¸ch ®éc lËp trong kh«ng gian Banach. 1.2.2. Ph­¬ng tr×nh víi to¸n tö ®¬n ®iÖu 18