..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN VĂN TUẤN
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP
ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên – 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN VĂN TUẤN
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP
ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Minh Khoa
Thái Nguyên – 2014
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nghiên cứu và thực nghiệm đưa ra trong luận văn là hoàn toàn trung thực,
chưa được ai công bố trong công trình nào.
Tác giả luận văn
Nguyễn Văn Tuấn
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học cao học, nghiên cứu và viết luận văn tốt nghiệp tác
giả đã nhận được nhiều sự ủng hộ của Phòng Giáo dục - Đào tạo huyện Yên
Lập – tỉnh Phú Thọ, lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THCS Trung Sơn ,
sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên. Tác giả còn nhận được sự chia sẻ, động viên của các bạn đồng
nghiệp và người thân.
Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ toán học, tác giả đã nhận
được sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Minh Khoa về chuyên môn, thầy
luôn nhiệt tình, tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung
cấp nhiều tài liệu quý báu. Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến
thức thu được qua học tập và nghiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn
này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động
viên quý giá này.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Tuấn
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ……… …………………………………………………………
Lời cam đoan …………………………………………… ……………………
Mục lục …………………………………………………………………. ……
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ………………………………..…...... 1
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………... ..2
1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………………….... 2
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu …………………………………………. 6
3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………….………..... 7
4. Phương pháp nghiên cứu …………………………………….…………… 7
NỘI DUNG
Chương 1.
Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine …...…8
1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier ……………………………………………… 8
1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ……………………….........….8
1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier …...…. 9
1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine ……………………….……. 17
1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine …………….……..…. 17
1.2.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier cosine ……..… 18
1.2.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine ……………………..…. 19
1.2.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine ……………….... . 20
1.3 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt ………………………...………..... 22
1.3.1 Bài toán phương trình truyền nhiệt ……………………………. 22
1.3.2 Thuật toán giải bằng cách sử dụng biến đổi Fourier ………….. 22
Chương 2.
Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích
phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ………………………..…….. 25
2.1 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân
Fourier cosine ……………………………………………………………..………. 25
2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine …....… 25
2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập …………………..…...…. 25
2.2 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân
Fourier cosine và Fourier sine ………………………………………………...… 29
2.2.1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và
Fourier sine …………………………………………………………...……. 29
2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ……………………..…… 29
2.3 Phương trình tích phân đối với đa chập có hàm trọng của các phép biến
đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine ………………….…… 31
2.3.1 Đa chập có hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier
cosine; Fourier và Fourier sine …………………………………………….. 31
2.3.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ……………………..…… 32
KẾT LUẬN ………………………………………………….………...…... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………….……..…...…. 35
1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
.
.
L
x R, x 0
là tập hợp tất cả các hàm f
f ( x) dx
L
xác định trên 0; sao cho:
0
.
, 1 x 2 là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên
1 x 2 f ( x) dx
sao cho:
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Hướng rẽ nhánh phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích
phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu
thế kỉ 20. Gần trọn một thế kỷ các tích chập đơn đối với từng phép biến đổi
tích phân ngự trị. Trong số đó phổ biến được áp dụng nhiều nhất là các tích
chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine,
Laplace, Kontorvich-Lebedev, Melin, Stieltjes,.….. 4,7,8,13...
Khoảng hai thập kỷ trở lại đây các tích chập suy rộng mới được xây
dựng bởi các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa,
Yakubovich,…..Với sự xuất hiện của tích chập suy rộng lớp các phương trình
tích phân giải được nghiệm dưới dạng đóng trở nên phong phú hơn bởi trong
đẳng thức nhân tử hóa then chốt không chỉ có một phép biến đổi tích phân mà
có từ hai đến ba phép biến đổi tích phân. Các trường hợp riêng của bài toán
mở phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 3,14,...
f ( x)
k1( x y) k2 ( x y) f ( y)dy g ( x),
x
, giải được nhiều
0
hơn, đa dạng hơn.
Cũng vào năm 1997, sau khi đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập
suy rộng, với ý tưởng mở rộng tổng quát hơn, mở rộng đến tối đại, Kakichev
đã đưa ra khái niệm đa chập của n+1 phép biến đổi tích phân K , K1, K2 ,....., Kn
với hàm trọng ( x ) của n hàm f1 , f2 ,..., f n mà đối với nó có đẳng thức nhân
tử hóa cốt yếu sau 5 :
2
K *( f1, f 2 ,..., f n ) ( y ) ( y)( K1 f1)( y)...
(0.1)
Từ ý tưởng khởi đầu của Kakichev trong vòng hơn 10 năm trở lại đây
Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa và một số tác giả khác đã công bố
một số đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,
Fourier sine, Hartley,… 9,15,16,17...
Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập là một bước phát
triển mới không chỉ ở phạm vi lý thuyết các phép biến đổi tích phân mà còn
mở rộng sự ứng dụng cho phương trình, hệ phương trình tích phân.
Chính vì vậy mà tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn là phương
trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier,
Fourier cosine, Fourier sine.
Các tích chập, đa chập đã biết dùng trong luận văn
Tích chập của hai hàm f , g L( ) đối với phép biến đổi tích phân Fourier
7,13
1
( f * g )( x)
F
2
f ( x y) g ( y)dy, x
(0.1)
Với đẳng thức nhân tử hóa:
F ( f * g )( y) ( Ff )( y)( Fg )( y), y
F
(0.2)
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine của hai hàm f,g 7
1
( f * g )( x)
Fc
2
0
f ( y) g ( x y ) g ( x y) dy, x 0
(0.3)
3
Và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
Fc ( f * g )( y ) ( Fc f )( y ).( Fc g )( y ), y 0
(0.4)
Fc
Năm 1951 Sneddon đã xây dựng tích chập suy rộng đến tâm đối với hai phép
biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm f , g L1 (
1
( f * g )( x)
1
2
f ( y) g ( x y ) g ( x y) dy,
) 7
x0
(0.5)
y 0
(0.6)
0
Thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fs ( f * g )( y) ( Fs f )( y).( Fc g )( y),
1
Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier
sin 7
( f * g )( x)
2
1
2
f ( y) s ign( y x) g ( y x ) g ( y x) dx, x 0
(0.7)
0
Với đẳng thức nhân tử hóa:
Fc ( f * g )( y) ( Fs f )( y ).( Fs g )( y ),
2
y 0
(0.8)
Tích chập suy rộng với hàm trọng 1 ( x) sinx của hai hàm f,g đối với các
phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine 11
1
1
( f * g )( x)
3
2 2
f ( y)
g ( x y 1) g ( y x 1)
0
g ( y x 1) g ( x y 1) dy,
x0
(0.9)
4
Với đẳng thức nhân tử hóa sau:
1
Fc ( f * g )( y) sin y( Fs f )( y)( Fc g )( y),
3
y 0
(0.10)
Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier sine
xác định bởi:
1
( f * g )( x)
x
4
2 2
f ( y) sign( y x) g ( y x ) g ( x y) dy, x
0
(0.11)
Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
F ( f * g )( y) ( Fs f )( y ).( Fs g )( y ), y
4
(0.12)
Một tích chập với hàm trọng 1 ( x) sinx của hai hàm f và g đối với phép biến
đổi Fourier sine 4
1
1
( f * g )( x)
Fs
2 2
f ( y) sign( x y 1) g ( x y 1)
0
sign( x y 1).g ( x y 1 g ( x y 1) sign( x y 1).g ( x y 1)dy, x 0
(0.13)
Với đẳng thức nhân tử hóa sau:
1
Fs ( f * g )( y) sin y( Fs f )( y).( Fs g )( y), y 0
Fs
(0.14)
Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine 16
1
* ( f , g , h)( x)
Fc , Fs
2
0
f (u) g (v) h( x u v )
0
h( x u v ) h( x u v ) h( x u v ) dudv, x 0
(0.15)
5
Thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
Fc * ( f , g , h) ( y) ( Fs f )( y)( Fs g )( y)( Fc h)( y ), y 0
Fc , Fs
(0.16)
Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine 17
1
*( f , g , h)( x)
Fc
2
0
f (u) g (v) h( x u v) h( x u v )
0
h( x u v ) h( x u v ) dudv, x 0
(0.17)
Với đẳng thức nhân tử hóa:
Fc *( f , g , h) ( y) ( Fc f )( y)( Fc g )( y)( Fc h)( y ), y 0
Fc
(0.18)
Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine 15
1
*( f , g , h)( x)
Fs
2
f (u) g (v) sign(u v x)h( u v x )
0 0
sign(u v x)h( u v x ) sign(u v x)h( u v x ) h(u v x ) dudv, x 0
(0.19)
Với đẳng thức nhân tử hóa:
Fs *( f , g , h) ( y) ( Fs f )( y).( Fs g )( y ).( Fs h)( y ), y 0
Fs
(0.20)
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Dựa vào các đa chập đã biết đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier, Fourier cosine, Fourier sine để khảo sát các phương trình tích phân
kiểu đa ch
6
3. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu các phép biến đổi tích phân, tích chập, đa chập của các
phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng
chúng vào giải phương trình tích phân dạng đa chập.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Sử dụng các phép biến đổi tích phân , tích chập, tích chập suy rộng, đa
chập đã biết, lý thuyết phương trình tích phân và các kết quả của giải tích, giải
tích hàm.
7
CHƯƠNG 1
Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine.
1.1Phép biến đổi tích phân Fourier.
1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier.
Định nghĩa 1.
Cho f L( R), hàm ( Ff ) được xác định bởi:
1
( Ff )( y) f ( y)
2
e
iyx
f ( x)dx, y R
(1.1.1)
Được gọi là biến đổi Fourier của hàm f
Định nghĩa 2. Biến đổi Fourier ngược
1
Nếu F ( y ) L( R) thì hàm F ( F ( y)) xác định bởi:
1
F ( F ( y))( x) f ( x)
2
1
e
iyx
F ( y)dy, x R
(1.1.2)
Được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm f(x).
Ví dụ 1. Tìm biến đổi Fourier của hàm
f ( x) eax , a 0
2
Giải. Theo định nghĩa, ta có:
f ( y)
[ a ( x iy )2 y ]
2a
4a dx
e
2
1
1
iyx ax
e
dx
2
2
Với phép biến đổi t x
2
iy
ta nhận được:
2a
8
1 4ya at 2
1 4ya
f ( y)
e e dt
e
2
2a
2
2
1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier.
Tính chất 1. Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi tuyến tính:
F (1 f1 2 f2 ) 1 (Ff1 ) 2 (Ff2 ) với mọi 1,2
và f1, f2 L( )
Chứng minh. Từ định nghĩa ta dễ dàng chứng minh được tính chất này.
Tính chất 2. Giả sử f L( R ) thì f Co với C o là không gian các hàm số liên
f
tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa f
1
Chứng minh. Bất đẳng thức trong định lí được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
f
Khi
yn y , ta có:
1
f ( yn ) f ( y)
2
f ( x) eiyn x eiyx dx
Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 f ( x) và hội tụ từng điểm tới 0
khi
n . Vì vậy f (tn ) f (t ) do định lí hội tụ bị chặn.
Vậy f liên tục
Mạt khác với một hàm số x g ( x) ta kí hiệu g là hàm số x g ( x )
Vì
ei 1 nên:
9
f ( y) f ( x)e
iy ( x )
y
f ( x)eiyx dx
iyx
dx f f
dx
y
Do đó:
[f ( x) f ( x)]e
2 f ( y)
Suy ra
f
y
y 1
tiến đến 0 khi t .
Ta chứng minh xong tính chất 2.
Tính chất 3. Với r 0 đặt fr ( x) f (rx) . Ta có:
1 y
f r ( y) f ( )
r r
Chứng minh.
1
f r ( y)
2
Tính chất 4. Với
f u ( y) e
iyu
f (rx)e
iyx
1
dx
y 2
f
iyt
(t )e r dt
1 y
f( )
r r
u R đặt fu ( x) f ( x u). Ta có:
f ( y)
Chứng minh.
1
f u ( y)
2
f ( x u)e
iyx
1
iy (t u )
iyu
dx
f (t )e
dt e f ( y)
2
10
Tính chất 5.
Cho f L( R) thỏa mãn sup f a, a
Ta có
f
là hàm giải tích trên C.
Chứng minh.
1
f ( y)
2
f ( x)eiyx dx
Nên suy ra f giải tích trên C
Tính chất 6.
Cho dãy
{f n }n 1 hội tụ trong L( R) . Khi đó dãy f n
hội tụ đều trên
R
n 1,2...
.
Chứng minh.
1
f m ( y) f n ( y)
2
f m ( x ) f n ( x) . e
iyt
dx
f m ( x) f n ( x) dx 0
khi m, n
Tính chất 7.
Cho f L( R) . Ta có f liên tục, bị chặn và
Chứng minh.
f ( y ) 0 , khi y
11
Ta có
f
bị chặn do f ( y )
f ( x) dx
Trường hợp f là hàm đặc trưng của a, b thì:
1
1 eiya eiyb
iyx
f ( y)
e dx
.
iy
2 a
2
b
Vậy là hàm liên tục tiến về 0 khi y
Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng. Từ
đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có
về 0 khi
f
lien tục và tiến
y .
Cuối cùng, nếu f L( R) , do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong L( R) ,
ta tìm được dãy các hàm dặc trưng f n n1,2... hội tụ trong L( R) về f .
Sử dụng tính chất 5 dãy f n
n 1,2...
hội tụ đều về
f
trên
R
suy ra
f lien tục
và tiến về 0 khi : y
Tính chất 8.
Cho f L( R) thỏa mãn f ' L( R) và f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng
hữu hạn.
Khi đó:
Chứng minh.
f
' ^
iy f
12
Vì f liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:
x
f ( x) f (0) f ' (t )dt
0
Hơn nữa, f ' L( R) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi x
. Ngoài ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f L( R)
Do đó:
( f ) ( y)
' ^
1
2
1
[eiyx . f ( x)
2
'
f ( x)e
iyx
dx
iy
f ( y )e
iyx
1
2
eiyx df ( x)
dx] iy f ( y )
Tính chất 9.
Nếu f có đạo hàm bậc cao trong L( R) thì f hội tụ về 0 càng nhanh khi
y và f ( y)
( f ( n )^( y )
n
Chứng minh.
Nhờ tính chất 7, dễ dàng chứng minh được tính chất này.
Tính chất 10.
''
Cho f L( R) . Nếu f tồn tại và f '' L(R) thì f L( R) .
Chứng minh.
13
f
bị chặn do tính chất 6, và giảm về 0 nhanh hơn
1
khi y , do tính
y2
chất 8.
Từ đó: f L( R)
Tính chất 11.
Cho f L( R) thỏa mãn I . f L( R); I là ánh xạ đồng nhất
thói quen người ta luôn viết xf ( x ) thay cho I . f ).
Khi đó f khả vi và:
df
( y) (iI . f ) ^ ( y)
dy
Chứng minh.
d 1
dy 2
f ( x)e
iyx
i
dx
2
x. f ( x)e
iyx
dx
Tính chất 12.
Với f , g L( R) nhắc lại tích chập của f , g như sau.
( f * g )( x)
f ( x y) g ( x)dy và f * g L( R) .
Khi đó ta có:
( f * g )^ 2 . f . g
Chứng minh.
x x ( và do
- Xem thêm -
.PDF 
43 
5 
69 
